1、溧阳市 20202021 学年度第一学期期末质量调研测试 高二数学试题 2021.1 一选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.设xR,则“24 r ”是“ 2 230 xx”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.等差数列 n a的前 n 项和为 n S,若 1 12a , 5 90S ,则等差数列 n 公差为() A.2 B. 3 2 C.3 D.4 3.若对于任意的0,2x,不等式 2 20 xxa恒成立,则 a 的取值范围为() a.,1 B.1, C.0, d.1, 4.
2、著名物理学家李政道说:“科学和艺术是不可分割的音乐中使用的乐音在高度上不是任意定 的,它们是按照严格的数学方法确定的我国明代的数学家音乐理论家朱载填创立了十二平均 律是第一个利用数学使音律公式化的人十二平均律的生律法是精确规定八度的比例,把八度分 成 13 个半音,使相邻两个半音之间的频率比是常数,如下表所示,其中 1 , 2 a, 13 a表示这些 半音的频率,它们满足 12 1 21,2,12 i i a i a .若某一半音与 D 的频率之比为2,则该半音为 () A. # F B.G C. # G D.A 5.已知在正方体 1111 ABCDABC D中,M,N分别为 1 AD,AC上
3、的点,且满足 1 3ADMD,2ANNC, 则异面直线 MN 与 11 C D所成角的余弦值为() A. 2 5 5 B. 5 5 C. 3 3 D. 2 4 6.航天器的轨道有很多种,其中“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道,而且地球的中心正好 是椭圆的一个焦点若地球的半径为,地球同步转移轨道的远地点 A(即椭圆上离地球表面最远 的点)与地球表面的距离为 1 4 r,近地点 B 与地球表面的距离为 1 8 r,则地球同步转移轨道的离心 率为() A. 1 3 B. 1 8 C. 1 17 D. 1 19 7.设 O 为坐标原点,直线xa与双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ba 的两
4、条渐近线分别交于 D,E 两点,若ODE的面积为 8,则 14 ab 的最小值为() A. 2 2 B.2 C. 5 2 4 D.2 2 8.如图,已知直三棱柱 111 ABCABC中,P 是底面 111 ABC内一动点,直线 PA 和底面 ABC 所成角是 定值,则满足条件的点 P 的轨迹是() A.直线的一部分 B.圆的一部分 C.抛物线的一部分 D.椭圆的一部分 二选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分. 9.下列结论正确的是() A.若0ab,则 12 ab B.若 a,0b
5、4baab,则b的最小值为 10 c.函数 1 1 f xx x 的最小值是 3 D.若abc,0abc ,则 cc acbc 10.如图,正方体 1111 ADCDABC D的棱长为 1,则下列四个命题正确的是() A.直线 BC 与平面 11 ABC D所成的角等于 4 B.点 C 到面 11 ABC D的距离为 2 2 C.两条异面直线 1 DC和 BC1所成的角为 4 D.二面角 1 CBCD的平面角的余弦值为 3 3 11.已知曲线 22 :1 xy C mn ,() A.若0mn,则 C 是焦点在 x 轴上的椭圆 B.若20mn n,则 C 是椭圆,且其离心率为 3 2 C.若0m
6、n,则 C 是双曲线,其渐近线方程为 22 0 xy mn D.若2mn,则 C 是双曲线,其离心率为3或 6 2 12.已知等比数列 n a的公比 1 2 q ,等差数数列 n b的首项 1 18b ,若 88 ab且 99 ab,则以下 结论正确的有() A. 89 a B. 89 0aa C. 98 bb D. 10 0b 三填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知点1,2,3A,0,1,2B,APPB,则|AP _. 14.已知双曲线 C 过点 3. 2且渐近线为 3 3 yx ,则双曲线 C 的标准方程为_. 15.某市要建一个椭圆形场馆,其中椭圆的长轴长
7、为200米,短轴长为120米.现要在该场馆内划 定一个顶点都在场馆边界上的矩形区域,当这个区域的面积最大时,矩形的周长为_米. 16.如图,已知直线: l yx与曲线 1 2 :C ylog x,设 1 P为曲线 C 上 纵坐标为 1 的点,过 1 P作 y 轴的平行线交 l 于 2 Q,过 Q2作 y 轴的垂线交曲线 C 于 2 P;再过 2 P作 y 轴的平行线交 l 于点 Q3,过 3 Q作 y 轴的垂线交曲线 C 于 P3;设点 1 P, 2 P, 3 P,P 的横坐标 分别为 1 a, 2 a, 3 a, n a.若 2019 at.则 2020 a_用 t 表示). 四解答题:本题
8、共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 在 1 1 3 nn aa , 1 8 nn aan , 1 1 2 n n a a 这三个条件中任选一个,补充下面的问题:设 n S是数列 n 的前 n 项和,且 4 4a ,_,补充完后. (1)求 n a的通项公式; (2)判断 n S是否存在最大值(说明理由). 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 18.(12 分)如图,在四棱锥SABCD中,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,SD平面 ABCD,E,F 分 别为 AB,SC 的中点. ()证明:EFCD. (2)若8SD,求直线 EF 与平面 ABC
9、D 所成角的正弦值. 19.(12 分)已知数列 n a的前 n 项和 n S满足 1 22, nn SSnn N,且 1 4a . (1)求数列 n a的前 n 项和 n S及通项公式 n a (2)记 1 16 n nn b aa ,Tn为 n b的前 n 项和,求 n T. 20.(12 分)如图,在四棱锥S-ABCD 中,ABCD 为直角梯形,/ADBC,BCCD,平面 SCD平面 ABCD,SCD 是以 CD 为斜边的等腰直角三角形,224BCADCD,E 为线段 BS 上一点， BEES. (1)若2,证明:SD平面 ACE； (2)若二面角SACE的余弦值为 1 3 ,求的值.
10、21.(12 分)圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质,这些性质均与它们的焦点有关如:从椭圆 的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上,经过反射后通过椭圆的另一个焦点;从抛物线的焦点 处出发的光线照射到抛物线上,经反射后的光线平行于抛物线的轴.某市进行科技展览,其中有 一个展品就利用了圆锥曲线的光学性质,此展品的一个截面由一条抛物线 1 C和一个“开了孔” 的椭圆 C2构成(小孔在椭圆的左上方).如图,椭圆与抛物线均关于 x 轴对称,且抛物线和椭圆的 左端点都在坐标原点, 1 F, 2 F为椭圆 2 C的焦点,同时 1 F也为抛物线 1 C的焦点,其中椭圆的短轴长 为2 3,在 2 F处放置一个光源,其中
11、一条光线经过椭圆两次反射后再次回到 2 F经过的路程为 8. 由 2 F照射的某些光线经椭圆反射后穿过小孔,再由抛物线反射之后不会被椭圆挡住. (1)求抛物线 1 C的方程; (2)若由 2 F发出的一条光线经由椭圆 2 C上的点 P 反射后穿过小孔,再经抛物线上的点 Q 反射后 刚好与椭圆相切,求此时的线段 1 QF的长; (3)在(2)的条件下,求线段 PQ 的长. 22.(12 分)已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的右焦点 F 的坐标为(1,0),左焦点为,且椭圆 C 上 的点与两个焦点 F,F所构成的三角形的面积的最大值为3. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)如图,已知 P,Q 两点是位于 x 轴同侧的椭圆上的两点,且直线 PF,QF 的斜率之和为 0,试问 PFQ的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值:若不存在,请说明理由.
