1、第 1 页（共 55 页） 第第 12 章章 全等三角形全等三角形 测试卷（测试卷（3） 一、选择题一、选择题 1如图，已知等边ABC，AB=2，点 D 在 AB 上，点 F 在 AC 的延长线上，BD=CF， DEBC 于 E，FGBC 于 G，DF 交 BC 于点 P，则下列结论：BE=CG；EDP GFP；EDP=60；EP=1 中，一定正确的是（ ） A B C D 二、填空题二、填空题 2如图，正方形 ABCD 的边长为 3cm，E 为 CD 边上一点，DAE=30，M 为 AE 的中点，过点 M 作直线分别与 AD、BC 相交于点 P、Q若 PQ=AE，则 AP 等于 cm 3如图
2、，矩形 ABCD 中，AB=8，点 E 是 AD 上的一点，有 AE=4，BE 的垂直平分 线交 BC 的延长线于点 F，连结 EF 交 CD 于点 G若 G 是 CD 的中点，则 BC 的长 是 4如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，点 E 在 CD 第 2 页（共 55 页） 上，且 DE=2CE，过点 C 作 CFBE，垂足为 F，连接 OF，则 OF 的长为 5 如图， 点 B、 E、 C、 F 在一条直线上， ABDE， AB=DE， BE=CF， AC=6， 则 DF= 6已知在平面直角坐标系中放置了 5 个如图所示的正方形（用阴影表示） ，
3、点 B1在 y 轴上且坐标是（0，2） ，点 C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在 x 轴上，C1的坐 标是（1，0） B1C1B2C2B3C3，以此继续下去，则点 A2014到 x 轴的距离是 7如图，在边长为 6的正方形 ABCD 中，E 是 AB 边上一点，G 是 AD 延长线 上一点，BE=DG，连接 EG，CFEG 交 EG 于点 H，交 AD 于点 F，连接 CE，BH若 BH=8，则 FG= 8如图，已知ABC 三个内角的平分线交于点 O，点 D 在 CA 的延长线上，且 DC=BC，AD=AO，若BAC=80，则BCA 的度数为 第 3 页（共 55 页） 9如图，在四边
4、形 ABCD 中，AD=4，CD=3，ABC=ACB=ADC=45，则 BD 的长为 10如图，在ABC 中，分别以 AC，BC 为边作等边ACD 和等边BCE设 ACD、BCE、ABC 的面积分别是 S1、S2、S3，现有如下结论： S1：S2=AC2：BC2； 连接 AE，BD，则BCDECA； 若 ACBC，则 S1S2=S32 其中结论正确的序号是 三、解答题三、解答题 11如图，已知点 E、F 在四边形 ABCD 的对角线延长线上，AE=CF，DEBF， 1=2 （1）求证：AEDCFB； （2）若 ADCD，四边形 ABCD 是什么特殊四边形？请说明理由 第 4 页（共 55 页）
5、 12如图，ABC 中，AB=AC，BAC=40，将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 100得到ADE，连接 BD，CE 交于点 F （1）求证：ABDACE； （2）求ACE 的度数； （3）求证：四边形 ABFE 是菱形 13如图，已知ABC 是等腰三角形，顶角BAC=（60） ，D 是 BC 边上的 一点，连接 AD，线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 到 AE，过点 E 作 BC 的平行线， 交 AB 于点 F，连接 DE，BE，DF （1）求证：BE=CD； （2）若 ADBC，试判断四边形 BDFE 的形状，并给出证明 14如图，在四边形 ABCD 中，点 H 是 BC 的中点，作
6、射线 AH，在线段 AH 及其 延长线上分别取点 E，F，连结 BE，CF （1）请你添加一个条件，使得BEHCFH，你添加的条件是 ，并证明 （2）在问题（1）中，当 BH 与 EH 满足什么关系时，四边形 BFCE 是矩形，请说 明理由 第 5 页（共 55 页） 15如图，E、F 分别是等边三角形 ABC 的边 AB，AC 上的点，且 BE=AF，CE、BF 交于点 P （1）求证：CE=BF； （2）求BPC 的度数 16在等腰直角三角形 ABC 中，BAC=90，AB=AC，直线 MN 过点 A 且 MN BC，过点 B 为一锐角顶点作 RtBDE，BDE=90，且点 D 在直线 M
