1、第 1 页（共 59 页） 三角形全等的判定三角形全等的判定 一、填空题一、填空题 1如图，已知等边ABC，AB=2，点 D 在 AB 上，点 F 在 AC 的延长线上，BD=CF，DEBC 于 E，FG BC 于 G，DF 交 BC 于点 P，则下列结论：BE=CG；EDPGFP；EDP=60；EP=1 中， 一定正确的是 2如图，正方形 ABCD 的边长为 3cm，E 为 CD 边上一点，DAE=30，M 为 AE 的中点，过点 M 作直 线分别与 AD、BC 相交于点 P、Q若 PQ=AE，则 AP 等于 cm 3如图，矩形 ABCD 中，AB=8，点 E 是 AD 上的一点，有 AE=
2、4，BE 的垂直平分线交 BC 的延长线于点 F，连结 EF 交 CD 于点 G若 G 是 CD 的中点，则 BC 的长是 4如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，点 E 在 CD 上，且 DE=2CE，过点 C 作 CFBE，垂足为 F，连接 OF，则 OF 的长为 第 2 页（共 59 页） 5如图，已知ABC 三个内角的平分线交于点 O，点 D 在 CA 的延长线上，且 DC=BC，AD=AO，若 BAC=80，则BCA 的度数为 6已知在平面直角坐标系中放置了 5 个如图所示的正方形（用阴影表示），点 B1在 y 轴上且坐标是 （0，2），点 C1
3、、E1、E2、C2、E3、E4、C3在 x 轴上，C1的坐标是（1，0）B1C1B2C2B3C3，以此继 续下去，则点 A2014到 x 轴的距离是 7如图，点 B、E、C、F 在一条直线上，ABDE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则 DF= 8如图，在边长为 6的正方形 ABCD 中，E 是 AB 边上一点，G 是 AD 延长线上一点，BE=DG，连接 EG，CFEG 交 EG 于点 H，交 AD 于点 F，连接 CE，BH若 BH=8，则 FG= 9如图，在四边形 ABCD 中，AD=4，CD=3，ABC=ACB=ADC=45，则 BD 的长为 第 3 页（共 59 页） 10如图，在
4、ABC 中，分别以 AC，BC 为边作等边ACD 和等边BCE设ACD、BCE、ABC 的 面积分别是 S1、S2、S3，现有如下结论： S1：S2=AC2：BC2； 连接 AE，BD，则BCDECA； 若 ACBC，则 S1S2=S32 其中结论正确的序号是 二、解答题二、解答题 11如图，E、F 分别是等边三角形 ABC 的边 AB，AC 上的点，且 BE=AF，CE、BF 交于点 P （1）求证：CE=BF； （2）求BPC 的度数 12如图，在四边形 ABCD 中，点 H 是 BC 的中点，作射线 AH，在线段 AH 及其延长线上分别取点 E， F，连结 BE，CF （1）请你添加一个
5、条件，使得BEHCFH，你添加的条件是 ，并证明 （2）在问题（1）中，当 BH 与 EH 满足什么关系时，四边形 BFCE 是矩形，请说明理由 第 4 页（共 59 页） 13如图，在 RtABC 中，C=90，A 的平分线交 BC 于点 E，EFAB 于点 F，点 F 恰好是 AB 的 一个三等分点（AFBF） （1）求证：ACEAFE； （2）求 tanCAE 的值 14在等腰直角三角形 ABC 中，BAC=90，AB=AC，直线 MN 过点 A 且 MNBC，过点 B 为一锐角顶 点作 RtBDE，BDE=90，且点 D 在直线 MN 上（不与点 A 重合），如图 1，DE 与 AC
6、交于点 P，易 证：BD=DP（无需写证明过程） （1）在图 2 中，DE 与 CA 延长线交于点 P，BD=DP 是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立， 请说明理由； （2）在图 3 中，DE 与 AC 延长线交于点 P，BD 与 DP 是否相等？请直接写出你的结论，无需证明 15如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别在边 AD，BC 上，且 DE=CF，连 接 OE，OF求证：OE=OF 16如图，在正方形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上的一点，连接 BP、DP，延长 BC 到 E，使 PB=PE求 证：PDC=PEC 第 5 页（共 5
7、9 页） 17如图，已知ABC 中 AB=AC （1）作图：在 AC 上有一点 D，延长 BD，并在 BD 的延长线上取点 E，使 AE=AB，连 AE，作EAC 的 平分线 AF，AF 交 DE 于点 F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接 CF，求证：E=ACF 18探究：如图，在ABC 中，AB=AC，ABC=60，延长 BA 至点 D，延长 CB 至点 E，使 BE=AD， 连结 CD，AE，求证：ACECBD 应用：如图，在菱形 ABCF 中，ABC=60，延长 BA 至点 D，延长 CB 至点 E，使 BE=AD，连结 CD， EA，延长 EA 交
