1、1.如图所示,ABC 中,若A=75,C=45,AB=2,则 AC 的长等于( ) A.22 B.23 C. 6 D. 2 3 6 知识点：转化的数学思想、勾股定理 知识点的描述：在解决有关求线段长度问题时，常通过添加辅助线，把一般三角形的问题转 化为直角三角形的问题，利用勾股定理解决问题。勾股定理的内容：直角三角形两直角边的 平方和等于斜边的平方。 答案：C 详细解答：作 BC 边上的高 AD, ABC 中,BAC=75,C=45，那么B=60，从而BAD=30 在 RtABD 中，BAD=30，AB=2,所以 BD=1，AD=3 在 RtACD 中，C=45，AD=3,所以 CD=AD=3
2、， 利用勾股定理可得 AC=6。 1已知：在 RtABC 中，C=90，CDAB 于 D，A=60，CD=3，线段 AB 长为（ ） 。 A.2 B.3 C.4 D.33 答案：C 分析：欲求 AB，可由 AB=BD+AD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出 BD 和 AD。或欲求 AB，可由 22 BCACAB，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角， 求出 AC 和 BC。 详细解答：在 RtACD 中，A=60，那么ACD=30，又已知 CD=3,所以利用勾股定理 或特殊三角形的三边的比求出 AD=1。 在 RtACB 中，A=60，那么B=30。 BA C D 在 RtBCD
3、 中，B=30，又已知 CD=3,所以 BC=23，利用勾股定理或特殊三角形的三 边的比求出 BD=3。 因此 AB=BD+CD=3+1=4， 小结：本题是“双垂图”的计算题， “双垂图”是中考重要的考点，所以要求对图形及性质 掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3 个直角三角形，三 个勾股定理及推导式 BC 2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及 30或 45特殊角 的特殊性质等。 2已知a，b，c为ABC三边，且满足a 2c2b2c2=a4b4，则它的形状为 A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形 知识点：综合代数
4、变形和勾股定理的逆定理判断三角形的形状 知识点的描述：这类问题常常用到代数中的配方、因式分解，再结合几何中的有关定理不难 作出判断。 答案：D 详细解答： a 2c2b2c2=a4b4，左右两边因式分解得 )()( 2222222 bababac 0)( 22222 bacba 0 22 ba或0 222 bac， 即ba 或 222 bac，所以三角形的形状为等腰三角形或直角三角形。 2若ABC 的三边 a，b，c 满足(c-b) 2+a2-b2-c2=0，则ABC 是（ ） （A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）等腰直角三角形 （D）等腰三角形或直角三角形 答案：C 详细解答：(c-b
5、) 2+a2-b2-c2=0，c-b =0 且 a2-b2-c2=0 即 bc 且 222 bac， 所以三角形的形状为等腰直角三角形。 3五根小木棒，其长度分别为 7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中 正确的是（ ） 知识点：勾股定理的逆定理 知识点的描述：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直 角三角形，最大的边就是斜边。 满足 a 2 +b2=c2 的三个正整数，称为勾股数勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数最好能 记住常见的几组勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17 等。 答案：C 详细解答：A
6、图和 B 图中右边的三角形三边不存在某两边的平方和等于第三边的平方，不是 直角三角形。D 图中两个的三角形三边都不存在某两边的平方和等于第三边的平方，都不是 直角三角形。只有 C 图中的两个三角形都是直角三角形。 3在下列说法中是错误的（ ） A在ABC 中， 2222 2ACmnmnmn、BC=、AB=（mn、为正整数，且mn） ， 则ABC 为直角三角形. B在ABC 中，若A：B：C3：4：5，则ABC 为直角三角形. C在ABC 中，若 222 cba，则ABC 为直角三角形. D在ABC 中，若 a：b：c5：12：13，则ABC 为直角三角形. 答案：B 详细解答： 在ABC 中，
7、若A：B：C3：4：5，那么最大角C 00 75180 12 5 不是直角三角形。 ABC 三条边的比为 a:b:c5:12:13，则可设 a5k，b12k，c13k，a 2b225k2 144k 2169k2，c2(13k)2169k2，所以，a2b2c2，ABC 是直角三角形 4. 下列各命题的逆命题不成立的是( ) A.两直线平行,同旁内角互补； B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等 C.对顶角相等 D.如果 a 2=b2,那么 a=b 知识点：互逆命题 知识点的描述：如果一个命题的题设是另一个命题的结论，而结论又是另一个命题的题设， 那么这样的两个命题是互逆命题。一个命题和它的逆