7、N 上（不与 点 A 重合） ，如图 1，DE 与 AC 交于点 P，易证：BD=DP （无需写证明过程） （1）在图 2 中，DE 与 CA 延长线交于点 P，BD=DP 是否成立？如果成立，请给 予证明；如果不成立，请说明理由； （2）在图 3 中，DE 与 AC 延长线交于点 P，BD 与 DP 是否相等？请直接写出你 的结论，无需证明 17如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别在边 AD， BC 上，且 DE=CF，连接 OE，OF求证：OE=OF 第 6 页（共 55 页） 18如图，在 RtABC 中，C=90，A 的平分线交 BC 于点 E
8、，EFAB 于点 F， 点 F 恰好是 AB 的一个三等分点（AFBF） （1）求证：ACEAFE； （2）求 tanCAE 的值 19探究：如图，在ABC 中，AB=AC，ABC=60，延长 BA 至点 D，延长 CB 至点 E，使 BE=AD，连结 CD，AE，求证：ACECBD 应用：如图，在菱形 ABCF 中，ABC=60，延长 BA 至点 D，延长 CB 至点 E， 使 BE=AD，连结 CD，EA，延长 EA 交 CD 于点 G，求CGE 的度数 20如图，在正方形 ABCD 中，P 是对角线 AC 上的一点，连接 BP、DP，延长 BC 到 E，使 PB=PE求证：PDC=PEC
9、 21如图，已知ABC 中 AB=AC （1）作图：在 AC 上有一点 D，延长 BD，并在 BD 的延长线上取点 E，使 AE=AB， 连 AE，作EAC 的平分线 AF，AF 交 DE 于点 F（用尺规作图，保留作图痕迹，不 第 7 页（共 55 页） 写作法） ； （2）在（1）的条件下，连接 CF，求证：E=ACF 22 （1）如图 1，点 E，F 在 BC 上，BE=CF，AB=DC，B=C，求证：A=D （2）如图 2，在边长为 1 个单位长度的小正方形所组成的网格中，ABC 的顶 点均在格点上 sinB 的值是 ； 画出ABC 关于直线 l 对称的A1B1C1（A 与 A1，B
10、与 B1，C 与 C1相对应） ，连 接 AA1，BB1，并计算梯形 AA1B1B 的面积 23 在平面内正方形 ABCD 与正方形 CEFH 如图放置， 连 DE， BH， 两线交于 M 求 证： （1）BH=DE （2）BHDE 24如图，点 D 是线段 BC 的中点，分别以点 B，C 为圆心，BC 长为半径画弧， 两弧相交于点 A，连接 AB，AC，AD，点 E 为 AD 上一点，连接 BE，CE （1）求证：BE=CE； 第 8 页（共 55 页） （2）以点 E 为圆心，ED 长为半径画弧，分别交 BE，CE 于点 F，G若 BC=4， EBD=30，求图中阴影部分（扇形）的面积 2
11、5如图，在等边ABC 中，点 D 在直线 BC 上，连接 AD，作ADN=60，直线 DN 交射线 AB 于点 E，过点 C 作 CFAB 交直线 DN 于点 F （1）当点 D 在线段 BC 上，NDB 为锐角时，如图，求证：CF+BE=CD； （提示：过点 F 作 FMBC 交射线 AB 于点 M ） （2）当点 D 在线段 BC 的延长线上，NDB 为锐角时，如图；当点 D 在线段 CB 的延长线上，NDB 为钝角时，如图，请分别写出线段 CF，BE，CD 之间的 数量关系，不需要证明； （3）在（2）的条件下，若ADC=30，SABC=4，则 BE= ，CD= 26如图所示，已知1=2
12、，请你添加一个条件，证明：AB=AC （1）你添加的条件是 ； （2）请写出证明过程 27如图 1，在 RtABC 中，BAC=90，AB=AC，在 BC 的同侧作任意 RtDBC， 第 9 页（共 55 页） BDC=90 （1）若 CD=2BD，M 是 CD 中点（如图 1） ，求证：ADBAMC； 下面是小明的证明过程，请你将它补充完整： 证明：设 AB 与 CD 相交于点 O， BDC=90，BAC=90， DOB+DBO=AOC+ACO=90 DOB=AOC， DBO= M 是 DC 的中点， CM=CD= 又AB=AC， ADBAMC （2）若 CDBD（如图 2） ，在 BD 上
13、是否存在一点 N，使得ADN 是以 DN 为斜 边的等腰直角三角形？若存在，请在图 2 中确定点 N 的位置，并加以证明；若 不存在，请说明理由； （3）当 CDBD 时，线段 AD，BD 与 CD 满足怎样的数量关系？请直接写出 28如图，正方形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、CD 上的点，且 AEBF，垂足为点 G 求证：AE=BF 29如图，四边形 ABCD 是正方形，BEBF，BE=BF，EF 与 BC 交于点 G （1）求证：AE=CF； 第 10 页（共 55 页） （2）若ABE=55，求EGC 的大小 30如图，ABC 中，BAC=90，AB=AC，ADBC，垂足是 D，
