1、1在正方体 1111 ABCDABC D中，M是棱 1 CC的中点则下列说法正确的是（ ） A异面直线AM与BC所成角的余弦值为 5 3 B三棱锥 1 BABM的体积是三棱锥CABM体积的3倍 C直线BM与平面 11 BDD B所成角的正弦值等于 15 5 D在棱AB上一定存在点N，使得 1 /C N平面BDM 【答案】D 【解析】设正方体 1111 ABCDABC D的棱长为2，如图所示， 对于 A 中，在正方体 1111 ABCDABC D中，可得BCAD， 所以异面直线AM与BC所成角等于直线AD与AM所成的角， 设MAD， 在直角MAD中，可得2AD ，3AM ，所以 2 cos 3
2、AD AM ，所以不正确； 对于 B 中，可得 111 1114 2 2 2 3323 BABMA B BMB BM VVSAB ， 1112 2 1 2 3323 BCC ABMA BCMM VVSAB ， 所以 1 2 BABMC ABM VV ，所以不正确； 对于 C 中，在正方体 1111 ABCDABC D中，可得 1 CC平面 11 BDD B， 作业作业1 1 空间向量与立体几何 则点M到平面 11 BDD B的距离等于点C到平面 11 BDD B的距离， 连接AC交BD于点O，可得CO平面 11 BDD B，且 2CO ， 即点M到平面 11 BDD B的距离为 2， 设直线B
3、M与平面 11 BDD B所成角为，则 210 sin 55 CO BM ，所以不正确； 对于 D 中，当点N与点A重合时，连接 1 AC， 在 1 ACC中，由点,M O分别为 1 CC，AC的中点，可得 1 OMAC， 又由 1 AC 平面BDM，OM 平面BDM，所以 1 AC平面BDM， 即在棱AB上一定存在点N，使得 1 /C N平面BDM，所以是正确的， 故选 D 2如图，在多面体ABCDEFG中，面ABCD为正方形，面ABFE和面ADGE为全等的 矩形，且均与面ABCD垂直 （1）求证：平面/BDE平面CFG； （2）若直线AE和平面BDE所成角的正弦值为 1 3 ，求二面角AF
4、GC的余弦值 【答案】 （1）证明见解析； （2） 7 9 【解析】 （1）证明：四边形ABCD为正方形，四边形ADGE为矩形， BCEG，且BCEG， 四边形BCGE为平行四边形，/BE CG 又BE平面CFG，CG平面CFG， /BE平面CFG， 同理/DE平面CFG 又BE，DE为平面BDE内的两条相交直线， 平面/BDE平面CFG （2）四边形ABFE为矩形，AEAB， 又平面ABFE 平面ABCD，且平面ABFE平面ABCDAB， AE平面ABCD 又ABCD为正方形，AB，AD，AE两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系 设1AB ，0AEa a，则0,0,0A，1,0,0B，0
5、,1,0D，0,0,Ea， 故(0,0, )AEa，( 1,1,0)BD ，( 1,0, )BEa 设平面BDE的法向量为 111 ,x y zn，则有 0 0 BD BE n n ，即 11 11 0 0 xy xaz ， 令 1 1z ，则 11 xya，,1(, )a an； 直线AE和平面BDE所成角的正弦值为 1 3 ， 1 cos, 3 AEn，即 2 1 (0) 3 21 a a aa ，解得2a， 2,2,1n，(1,0,2)AF ，(0,1,2)AG 设平面AFG的法向量为 222 ,x y zm，则有 0 0 AF AG m m ，即 22 22 20 20 xz yz ，
6、 令 2 1z ，则 22 2xy，(2,2, 1)m， 平面/BDE平面CFG， 平面CFG的一个法向量也为2,2,1n 设二面角AFGC的大小为， 则 222222 2 22 2 1 17 coscos, 9 22122( 1) n m ， 又二面角AFGC为锐角，故其余弦值为 7 9 一、单选题 1已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论一定正确的是 （ ） A若m，mn，则n B若 ，m，则m C若m，n， / ，则m n D若/m，n ，/ ，则m n 2 已知两条不同的直线m，n， 三个不重合的平面， 下列命题正确的是 （ ） A若/m n，n，则/m B若 ，则/
