1、全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 1.考查形式 本章在高考中一般命制 2 道 小题或者 1 道解答题，分值 占 1012 分. 2.考查内容 (1)高考对小题的考查一般 以等差、等比数列的基本量 运算，等差、等比数列的性 质为主. (2)解答题一般以数列递推 关系为载体，考查数列通项 公式的求法，等差、等比数 列的证明，数列求和的方法 等. 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法 考试要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公 式). 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数 1数列的定义 按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项 2
2、数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系 分类 递增数列 an1an 其中 nN* 递减数列 an1an 常数列 an1an 3.数列的通项公式 如果数列an的第 n 项 an与序号 n 之间的关系可以用一个函数式 anf (n)来 表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式 4数列的递推公式 如果已知数列的第 1 项(或前几项)，且从第 2 项(或某一项)开始的任一项 an与 它的前一项 an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做 这个数列的递推公式 5an与 Sn的关系 若数列an的前 n 项和为
3、Sn， 则 an S1，n1， SnSn1，n2. 特别地，若 a1满足 anSnSn1(n2)，则不需要分段 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列 ( ) (2)1,1,1,1，不能构成一个数列 ( ) (3)任何一个数列都有唯一的通项公式 ( ) (4)如果数列an的前 n 项和为 Sn，则对任意 nN*，都有 an1Sn1Sn. ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1数列1，1 2， 1 3， 1 4， 1 5，的一个通项公式为( ) Aan 1 n Ban(1)n 1 n Can(1)n 11 n
4、 Dan1 n B 由 a11，代入检验可知选 B 2在数列an中，已知 a11 4，an11 1 an，则 a3( ) A3 B2 3 C5 D 4 5 D a21 1 a15，a31 1 a21 1 5 4 5. 3已知数列an的前 n 项和 Snn21，则 an . 2，n1， 2n1，n2，nN* 当 n1 时，a1S12. 当 n2 时， anSnSn1n21(n1)212n1， 故 an 2，n1， 2n1，n2，nN*. 4根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式 an . 5n4 由 a11514，a26524，a311534，归纳 an5n4. 考点一 由
5、 an与 Sn的关系求通项公式 已知 Sn求 an的三个步骤 (1)利用 a1S1求出 a1. (2)当 n2 时，利用 anSnSn1(n2)求出 an的表达式 (3)看 a1是否符合 n2 时 an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式 合写；否则应写成分段的形式，即 an S1，n1， SnSn1，n2. 典例 1 (1)已知数列an的前 n 项和 Sn2n23n，则 an . (2)已知数列an满足 a12a23a3nan2n，则 an . (1)4n5 (2) 2，n1， 2n 1 n ，n2 (1)a1S1231， 当 n2 时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1
6、)4n5， 由于 a1也适合此等式，an4n5. (2)当 n1 时， a1212， a12a23a3nan2n， 故 a12a23a3(n1)an12n 1(n2)， 由得 nan2n2n 12n1，a n2 n1 n (n2). 显然当 n1 时不满足上式， an 2，n1， 2n 1 n ，n2. 点评：Sn与 an关系问题的求解思路要根据所求结果的不同要求，将问题向不 同的两个方向转化 (1)利用 anSnSn1(n2)转化为只含 Sn，Sn1的关系式 (2)利用 SnSn1an(n2)转化为只含 an，an1的关系式，再求解 提醒：利用 anSnSn1求通项时，应注意 n2 这一前提
7、条件，易忽视验证 n1 致误 跟进训练 已知正项数列an中， a1 a2 annn1 2 ，则数列an的通项公式 为( ) Aann Bann2 Cann 2 Dann 2 2 B a1 a2 annn1 2 ， a1 a2 an1nn1 2 (n2)， 两式相减得 annn1 2 nn1 2 n(n2)， ann2(n2)， 又当 n1 时， a112 2 1，a11，适合式， ann2，nN*.故选 B 考点二 由递推关系求通项公式 由递推关系求数列的通项公式的常用方法 典例 2 (1)设数列an满足 a11，且 an1ann1(nN*)，则数列an 的通项公式为 (2)在数列an中，a1