14、AE 平分BAD， 交 BC 于点 E在ABC 外有一点 F，使 FAAE，FCBC （1）求证：BE=CF； （2）在 AB 上取一点 M，使 BM=2DE，连接 MC，交 AD 于点 N，连接 ME 求证：MEBC；DE=DN 第 11 页（共 55 页） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题 1如图，已知等边ABC，AB=2，点 D 在 AB 上，点 F 在 AC 的延长线上，BD=CF， DEBC 于 E，FGBC 于 G，DF 交 BC 于点 P，则下列结论：BE=CG；EDP GFP；EDP=60；EP=1 中，一定正确的是（ ） A B C D 【考点】全等
15、三角形的判定与性质；等边三角形的性质 【分析】由等边三角形的性质可以得出DEBFGC，就可以得出 BE=CG， DE=FG，就可以得出DEPFGP，得出EDP=GFP，EP=PG，得出 PC+BE=PE， 就可以得出 PE=1，从而得出结论 【解答】解：ABC 是等边三角形， AB=BC=AC，A=B=ACB=60 ACB=GCF， DEBC，FGBC， DEB=FGC=DEP=90 在DEB 和FGC 中， ， DEBFGC（AAS） ， BE=CG，DE=FG，故正确； 在DEP 和FGP 中， ， 第 12 页（共 55 页） DEPFGP（AAS） ，故正确； PE=PGEDP=GFP
16、60，故错误； PG=PC+CG， PE=PC+BE PE+PC+BE=2， PE=1故正确 正确的有， 故选 D 【点评】 本题考查了等边三角形的性质的运用， 全等三角形的判定及性质的运用， 解答时证明三角形全等是关键 二、填空题二、填空题 2如图，正方形 ABCD 的边长为 3cm，E 为 CD 边上一点，DAE=30，M 为 AE 的中点，过点 M 作直线分别与 AD、BC 相交于点 P、Q若 PQ=AE，则 AP 等于 1 或 2 cm 【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形 【专题】分类讨论 【分析】根据题意画出图形，过 P 作 PNBC，交 BC 于点 N，由
17、ABCD 为正方形， 得到 AD=DC=PN，在直角三角形 ADE 中，利用锐角三角函数定义求出 DE 的长， 进而利用勾股定理求出 AE 的长，根据 M 为 AE 中点求出 AM 的长，利用 HL 得到 三角形ADE与三角形PQN全等， 利用全等三角形对应边， 对应角相等得到DE=NQ， DAE=NPQ=30，再由 PN 与 DC 平行，得到PFA=DEA=60，进而得到 PM 垂直于 AE，在直角三角形 APM 中，根据 AM 的长，利用锐角三角函数定义求出 AP 的长，再利用对称性确定出 AP的长即可 【解答】解：根据题意画出图形，过 P 作 PNBC，交 BC 于点 N， 第 13 页
18、（共 55 页） 四边形 ABCD 为正方形， AD=DC=PN， 在 RtADE 中，DAE=30，AD=3cm， tan30=，即 DE=cm， 根据勾股定理得：AE=2cm， M 为 AE 的中点， AM=AE=cm， 在 RtADE 和 RtPNQ 中， ， RtADERtPNQ（HL） ， DE=NQ，DAE=NPQ=30， PNDC， PFA=DEA=60， PMF=90，即 PMAF， 在 RtAMP 中，MAP=30，cos30=， AP=2cm； 由对称性得到 AP=DP=ADAP=32=1cm， 综上，AP 等于 1cm 或 2cm 故答案为：1 或 2 【点评】此题考查了
19、全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三 角形的判定与性质是解本题的关键 第 14 页（共 55 页） 3如图，矩形 ABCD 中，AB=8，点 E 是 AD 上的一点，有 AE=4，BE 的垂直平分 线交 BC 的延长线于点 F，连结 EF 交 CD 于点 G若 G 是 CD 的中点，则 BC 的长 是 7 【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的 性质 【专题】几何图形问题 【分析】 根据线段中点的定义可得 CG=DG， 然后利用“角边角”证明DEG 和CFG 全等，根据全等三角形对应边相等可得 DE=CF，EG=FG，设 DE=x，表示出 BF，
20、再 利用勾股定理列式求 EG，然后表示出 EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端 点的距离相等可得 BF=EF，然后列出方程求出 x 的值，从而求出 AD，再根据矩形 的对边相等可得 BC=AD 【解答】解：矩形 ABCD 中，G 是 CD 的中点，AB=8， CG=DG=8=4， 在DEG 和CFG 中， ， DEGCFG（ASA） ， DE=CF，EG=FG， 设 DE=x， 则 BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x， 在 RtDEG 中，EG=， EF=2， FH 垂直平分 BE， BF=EF， 第 15 页（共 55 页） 4+2x=2， 解得 x=3， AD=AE+DE