7、 C若m，m，则 / D若，m，则m 3 已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点， 且PA 平面ABCD，M，N分别为PC， PD上的点，且2PMMC，PNND，NMxAByADzAP，则x y z =（ ） A 2 3 B 2 3 C1 D 5 6 4 如果向量2, 1,3a，1,4, 2 b，7, 7,mc共面， 则实数m的值是 （ ） A11 B8 C7 D1 5已知四面体ABCD的四个面都为直角三角形，AB 平面BCD，ABBCCD =1，若该四面体的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ） A 3 2 B 3 2 C3 D 3 二、多选题 6如图，正方体 1111 ABCD
8、ABC D中，M，N是线段 11 AC上的两个动点，则下列结论 正确的是（ ） ABM，CN始终在同一个平面内 BMN平面ABCD CBDCM D若正方体的棱长和线段MN的长均为定值，则三棱锥B CMN的体积为定值 7 如图， 梯形ABCD中，ADBC，1ADAB，ADAB，45BCD， 将ABD 沿对角线BD折起设折起后点A的位置为A，并且平面A BD平面BCD 给出下面四个命题（ ） AADBC B三棱锥ABCD的体积为 2 2 CCD平面A BD D平面ABC平面ADC 8长方体 1111 ABCDABC D的底面是边长为 3 的正方形，高为 4，E是 1 DD的中点， 则下列说法正确的
9、是（ ） A平面 1 /BCE平面 1 ABD B在棱 1 DD上存在点F，使得 11 B FAB C三棱锥 11 CBCE的体积是6 D三棱锥 11 CABD的外接球表面积为34 三、填空题 9已知下列命题： 1 p：若直线l与平面有两个公共点，则直线l在平面内 2 p：若三条直线 a，b，c互相平行且分别交直线l于 A， B，C三点，则这四条直线共 面 3 p：若直线l与平面相交，则l与平面内的任意直线都是异面直线 4 p：如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交 则下述命题中所有真命题的序号是_ 14 pp 12 pp 23 pp 34 pp 10如图，在三棱
10、锥SABC中，SA底面ABC，底面ABC为边长为 1 的等边三角形， SAAB，则A与平面SBC的距离为_ 11已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为 4 的正方形，PD 平面ABCD， 6PD，E为棱PD上一点，且2EDPE，过EB作平面分别与线段PA，PC交于 点M，N，且AC，则 PM PA _，四边形 EMBN的面积为_ 四、解答题 12已知体积为4 3的三棱锥OABC的顶点, ,A B C都在球O的表面上，且6AB， 2 3BC ， 4 3AC （1）求球O的半径； （2）求异面直线OA与BC所成角的余弦值 13如图所示，在三棱锥ABCD中，侧棱AB 平面BCD，F为线段BD中点
11、， 2 3 BCD，3AB，2BCCD （1）证明：CF 平面ABD； （2）设Q是线段AD上一点，二面角ABQC的正弦值为 13 4 ，求 DQ DA 的值 一、单选题 1 【答案】D 【解析】A 选项中，若m，mn，有可能/n，故 A 错误； B 选项中，若，m，则m可能与平行，故 B 错误； C 选项中，若m，n，/ ，则/m n，故 C 错误； D 选项中，若n，/ ，则n，而/m，故mn，故 D 正确， 故选 D 2 【答案】C 【解析】对于 A，当/m n，n时，m有可能在平面内，所以 A 错误； 对于 B，当，时，平面，有可能相交，所以 B 错误； 对于 C，当m，m时，由线面垂