8、 CD 于点 G，求CGE 的度数 19（1）如图 1，点 E，F 在 BC 上，BE=CF，AB=DC，B=C，求证：A=D （2）如图 2，在边长为 1 个单位长度的小正方形所组成的网格中，ABC 的顶点均在格点上 sinB 的值是 ； 画出ABC 关于直线 l 对称的A1B1C1（A 与 A1，B 与 B1，C 与 C1相对应），连接 AA1，BB1，并计算 梯形 AA1B1B 的面积 第 6 页（共 59 页） 20在平面内正方形 ABCD 与正方形 CEFH 如图放置，连 DE，BH，两线交于 M求证： （1）BH=DE （2）BHDE 21如图，点 D 是线段 BC 的中点，分别以
9、点 B，C 为圆心，BC 长为半径画弧，两弧相交于点 A，连 接 AB，AC，AD，点 E 为 AD 上一点，连接 BE，CE （1）求证：BE=CE； （2）以点 E 为圆心，ED 长为半径画弧，分别交 BE，CE 于点 F，G若 BC=4，EBD=30，求图中 阴影部分（扇形）的面积 22如图所示，已知1=2，请你添加一个条件，证明：AB=AC （1）你添加的条件是 ； （2）请写出证明过程 第 7 页（共 59 页） 23如图，在等边ABC 中，点 D 在直线 BC 上，连接 AD，作ADN=60，直线 DN 交射线 AB 于点 E， 过点 C 作 CFAB 交直线 DN 于点 F （1
10、）当点 D 在线段 BC 上，NDB 为锐角时，如图，求证：CF+BE=CD； （提示：过点 F 作 FMBC 交射线 AB 于点 M） （2）当点 D 在线段 BC 的延长线上，NDB 为锐角时，如图；当点 D 在线段 CB 的延长线上，NDB 为钝角时，如图，请分别写出线段 CF，BE，CD 之间的数量关系，不需要证明； （3）在（2）的条件下，若ADC=30，SABC=4，则 BE= ，CD= 24如图，正方形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、CD 上的点，且 AEBF，垂足为点 G 求证：AE=BF 25如图 1，在 RtABC 中，BAC=90，AB=AC，在 BC 的同侧作任意
11、 RtDBC， BDC=90 （1）若 CD=2BD，M 是 CD 中点（如图 1），求证：ADBAMC； 第 8 页（共 59 页） 下面是小明的证明过程，请你将它补充完整： 证明：设 AB 与 CD 相交于点 O， BDC=90，BAC=90， DOB+DBO=AOC+ACO=90 DOB=AOC， DBO= M 是 DC 的中点， CM=CD= 又AB=AC， ADBAMC （2）若 CDBD（如图 2），在 BD 上是否存在一点 N，使得ADN 是以 DN 为斜边的等腰直角三角形？ 若存在，请在图 2 中确定点 N 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由； （3）当 CDBD 时，线
12、段 AD，BD 与 CD 满足怎样的数量关系？请直接写出 26如图，四边形 ABCD 是正方形，BEBF，BE=BF，EF 与 BC 交于点 G （1）求证：AE=CF； （2）若ABE=55，求EGC 的大小 27如图，ABC 中，BAC=90，AB=AC，ADBC，垂足是 D，AE 平分BAD，交 BC 于点 E在 ABC 外有一点 F，使 FAAE，FCBC （1）求证：BE=CF； （2）在 AB 上取一点 M，使 BM=2DE，连接 MC，交 AD 于点 N，连接 ME 求证：MEBC；DE=DN 第 9 页（共 59 页） 28【问题提出】 学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”
13、、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判 定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进 行研究 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示为：在ABC 和DEF 中，AC=DF，BC=EF，B=E，然后，对B 进行分类，可分为“B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探 究 【深入探究】 第一种情况：当B 是直角时，ABCDEF （1）如图，在ABC 和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E=90，根据 ，可以知道 RtABCRt DEF 第二种情况：当B 是钝角时，ABCDEF （2）如图，在ABC 和DEF，AC=DF，BC=EF，