21、=4+3=7， BC=AD=7 故答案为：7 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线上 的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方 程是解题的关键 4如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，点 E 在 CD 上，且 DE=2CE，过点 C 作 CFBE，垂足为 F，连接 OF，则 OF 的长为 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质 【专题】计算题；几何图形问题 【分析】 在 BE 上截取 BG=CF， 连接 OG， 证明OBGOCF， 则 OG=OF， BOG= COF，得出等
22、腰直角三角形 GOF，在 RTBCE 中，根据射影定理求得 GF 的长， 即可求得 OF 的长 【解答】解：如图，在 BE 上截取 BG=CF，连接 OG， RTBCE 中，CFBE， EBC=ECF， OBC=OCD=45， OBG=OCF， 在OBG 与OCF 中 第 16 页（共 55 页） OBGOCF（SAS） OG=OF，BOG=COF， OGOF， 在 RTBCE 中，BC=DC=6，DE=2EC， EC=2， BE=2， BC2=BFBE， 则 62=BF，解得：BF=， EF=BEBF=， CF2=BFEF， CF=， GF=BFBG=BFCF=， 在等腰直角OGF 中 OF
23、2=GF2， OF= 故答案为： 【点评】 本题考查了全等三角形的判定和性质， 直角三角形的判定以及射影定理、 勾股定理的应用 5如图，点 B、E、C、F 在一条直线上，ABDE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则 DF= 6 第 17 页（共 55 页） 【考点】全等三角形的判定与性质 【专题】几何图形问题 【分析】根据题中条件由 SAS 可得ABCDEF，根据全等三角形的性质可得 AC=DF=6 【解答】证明：ABDE， B=DEF BE=CF， BC=EF， 在ABC 和DEF 中， ， ABCDEF（SAS） ， AC=DF=6 故答案是：6 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及
24、性质问题，应熟练掌握全等三角 形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具 在判定三角形 全等时，关键是选择恰当的判定条件 6已知在平面直角坐标系中放置了 5 个如图所示的正方形（用阴影表示） ，点 B1在 y 轴上且坐标是（0，2） ，点 C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在 x 轴上，C1的坐 标是（1，0） B1C1B2C2B3C3，以此继续下去，则点 A2014到 x 轴的距离是 第 18 页（共 55 页） 【考点】全等三角形的判定与性质；规律型：点的坐标；正方形的性质；相似三 角形的判定与性质 【专题】规律型 【分析】根据勾股定理可得正方形 A1B1C1D1的边长
25、为=，根据相似三 角形的性质可得后面正方形的边长依次是前面正方形边长的， 依次得到第 2014 个正方形和第 2014 个正方形的边长，进一步得到点 A2014到 x 轴的距离 【解答】解：如图，点 C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在 x 轴上，B1C1B2C2B3C3， B1OC1B2E2C2B3E4C3，B1OC1C1E1D1， B2E2=1，B3E4=，B4E6=，B5E8=， B2014E4016=， 作 A1Ex 轴，延长 A1D1交 x 轴于 F， 则C1D1FC1D1E1， =， 在 RtOB1C1中，OB1=2，OC1=1， 正方形 A1B1C1D1的边长为为=， D1
26、F=， 第 19 页（共 55 页） A1F=， A1ED1E1， =， A1E=3，=， 点 A2014到 x 轴的距离是= 故答案为： 【点评】 此题主要考查了正方形的性质以及解直角三角形的知识，得出正方形各 边长是解题关键 7如图，在边长为 6的正方形 ABCD 中，E 是 AB 边上一点，G 是 AD 延长线 上一点，BE=DG，连接 EG，CFEG 交 EG 于点 H，交 AD 于点 F，连接 CE，BH若 BH=8，则 FG= 5 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质；相似三角 形的判定与性质 【专题】几何图形问题；压轴题 【分析】如解答图，连接 CG，首先
