1、函数性质的综合问题函数性质的综合问题 考点一 函数的奇偶性与单调性 函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路 (1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上 具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性 (2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成 f (x1) f (x2)或 f (x1)f (x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)， 要注意函数定义域对参数的影响 典例 1 (1)(2019 全国卷)设 f (x)是定义域为 R 的偶函数，且在(0，) 单调递减，则( ) (2)函数 f (x)在(，)上单
2、调递减，且为奇函数若 f (1)1，则满足 1f (x2)1 的 x 的取值范围是( ) A2,2 B1,1 C0,4 D1,3 (1)C (2)D (1)f (x)是定义域为 R 的偶函数， f (x)f (x) f log31 4 f (log34)f (log34) 又log34log331，且 12 2 32 3 20， log342 2 32 3 20. f (x)在(0，)上单调递减， f (2 3 2)f (2 2 3)f (log 34)f log31 4 .故选 C (2)f (x)为奇函数，f (x)f (x) f (1)1，f (1)f (1)1. 故由1f (x2)1，
3、得 f (1)f (x2)f (1) 又 f (x)在(，)上单调递减， 1x21，1x3.故选 D 点评：解答此类题目时，奇偶性的作用是把不在同一单调区间的自变量转化 到同一单调区间上 跟进训练 1函数 yf (x)在0,2上单调递增，且函数 f (x2)是偶函数，则下列结论 成立的是( ) Af (1)f 5 2 f 7 2 Bf 7 2 f (1)f 5 2 Cf 7 2 f 5 2 f (1) Df 5 2 f (1)f 7 2 B 函数 yf (x)在0,2上单调递增，且函数 f (x2)是偶函数， 函数 yf (x)在2,4上单调递减，且在0,4上函数 yf (x)满足 f (2x
4、)f (2 x)， f (1)f (3)，f 7 2 f (3)f 5 2 ， 即 f 7 2 f (1)f 5 2 . 2已知 f (x)是定义在2b,1b上的偶函数，且在2b,0上为增函数，则 f (x 1)f (2x)的解集为( ) A 1，2 3 B 1，1 3 C1,1 D 1 3，1 B f (x)是定义在2b,1b上的偶函数，2b1b0，b1. f (x)在2b,0上为增函数，即函数 f (x)在2,0上为增函数，故函数 f (x)在 (0,2上为减函数，则由 f (x1)f (2x)，可得|x1|2x|，即(x1)24x2， 解得1x1 3. 由于定义域为2,2， 2x12，
5、22x2， 解得 1x3， 1x1. 1x1 3，故选 B 3已知奇函数 f (x)在 x0 时单调递增，且 f (1)0，若 f (x1)0，则 x 的取值范围为( ) Ax|0 x1 或 x2 Bx|x0 或 x2 Cx|x0 或 x3 Dx|x1 或 x1 A 奇函数 f (x)在(0，)上单调递增，且 f (1)0，函数 f (x)在(， 0)上单调递增，且 f (1)0，则1x0 或 x1 时，f (x)0；x1 或 0 x 1 时，f (x)0.不等式 f (x1)0 即1x10 或 x11，解得 0 x1 或 x2，故选 A 考点二 函数的奇偶性与周期性 利用函数的奇偶性和周期性
6、求值的策略 已知 f (x)是周期函数且为偶(奇)函数，求函数值，常利用奇偶性及周期性进行 转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上 的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解 典例 2 (1)已知 f (x)是定义在 R 上的偶函数，并且 f (x2) 1 f x，若当 2x3 时，f (x)x，则 f (105.5)_. (2)设 f (x)是定义在 R 上的奇函数，并且 f (x)f (x2)，若在区间 2,0)(0,2上，f (x) axb，2x0， ax1，0 x2. 则 f (2 022)_. (1)2.5 (2)0 (1)由 f (x2) 1 f x得
7、 f (x4)f (x2)2 1 f x2 f (x)， 函数 f (x)是周期为 4 的周期函数 f (105.5)f (4272.5)f (2.5)f (2.5)2.5. (2)由 f (x)f (x2)，得 f (x4)f (x2)2f (x2)f (x)， 函数 f (x)是周期为 4 的周期函数 又 f (x)是奇函数， 则有 f 2f 2， f 2f 2， 即 b2a2a1， b2a12a， 解得 a1 2， b1， f (x) 1 2x1，2x0， 1 2x1，0 x2， f (2 022)f (2)1 2210. 跟进训练 设定义在 R 上的函数 f (x)同时满足以下条件：
