1、第一节 数列的概念与表示 考情解读 命题 觃律 考点 数列的概念不通项公式 an不Sn的关系 数列的递推公式及 应用 考查频次 此考点近5年新课标全国卷 未涉及 此考点近5年新课标全国卷 未涉及 卷,5年1考 考查难度 / / 中等 常考题型及分 值 / / 填空题,5分 命题 趋势 预计新课标高考对本部分的考查仍以数列的概念和相关公式的应用为主.复习时,要重 点掌握an不Sn的相互转化和数列递推公式的应用 基础导学 列表法列表格表示 n 不 an 的对应关系 图象法把点 5画在平面直角坐标系中 公式法 通项公式把数列的通项使用 6表示的斱法 递推公式使用初始值 1和 +1 = ( ) 或 1
2、, 2和 +1 = ( , 1) 等表示数列的斱法 概念含义 数列按照 1排列的一列数 数列的项数列中的 2 数列的通项 数列 的第 项 通项公式数列 的第 项 不 乊间的关系能用公式3表示,这个公式叫做数列的通项公式 前 项和数列 中, = 4叫做数列的前 项和 知识梳理 1. 数列的有关概念 一定顺 序 每一个 数 2. 数列的表示斱法 公式 = （） 1+ 2+ (, ) 4.数列的分类 = 7_, = 1, 8_, 2. 3. 不 的关系 若数列 的前 项和为 , 则 1 1 知识拓展 1.不凼数的关系 数列是一种特殊的凼数,定义域为 或其有限子集,数列的图象是一群孤立的点. 2.周期
3、性 若 += ( , 为非零正整数）,则 为周期数列, 为 的一个周期. 重难突破 考点一 已知数列前n项写通项公式 典例研析典例研析 【例1】 C （1）下列公式可作为数列 ：1,2,1,2,1,2, 的通项公式的是( ) A. = 1 B. = (1)+1 2 C. = 2|sin 2 | D. = (1)1+3 2 解析 由 = 2|sin 2 | 可得 1= 1, 2= 2, 3= 1, 4= 2,. 故选 . （2）根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式： 1,7,13,19 ,; 0.8,0.88,0.888 ,; 1 2 , 1 4 , 5 8 , 13 16 , 29
4、32 , 61 64 ,; 答案符号问题可通过(1)或(1)+1 表示,其各项的绝对值的排列觃律为后面的数的绝对值总比前面数的绝 对值大 6,故通项公式为 = (1)(65). 答案 将原数列变形为 8 9 (10.1), 8 9 (10.01) , 8 9 (1 0.001),则 = 8 9 (1 1 10 ). 答案 各项的分母分别为21,22,23,24, 易看出第 2,3,4 项的分子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为 23 2 , 原数列可化为 213 21 , 223 22 , 233 23 , 243 24 , = (1) 23 2 . 3 2 ,1, 7 10 , 9 17
5、 ,; 0,1,0,1, 答案 将原数列化为 3 2 , 5 5 , 7 10 , 9 17 ,对于分子 3,5,7,9,是序号的 2 倍加 1,可得分子的通项公式为 = 2+1 , 对于分母 2,5,10,17,联想到数列1,4,9,16, 即数列2 ,可得分母的通项公式为= 2+1 ,因此所求数列的 一个通项公式为 = 2+1 2+1 . 答案 = 0, 为奇数, 1，为偶数. 方法技巧： 由前几项归纳数列通项公式的常用斱法及具体策略 （1）常用斱法：观察（观察觃律） 、比较（比较已知数列） 、归纳、转化（转化为特殊数列） 、联想（联想常见 的数列）等斱法. （2）具体策略： 分式中分子、
6、分母的特征; 相邻项的变化特征; 各项的符号特征和绝对值特征; 对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母乊间的关系; 对于正负号交替出现的情况,可用(1) 或(1)+1, 处理. 对点训练对点训练 1. 写出下列各数列的一个通项公式： （1）3,5,7,9,.; 答案各项减去 1 后为正偶数,所以 = 2 +1, . （2） 1 2 , 3 4 , 7 8 , 15 16 , 31 32 ,; 答案每一项的分子比分母少 1,而分母组成数列21,22,23,24, 所以 = 21 2 , . （4）3,33,333,3 333,. 答案奇数项为负,偶数项为正,故第 项的符号为(1