27、证明CGDCEB，得到GCE 是等腰直角 三角形；过点 H 作 AB、BC 的垂线，垂足分别为点 M、N，进而证明HEM HCN，得到四边形 MBNH 为正方形，由此求出 CH、HN、CN 的长度；最后利用相 似三角形 RtHCNRtGFH，求出 FG 的长度 【解答】解：如图所示，连接 CG 在CGD 与CEB 中 第 20 页（共 55 页） CGDCEB（SAS） ， CG=CE，GCD=ECB， GCE=90，即GCE 是等腰直角三角形 又CHGE， CH=EH=GH 过点 H 作 AB、BC 的垂线，垂足分别为点 M、N，则MHN=90， 又EHC=90， 1=2， HEM=HCN
28、在HEM 与HCN 中， HEMHCN（ASA） HM=HN， 四边形 MBNH 为正方形 BH=8， BN=HN=4， CN=BCBN=64=2 在 RtHCN 中，由勾股定理得：CH=2 GH=CH=2 HMAG， 1=3， 2=3 又HNC=GHF=90， RtHCNRtGFH ，即， FG=5 第 21 页（共 55 页） 故答案为：5 【点评】本题是几何综合题，考查了全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直 角三角形、勾股定理等重要知识点，难度较大作出辅助线构造全等三角形与相 似三角形，是解决本题的关键 8如图，已知ABC 三个内角的平分线交于点 O，点 D 在 CA 的延长线上，且
29、DC=BC，AD=AO，若BAC=80，则BCA 的度数为 60 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质 【专题】几何图形问题 【分析】可证明CODCOB，得出D=CBO，再根据BAC=80，得 BAD=100，由角平分线可得BAO=40，从而得出DAO=140，根据 AD=AO，可 得出D=20，即可得出CBO=20，则ABC=40，最后算出BCA=60 【解答】解：ABC 三个内角的平分线交于点 O， ACO=BCO， 在COD 和COB 中， ， CODCOB， D=CBO， BAC=80， BAD=100， 第 22 页（共 55 页） BAO=40， DAO=140， AD
30、=AO，D=20， CBO=20， ABC=40， BCA=60， 故答案为：60 【点评】 本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，证明三角 形全等是解决此题的关键 9如图，在四边形 ABCD 中，AD=4，CD=3，ABC=ACB=ADC=45，则 BD 的长为 【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形 【专题】计算题；压轴题 【分析】根据等式的性质，可得BAD 与CAD的关系，根据 SAS，可得BAD 与CAD的关系，根据全等三角形的性质，可得 BD 与 CD的关系，根据勾股定 理，可得答案 【解答】解：作 ADAD，AD=AD，连接 CD，DD，如图： B
31、AC+CAD=DAD+CAD， 即BAD=CAD， 在BAD 与CAD中， ， BADCAD（SAS） ， BD=CD 第 23 页（共 55 页） DAD=90 由勾股定理得 DD=， DDA+ADC=90 由勾股定理得 CD=， BD=CD=， 故答案为： 【点评】 本题考查了全等三角形的判定与性质， 利用了全等三角形的判定与性质， 勾股定理，作出全等图形是解题关键 10如图，在ABC 中，分别以 AC，BC 为边作等边ACD 和等边BCE设 ACD、BCE、ABC 的面积分别是 S1、S2、S3，现有如下结论： S1：S2=AC2：BC2； 连接 AE，BD，则BCDECA； 若 ACB
32、C，则 S1S2=S32 其中结论正确的序号是 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方判断； 第 24 页（共 55 页） 根据 SAS 即可求得全等； 根据面积公式即可判断 【解答】S1：S2=AC2：BC2正确， 解：ADC 与BCE 是等边三角形， ADCBCE， S1：S2=AC2：BC2 BCDECA 正确， 证明：ADC 与BCE 是等边三角形， ACD=BCE=60 ACD+ACB=BCE+ACD， 即ACE=DCB， 在ACE 与DCB 中， ， BCDECA（SAS） 若 ACBC，则 S1S2=S32正确， 解：设等