8、f (x)f (x)0；f (x1)f (x1)；当 0 x1 时，f (x)2x1， 则 f 1 2 f (1)f 3 2 f (2)f 5 2 _. 21 由 f (x)f (x)0 得 f (x)f (x)，即函数 f (x)是奇函数，由 f (x1)f (x1)得 f (x2)f (x)，即函数 f (x)是周期为 2 的周期函数 所以 f (0)0，f 3 2 f 1 2 ，f (2)f (0)0，f 5 2 f 1 2 . 又 f (1)f (12)f (1)f (1)，所以 f (1)0. 所以 f 1 2 f (1)f 3 2 f (2)f 5 2 f 1 2 f 1 2 f
9、1 2 f 1 2 2 1 21 21. 考点三 函数性质的综合应用 函数的奇偶性、周期性与对称性的解题技法 (1)函数的奇偶性、周期性、对称性，一般是知二得一，特别是已知奇偶性和 对称性，一般要先确定周期性 (2)奇函数在 x0 处有意义，则一定有 f (0)0，偶函数一定有 f (|x|)f (x)， 要注意这两个结论在解题中的应用 (3)如果 f (x)的图象关于点(a,0)对称，且关于直线 xb 对称，则函数 f (x)的周 期 T4|ab|.(类比 ysin x 的图象) (4)如果 f (x)的图象关于点(a,0)对称，且关于点(b,0)对称，则函数 f (x)的周期 T2|ab|
10、.(类比 ysin x 的图象) (5)若函数 f (x)关于直线 xa 与直线 xb 对称， 那么函数的周期是 2|ba|.(类 比 ysin x 的图象) 典例 3 (1)已知函数 f (x)对任意的 xR 都满足 f (x)f (x)0， f x3 2 为 偶函数，当 0 x3 2时，f (x)x，则 f (2 021)f (2 022)_. (2)已知 f (x)是定义域为(，)的奇函数，满足 f (1x)f (1x)若 f (1)2，则 f (1)f (2)f (3)f (50)_. (1)1 (2)2 (1)由 f (x)f (x)0 得 f (x)f (x)，即函数 f (x)是
11、奇函数， 由 f x3 2 为偶函数知 f x3 2 f x3 2 ，结合 f (x)是奇函数，可得 f x3 2 f x3 2 ，f (x3)f (x) f (x6)f (x)，即函数 f (x)是周期为 6 的周期函数 f (2 021)f (1)f (1)1，f (2 022)f (0)0， f (2 021)f (2 022)1. (2)法一：(直接法)f (x)在(，)上是奇函数， f (x)f (x)， f (1x)f (x1) 由 f (1x)f (1x)，得f (x1)f (x1)， f (x2)f (x)， f (x4)f (x2)f (x)， 函数 f (x)是周期为 4
12、的周期函数 由 f (x)为奇函数得 f (0)0. 又f (1x)f (1x)， f (x)的图象关于直线 x1 对称， f (2)f (0)0，f (2)0. 又 f (1)2，f (1)2， f (1)f (2)f (3)f (4)f (1)f (2)f (1)f (0)20200， f (1)f (2)f (3)f (4)f (49)f (50) 012f (49)f (50) f (1)f (2)202. 法二：(特例法)由题意可设 f (x)2sin 2x ，作出 f (x)的部分图象如图所示由 图可知，f (x)的一个周期为 4，所以 f (1)f (2)f (3)f (50)1
13、2f (1)f (2) f (3)f (4)f (49)f (50)120f (1)f (2)2. 点评：求和问题一般是先求一个周期的和，再求总和 跟进训练 1已知奇函数 f (x)的定义域为 R，若 f (x1)为偶函数，且 f (1)2，则 f (2 021)f (2 022)( ) A2 B1 C0 D2 D 由 f (x1)为偶函数得 f (x1)f (x1)， 又函数 f (x)是奇函数，则 f (x1)f (x1)，即 f (x2)f (x)， f (x4)f (x)，即函数 f (x)的周期为 4， f (2 021)f (1)2，f (2 022)f (2)f (0)0， f
14、(2 021)f (2 022)2，故选 D 2定义在 R 上的函数 f (x)满足 f (x)f (2x)及 f (x)f (x)，且在0,1 上有 f (x)x2，则 f 2 0191 2 ( ) A9 4 B 1 4 C 9 4 D 1 4 D 函数 f (x)的定义域是 R，f (x)f (x)，所以函数 f (x)是奇函数又 f (x)f (2x)，所以 f (x)f (2x)f (x)，所以 f (4x)f (2x)f (x)， 故函数 f (x)是以 4 为周期的奇函数，所以 f 2 019 1 2 f 2 0201 2 f 1 2 f 1 2 .因为在0,1上有 f (x)x2
15、， 所以 f 1 2 1 2 2 1 4， 故 f 2 019 1 2 1 4， 故选 D 核心素养 2 用数学思维思考世界用活函数性质中的三个结论 数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算能够促进学生数学思维的发 展通过常见的“二级结论”解决数学问题，可优化数学运算的过程，使学生逐 步形成规范化、程序化的思维品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神. 奇函数的最值性 质 已知函数 f (x)是定义在区间 D 上的奇函数， 则对任意的 xD， 都有 f (x)f ( x)0.特别地，若奇函数 f (x)在 D 上有最值，则 f (x)maxf (x)min0，且若 0D， 则 f (0)0.
