1、宜宾市普通高中宜宾市普通高中 2018 级第一次诊断性测试级第一次诊断性测试 理科数学理科数学 (考试时间：考试时间：120 分钟全卷满分：分钟全卷满分：150分分) 一一 选择题：本题共选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合要求的符合要求的. 1. 复数 12 34 i i 的值为（ ） A. 12 55 i B. 12 55 i C. 12 55 i D. 12 55 i 【答案】B 【解析】 【分析】 直接利用复数的除法计算即得解. 【详解】由题得 1 2(1 2 )(3
2、4 )5 1012 34(34 )(34 )2555 iiii i iii . 故选：B 2. 命题“xR ， 2 250 xx ”的否定是（ ） A. xR ， 2 250 xx B. xR ， 2 250 xx C. 0 xR， 2 00 250 xx D. 0 xR， 2 00 250 xx 【答案】C 【解析】 【分析】 由全称命题的否定形式为，否定原命题结论，即可写出已知命题的否定形式. 【详解】由全称命题的否定为，否定原命题结论知： “xR ， 2 250 xx ”的否定为：“ 0 xR， 2 00 250 xx”， 故选：C 3. 已知集合 2 340Ax xx，0Bx x，则A
3、B （ ） A. |04xx B. 10 xx C. 14xx D. x x 【答案】A 【解析】 【分析】 解一元二次不等式求集合 A，再应用集合的交运算求AB即可. 【详解】由集合 A 中的不等式描述，得14Axx ，而0Bx x， 04AxxB ， 故选：A 4. 某团支部随机抽取甲乙两位同学连续 9 期“青年大学习”的成绩(单位：分)，得到如图所示的成绩茎叶图， 关于这 9期的成绩，则下列说法正确的是（ ） A. 甲成绩的平均数高于乙成绩的平均数 B. 乙成绩的极差为 40 C. 甲乙两人成绩的众数相等 D. 甲成绩的中位数为 32 【答案】D 【解析】 【分析】 根据茎叶图数据，结合
4、平均数、极差、众数和中位数的概念进行计算并判断，即得结果. 【详解】根据茎叶图数据知： 甲同学的平均分为 1 1122232432323341 52 30 9 x ， 乙同学的平均分为 2 102231 323542425052316 99 x ， 316 30 9 ，故甲同学成绩的平 均数低于乙同学成绩的平均数，A错误； 乙同学成绩最高 52，最低 10，故极差为 42，故 B 错误； 甲同学成绩的众数为 32，乙同学成绩的众数为 42，不相等，故 C 错误； 甲同学成绩的中位数为 3232 2 32，故 D正确. 故选：D. 5. 符号 x表示大于或等于x的最小整数，在下图中输入的, a
5、b依次为 0.3和1.4，则输出的是（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 【答案】C 【解析】 【分析】 由条件有ab，则1.41.4cbb ，可得出答案. 【详解】根据题意，由0.3,1.4ab ，则ab 所以1.1.42 14.40.6cbb 故选：C 6. 如图，ABC是等边三角形，ADC是等腰直角三角形， 90ADC，线段 ,AC BD交于点O，设 BC a，BAb，用a，b表示OD uuu r 为（ ） A. OD 33 66 ab B. OD 33 33 ab C. OD 33 66 ab D. OD 33 33 ab 【答案】A 【解析】 【分析】 由题
6、意可得O为AC的中点，则3OBOC，即3BOOD，又 11 22 BOBABCab， 从而可得答案. 【详解】由题意,ABBCADDC，所以BAD与BCD全等. 则BAO与BCO全等,所以AOOC 所以O为AC的中点，则BOAC 在直角BOC中，60OCB,所以3OBOC ADC是等腰直角三角形，则ODOC 所以3OBOD,即3BOOD 又在等边三角形ABC中， 11 22 BOBABCab 所以 33133 33266 ODBOabab 故选：A 【点睛】关键点睛：本题考查利用基底向量来表示平面向量，解答本题关键的由几何图形的性质得到 3OBOC，从而 3BOOD ，再根据 11 22 BO
7、BABCab得出答案，属于中档题. 7. 若 5 1 ()a x x 展开式中所有项的系数和为 1，则其展开式中x的系数为（ ） A. 2 B. 10 C. 16 D. 80 【答案】D 【解析】 【分析】 利用赋值法可求a的值，再利用通项公式可求展开式中x的系数 【详解】令1x ，则展开式中所有项的系数和为 5 11a，故2a， 5 1 (2)x x 展开式的通项公式为 5 3 5 5 2 155 1 212 r r r r rrr r TCxC x x ， 令 53 1 2 r ，解得1r ，故x的系数为 1 5 11 5 1280C ， 故选：D 8. 函数( ) sincosf xxx