14、B=E，且B、E 都是钝角，求证：ABC DEF 第三种情况：当B 是锐角时，ABC 和DEF 不一定全等 （3）在ABC 和DEF，AC=DF，BC=EF，B=E，且B、E 都是锐角，请你用尺规在图中作出 DEF，使DEF 和ABC 不全等（不写作法，保留作图痕迹） 第 10 页（共 59 页） （4） B 还要满足什么条件， 就可以使ABCDEF？请直接写出结论： 在ABC 和DEF 中， AC=DF， BC=EF，B=E，且B、E 都是锐角，若 ，则ABCDEF 29问题背景： 如图 1：在四边形 ABCD 中，AB=AD，BAD=120，B=ADC=90E，F 分别是 BC，CD 上的
15、点且 EAF=60探究图中线段 BE，EF，FD 之间的数量关系 小王同学探究此问题的方法是，延长 FD 到点 G使 DG=BE连结 AG，先证明ABEADG，再证明 AEFAGF，可得出结论，他的结论应是 ； 探索延伸： 如图 2，若在四边形 ABCD 中，AB=AD，B+D=180E，F 分别是 BC，CD 上的点，且EAF= BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用： 如图 3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西 30的 A 处，舰艇乙在指挥中心南 偏东 70的 B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以 60 海里/小时的速度
16、前进，舰艇乙沿北偏东 50的方向以 80 海里/小时的速度前进.1.5 小时后，指挥 中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E，F 处，且两舰艇之间的夹角为 70，试求此时两舰艇之间的 距离 30如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD，AC 与 BD 相交于 O 点，OC=OA，若 E 是 CD 上任意一点， 连接 BE 交 AC 于点 F，连接 DF （1）证明：CBFCDF； （2）若 AC=2，BD=2，求四边形 ABCD 的周长； （3）请你添加一个条件，使得EFD=BAD，并予以证明 第 11 页（共 59 页） 第 12 页（共 59 页） 12.2 12.2 三角形全等的
17、判定三角形全等的判定 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题一、填空题 1如图，已知等边ABC，AB=2，点 D 在 AB 上，点 F 在 AC 的延长线上，BD=CF，DEBC 于 E，FG BC 于 G，DF 交 BC 于点 P，则下列结论：BE=CG；EDPGFP；EDP=60；EP=1 中， 一定正确的是 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质 【分析】由等边三角形的性质可以得出DEBFGC，就可以得出 BE=CG，DE=FG，就可以得出DEP FGP，得出EDP=GFP，EP=PG，得出 PC+BE=PE，就可以得出 PE=1，从而得出结论 【解答】解：ABC 是
18、等边三角形， AB=BC=AC，A=B=ACB=60 ACB=GCF， DEBC，FGBC， DEB=FGC=DEP=90 在DEB 和FGC 中， ， DEBFGC（AAS）， BE=CG，DE=FG，故正确； 在DEP 和FGP 中， ， DEPFGP（AAS），故正确； 第 13 页（共 59 页） PE=PGEDP=GFP60，故错误； PG=PC+CG， PE=PC+BE PE+PC+BE=2， PE=1，故正确 故答案为： 【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角 形全等是关键 2如图，正方形 ABCD 的边长为 3cm，E 为 CD
19、边上一点，DAE=30，M 为 AE 的中点，过点 M 作直 线分别与 AD、BC 相交于点 P、Q若 PQ=AE，则 AP 等于 1 或 2 cm 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形 【专题】分类讨论 【分析】根据题意画出图形，过 P 作 PNBC，交 BC 于点 N，由 ABCD 为正方形，得到 AD=DC=PN，在 直角三角形 ADE 中，利用锐角三角函数定义求出 DE 的长，进而利用勾股定理求出 AE 的长，根据 M 为 AE 中点求出 AM 的长，利用 HL 得到三角形 ADE 与三角形 PQN 全等，利用全等三角形对应边，对应 角相等得到 DE=NQ，DAE