16、素养案例1 设函数 f (x)x1 2sin x x21 的最大值为 M，最小值为 m，则 M m_. 2 显然函数 f (x)的定义域为 R， f (x)x1 2sin x x21 12xsin x x21 ， 设 g(x)2xsin x x21 ，则 g(x)g(x)， g(x)为奇函数， 由奇函数图象的对称性知 g(x)maxg(x)min0， Mmg(x)1maxg(x)1min2g(x)maxg(x)min2. 素养培优 已知函数 f (x)2 |x|1x32 2|x|1 的最大值为 M，最小值为 m，则 Mm 等于( ) A0 B2 C4 D8 C f (x)22 |x|1x3 2
17、|x|1 2 x3 2|x|1，设 g(x) x3 2|x|1，因为 g(x)定义域为 R， 关于原点对称，且 g(x)g(x)，所以 g(x)为奇函数，所以 g(x)maxg(x)min0. 因为 Mf (x)max2g(x)max，mf (x)min2g(x)min，所以 Mm2g(x)max2 g(x)min4. 抽象函数的周期 性 (1)如果 f (xa)f (x)(a0)，那么 f (x)是周期函数，其中的一个周期 T 2a. (2)如果 f (xa) 1 f x(a0)，那么 f (x)是周期函数，其中的一个周期 T2a. (3)如果 f (xa)f (x)c(a0)，那么 f (
18、x)是周期函数，其中的一个周期 T 2a. 素养案例2 已知函数 f (x)为定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，有 f (x 3)f (x)，且当 x(0,3)时，f (x)x1，则 f (2 017)f (2 018)( ) A3 B2 C1 D0 C 因为函数 f (x)为定义在 R 上的奇函数， 所以 f (2 017)f (2 017)， 因为当 x0 时，有 f (x3)f (x)， 所以 f (x6)f (x3)f (x)，即当 x0 时，自变量的值每增加 6，对应 函数值重复出现一次 又当 x(0,3)时，f (x)x1， f (2 017)f (33661)f (1)2，
19、f (2 018)f (33662)f (2)3. 故 f (2 017)f (2 018)f (2 017)31. 素养培优 已知 f (x)是定义在 R 上的函数，且满足 f (x2) 1 f x，当 2x3 时，f (x) x，则 f 11 2 _. 5 2 f (x2) 1 f x，f (x4)f (x)， f 11 2 f 5 2 ，又 2x3 时，f (x)x， f 5 2 5 2，f 11 2 5 2. 抽象函数的对称 性 已知函数 f (x)是定义在 R 上的函数 (1)若 f (ax)f (bx)恒成立，则 yf (x)的图象关于直线 xab 2 对称，特 别地，若 f (a
20、x)f (ax)恒成立，则 yf (x)的图象关于直线 xa 对称 (2)若函数 yf (x)满足 f (ax)f (ax)0，即 f (x)f (2ax)，则 f (x) 的图象关于点(a,0)对称 素养案例3 函数 yf (x)对任意 xR 都有 f (x2)f (x)成立，且函数 y f (x1)的图象关于点(1,0)对称，f (1)4，则 f (2 016)f (2 017)f (2 018)的 值为_ 4 因为函数 yf (x1)的图象关于点(1,0)对称， 所以函数 yf (x)的图象关于原点对称， 所以 f (x)是 R 上的奇函数， 则 f (x2)f (x)f (x)，所以
21、f (x4)f (x2)f (x)，故 f (x)的周 期为 4. 所以 f (2 017)f (50441)f (1)4， f (2 016)f (5044)f (0)0， f (2 018)f (50442)f (2)f (0)0， 所以 f (2 016)f (2 017)f (2 018)4. 素养培优 已知函数 f (x)(xR)满足 f (x)f (2x)，若函数 y|x22x3|与 yf (x)图 象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则 m i1 xi( ) A0 Bm C2m D4m B 函数 f (x)(xR)满足 f (x)f (2x)， 故函数 f (x)的图象关于直线 x1 对称， 函数 y|x22x3|的图象也关于直线 x1 对称， 故函数 y|x22x3|与 yf (x)图象的交点也关于直线 x1 对称，且相互对 称的两点横坐标和为 2.当 f (x)不过点(1,4)时， m i1 xim 22m，当 f (x)的图象过点 (1,4)时， m i1 xim1 2 21m.综上， m i1 xim.