8、命题的真假没有什么联系。 答案：C 详细解答： “对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角” ，显然这是一个假命题。 4下列命题的逆命题成立的是（ ） （A）若 a=b，则ba （B）全等三角形的周长相等 （C）同角（或等角）的余角相等 （D）若 a=0，则 ab=0 答案：C 详细解答： （A）的逆命题是：若ba ，则 a=b。不一定成立，也可能 a=-b （B）的逆命题是：周长相等的三角形全等。不一定成立，两个三角形周长相等，形状不一 定就相同。 （D）的逆命题是：若 ab=0，则 a=0。不一定成立，也可能是 b=0，而 a0。 5如图，一轮船以 16 海里/时的速度从港口 A 出发向东
9、北方向航行，另一轮船以 12 海里/ 时的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行， 离开港口 2 小时后，两船相距（ ） A.25 海里 B.30 海里 C.35 海里 D.40 海里 知识点：勾股定理的实际应用题 知识点的描述： 求距离或某个长度是很常见的实际应用题， 这种问题一般转化为几何中的求 线段长度问题， 通常是在现有的直角三角形或构建的直角三角形中， 利用勾股定理求出线段 的长度，从而解决实际问题。 答案：D 详细解答：画出答题图，由题意知，三角形 ABC 是直角三角形， AC=32 海里，AB=24 海里， 根据勾股定理得 BC 2=AC2+AB2=322+242=1600， A
10、 B C 所以 BC=40（海里） 5有一长、宽、高分别为 5cm、4cm、3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、 形变忽略不计） 要求木条不能露出木箱 请你算一算， 能放入的细木条的最大长度是 （ ） Acm41 Bcm34 Ccm50 Dcm35 答案：C 详细解答：画出如图所示的木箱图，图中 AD 的长度就是能放入的 细木条的最大长度，由题意知 CB=5cm、CA=4cm、BD=3cm 在 RtACB 中，AC 和 BC 是直角边，AB 是斜边，AB 2=AC2+CB2=41, 在 RtADB 中，AB 和 BD 是直角边，AD 是斜边，AD 2=AB2+BD2 =41+9
11、=50,所以 AD=cm50 6如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为 1，则ABC 是（ ） A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D以上答案都不对 知识点：网格问题，勾股定理和逆定理 知识点的描述：网格问题是常见的问题，解决这种问题要充分的利用正方形网格。 勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形 是直角三角形 答案：A 详细解答： 把ABC 的各边分别放在不同的直角三角形中， 给出必须的点的名称， 画出图形。 在 RtBCD 中， CD=1，DB=8，那么 CB 2=CD2+BD2
12、=65， 在 RtACE 中， AE=2，CE=3，那么 AC 2=AE2+CE2=13， 在 RtABF 中， AF=6，BF=4，那么 AB 2=AF2+BF2=52， 所以，在ABC 中， AC 2+AB2=13+52=65， 又 CB 2=65，所以，AC2+AB2= CB2，根据勾股定理的逆定理可知三角形 ABC 是直角三角形 A C B D D C B A 6如图，图中的小方格都是边长为 1 的正方形网格，则图中四边形的面积是 ( ) A.25 B.12.5 C. 9 D.8.5 答案：B 详细解答：S四边形 EFGH =SABCD -SDEF -SCFG -SBGH -SAEH
13、=55- 2 1 12- 2 1 33- 2 1 23- 2 1 24=12.5 7.如图，已知四边形 ABCD 中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求得四边形 ABCD 的面积.（ ） A. 36 B. 25 C. 24 D. 30 知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用 知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形 是直角三角形。 答案：A 分析：根据题目所给数据特征，联想勾股数，连接 AC，可实现四边形向三角形转化，并运 用勾股定理的逆定理可判定ACD
14、 是直角三角形. 详细解答：连接 AC，在 RtABC 中， AC 2=AB2BC2=3242=25， AC=5. 在ACD 中， AC 2CD2=25122=169， 又 AD 2=132=169， AC 2CD2=AD2， ACD=90 故S四边形 ABCD=SABCSACD= 2 1 ABBC 2 1 ACCD = 2 1 34 2 1 512=630=36. 7在四边形 ABCD 中，AB2，BC5，CD5，DA4，B90，那么四边形 ABCD 的 面积是( )。 A. 10 B. 56 C. 45 D. 65 答案：B 详细解答：连接 AC，在 RtABC 中，AB2， ，BC5 所