8、1，ann1 n an1(n2，nN*)，则数列an的通项公式 为 (3)已知数列an满足 a11，an13an2(nN*)，则数列an的通项公式 为 (1)ann 2n 2 (2)an1 n (3)an2 3 n11 (1)由题意得 a2a12，a3a2 3， anan1n(n2) 以上各式相加，得 ana123nn12n 2 n 2n2 2 . a11，ann 2n 2 (n2) 当 n1 时也满足此式，ann 2n 2 . (2)ann1 n an1(n2)， an1n2 n1an 2，an2n3 n2an 3，a21 2a1. 以上(n1)个式子相乘得， ana1 1 2 2 3 n1
9、 n a1 n 1 n. 当 n1 时，a11，符合上式， an1 n. (3)an13an2， an113(an1)， a n11 an1 3， 数列an1为等比数列，公比 q3， 又 a112，an12 3n 1， an2 3n 11. 点评：由递推关系求通项公式的关键是“模型化”，即针对不同的关系选择 不同的方法求解， 但要理解如累加(积)法可类比等差(比)数列通项的求解方式得出， 而构造法可结合等差(比)数列的定义求解 跟进训练 1已知数列an中，a12，an1 2an an2(nN *)，则数列an的通项公式 an . 2 n an1 2an an2，a12，an0， 1 an1 1
10、 an 1 2，即 1 an1 1 an 1 2， 又 a12，则 1 a1 1 2， 1 an 是以1 2为首项， 1 2为公差的等差数列 1 an 1 a1(n1) 1 2 n 2，an 2 n. 2已知数列an中，a11，an12an2n 1，则数列a n的通项公式 an . n1 2 2n an12an2n 1，两边同除以 2n1，得an1 2n 1a n 2n1. 又 a11， an 2n 是以首项为1 2，公差为 1 的等差数列， an 2n 1 2(n1)1n 1 2. 即 an n1 2 2n. 考点三 数列的性质 1.解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，
11、确定数列的周期，再根据周期性求值 2判断数列单调性的两种方法 (1)作差(或商)法 (2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调 性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去 3求数列中最大(小)项的两种方法 (1)根据数列的单调性判断 (2)利用不等式组 anan1 anan1 或 anan1 anan1 求出 n 的值，进而求得 an的最值 典例 3 (1)已知数列an满足 an1 1 1an，若 a1 1 2，则 a2 020( ) A1 B1 2 C1 D2 (2)已知数列an的通项公式为 ann 2 3 n ，则数列an中的最大项为( ) A8 9 B 2
12、 3 C 64 81 D 125 243 (3)若 ann2kn4 且对于 nN*，都有 an1an成立，则实数 k 的取值范围 是 (1)B (2)A (3) (3，) (1)由 a11 2，an1 1 1an，得 a2 1 1a12， a3 1 1a21，a4 1 1a3 1 2，a5 1 1a42， 于是可知数列an是以 3 为周期的周期数列，因此 a2 020a36731a11 2. (2)法一：(作差比较法) an1an(n1) 2 3 n1 n 2 3 n 2n 3 2 3 n ， 当 n0，即 an1an； 当 n2 时，an1an0，即 an1an； 当 n2 时，an1an0
13、，即 an1an. 所以 a1a4a5an， 所以数列an中的最大项为 a2或 a3， 且 a2a32 2 3 2 8 9.故选 A 法二：(作商比较法) an1 an n1 2 3 n1 n 2 3 n2 3 11 n ， 令a n1 an 1，解得 n2； 令a n1 an 1，解得 n2； 令a n1 an 2. 又 an0，故 a1a4a5an， 所以数列an中的最大项为 a2或 a3， 且 a2a32 2 3 2 8 9.故选 A (3)由 an1an知该数列是一个递增数列， 又通项公式 ann2kn4， (n1)2k(n1)4n2kn4， 即 k12n，又 nN*， k3. 点评：
14、(1)当待求的特定项 am中 m 较大时，常考虑数列的周期性 (2)数列的单调性常借助作差(商)法求得，这一点有别于函数的单调性，因为数 列是离散的，故本例(3)在求参数 k 的范围时务必要小心 跟进训练 1(2020 六安模拟)数列an的通项公式是 an(n2). 9 10 n ，那么在此数列中 ( ) Aa7a8最大 Ba8a9最大 C有唯一项 a8最大 D有唯一项 a7最大 A a n1 an n3 n2 9 10， 令a n1 an 1，即 9n3 10n21，解得 n7. 当 n7 时，数列an递增，当 n7 时，数列an递减， 即 a1a2a7a8a9 所以 a7a8最大，故选 A 2(2020 雅礼中学模拟)在数列an中，a1a，an12an1，若an为递增数 列，则 a 的取值范围为( ) Aa0 Ba1 Ca2 Da3 B an12an1， an112(an1)，a n11 an1 2， 又a11a1，数列an1是首项为 a1，公比为 2 的等比数列，an 1(a1)2n 1， an(a1)2n 11，又a n为递增数列， an1an(a1)2n(a1)2n 11 2(a1)2 n0， a10，a1，故选 B