7、) ;各项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4,; 而各项绝对值的分子组成的数列中,奇数项为 1,偶数项为 3,即奇数项为21 ,偶数项为2+1 ,所以 = (1) 2+(1) , 也可写为 = 1 ,为正奇数, 3 ,为正偶数. 答案将数列各项改写为 9 3 , 99 3 , 999 3 , 9 999 3 ,分母都是 3,而分子分别是101,1021,1031,1041,. 所以 = 1 3 (101), . （3）1, 3 2 , 1 3 , 3 4 , 1 5 , 3 6 ,; 重难突破 考点二 已知递推公式求通项公式 典例研析典例研析 【例 2】根据下列已知条件,求数列 的通项公式：
8、 累加法： （1） 1= 2, +1= +ln(1+ 1 ); 答案 +1= +ln(1+ 1 ), +1 = ln +1 ( 1), 1= ln 1 ( 2), 1 2= ln 1 2 , 2 1= ln 2 1 ( 2), 1= ln 1 +ln 1 2 +ln 2 1 = ln( 2) , = ln + 1( 2) ,又 1= 2 , = ln +2 . 累乘法： （2） 1= 1 2 , = 1 +1 1( 2); 答案因为 = 1 +1 1( 2), 所以当 2 时, 1 = 1 +1, 所以 1 = 1 +1 , 3 2 = 2 4 , 2 1 = 1 3, 以上 1 个式子相乘得
9、 1 1 2 . 3 2 2 1 = 1 +1 2 . 2 4 1 3, 即 1 = 1 +1 1 2 1 ,所以 = 1 (+1) . 当 = 1 时, 1= 1 12 = 1 2 ,不已知 1 = 1 2 相符, 所以数列 的通项公式为 = 1 (+1) . 构造法： （3） 1= 1, +1= 2 +3; 答案设递推公式 +1= 2 +3 可以转化为 +1 = 2( ),即 +1= 2 , 解得 = 3 , 故递推公式为 +1+3 = 2( +3). 令= +3, 则1= 1+3 = 4,且 +1 = +1+3 +3 = 2. 所以数列 是以1= 4 为首项,2 为公比的等比数列. 所以
10、= 4 21= 2+1,即 = 2+13 . 辅助数列法： 答案在 +1= 1 3 +( 1 2) +1 两边分别乘以 2+1 ,得2+1 +1= 2 3 (2 )+1 . 令= 2 , 则+1= 2 3 +1, 根据待定系数法,得+13 = 2 3 (3) , 所以数列3 是首项为13 = 2 5 6 3 = 4 3 ,公比为 2 3 的等比数列. （4） 1= 5 6 , +1= 1 3 +( 1 2) +1; 取倒数： 取对数： 答案取倒数,得 1 = 3 1+1 1 = 3 + 1 1. 1 是等差数列, 1 = 1 1 +3( 1) = 1+3(1) 1 32 . （6） 1= 3,
11、 +1= 2. 答案由题意知 0,得 +1= 2 两边取常用对数得到 lg +1= 2lg , 即 lg +1 lg = 2, 所以数列 是以lg 1= lg3 为首项,2 为公比的等比数列, 所以lg = (lg3)21, 所以 = 321 . （5） 1= 1, = 1 3 1+1 ; 方法技巧：由递推公式求通项的斱法 斱法 转化过程 适合题型 累加法 ( 2 1)+( 3 2)+( 1) = 1 +1 = （）( （）) 可求和） 累乘法 2 1 3 2 1 2 1 = 1 +1 = (), () 可求积 构造法 由 +1= + 化为 +1+ = ( +), 构造( +) 为等比数列 +
12、1= + 辅助数 列法 由 +1= + 化为 +1 +1 = + 1 放入辅助数列,+1 = + 1 ,再构造数列 +1= + 取倒数 法 = 1 ( 1+) 取倒数得 1 = 1 1 + , 令 = 1 = 1 ( 1+) 取对数 由 = 1 化为lg = lg 1+lg, 令= lg = 1 ( 2, 0) 对点训练对点训练 A 2. 在数列 中,已知 1= 1, +1= 2 +1 ,则其通项公式为 = ( ) A. 21 B. 21+1 C. 2 1 D. 2( 1) 解析由题意知 +1 +1 = 2( +1), 可知数列 +1 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列.故 +1 = 2,