8、x 部分图象大致形状为（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用奇偶性的定义可证 ( )f x是奇函数，在利用导函数研究单调性即可确定函数图象. 【详解】由解析式知：()sin()()cos()sincos( )fxxxxxxxf x ，即 ( )f x是奇函数，且 (0)0f ，即可排除 A、B； 因为( )sinfxxx ，所以0 2 x 时( )0fx有( )f x单调递减，排除 D； 故选：C 【点睛】关键点点睛：利用函数的奇偶性、导函数研究函数单调性判断函数的图象. 9. 已知 2 sin3cos 5 ，则 2 sin()cos() 36 （ ） A. 4 5
9、 B. 2 5 C. 0 D. 2 5 【答案】B 【解析】 【分析】 利用两角和的正弦和余弦公式化简后可得所求的值 【详解】因为 2 sin3cos 5 ，所以 1 sin 35 ， 而 21331 sin()cos()sincoscossin 362222 2 3cossin 5 ， 故选：B 10. 九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺， 小鼠也日一尺，大鼠日自倍， 小鼠日自半.”题意是： 有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙， 大老鼠第一天进一尺， 以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第n天后大老鼠打洞的总进度是小
10、老鼠的 3倍，则n的值为（ ）(结果精确到 0.1，参考数据：lg20.3010，lg30.4771) A. 2.2 B. 2.4 C. 2.6 D. 2.8 【答案】C 【解析】 【分析】 由题可知大老鼠和小老鼠每天打洞的进度分别形成等比数列，利用等比数列求和公式求出总进度即可建立 关系，再结合参考数据即可求出. 【详解】设大老鼠每天打洞的进度形成数列 n a，小老鼠每天打洞的进度形成数列 n b， 则由题可得数列 n a是首项为 1，公比为 2的等比数列， 所以第n天后大老鼠打洞的总进度为 11 2 21 1 2 n n ， 数列 n b是首项为 1，公比为 1 2 的等比数列， 所以第n
11、天后小老鼠打洞的总进度为 1 11 12 2 1 1 2 1 2 n n ， 则由题可得 1 213 2 1 2 n n ，整理可得 2 27 2 +60 nn ， 解得2 1 n 或26 n ，即0n（舍去）或 2 log 6n ， 22 lg30.4771 log 61+log 31+1+2.6 lg20.3010 n . 故选：C. 【点睛】关键点睛：得出大老鼠和小老鼠每天打洞的进度分别形成等比数列是解决本题的关键. 11. 已知定义在R上的奇函数 yf x满足， 2f xf x，若 12 ,0,1x x且 12 xx时，都有 11222112 ()()()()x f xx f xx f
12、 xx f x ，则下列结论正确的是（ ） A. ( )yf x图象关于直线2020 x 对称 B. ( )yf x图象关于点2020,0中心对称 C. ( )yf x在2019,2021上为减函数 D. ( )yf x在2020,2022上为增函数 【答案】B 【解析】 【分析】 由 yf x是定义在R上的奇函数，则 fxf x 结合 2f xf x可得函数 yf x的图 像关于直线1x 对称和函数为周期函数， 从而可判断 A,B选项， 由条件可得 1212 ( )()0 xxf xf x， 则所以 yf x在0,1上为增函数，结合函数的对称性和周期性可判断 C,D. 【详解】由 yf x是
13、定义在R上的奇函数，则 fxf x 所以 2f xf xfx，则函数 yf x的图像关于直线1x 对称. 又 2f xf x，则 42f xf xf x 所以函数 yf x为周期函数， 4为函数 yf x的一个周期. 所以 yf x的对称轴方程为：14 ,xk kZ ，2020 x 不满足，故 A 不正确. 由 yf x是定义在R上的奇函数,则图像关于点0,0成中心对称. 所以 yf x的对称中心满足：4 ,0 ,kkZ，所以2020,0是函数的一个对称中心，故 B 正确. 由 12 ,0,1x x且 12 xx时，都有 11222112 ()()()()x f xx f xx f xx f
14、x， 则 112212 xf xf xxf xf x ，即 1212 ( )()0 xxf xf x 所以 yf x在0,1上为增函数, 由 yf x是定义在R上的奇函数 所以 yf x在1,0上为增函数，且 00f，所以 yf x在1,1上为增函数 由 yf x的图像关于直线1x 对称，所以 yf x在1,3上为减函数， 又 4为函数 yf x的一个周期. 则 yf x在41,41 ,kkkZ上单调递增，在41,43 ,kkkZ上单调递减. 所以( )yf x在2019,2021上为增函数，故 C不正确. ( )yf x 在2020,2021上为增函数,在2021,2022为减函数，故 D不