20、=NPQ=30，再由 PN 与 DC 平行，得到PFA=DEA=60，进而得到 PM 垂直于 AE，在直角三角形 APM 中，根据 AM 的长，利用锐角三角函数定义求出 AP 的长，再利用对称 性确定出 AP的长即可 【解答】解：根据题意画出图形，过 P 作 PNBC，交 BC 于点 N， 四边形 ABCD 为正方形， 第 14 页（共 59 页） AD=DC=PN， 在 RtADE 中，DAE=30，AD=3cm， tan30=，即 DE=cm， 根据勾股定理得：AE=2cm， M 为 AE 的中点， AM=AE=cm， 在 RtADE 和 RtPNQ 中， ， RtADERtPNQ（HL）
21、， DE=NQ，DAE=NPQ=30， PNDC， PFA=DEA=60， PMF=90，即 PMAF， 在 RtAMP 中，MAP=30，cos30=， AP=2cm； 由对称性得到 AP=DP=ADAP=32=1cm， 综上，AP 等于 1cm 或 2cm 故答案为：1 或 2 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质 是解本题的关键 第 15 页（共 59 页） 3如图，矩形 ABCD 中，AB=8，点 E 是 AD 上的一点，有 AE=4，BE 的垂直平分线交 BC 的延长线于点 F，连结 EF 交 CD 于点 G若 G 是 CD 的中点，
22、则 BC 的长是 7 【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质 【专题】几何图形问题 【分析】根据线段中点的定义可得 CG=DG，然后利用“角边角”证明DEG 和CFG 全等，根据全等 三角形对应边相等可得 DE=CF，EG=FG，设 DE=x，表示出 BF，再利用勾股定理列式求 EG，然后表示 出 EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得 BF=EF，然后列出方程求出 x 的值， 从而求出 AD，再根据矩形的对边相等可得 BC=AD 【解答】解：矩形 ABCD 中，G 是 CD 的中点，AB=8， CG=DG=8=4， 在DEG 和CFG 中，
23、 ， DEGCFG（ASA）， DE=CF，EG=FG， 设 DE=x， 则 BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x， 在 RtDEG 中，EG=， EF=2， FH 垂直平分 BE， BF=EF， 4+2x=2， 解得 x=3， AD=AE+DE=4+3=7， 第 16 页（共 59 页） BC=AD=7 故答案为：7 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距 离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键 4如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，点 E 在 CD 上，且 D
24、E=2CE，过点 C 作 CFBE，垂足为 F，连接 OF，则 OF 的长为 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质 【专题】计算题；几何图形问题 【分析】在 BE 上截取 BG=CF，连接 OG，证明OBGOCF，则 OG=OF，BOG=COF，得出等腰直 角三角形 GOF，在 RTBCE 中，根据射影定理求得 GF 的长，即可求得 OF 的长 【解答】解：如图，在 BE 上截取 BG=CF，连接 OG， RTBCE 中，CFBE， EBC=ECF， OBC=OCD=45， OBG=OCF， 在OBG 与OCF 中 OBGOCF（SAS） OG=OF，BOG=COF，
25、OGOF， 在 RTBCE 中，BC=DC=6，DE=2EC， EC=2， 第 17 页（共 59 页） BE=2， BC2=BFBE， 则 62=BF，解得：BF=， EF=BEBF=， CF2=BFEF， CF=， GF=BFBG=BFCF=， 在等腰直角OGF 中 OF2=GF2， OF= 故答案为： 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定以及射影定理、勾股定理的应用 5如图，已知ABC 三个内角的平分线交于点 O，点 D 在 CA 的延长线上，且 DC=BC，AD=AO，若 BAC=80，则BCA 的度数为 60 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质 【
