1、第 1 页（共 10 页） 2020-2021 学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷 一、填空题一、填空题 1 （3 分）9 与 1 的等比中项为 2 （3 分） 2 lim 21 n n n 3 （3 分）若(1,2)a 与(2,)bm平行，则实数m 4 （3 分）三阶行列式 1&2&3 4&5&6 7&8&9 中，元素 5 的代数余子式的值为 5 （3 分）直线:310lxy 的倾斜角是 6 （3 分）向量(4,3)m 在向量(1,0)n 方向上的投影为 7 （3 分）已知数列 n a为等差数列且 5 2a ，则其前 9 项和 9 S 8 （3
2、分）直线 1: 10lxy 与直线 2: 20lxy夹角的大小为 9 （3 分）若方程 22 680 xyxyk表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是 10 （3 分）若 n a是无穷等比数列，且 12 lim()2 n n aaa ，则 1 a的取值范围为 11 （3 分）已知动点P在曲线 22 (1)(1)4xy上，则动点P到直线0 xy的距离的最 大值与最小值的和为 12 （3 分）在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为 2、1，若M、N分别是边BC、CD 上的点，且满足 | | BMCN BCCD ，则AM AN的取值范围是 二、选择题二、选择题 13 （3 分）直线 11 : 23
3、xy l 的一个方向向量可以是( ) A(2,3) B( 2,3) C(3,2) D( 3,2) 14 （3 分）二元一次方程 21 35 xy xy 的系数行列式的值是( ) A2 B5 C7 D11 15 （3 分）若等比数列 n a的前项和3n n Sa，则a的值为( ) A3 B0 C1 D3 第 2 页（共 10 页） 16 （3 分）已知点( , )P a b，曲线 22 1: 1Cxy，曲线 2 2: 1Cyx，则“点( , )P a b在曲 线 1 C上”是“点( , )P a b在曲线 2 C上”的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件
4、 三、解答题三、解答题 17已知直线l与直线250 xy平行，并且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为 4， 求直线l的一般式方程 18已知(1,2)a ，(2, 2)b ，cba （1）求a与b的夹角的余弦值； （2）若ac，求实数的值和向量c 19已知定点( 2,0)A ，(2,0)B和曲线 2 3yx上的动点C （1）求线段AB的垂直平分线的方程； （2）若点G是ABC的重心，求动点G的轨迹方程 20已知数列 n a中， 1 1a ，点( n P a， 1)n a ，*nN在直线10 xy 上 （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 1 n n b a ， n S为数列 n b的前n
5、项和，试问：是否存在关于n的整式( )g n，使得 121 (1)( )(2 nn SSSSg n n ，*)nN恒成立，若存在，写出( )g n的表达式，并 加以证明，若不存在，说明理由 21已知圆 22 :()()4(0,0)Cxaybab与x轴、y轴分别相切于A、B两点 （1）求圆C的方程； （2）若直线:2l yxk与线段AB没有公共点，求实数k的取值范围； （3）试讨论直线:2l yxk与圆 22 :()()4(0,0)Cxaybab的位置关系 第 3 页（共 10 页） 2020-2021 学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷 参考答案与
6、试题解析参考答案与试题解析 一、填空题一、填空题 1 （3 分）9 与 1 的等比中项为 3 【解答】解：9 与 1 的等比中项9 13 2 （3 分） 2 lim 21 n n n 1 2 【解答】解：根据题意， 2 1 21 limlim 1 212 2 nn n n n n ， 故答案为： 1 2 3 （3 分）若(1,2)a 与(2,)bm平行，则实数m 4 【解答】解：(1,2)a 与(2,)bm平行， 2 12 m ， 解得实数4m 故答案为：4 4 （3 分）三阶行列式 1&2&3 4&5&6 7&8&9 中，元素 5 的代数余子式的值为 12 【解答】 解： 三阶行列式 1&2