15、正确. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查抽象函数的周期和单调性对称性的综合应用，解答本题的关键是先由函数为 奇函数结合 2f xf x，得到 2f xf xfx和 42f xf xf x，从 而得到函数的对称性和周期性，根据条件得出 1212 ( )()0 xxf xf x，得到函数的单调性，属于中档 题. 12. 已知实数 1 2 3 2 ae， 2 3 4 3 be， 6 7 8 7 ce，(e 为自然对数的底数)则a，b，c的大小关系为（ ） A. abc B. bca C. cba D. bac 【答案】A 【解析】 【分析】 由已知实数的形式构造函数 1 1 ( ) x x x
16、f xe x ，即有 (2),(3),(7)afbfcf，利用导数研究( )f x的单 调性，再比较对应函数值的大小即可. 【详解】由题意，令 1 1 ( ) x x x f xe x ，则 (2),(3),(7)afbfcf， 而 1 3 ( ) x x e fx x ，所以0 x时( )0fx ，即 ( )f x在(0,)上单调递增， (2)(3)(7)fff，即abc， 故选：A 【点睛】关键点点睛：结合实数的形式构造函数，再用导数研究函数的单调性，最后利用单调性比较函数 值的大小. 二二 填空题：本大题共填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.
17、 13. 已知实数x、y满足约束条件 0 0 20 x y xy ，则目标函数2zxy的最大值为_. 【答案】4 【解析】 【分析】 本题首先可根据约束条件绘出可行域，然后根据可行域易知过点2,0B时目标函数2zxy最大. 【详解】由题意可知，约束条件为 0 0 20 x y xy ， 故可绘出可行域，如图所示： 则0,2A，2,0B， 结合可行域易知： 目标函数2zxy过点2,0B时取最大值，最大值为2 2 04z ， 故答案为：4. 14. 已知向量a(1,0)， 2b ，向量a与向量b的夹角为45，则 aab_. 【答案】0 【解析】 【分析】 根据平面向量数量积的运算律计算即可. 【详
18、解】解：(1,0)a ，则1a ，结合条件可知： 2 2 1cos120 2 aabaa ba ba b rrrrr rr rr r 故答案为：0 15. 已知ABC中，内角、 、A BC的对边分别为a bc、 、，且 222 sin 2 abc cBa a ，则 B _. 【答案】135(或 3 4 ) 【解析】 【分析】 利用余弦定理和正弦定理边角互化，整理已知条件，最后变形为tan1B，求角B的值. 【详解】根据余弦定理可知 222 2cosabcabC， 所以原式 222 sin 2 abc cBa a ，变形为cossinbCcBa， 根据正弦定理边角互化，可知sincossinsi
19、nsinBCCBA， 又因为sinsinsincoscossinABCBCBC， 则原式变形整理为sincosBB, 即tan1B，因为0 ,180B， 所以135B （或 3 4 ） 故答案为135（或 3 4 ） 【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要 用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定 理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考 虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制 16. 已知函数
20、e ln x f xxa xx(e 为自然对数的底数)有两个不同零点，则实数a的取值范围是 _. 【答案】( ,)e 【解析】 【分析】 求出 1 x xea fxx x ，当0a ，则0 x xea，此时 0fx， f x在0,上单调递增， 不满足条件，当0a，讨论出 ( )f x的单调性，得出最小值，根据条件可得出答案. 【详解】由 e(ln ) x f xxa xx，得 1 1(1)1 x x xea fxxeax xx ，且0 x 由0 x，则100 x xxe ， 若0a ，则0 x xea，此时 0fx， f x在0,上单调递增，至多有一个零点，不满足题意. 若0a，设 x h x