12、直的性质可知/ ，所以 C 正确； 对于 D，当，m时，直线m有可能在平面内，也有可能与不垂直， 所以 D 错误， 故选 C 3 【答案】B 【解析】因为 2PMMC，PNND ， 所以 2 3 PMPC， 1 2 PNPD， 所以 2121 ()() 3232 NMPMPNPCPDACAPADAP 211211 () 322366 ABADAPADAPABADAP， 因为NMxAByADzAP，所以 2 3 x ， 1 6 y ， 1 6 z ， 所以 2 3 xyz，故选 B 4 【答案】A 【解析】向量, ,a b c共面，即存在实数, 使abc， 72 471 23m ，解之得 1 3
13、 ， 1 3 ，11m 5 【答案】C 【解析】如图所示，可将四面体ABCD还原为正方体，则四面体的外接球即为正方体的外 接球， 因此球O的半径 3 2 R ，表面积 2 43SR ，故选 C 二、多选题 6 【答案】BCD 【解析】 因为C，M，N同在平面 11 AACC上， 而B不在平面 11 AACC上， 所以BM，CN 不在同一个平面内，故 A 错误； 因为MNAC，AC 平面ABCD，MN 平面ABCD，所以MN平面ABCD， 故 B 正确； 因为 1 A A平面ABCD，而BD 平面ABCD，所以 1 A ABD， 连接AC，BD交于点O，则ACBD， 而 1 A AACAI， 1
14、 A A平面 11 A ACC，AC 平面 11 A ACC， 所以BD 平面 11 A ACC 因为CM 平面 11 A ACC，所以BDCM，故 C 正确； 不妨设正方体的棱长为a，MNb，则 1 11 22 CMN SMNCCab 由于BD 平面 11 A ACC，则BO平面 11 A ACC， 2 2 BOa ， 所以 2 11122 232212 B CMNCMN VSBOabaa b 因为a，b为定值，所以三棱锥B CMN的体积为定值，故 D 正确， 故选 BCD 7 【答案】CD 【解析】90BAD，ADAB，45ADBABD， ADBC，45BCD，BDDC， 平面A BD平面
15、BCD，CD平面BCD，CD平面A BD， A D平面A BD，CDAD ，故ADBC不成立， 故 A 错误，C 正确； 由1ABAD，90BAD，可得 2BD ， 2CDBD ， 三棱锥ABCD的体积为三棱锥CABD的体积， 即为 1112 21 1 3326 A BD CD S ，故 B 错误； 折叠前，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，90BAD， ABD为等腰直角三角形 又45BCD，45DBC，90BDC 折叠后，平面BCD平面A BD，CDBD， CD平面A BD 又A B平面A BD，CDAB 又A BA D，ADCDD，A B平面ADC 又A B平面ABC，平面ABC平面
16、ADC故 D 正确， 故选 CD 8 【答案】BCD 【解析】如图： 因为 11 ADBC， 1 AD 平面 11 B DC， 1 BC 平面 11 B DC， 所以 1 AD平面 11 B DC，同理BD平面 11 B DC， 又 1 ADBDD，所以平面 1 ABD平面 11 B DC， 而平面 11 B DC平面 11 BCEBC，所以平面 1 ABD与平面 1 BCE不平行，故 A 不正确； 连 11 AC交 11 B D于P， 因为 1111 DCBA为正方形，所以 1111 ACBD，所以 1 AP 平面 11 BB D D， 所以BP为 1 AB在平面 11 BB D D内的射影
17、， 因为在棱 1 DD上存在点F使得 1 B F垂直BP， 所以在棱 1 DD上存在点F使得 11 B FAB，故 B 正确； 111 1 11 364 3 32 CB CEE B C C VV ，故 C 正确； 因为三棱锥 11 CABD的外接球就是长方体的外接球，其直径为长方体的对角线， 所以外接球的半径 222 134 343 22 R ，表面积为 2 34 4434 4 R ， 故 D 正确 三、填空题 9 【答案】 【解析】对于 1 p，利用公理 1 可知，当一条线上有两个点在一个平面内时，则这条线在这 个平面内，故 1 p正确； 对于 2 p，由公理 2 可知，通过一组相交线或一组