33、边三角形 ADC 的边长=a，等边三角形 BCE 边长=b，则ADC 的高=a， BCE 的高=b， S1=aa=a2，S2=bb=b2， S1S2=a2b2=a2b2， S3=ab， S32=a2b2， S1S2=S32 【点评】本题考查了三角形全等的判定，等边三角形的性质，面积公式以及相似 三角形面积的比等于相似比的平方，熟知各性质是解题的关键 三、解答题三、解答题 第 25 页（共 55 页） 11如图，已知点 E、F 在四边形 ABCD 的对角线延长线上，AE=CF，DEBF， 1=2 （1）求证：AEDCFB； （2）若 ADCD，四边形 ABCD 是什么特殊四边形？请说明理由 【考
34、点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定 【专题】证明题 【分析】 （1）根据两直线平行，内错角相等可得E=F，再利用“角角边”证明 AED 和CFB 全等即可； （2）根据全等三角形对应边相等可得 AD=BC，DAE=BCF，再求出DAC= BCA，然后根据内错角相等，两直线平行可得 ADBC，再根据一组对边平行且 相等的四边形是平行四边形证明四边形 ABCD 是平行四边形，再根据有一个角是 直角的平行四边形是矩形解答 【解答】 （1）证明：DEBF， E=F， 在AED 和CFB 中， ， AEDCFB（AAS） ； （2）解：四边形 ABCD 是矩形 理由如下：AEDCFB， AD=BC，
35、DAE=BCF， DAC=BCA， ADBC， 四边形 ABCD 是平行四边形， 又ADCD， 第 26 页（共 55 页） 四边形 ABCD 是矩形 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定，平行四边形的判定 以及平行四边形与矩形的联系，熟记各图形的判定方法和性质是解题的关键 12如图，ABC 中，AB=AC，BAC=40，将ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 100得到ADE，连接 BD，CE 交于点 F （1）求证：ABDACE； （2）求ACE 的度数； （3）求证：四边形 ABFE 是菱形 【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定；旋转的性质 【专题】证明题 【分析】
36、（1）根据旋转角求出BAD=CAE，然后利用“边角边”证明ABD 和 ACE 全等 （2）根据全等三角形对应角相等，得出ACE=ABD，即可求得 （3）根据对角相等的四边形是平行四边形，可证得四边形 ABFE 是平行四边形， 然后依据邻边相等的平行四边形是菱形，即可证得 【解答】 （1）证明：ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 100， BAC=DAE=40， BAD=CAE=100， 又AB=AC， AB=AC=AD=AE， 在ABD 与ACE 中 第 27 页（共 55 页） ABDACE（SAS） （2）解：CAE=100，AC=AE， ACE=（180CAE）=（180100）=40；
37、 （3）证明：BAD=CAE=100AB=AC=AD=AE， ABD=ADB=ACE=AEC=40 BAE=BAD+DAE=140， BFE=360BAEABDAEC=140， BAE=BFE， 四边形 ABFE 是平行四边形， AB=AE， 平行四边形 ABFE 是菱形 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质、旋转的性质 以及菱形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键 13如图，已知ABC 是等腰三角形，顶角BAC=（60） ，D 是 BC 边上的 一点，连接 AD，线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 到 AE，过点 E 作 BC 的平行线， 交 AB 于点
38、F，连接 DE，BE，DF （1）求证：BE=CD； （2）若 ADBC，试判断四边形 BDFE 的形状，并给出证明 【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定；旋转的性质 【专题】证明题 【分析】 （1）根据旋转可得BAE=CAD，从而 SAS 证明ACDABE，得出 第 28 页（共 55 页） 答案 BE=CD； （2）由 ADBC，SAS 可得ACDABEABD，得出 BE=BD=CD，EBF= DBF，再由 EFBC，DBF=EFB，从而得出EBF=EFB，则 EB=EF，证明得出 四边形 BDFE 为菱形 【解答】证明： （1）ABC 是等腰三角形，顶角BAC=（60） ，线段 A