15、以 222 ACABBC 2 2 2 )5(9 所以 AC3 又因为 2222 3425ACAD ， 22 525CD 所以 22 ACAD 2 CD 所以CAD90 所以 ABCACDABCD SSS 四边形 2 1 25 2 1 3456 8.已知：如图，四边形 ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。 那么四边形 ABCD 的面积是( )。 A. 24 B. 36 C. 18 D. 20 知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用 知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方
16、，那么这个三角形 是直角三角形。 答案：C 详细解答：如图，作 DEAB，连结 BD，可以证明ABDEDB（ASA） ； 所以 DE=AB=4，BE=AD=3，EC=BC-EB=6-3=3； 在DEC 中，EC=3；DE=4，CD=5， 3、4、5 勾股数，所以DEC 为直角三角形，DEBC； 利用梯形面积公式可得：四边形 ABCD 的面积是 2 1 （3+6）4=18 8 已知， ABC 中， AB 中， AB17cm， BC16cm， BC 边上的中线 AD15cm， 求 AC 得( )。 A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 A B C D A BC D E 答案：C 详细解答
17、：如图，AD 是 BC 边上的中线，BC16cm BD8cm 在ABD 中：AB17cm，AD15cm，BD8cm 则有： 222 BDADAB ADB90 ADBC，即ADC90 在 RtADC 中，ADC90，AD15cm，CD8cm 根据勾股定理得：AC 22 ADCD 17 （cm） 9.已知：如图，在ABC 中，CD 是 AB 边上的高，且 CD 2=ADBD，ABC 是( )。 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 不等边三角形 D. 等边三角形 知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用 知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理的逆定
18、理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形 是直角三角形。 答案：A 详细解答：AC 2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2 AC 2+BC2=AD2+2CD2+BD2 又CD 2=ADBD AC 2+BC2=AD2+2ADBD+BD2 =（AD+BD） 2=AB2 所以ABC 是直角三角形。 9如图，在ABC 中，ACB=90，AC=BC，P 是ABC 内的一点，且 PB=1，PC=2，PA=3，求 得BPC 的度数（ ） A. 115 B. 125 C. 135 D. 120 答案：C BA C D A C P B A B C D 详细解答：如答图， 将APC
19、绕点 C 旋转，使 CA 与 CB 重合，即APCBEC, PCE 为等腰 Rt，CPE=45，PE 2=PC2+CE2=8. 又PB 2=1，BE2=9， PE 2+ PB2= BE2,则BPE=90， BPC=135. 10已知：如图正方形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，点 F 在 DC 上且 DF 4 1 DC，判断BEF 为 （ ） 。 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 不等边三角形 D. 等边三角形 知识点：勾股定理和逆定理在数学问题中的应用 知识点的描述：勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某两边的平方和等于第
20、三边的平方，那么这个三角形 是直角三角形。 答案：A 详细解答： 设 DFa，则 DEAE2a，CF3a，ABBC4a。 在 RtABE 中，BE 2AB2AE2（4a）2(2a)220a2 在 RtDEF 中，EF 2DE2DF2（2a）2a25a2 在 RtBCF 中，BF 2BC2CF2（4a）2(3a)225a2 所以 BE 2EF2BF2 所以BEF90 所以BEF 为直角三角形。 10如图，ABC 中，D 是 AB 的中点，AC12，BC5，CD 2 13 。ABC 为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 答案：A 详细解答： 延长 CD 到点 E，使得 DECD，连接 AE A B C F D E C ADB CD 2 13 ，DECD CE13 在ADE 和BDC 中 ADEBDC AEBC5 在AEC 中：AE5，AC12，CE13 即 222 AEACCE ，EAC90 EABCBA CABCBACABEAB90 ACB90 ACB 为直角三角形 D C B E A