7、&3 4&5&6 7&8&9 中， 元素 5的代数余子式的值为 1&3 1 93 712 7&9 故答案为：12 5 （3 分）直线:310lxy 的倾斜角是 60 【解答】解：设直线310 xy 的倾斜角为 由直线310 xy 化为31yx， tan3， 0，180 ) 第 4 页（共 10 页） 60 故答案为：60 6 （3 分）向量(4,3)m 在向量(1,0)n 方向上的投影为 4 【解答】解：(4,3),(1,0)mn， m在n方向上的投影为： 4 4 |1 m n n 故答案为：4 7 （3 分）已知数列 n a为等差数列且 5 2a ，则其前 9 项和 9 S 18 【解答】解
8、：等差数列 n a满足 5 2a ，则其前 9 项和 19 95 9() 918 2 aa Sa 故答案为：18 8 （3 分）直线 1: 10lxy 与直线 2: 20lxy夹角的大小为 2 【解答】解：直线 1: 10lxy 的斜率为1，倾斜角为 3 4 ， 直线 2: 20lxy的斜率为 1，倾斜角为 4 ， 故它们的夹角为 2 ， 故答案为： 2 9 （3 分）若方程 22 680 xyxyk表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是 ( 25,) 【解答】解：根据题意，若方程 22 680 xyxyk表示的曲线是圆， 则有 22 ( 6)( 8)4()0 k，即10040k， 解可得25
9、k， 即k的取值范围为( 25,)， 故答案为：( 25,) 10 （3 分）若 n a是无穷等比数列，且 12 lim()2 n n aaa ，则 1 a的取值范围为 (0， 2)(2，4) 【解答】解： n a是无穷等比数列，且 12 lim()2 n n aaa ， 所以| (0,1)q ， 第 5 页（共 10 页） 所以 11 12 (1) lim()lim2 11 n n nn aqa aaa qq ， 所以 1 2(1)(0aq，2)(2，4) 故答案为：(0，2)(2，4) 11 （3 分）已知动点P在曲线 22 (1)(1)4xy上，则动点P到直线0 xy的距离的最 大值与最
10、小值的和为 22 【解答】解：圆 22 (1)(1)4xy的圆心坐标为(1, 1)，半径2r ， 圆心(1, 1)到直线0 xy的距离为 |1 1| 2 2 d ， 又动点P在曲线 22 (1)(1)4xy上， 动点P到直线0 xy的距离的最大值为22，最小值为 0， 最大值与最小值的和为22 故答案为：22 12 （3 分）在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为 2、1，若M、N分别是边BC、CD 上的点，且满足 | | BMCN BCCD ，则AM AN的取值范围是 1，4 【解答】解：以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，建立坐标系如图， 2AB ，1AD ， (0,0)A，
11、(2,0)B，(2,1)C，(0,1)D， 设(2, )Mb，( ,1)N x， | | BMCN BCCD ， 2 2 x b ( ,1)ANx， 2 (2,) 2 x AM ， 3 1,(02) 2 AM ANxx剟， 3 11 4 2 x剟， 第 6 页（共 10 页） 即14AM AN剟 故答案为：1，4 二、选择题二、选择题 13 （3 分）直线 11 : 23 xy l 的一个方向向量可以是( ) A(2,3) B( 2,3) C(3,2) D( 3,2) 【解答】解：直线 11 : 23 xy l 可变形为 35 22 yx， 故直线的方向向量为 3 (1, ) 2 a ， 则与
12、a平行的向量即可作为直线的方向向量， 因为 3 (2,3)2(1, ) 2 ， 故直线 11 : 23 xy l 的一个方向向量可以是(2,3) 故选：A 14 （3 分）二元一次方程 21 35 xy xy 的系数行列式的值是( ) A2 B5 C7 D11 【解答】解：二元一次方程 21 35 xy xy 的系数行列式为 1& 2 1 1( 2)37 3&1 故选：C 15 （3 分）若等比数列 n a的前项和3n n Sa，则a的值为( ) 第 7 页（共 10 页） A3 B0 C1 D3 【解答】解：3n n Sa， 1 1 3n n Sa ，(2,)nnN ， 1 1 2 3n n
13、nn aSS ， 又 11 3aSa，由通项得： 2 6a ，公比为 3， 1 2a， 1a 故选：C 16 （3 分）已知点( , )P a b，曲线 22 1: 1Cxy，曲线 2 2: 1Cyx，则“点( , )P a b在曲 线 1 C上”是“点( , )P a b在曲线 2 C上”的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 【解答】解：已知点( , )P a b， 曲线 1 C的方程 22 1xy，即曲线 1 C为圆心在原点，半径为 1 的圆， 曲线 2 C的方程 2 1yx，即曲线 2 C为圆心在原点，半径为 1 的上半圆， 若点( , )P