21、xea，则 10 x h xxe，所以 h x在0,上单调递增 由 00h，所以 x xea有唯一实数根，设为0 x，即 0 0 x x ea 则当 0 0 xx时， x xea， 0fx，则 f x在 0 0 x，单调递减， 当 0 xx时， x xea， 0fx，则 f x在 0 x ，单调递增， 所以当 0 xx时， 0 0000 min ln x f xf xx ea xx 由 0 0 x x ea可得 0 0 lnln x x ea，即 0 0 lnlnln x xea，即 00 lnlnxxa 所以 0 min lnf xf xaaa，0a 又当0 x时， f x ， 当x ，指数
22、函数增加的速度比对数函数增加的速度快得多，可得 f x 所以函数( )e(ln ) x f xxa xx有两个不同零点，则 0 min ln0f xf xaaa 设 lng xxxx，则 lngxx 当0,1x时，有 0g x ，则 g x在0,1上单调递增. 当1,x时，有 0gx ，则 g x在 1,上单调递减. 又当0 x时， 0g x ， 0g e 所以当0 xe时， 0g x ，当xe时， 0g x ， 所以ln0aaa的解集为ae 故答案为：( ,)e 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等
23、式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象， 利用数形结合的方法求解 三三 解答题：共解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.第第 17-21 题为必考题，每个试题为必考题，每个试 题考生都必须作答题考生都必须作答.第第 22 23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 17. 已知函数 2 2 3sincos2cos1 222 xxx f x . （1）求函数 f x的最小正周期
24、； （2）将函数 f x图象上所有点的横坐标都缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变） ，再向左平移 6 个单位得到 函数 g x图象，求函数 g x的单调增区间. 【答案】 （1）最小正周期2； （2）单调增区间是, 36 kkkZ . 【解析】 【分析】 （1）利用三角恒等思想化简函数 f x的解析式为 2sin 6 f xx ，利用正弦型函数的周期公式可 求得函数 f x的最小正周期； （2）利用三角函数图象变换法则得出 2sin 2 6 g xx ，然后解不等式 222 262 kxkk Z，即可求得函数 g x的单调递增区间. 【详解】 （1） 2 2 3sincos2cos13sin
25、cos2sin 2226 xxx f xxxx ， 所以函数 f x的最小正周期为2； （2） 将函数 f x图象上所有点的横坐标都缩短到原来的 1 2 倍 （纵坐标不变） ， 得到 2sin 2 6 h xx ， 再向左移动 6 个单位得 2sin 22sin 2 666 g xxx ， 由222 262 kxkk Z，解得 36 kxkk Z 函数 g x的单调增区间是, 36 kkkZ . 【点睛】方法点睛：求解正弦函数的基本性质问题，首先要利用三角恒等变换思想化简函数解析式为 sinyAxb，求解该函数的基本性质问题应对应正弦函数的基本性质. 18. 已知函数 3 ( )f xxaxb
26、在1x处取得极值. （1）求实数a的值； （2）若函数( )yf x在0,2内有零点，求实数b的取值范围. 【答案】 （1）3a ； （2）22b . 【解析】 【分析】 （1）由条件可知10f ，求a后再验证是否满足条件； （2）利用导数求函数在定义域0,2内的最大 值和最小值，根据条件列不等式求解b的取值范围. 【详解】 （1） 2 ( )3fxxa， 3 ( )f xxaxb在1x处取得极值. ( 1)30fa ，所以3a .经验证3a 时， ( )f x 1x处取得极值. （2）由（1）知 3 ( )3f xxxb， 2 ( )333(1)(1)fxxxx 所以( )yf x极值点为
27、1，-1. 将,( ),( )x f xfx在0,2内的取值列表如下： x 0 (0，1) 1 (1，2) 2 ( )fx / - 0 + / ( )f x b 极小值2b 2b 由此可得，( )yf x在0,2内有零点，只需 max min ( )20 ( )20 f xb f xb ，所以22b . 19. 第七次全国人口普查登记于 2020年 11 月 1日开始，这是在我国人口发展进入关键期开展的一次重大国 情国力调查，可以为编制“十四五”规划，为推动高质量发展，完善人口发展战略和政策体系促进人口长期 均衡发展提供重要信息支持，本次普查主要调查人口和住户的基本情况.某校高三一班共有学生