26、专题】几何图形问题 第 18 页（共 59 页） 【分析】可证明CODCOB，得出D=CBO，再根据BAC=80，得BAD=100，由角平分线 可得BAO=40，从而得出DAO=140，根据 AD=AO，可得出D=20，即可得出CBO=20，则 ABC=40，最后算出BCA=60 【解答】解：ABC 三个内角的平分线交于点 O， ACO=BCO， 在COD 和COB 中， ， CODCOB， D=CBO， BAC=80， BAD=100， BAO=40， DAO=140， AD=AO，D=20， CBO=20， ABC=40， BCA=60， 故答案为：60 【点评】本题考查了全等三角形的判定
27、和性质以及等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决此题 的关键 6已知在平面直角坐标系中放置了 5 个如图所示的正方形（用阴影表示），点 B1在 y 轴上且坐标是 （0，2），点 C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在 x 轴上，C1的坐标是（1，0）B1C1B2C2B3C3，以此继 续下去，则点 A2014到 x 轴的距离是 第 19 页（共 59 页） 【考点】全等三角形的判定与性质；规律型：点的坐标；正方形的性质；相似三角形的判定与性质 【专题】规律型 【分析】根据勾股定理可得正方形 A1B1C1D1的边长为=，根据相似三角形的性质可得后面 正方形的边长依次是前面正方形边长的，依次得到
28、第 2014 个正方形和第 2014 个正方形的边长， 进一步得到点 A2014到 x 轴的距离 【解答】解：如图，点 C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在 x 轴上，B1C1B2C2B3C3， B1OC1B2E2C2B3E4C3，B1OC1C1E1D1， B2E2=1，B3E4=，B4E6=，B5E8=， B2014E4016=， 作 A1Ex 轴，延长 A1D1交 x 轴于 F， 则C1D1FC1D1E1， =， 在 RtOB1C1中，OB1=2，OC1=1， 正方形 A1B1C1D1的边长为为=， D1F=， 第 20 页（共 59 页） A1F=， A1ED1E1， =， A1E
29、=3， =， 点 A2014到 x 轴的距离是= 故答案为： 【点评】此题主要考查了正方形的性质以及解直角三角形的知识，得出正方形各边长是解题关键 7如图，点 B、E、C、F 在一条直线上，ABDE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则 DF= 6 【考点】全等三角形的判定与性质 【专题】几何图形问题 【分析】根据题中条件由 SAS 可得ABCDEF，根据全等三角形的性质可得 AC=DF=6 【解答】证明：ABDE， B=DEF BE=CF， BC=EF， 在ABC 和DEF 中， ， ABCDEF（SAS）， AC=DF=6 故答案是：6 第 21 页（共 59 页） 【点评】本题主要考查了
30、全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握全等三角形的判定是结合全 等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件 8如图，在边长为 6的正方形 ABCD 中，E 是 AB 边上一点，G 是 AD 延长线上一点，BE=DG，连接 EG，CFEG 交 EG 于点 H，交 AD 于点 F，连接 CE，BH若 BH=8，则 FG= 5 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质；相似三角形的判定与性质 【专题】几何图形问题；压轴题 【分析】如解答图，连接 CG，首先证明CGDCEB，得到GCE 是等腰直角三角形；过点 H 作 AB、 BC 的垂线，
31、垂足分别为点 M、N，进而证明HEMHCN，得到四边形 MBNH 为正方形，由此求出 CH、 HN、CN 的长度；最后利用相似三角形 RtHCNRtGFH，求出 FG 的长度 【解答】解：如图所示，连接 CG 在CGD 与CEB 中 CGDCEB（SAS）， CG=CE，GCD=ECB， GCE=90，即GCE 是等腰直角三角形 又CHGE， CH=EH=GH 过点 H 作 AB、BC 的垂线，垂足分别为点 M、N，则MHN=90， 又EHC=90， 1=2， HEM=HCN 在HEM 与HCN 中， 第 22 页（共 59 页） HEMHCN（ASA） HM=HN， 四边形 MBNH 为正方