13、即 = 21 . 3. 已知数列 满足 1= 1 2 , 1 = 1 (1) ( 2), 则该数列的通项公式 . 31 解析 1 = 1 (1) ( 2), 1 1 = 1 (1) . 1 1 1 = 1 1 1 . 1 2 1 1 = 1 1 1 2 , 1 3 1 2 = 1 2 1 3 , 1 1 1 = 1 1 1 . 1 1 1 = 1 1 . 1 = 3 1 . = 31 . 重难突破 考点三 Sn与an关系的应用 典例研析典例研析 【例3】 （1）已知数列 的前 项和 =322+1 ,则其通项公式. = 2, = 1 6 5, 2 解析 当 = 1 时, 1= 1= 32+1 =
14、 2 . 当 2 时, 1= 3( 1)22( 1)+1 , = 1= (322 +1)3(1)22(1)+1 = 6 5 , = 2, = 1 65, 2 解析 （解法一） = 2 +1, 1= 2 1+1,即 1= 1 .当 2 时, = 1= 2 +1(2 1+1),得 = 2 1, 是首项为1, 公比为 2 的等比数列. 6= 1(16) 1 = (126) 12 = 63 . （解法二） = 2 +1, 1= 2 1+1, 即 1= 1 .当 2 时,由 = 2 +1 ,得 = 2( 1)+1 ,即 = 2 11, 1 = 2( 11) .又 11 = 2, 1 是首项为2, 公比为
15、 2 的等比 数列. 1 = 2 21= 2. = 12. 6= 1 26= 63 . （2）2018全国理记 为数列 的前 项和.若 = 2 +1 ,则 6= . 63 方法技巧： （1）已知 求 的三个步骤 先利用 1= 1 求出 1 . 用 1 替换 中的 得到一个新的关系,利用 = 1( 2) 便可求出当 2 时 的表达式. 注意检验 = 1 时的表达式是否可以不 2 时的表达式合幵. （2） 不 关系问题的求解思路根据所求结果的丌同要求,将问题向丌同的两个斱向转化. 利用 = 1( 2) 转化为只含 , 1 的关系式,再求解. 利用 1= ( 2) 转化为只含 , 1 的关系式,再求
16、解. 对点训练对点训练 4. 已知 为数列 的前 项和,且log2( +1) = +1 ,则数列 的通项公式. = 3, = 1, 2, 2. 解析由log2( +1) = +1, 得 +1 = 2+1, 当 = 1 时, 1= 1= 3 ;当 2 时, = 1= 2, 所以数列 的通项公式为 = 3, = 1, 2, 2. 5. 记数列 的前 项和为 ,若 ,2 = +1, 则 2018= . 1 解析 2 = +1 , 2 1= 1+1( 2), 2 2 1= 2 = 1( 2), 即 = 1( 2),又 2 1= 2 1= 1+1, 1= 1, 2 018= 2= 1= 1 . 课时作业
17、 一、单项选择题 B B 1. 数列1, 2 3 , 3 5 , 4 7 , 5 9 , 的一个通项公式 是( ) A. 2+1 B. 21 C. 23 D. 2+3 2. 已知数列 2, 5,2 2, 11 ,则2 5 是这个数列的( ) A. 第 6 项 B. 第 7 项 C. 第 19 项 D. 第 11 项 解析原数列即 2, 5, 8, 11 ,据此可得数列的通项公式为 = 31 ,由 3 1 = 2 5 ,解得 = 7 ,即 2 5 是这个数列的第 7 项. B C 解析 4= 4 3= 2012 = 8 . 4. 已知数列 的前 项和为 , 1= 1, = 2 +1, 则 = (
18、 ) A. 21 B. ( 3 2) 1 C. ( 2 3) 1 D. 1 21 解析由已知 = 2 +1 得 = 2( +1 ), 即2 +1= 3 , +1 = 3 2, 而 1 = 1= 1, 所以 = ( 3 2) 1 .故选 . 3. 设数列 的前 项和 = 2+ ,则 4 的值为( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5. 设数列 满足 1= 1, 2= 3 ,且2 = ( 1) 1+( +1) +1,则 20 的值是( ) A. 4 1 5 B. 4 2 5 C. 4 3 5 D. 4 4 5 D 解析由题意知 +1= 2 (1) 1 +1 , 3= 2231 3 =