28、54名，按人 口普查要求，所有住校生按照集体户进行申报，所有非住校生(走读生及半走读生)按原家庭申报，已知该班 住校生与非住校生人数的比为7:2，住校生中男生占 4 7 ，现从住校生中采用分层抽样的方法抽取 7 名同学 担任集体户户主进行人口普查登记. （1）应从住校的男生女生中各抽取多少人？ （2）若从抽出的 7 名户主中随机抽取 3人进行普查登记培训 求这 3人中既有男生又有女生的概率； 用X表示抽取的 3人中女生户主的人数，求随机变量 X的分布列与数学期望. 【答案】 （1）男生女生就分别抽取 4 人，3人； （2） 6 7 ；分布列答案见解析，数学期望： 9 7 . 【解析】 【分析】
29、 （1）找到住校生中男女生的比例关系，即可求出男女生分别抽取的人数.（2）抽取的 3 名户主中既有男 生，又有女生，包含男生有 1人，女生有 2人和男生有 2 人，女生有 1 人两种情况，分别求出概率再求和即 可；找到变量 X 的所有可能取值，服从超几何分布，求出概率，列出分布列，求出期望即可. 【详解】 （1）由已知住校生中男生占 4 7 ，则女生占 3 7 ，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，因此男生 女生就分别抽取 4人，3 人. （2）设事件 A为“抽取的 3名户主中既有男生，又有女生”，设事件 B为“抽取的 3名户主中男生有 1 人， 女生有 2人”；事件 C 为“抽取的 3名
30、户主中男生有 2 人，女生有 1 人”，则 A=BC，且 B 与 C互斥， 12 43 3 7 ( ) C C P B C = 12 35 ， 21 43 3 7 ( ) C C P C C = 18 35 ，故( )( )( )P AP BP C 6 7 ， 所以，事件 A 发生的概率为 6 7 . 随机变量 X 的所有可能取值为 0，1，2，3， 3 34 3 7 ()(0,1,2,3) kk C C P xkk C .随机变量 X的分布列为 X 0 1 2 3 P 4 35 18 35 12 35 1 35 随机变量 X的数学期望 4181219 ()0123 353535357 E X
31、 . 20. 已知递增数列 n a满足 21 2 nnn aaa ，n N，且 24 ,a a是方程 2 10210 xx的两根，数列 n b 的前n项和为 n S，且 * 1 1 2 nn SbnN . （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）记 nn n ca b，求数列 n c的前n项和 n T. 【答案】 （1）21 n an， 2 3 n n b ； （2） 22 2 3 n n n T . 【解析】 【分析】 （1）求出 1 1a ，2d 即得数列 n a的通项公式；利用 1( 2) nnn bSSn 求 n b的通项公式； （2）先求出 42 3 n n n c ，再利
32、用错位相减法求和. 【详解】 （1）因为方程 2 10210 xx两根为3x 或 7， 又 2 a 4 a是方程 2 10210 xx的两根，数列 n a是递增的等差数列， 2 3a， 4 7a ，设公差为d，则 1 1 3 37 ad ad ，解得 1 1a ，2d . 1 (1)1 2(1)21 n aandnn . 对于数列 n b， * 1 1 2 nn SbnN ， 当1n 时， 11 1 1 2 bb ，解得 1 2 3 b ； 当2n时， 11 11 11 22 nnnnn bSSbb ， 整理得 1 1 3 nn bb ，即 1 1 3 n n b b ，所以数列 n b是等比
33、数列， 1 212 333 n n n b （2） 2(21)42 33 nnn nn nn ca b ， 数列 n c的前n项和 231 26104(1)242 33333 n nn nn T ， 231 26104(1)242 33333 n nn nn T ， 21 61042 32 333 n n n T . 21 61042 32 333 n n n T 两式相减可得 21 44442 22 3333 n nn n T . 21 44442 22 3333 n nn n T 1 4 1 42443 24 1 33 1 3 n nn nn ， 22 2 3 n n n T . 【点睛】
34、方法点睛：数列求和常用的方法有： （1）公式法； （2）错位相减法； （3）裂项相消法； （4）分组 求和法； （5）倒序相加法.要根据数列通项的特征灵活选择求和方法. 21. 已知函数 ln1f xaxx（a为常数，Ra ）. （1）若 0f x 恒成立，求实数a的取值范围； （2）判断方程lnlnsinx xxxx是否存在实数解；如果存在，求出解的个数；如果不存在，请说 明理由. 【答案】 （1）, 1 ； （2）不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）由参变量分离法可得出 ln1x a x 对任意的0,x恒成立，令 ln1x g x x ，利用导数求 出函数 g x的最小值，由此