32、形 BH=8， BN=HN=4， CN=BCBN=64=2 在 RtHCN 中，由勾股定理得：CH=2 GH=CH=2 HMAG， 1=3， 2=3 又HNC=GHF=90， RtHCNRtGFH ，即， FG=5 故答案为：5 【点评】本题是几何综合题，考查了全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形、勾股定 理等重要知识点，难度较大作出辅助线构造全等三角形与相似三角形，是解决本题的关键 9如图，在四边形 ABCD 中，AD=4，CD=3，ABC=ACB=ADC=45，则 BD 的长为 第 23 页（共 59 页） 【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形 【专题】计算题
33、；压轴题 【分析】根据等式的性质，可得BAD 与CAD的关系，根据 SAS，可得BAD 与CAD的关系， 根据全等三角形的性质，可得 BD 与 CD的关系，根据勾股定理，可得答案 【解答】解：作 ADAD，AD=AD，连接 CD，DD，如图： BAC+CAD=DAD+CAD， 即BAD=CAD， 在BAD 与CAD中， ， BADCAD（SAS）， BD=CD DAD=90 由勾股定理得 DD=， DDA+ADC=90 由勾股定理得 CD=， BD=CD=， 故答案为： 第 24 页（共 59 页） 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，勾股定理，作出 全等图
34、形是解题关键 10如图，在ABC 中，分别以 AC，BC 为边作等边ACD 和等边BCE设ACD、BCE、ABC 的 面积分别是 S1、S2、S3，现有如下结论： S1：S2=AC2：BC2； 连接 AE，BD，则BCDECA； 若 ACBC，则 S1S2=S32 其中结论正确的序号是 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方判断； 根据 SAS 即可求得全等； 根据面积公式即可判断 【解答】S1：S2=AC2：BC2正确， 解：ADC 与BCE 是等边三角形， ADCBCE， S1：S2=AC2：BC2 BCDECA 正确， 证明：AD
35、C 与BCE 是等边三角形， ACD=BCE=60 ACD+ACB=BCE+ACD， 即ACE=DCB， 在ACE 与DCB 中， 第 25 页（共 59 页） ， BCDECA（SAS） 若 ACBC，则 S1S2=S32正确， 解：设等边三角形 ADC 的边长=a，等边三角形 BCE 边长=b，则ADC 的高=a，BCE 的高=b， S1=aa=a2，S2=bb=b2， S1S2=a2b2=a2b2， S3=ab， S32=a2b2， S1S2=S32 【点评】本题考查了三角形全等的判定，等边三角形的性质，面积公式以及相似三角形面积的比等 于相似比的平方，熟知各性质是解题的关键 二、解答题
36、二、解答题 11如图，E、F 分别是等边三角形 ABC 的边 AB，AC 上的点，且 BE=AF，CE、BF 交于点 P （1）求证：CE=BF； （2）求BPC 的度数 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质 【分析】（1）欲证明 CE=BF，只需证得BCEABF； （2）利用（1）中的全等三角形的性质得到BCE=ABF，则由图示知PBC+PCB=PBC+ABF= ABC=60，即PBC+PCB=60，所以根据三角形内角和定理求得BPC=120 第 26 页（共 59 页） 【解答】（1）证明：如图，ABC 是等边三角形， BC=AB，A=EBC=60， 在BCE 与ABF 中，
37、， BCEABF（SAS）， CE=BF； （2）解：由（1）知BCEABF， BCE=ABF， PBC+PCB=PBC+ABF=ABC=60，即PBC+PCB=60， BPC=18060=120 即：BPC=120 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质全等三角形的判定是结合全等 三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件 12如图，在四边形 ABCD 中，点 H 是 BC 的中点，作射线 AH，在线段 AH 及其延长线上分别取点 E， F，连结 BE，CF （1）请你添加一个条件，使得BEHCFH，你添加的条件是 EH=FH ，并
38、证明 （2）在问题（1）中，当 BH 与 EH 满足什么关系时，四边形 BFCE 是矩形，请说明理由 【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定 【专题】几何综合题；分类讨论 【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当 EH=FH，BECF，EBH=FCH 时，都可以证 明BEHCFH， （2） 由 （1） 可得出四边形 BFCE 是平行四边形， 再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出 BH=EH 时，四边形 BFCE 是矩形 第 27 页（共 59 页） 【解答】（1）答：添加：EH=FH， 证明：点 H 是 BC 的中点， BH=CH， 在BEH 和CFH 中， ， BEHCFH（