18、平行线有且仅有一个平面，所以 2 p为真命 题； 对于 3 p，假设直线l与平面相交于点A，则直线l与平面内不过点A的直线为异面直 线，故 3 p为假命题； 对于 4 p，当两条异面直线中的一条与一个平面平行时，另一条直线与这个平面有可能平行 也有可能相交，故 4 p为假命题； 所以 14 pp为假， 12 pp为真， 23 pp为假， 34 pp为真， 故答案为 10 【答案】 21 7 【解析】因为SA底面ABC，所以SAAB， 又因为1SAAB，所以 2SB ，同理 2SC ， 又因为1BC ，所以 117 12 244 SBC S ， 因为ABC为边长为 1 的等边三角形，所以 113
19、 11 244 ABC S ， 设A与平面SBC的距离为h， 则 11121 3337 ABC SBCABCABC SBC S ShSSASh S ， 故答案为 21 7 11 【答案】 1 2 ，4 6 【解析】如图，延伸平面，交平面ABCD于RS， B平面平面ABCD，BRS ，即R，S，B三点共线， 又AC，由线面平行的性质可得ACRS， 则 4 ARBABR ，即ARAB，A是RD的中点， 过M作MKPD，垂足为K， 则在PDA中， MKPK DAPD ；在EDR中， MKEK DRED ， PKEK DADR PDED ，即 2 48 64 PKPK ，解得3PK ， K是PD中点，
20、则M是PA中点， 1 2 PM PA ， 则 1 2 PNPM PCPA ，MNAC， PD 平面ABCD，AC 平面ABCD，PDAC， BDAC，BDPDD，AC平面PBD， ACBE，MNBE， 1 2 MNPM ACPA ， 11 4 22 2 22 MNAC， 又 2222 4(4 2)4 3EBEDBD ， 所以四边形 EMBN的面积为 11 2 24 34 6 22 MN EB， 故答案为 1 2 ；4 6 四、解答题 12 【答案】 （1）4； （2） 3 4 【解析】 （1）由O为球心，OAOBOCR， 可得O在底面ABC的射影为ABC的外心， 6AB，2 3BC ，4 3A
21、C ，可得ABC为AC斜边的直角三角形， O在底面ABC的射影为斜边AC的中点M， 可得 111 12 34 3 326 OMAB BCOM，解得2OM ， 则 222 4 1216ROMAM ，即4R （2）取AB中点N，OB中点G，连接MN，NG，MG， 则MNBC，NGOA，则MNG（或其补角）为异面直线OA与BC所成角， 1 3 2 MNBC， 1 2 2 NGOA， 在OMBRt中，由2OM ， 2 3MB ，求得4OB ，则2MG ， 3443 cos 42 23 MNG ， 即异面直线OA与BC所成角的余弦值为 3 4 13 【答案】 （1）证明见解析； （2） 1 4 【解析】
22、 （1）因为BCCD，F为线段BD中点，所以CFBD 因为AB 平面BCD，CF 平面BCD， 所以CFAB 又因为AB平面ABD，BD 平面ABD，ABBDB， 所以CF 平面ABD （2）在三棱锥ABCD中，在平面BCD内作BECD于E， 以B为原点建立如图空间直角坐标系 由题得0,0,3A，0,0,0B， 3,1,0C ， 3,3,0D ， 3, 3,3DA，0,0,3BA， 3,1,0BC 设 3, 3,33 , 3 ,3(01)DQDA， 所以 3(1),3(1),3BQBDDQ 设 1111 ,x y zn， 2222 ,x y zn，分别为平面ABQ，平面CBQ的一个法向量， 则 1 1 0 0 AB DA n n ， 2 2 0 0 BC BQ n n 即 1 111 30 3330 z xyz ， 22 222 330 3(1)3(1)30 xy xyz ， 不妨取 1 3,1,0n， 2 3 ,2 ,3(1)n 因为二面角ABQC的正弦值为 13 4 ，则余弦值为 3 4 ， 所以 12 12 22 12 |33 |3 cos, 4 2124(1) n n n n nn ，解得 1 2 （舍）或 1 4 ， 因此， DQ DA 的值为 1 4