14、a b在曲线 1 C上，则点( , )P a b满足曲线 1 C的方程 22 1xy，即 22 1ab成立， 则不一定有 2 1ba，0b成立， 所以点( , )P a b在曲线 1 C上，不能推出点( , )P a b在曲线 2 C上， 若点( , )P a b在曲线 2 C上，则点( , )P a b满足曲线 2 C的方程 2 1yx，有 2 1ba， 因为曲线 2 C为圆的曲线x轴交点即上方部分图形，0b， 所以点( , )P a b在曲线 2 C上能推出点( , )P a b在曲线 1 C上， 即能推出 22 1ab成立， 根据充分条件和必要条件的定义可得， “点( , )P a b在
15、曲线 1 C上”是“点( , )P a b在曲线 2 C上”的必要非充分条件， 故选：B 三、解答题三、解答题 17已知直线l与直线250 xy平行，并且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为 4， 求直线l的一般式方程 第 8 页（共 10 页） 【解答】解：根据题意设直线l的方程为20 xym， 令0 x ，得ym， 令0y ，得 2 m x ， 所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为 1 | 4 22 m m ， 所以 2 16m ，解得4m ， 所以直线l的方程为240 xy或240 xy 18已知(1,2)a ，(2, 2)b ，cba （1）求a与b的夹角的余弦值； （2）若ac，
16、求实数的值和向量c 【解答】解： （1）(1,2)a ，(2, 2)b a与b的夹角的余弦值为： 2410 cos 10| |58 a b ab （2）(1,2)a ，(2, 2)b ，cba (2c ，2)(，2 )(2，22 ) ， ac， 1 (2)2 ( 22 )0a c ， 解得 2 5 ， 12 ( 5 c ， 6) 5 19已知定点( 2,0)A ，(2,0)B和曲线 2 3yx上的动点C （1）求线段AB的垂直平分线的方程； （2）若点G是ABC的重心，求动点G的轨迹方程 【解答】解： （1）( 2,0)A ，(2,0)B AB中点(0,0)M 又0 AB k，线段AB的垂直平
17、分线的方程为0 x ； （2）设( , )G x y， 0 (C x， 0) y， 点G是ABC的重心， 第 9 页（共 10 页） 0 0 22 3 00 3 x x y y ，即 0 0 3 3 xx yy ， 又因点C在曲线 2 3yx上， 2 00 3yx即 2 3(3 )3yx， 动点G的轨迹方程 2 31yx 20已知数列 n a中， 1 1a ，点( n P a， 1)n a ，*nN在直线10 xy 上 （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 1 n n b a ， n S为数列 n b的前n项和，试问：是否存在关于n的整式( )g n，使得 121 (1)( )(2 nn
18、 SSSSg n n ，*)nN恒成立，若存在，写出( )g n的表达式，并 加以证明，若不存在，说明理由 【解答】解： （1）数列 n a中， 1 1a ，点( n P a， 1)n a 在直线10 xy 上， 所以 1 1 nn aa （常数） ， 所以数列 n a是以 1 为首项，1 为公差的等差数列 所以 n an （2）存在( )g nn， 理由如下： 由（1）得 11 n n b an ， 所以 1 1 nn SS n ， 即 1 1 nn nSnS ， 故 11 (1)1 nnn nSnSS ， 122 (1)(2)1 nnn nSnSS ， ， 211 21SSS， 所有的式子
19、相加得： 1121 1 nn nSSSSSn ， 所以 1231 (1) nnn SSSSnSnn S ， 所以( )g nn 第 10 页（共 10 页） 故存在关于n的整式( )g nn， 使得 121 (1)( )(2 nn SSSSg n n ，*)nN恒成立 21已知圆 22 :()()4(0,0)Cxaybab与x轴、y轴分别相切于A、B两点 （1）求圆C的方程； （2）若直线:2l yxk与线段AB没有公共点，求实数k的取值范围； （3）试讨论直线:2l yxk与圆 22 :()()4(0,0)Cxaybab的位置关系 【解答】解： （1）由圆 22 :()()4(0,0)Cxaybab与x轴、y轴分别相切于A、B两 点， 且0a ，0b ，可得2ab， 则圆C的方程为： 22 (2)(2)4xy； （2）由（1）可得，(2,0)A，(0,2)B， 直线:2l yxk过定点(0, 2)P，如图， 1 PA k，若直线:2l yxk与线段AB没有公共点，则实数k的取值范围是(,1)； （3）由(2,2)C到直线20 xyk的距离 2 |24| 2 1 d k k ，解得 3 4 k 由图可知，当 3 (, ) 4 k时，直线l与圆C相离；当 3 4 k时，相切；当 3 (4k，)时，相 交