39、SAS）； （2）解：BH=CH，EH=FH， 四边形 BFCE 是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形）， 当 BH=EH 时，则 BC=EF， 平行四边形 BFCE 为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形） 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，是基础题，难度不大 13（2014株洲）如图，在 RtABC 中，C=90，A 的平分线交 BC 于点 E，EFAB 于点 F，点 F 恰好是 AB 的一个三等分点（AFBF） （1）求证：ACEAFE； （2）求 tanCAE 的值 【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义 【专
40、题】证明题 【分析】（1）根据角的平分线的性质可求得 CE=EF，然后根据直角三角形的判定定理求得三角形全 等 （2）由ACEAFE，得出 AC=AF，CE=EF，设 BF=m，则 AC=2m，AF=2m，AB=3m，根据勾股定理可 求得，tanB=，CE=EF=，在 RTACE 中，tanCAE=； 【解答】（1）证明：AE 是BAC 的平分线，ECAC，EFAF， 第 28 页（共 59 页） CE=EF， 在 RtACE 与 RtAFE 中， ， RtACERtAFE（HL）； （2）解：由（1）可知ACEAFE， AC=AF，CE=EF， 设 BF=m，则 AC=2m，AF=2m，AB
41、=3m， BC=m， 解法一：C=EFB=90， EFBACB， =， CE=EF， =； 解法二：在 RTABC 中，tanB=， 在 RTEFB 中，EF=BFtanB=， CE=EF=， 在 RTACE 中，tanCAE=； tanCAE= 【点评】本题考查了直角三角形的判定、性质和利用三角函数解直角三角形，根据已知条件表示出 线段的值是解本题的关键 14在等腰直角三角形 ABC 中，BAC=90，AB=AC，直线 MN 过点 A 且 MNBC，过点 B 为一锐角顶 点作 RtBDE，BDE=90，且点 D 在直线 MN 上（不与点 A 重合），如图 1，DE 与 AC 交于点 P，易
42、证：BD=DP（无需写证明过程） 第 29 页（共 59 页） （1）在图 2 中，DE 与 CA 延长线交于点 P，BD=DP 是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立， 请说明理由； （2）在图 3 中，DE 与 AC 延长线交于点 P，BD 与 DP 是否相等？请直接写出你的结论，无需证明 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质 【专题】几何综合题 【分析】（1）如答图 2，作辅助线，构造全等三角形BDFPDA，可以证明 BD=DP； （2）如答图 3，作辅助线，构造全等三角形BDFPDA，可以证明 BD=DP 【解答】题干引论： 证明：如答图 1，过点 D
43、作 DFMN，交 AB 于点 F， 则ADF 为等腰直角三角形，DA=DF 1+FDP=90，FDP+2=90， 1=2 在BDF 与PDA 中， BDFPDA（ASA） BD=DP 第 30 页（共 59 页） （1）答：BD=DP 成立 证明：如答图 2，过点 D 作 DFMN，交 AB 的延长线于点 F， 则ADF 为等腰直角三角形，DA=DF 1+ADB=90，ADB+2=90， 1=2 在BDF 与PDA 中， BDFPDA（ASA） BD=DP （2）答：BD=DP 证明：如答图 3，过点 D 作 DFMN，交 AB 的延长线于点 F， 则ADF 为等腰直角三角形，DA=DF 在B
44、DF 与PDA 中， 第 31 页（共 59 页） BDFPDA（ASA） BD=DP 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识点， 作辅助线构造全等三角形是解题的关键 15如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别在边 AD，BC 上，且 DE=CF，连 接 OE，OF求证：OE=OF 【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质 【专题】证明题 【分析】欲证明 OE=OF，只需证得ODEOCF 即可 【解答】证明：如图，四边形 ABCD 是矩形， ADC=BCD=90， AC=BD，OD=BD，OC=AC， OD=