39、D 绕点 A 顺时针旋转 到 AE， AB=AC， BAE=CAD， 在ACD 和ABE 中， ， ACDABE（SAS） ， BE=CD； （2）ADBC， BD=CD， BE=BD=CD，BAD=CAD， BAE=BAD， 在ABD 和ABE 中， ， ABDABE（SAS） ， EBF=DBF， EFBC， DBF=EFB， EBF=EFB， EB=EF， BD=BE=EF=FD， 四边形 BDFE 为菱形 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及菱形的判定、旋转的性质 第 29 页（共 55 页） 14如图，在四边形 ABCD 中，点 H 是 BC 的中点，作射线 AH，在线段 A
40、H 及其 延长线上分别取点 E，F，连结 BE，CF （1）请你添加一个条件，使得BEHCFH，你添加的条件是 EH=FH ，并 证明 （2）在问题（1）中，当 BH 与 EH 满足什么关系时，四边形 BFCE 是矩形，请说 明理由 【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定 【专题】几何综合题；分类讨论 【分析】 （1）根据全等三角形的判定方法，可得出当 EH=FH，BECF，EBH= FCH 时，都可以证明BEHCFH， （2）由（1）可得出四边形 BFCE 是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边 形为矩形可得出 BH=EH 时，四边形 BFCE 是矩形 【解答】 （1）答：添加：EH=
41、FH， 证明：点 H 是 BC 的中点， BH=CH， 在BEH 和CFH 中， ， BEHCFH（SAS） ； （2）解：BH=CH，EH=FH， 四边形 BFCE 是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形） ， 当 BH=EH 时，则 BC=EF， 平行四边形 BFCE 为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形） 【点评】 本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定， 是基础题， 难度不大 第 30 页（共 55 页） 15如图，E、F 分别是等边三角形 ABC 的边 AB，AC 上的点，且 BE=AF，CE、BF 交于点 P （1）求证：CE=BF； （2）求BPC 的度数
42、 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质 【分析】 （1）欲证明 CE=BF，只需证得BCEABF； （2）利用（1）中的全等三角形的性质得到BCE=ABF，则由图示知PBC+ PCB=PBC+ABF=ABC=60，即PBC+PCB=60，所以根据三角形内角和定 理求得BPC=120 【解答】 （1）证明：如图，ABC 是等边三角形， BC=AB，A=EBC=60， 在BCE 与ABF 中， ， BCEABF（SAS） ， CE=BF； （2）解：由（1）知BCEABF， BCE=ABF， PBC+PCB=PBC+ABF=ABC=60，即PBC+PCB=60， BPC=18060=1
43、20 即：BPC=120 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质全等三角形 的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具 在判定三角形全 等时，关键是选择恰当的判定条件 第 31 页（共 55 页） 16在等腰直角三角形 ABC 中，BAC=90，AB=AC，直线 MN 过点 A 且 MN BC，过点 B 为一锐角顶点作 RtBDE，BDE=90，且点 D 在直线 MN 上（不与 点 A 重合） ，如图 1，DE 与 AC 交于点 P，易证：BD=DP （无需写证明过程） （1）在图 2 中，DE 与 CA 延长线交于点 P，BD=DP 是否成立？如果成立，请给
44、予证明；如果不成立，请说明理由； （2）在图 3 中，DE 与 AC 延长线交于点 P，BD 与 DP 是否相等？请直接写出你 的结论，无需证明 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质 【专题】几何综合题 【分析】 （1）如答图 2，作辅助线，构造全等三角形BDFPDA，可以证明 BD=DP； （2）如答图 3，作辅助线，构造全等三角形BDFPDA，可以证明 BD=DP 【解答】题干引论： 证明：如答图 1，过点 D 作 DFMN，交 AB 于点 F， 则ADF 为等腰直角三角形，DA=DF 1+FDP=90，FDP+2=90， 1=2 第 32 页（共 55 页）