35、可得出实数a的取值范围； （2）由（1）可得ln1xx，于是将问题等价转化为判断方程lnlnsinx xxxx是否存在实数解， 构造函数 2 lnlnsin1 lnsinh xx xxxxxxxx，利用ln1xx可得出 0h x 对任 意的0 x恒成立，由此可得出结论. 【详解】 （1）因为0 x，由 ln10f xaxx ，可得 ln1x a x ， 设 ln1x g x x ，则 2 ln x gx x ， 当01x时， 0gx ，函数 g x递减；当1x 时， 0g x ，函数 g x递增. min 11g xg，1a ， 因此，实数a的取值范围是, 1 ； （2）由（1）可知，当1a时
36、， ln10f xxx ， 即ln1xx，当且仅当1x 时等号成立， 问题等价于判断方程lnlnsinx xxxx是否存在实数解， 设 2 lnlnsin1 lnsinh xx xxxxxxxx， 2 11sin1 sinh xxxxxx （当且仅当1x 时等号成立） ， 又1 sin0 x，当且仅当2 2 xkkN 时等号成立， 所以对任意0 x， 0h x 恒成立，所以函数 2 1 lnsinh xxxxx无零点， 即方程lnlnsinx xxxx不存在实数解. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数
37、的基本性质作出图象， 然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合 思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由 0f x 分离变量得出 ag x，将问题等价转化为直线y a 与函数 yg x 的图象的交点问题. 22. 在平面直角坐标系xOy中， 曲线C的参数方程为 1 2 1 2 xm m ym m (m为参数)， 以坐标原点O为极点，x轴 的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()2 4 . （1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程； （2）若直线l与
38、曲线C相交于点P，求圆心在极轴上，且经过极点和点P的圆的直角坐标方程. 【答案】 （1）:l20 xy，:C 22 8xy； （2） 22 525 () 39 xy. 【解析】 【分析】 （1）参数方程进行平方相减消参，可得出曲线的普通方程，再根据极坐标与普通方程的转换规则，可得到 直线的普通方程. （2）根据直线与曲线相交可联立方程，得到 P 点坐标.然后设出圆心坐标，再根据圆经过极点和点 P，列出 关系式可求出圆心和半径，最后写出圆方程. 【详解】 （1）曲线 C的参数方程为 1 2 1 2 xm m ym m (m为参数)， 两式平方相减得曲线 C 的普通方程为： 22 8xy. 直线
39、l的极坐标方程为cos()2 4 ，则(coscossinsin)2 44 转换为直角坐标方程为20 xy （2）由 22 8 20 xy xy 得 3 1 x y ，所以点 P的直角坐标为(3,1) 设圆心为( ,0) a ，则 22 (3)1aa，解得： 5 3 a 所以，圆的直角坐标方程为： 22 525 () 39 xy. 【点睛】 （1）关键点：极坐标方程与普通方程的转换主要应用于cos,sinxy. （2）求直线与曲线的交点坐标，列方程组、解方程组、可得交点坐标； 求圆的方程可根据圆心 00 ,x y和半径r，得出圆的方程 22 2 00 xxyyr. 23. 已知函数( )22f
40、 xxx. （1）求不等式( )24f xx的解集； （2）若 ( )f x的最小值为k，且实数, ,a b c，满足()a bck ，求证： 222 28abc . 【答案】 （1）(,0； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）利用分类讨论法解绝对值不等式； （2）首先利用绝对值三角不等式求出4k ，再利用基本不等式证明. 【详解】 （1）当2x时，不等式即为224xx，解得1,2xx ； 当22x 时，不等式即为4 24x， 020 xx ； 当2x 时，不等式即为2 24xx，x. 综上，不等式( )24f xx的解集为(,0. （2）由绝对值不等式的性质可得：|2|2| |(2)(2)| 4xxxx 当 22x 时， ( )f x取最小值 4，即4,()4ka bc ，即4abac 2222222 2228abcabacabac 当且仅当 2abc 时等号成立. 【点睛】方法点睛：证明不等式常用的方法有： （1）比较法； （2）综合法； （3）分析法； （4）放缩法； （5） 数学归纳法； （6）反证法.要根据已知条件灵活选择方法证明.