45、OC， ODC=OCD， ADCODC=BCDOCD， 即EDO=FCO， 在ODE 与OCF 中， ， ODEOCF（SAS）， OE=OF 第 32 页（共 59 页） 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质全等三角形的判定是结合全等三角形 的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件 16如图，在正方形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上的一点，连接 BP、DP，延长 BC 到 E，使 PB=PE求 证：PDC=PEC 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质 【专题】证明题 【分析】 根据正方形的四条边都相等可得 BC=CD， 对角线
46、平分一组对角可得BCP=DCP， 再利用“边 角边”证明BCP 和DCP 全等，根据全等三角形对应角相等可得PDC=PBC，再根据等边对等角 可得PBC=PEC，从而得证 【解答】证明：在正方形 ABCD 中，BC=CD，BCP=DCP， 在BCP 和DCP 中， ， BCPDCP（SAS）， PDC=PBC， PB=PE， PBC=PEC， PDC=PEC 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等边对等角的性质，熟记各性质并 判断出全等三角形是解题的关键 17如图，已知ABC 中 AB=AC （1）作图：在 AC 上有一点 D，延长 BD，并在 BD 的延长线上取点 E，使
47、 AE=AB，连 AE，作EAC 的 平分线 AF，AF 交 DE 于点 F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接 CF，求证：E=ACF 第 33 页（共 59 页） 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；作图复杂作图 【专题】作图题；证明题 【分析】（1）以 A 为圆心，以 AB 长为半径画弧，与 BD 的延长线的交点即为点 E，再以点 A 为圆心， 以任意长为半径画弧，分别与 AC、AE 相交，然后以这两点为圆心，以大于它们长度为半径画弧， 两弧相交于一点，过点 A 与这一点作出射线与 BE 的交点即为所求的点 F； （2）求出 AE=AC，根
48、据角平分线的定义可得EAF=CAF，再利用“边角边”证明AEF 和ACF 全 等，根据全等三角形对应角相等可得E=ACF 【解答】（1）解：如图所示； （2）证明：AB=AC，AE=AB， AE=AC， AF 是EAC 的平分线， EAF=CAF， 在AEF 和ACF 中， ， AEFACF（SAS）， E=ACF 【点评】本题考查了全等三角形的判断与性质，等腰三角形的性质，作一条线段等于已知线段，角 平分线的作法，确定出全等三角形的条件是解题的关键 第 34 页（共 59 页） 18探究：如图，在ABC 中，AB=AC，ABC=60，延长 BA 至点 D，延长 CB 至点 E，使 BE=AD
49、， 连结 CD，AE，求证：ACECBD 应用：如图，在菱形 ABCF 中，ABC=60，延长 BA 至点 D，延长 CB 至点 E，使 BE=AD，连结 CD， EA，延长 EA 交 CD 于点 G，求CGE 的度数 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质 【专题】几何图形问题 【分析】探究：先判断出ABC 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得 BC=AC，ACB=ABC， 再求出 CE=BD，然后利用“边角边”证明即可； 应用：连接 AC，易知ABC 是等边三角形，由探究可知ACE 和CBD 全等，根据全等三角形对应角 相等可得E=D，然后根据三角形的一个外角
50、等于与它不相邻的两个内角的和求出CGE=ABC 即 可 【解答】解：探究：AB=AC，ABC=60， ABC 是等边三角形， BC=AC，ACB=ABC， BE=AD， BE+BC=AD+AB， 即 CE=BD， 在ACE 和CBD 中， ， ACECBD（SAS）； 应用：如图，连接 AC，易知ABC 是等边三角形， 第 35 页（共 59 页） 由探究可知ACECBD， E=D， BAE=DAG， E+BAE=D+DAG， CGE=ABC， ABC=60， CGE=60 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，熟记性质 并确定出三角形全等的条件是解题的