45、在BDF 与PDA 中， BDFPDA（ASA） BD=DP （1）答：BD=DP 成立 证明：如答图 2，过点 D 作 DFMN，交 AB 的延长线于点 F， 则ADF 为等腰直角三角形，DA=DF 1+ADB=90，ADB+2=90， 1=2 在BDF 与PDA 中， BDFPDA（ASA） BD=DP （2）答：BD=DP 证明：如答图 3，过点 D 作 DFMN，交 AB 的延长线于点 F， 则ADF 为等腰直角三角形，DA=DF 第 33 页（共 55 页） 在BDF 与PDA 中， BDFPDA（ASA） BD=DP 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、
46、平行线 的性质等知识点，作辅助线构造全等三角形是解题的关键 17如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别在边 AD， BC 上，且 DE=CF，连接 OE，OF求证：OE=OF 【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质 【专题】证明题 【分析】欲证明 OE=OF，只需证得ODEOCF 即可 【解答】证明：如图，四边形 ABCD 是矩形， ADC=BCD=90， AC=BD，OD=BD，OC=AC， OD=OC， ODC=OCD， 第 34 页（共 55 页） ADCODC=BCDOCD， 即EDO=FCO， 在ODE 与OCF 中， ， ODEOCF（S
47、AS） ， OE=OF 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质全等三角形的判定 是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时， 关键是选择恰当的判定条件 18如图，在 RtABC 中，C=90，A 的平分线交 BC 于点 E，EFAB 于点 F， 点 F 恰好是 AB 的一个三等分点（AFBF） （1）求证：ACEAFE； （2）求 tanCAE 的值 【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数 的定义 【专题】证明题 【分析】 （1）根据角的平分线的性质可求得 CE=EF，然后根据直角三角形的判定 定理求得三角形全等 （2） 由
48、ACEAFE， 得出 AC=AF， CE=EF， 设 BF=m， 则 AC=2m， AF=2m， AB=3m， 根据勾股定理可求得，tanB=，CE=EF=，在 RTACE 中，tan 第 35 页（共 55 页） CAE=； 【解答】 （1）证明：AE 是BAC 的平分线，ECAC，EFAF， CE=EF， 在 RtACE 与 RtAFE 中， ， RtACERtAFE（HL） ； （2）解：由（1）可知ACEAFE， AC=AF，CE=EF， 设 BF=m，则 AC=2m，AF=2m，AB=3m， BC=m， 解法一：C=EFB=90， EFBACB， =， CE=EF， =； 解法二：在
49、 RTABC 中，tanB=， 在 RTEFB 中，EF=BFtanB=， CE=EF=， 在 RTACE 中，tanCAE=； tanCAE= 【点评】本题考查了直角三角形的判定、性质和利用三角函数解直角三角形，根 据已知条件表示出线段的值是解本题的关键 19探究：如图，在ABC 中，AB=AC，ABC=60，延长 BA 至点 D，延长 CB 至点 E，使 BE=AD，连结 CD，AE，求证：ACECBD 第 36 页（共 55 页） 应用：如图，在菱形 ABCF 中，ABC=60，延长 BA 至点 D，延长 CB 至点 E， 使 BE=AD，连结 CD，EA，延长 EA 交 CD 于点 G
50、，求CGE 的度数 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质 【专题】几何图形问题 【分析】 探究： 先判断出ABC是等边三角形， 根据等边三角形的性质可得BC=AC， ACB=ABC，再求出 CE=BD，然后利用“边角边”证明即可； 应用：连接 AC，易知ABC 是等边三角形，由探究可知ACE 和CBD 全等，根 据全等三角形对应角相等可得E=D，然后根据三角形的一个外角等于与它不 相邻的两个内角的和求出CGE=ABC 即可 【解答】解：探究：AB=AC，ABC=60， ABC 是等边三角形， BC=AC，ACB=ABC， BE=AD， BE+BC=AD+AB， 即