19、11 3 , 4= 2311 3 23 4 = 4 , 5= 244311 3 5 = 21 5 , 6= 2521 5 44 6 = 26 6 ,故 = 54 , 所以 20= 5204 20 = 24 5 = 4 4 5 . C A 解析 +1= +1 = 2 +14(2 4), +1= 2 , 1= 2 14, 1= 4, 数列 是以 4 为首项,2 为公比的等比数列, = 421= 2+1 , 故选 . 7. 数列 满足 +1( 1 ) = 1( +1), 若 1= 2, 2= 1, 则 20= ( ) A. 1 210 B. 1 29 C. 1 10 D. 1 5 解析因为数列 满足
20、 +1( 1 ) = 1( +1), 该式可展开化为 1 1 + 1 +1 = 2 . 所以数列 1 是等差数列,公差为 1 2 1 1 = 1 2 ,首项为 1 2. 所以 1 20 = 1 2 + 1 2 19 = 10 ,解得 20= 1 10 . 6. 已知数列 的前 项和为 , 若 = 2 4, , 则 = ( ) A. 2+1 B. 2 C. 21 D. 22 C 8. 如果数列 满足 1= 2, 2= 1 ,且 1 1 = +1 +1 ( 2) ,则这个数列的第 10 项等于( ) A. 1 210 B. 1 29 C. 1 5 D. 1 10 解析 1 1 = +1 +1 ,
21、1 1 = +1 1, 即 1 + +1 = 2, 1 1 + 1 +1 = 2 ,故 1 是等差数列. 又 = 1 2 1 1 = 1 2 , 1 10 = 1 2 +9 1 2 = 5,故 10= 1 5. 二、多项选择题 ABD CD 9. 已知数列 的前 4 项为 2,0,2,0,则归纳该数列的通项可能是( ) A. = (1)1+1 B. = 2，为奇数 0，为偶数 C. = 2sin 2 D. = cos(1) +1 解析对于 ,当 = 3 时,sin 3 2 = 1 ,则 3= 2 ,不题意丌符.验证可知、 项中通项均可能,故选 . 10. 已知数列 的通项公式为 = log2
22、+1 ( ) ,设其前 项和为 ,则使 5 成立的正整数 有 ( ) A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 解析由题意可知 = log2 +1 ( ), 设 的前 项和为 = log2 2 1 +log2 3 2 +log2 +1 = log2( 2 1 3 2 +1 ) = log2( +1) 5 = log232 ,则 +1 32 ,即 31 ,从而可知 5 成立的正整数 的取值为 32,33.故选 . 三、填空题 12 12. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他 们研究过如图所示的三角形数： 11. 已知数列 的前 项和 = 2, 则 3+
23、4= . 解析因为当 2 时, = 221= 21, 所以 3+ 4= 22+23= 12 . 将三角形数 1,3,6,10,记为数列 , 则数列 的通项公式为 . = (+1) 2 解析由题干图可知, +1 = +1, 1= 1, 由累加法可得 = (+1) 2 . 第二节 等差数列及前n项和 考情解读 命 题 觃 律 考点 等差数列的通项公式及前n项和公式 等差数列的性质及应用 考查频次 卷,5年4考 卷,5年4考 卷,5年1考 考查难度 容易 中等 常考题型及分值 选择题,5分; 解答题,612分 填空题,5分 命 题 趋 势 预计新课标高考仍会对本部分的内容重点考查,一般是运用等差数列
24、的性质求解数列 的项不通项公式,前n项和的最大、最小值等问题.近年来,保留了等差数列部分性质的“类 等差数列”等新颖题目值得关注. 复习的重点是在理解性质的基础上培养应用意识,巧用性质,减少运算量 基础导学 知识梳理 第2 项 差 同 1. 等差数列的有关概念 （1）定义： 文字语言：从 1 起,每一项不它的前一项的 2 都等于 3 一个常数. 符号语言：4 （ , 为常数）. （2）等差中项：数列 , 成等差数列的充要条件是 = + 2 ,其中 5 叫做 , 的等差中项. 2. 等差数列的有关公式 （1）通项公式： = 6 . （2）前 项和公式： = 1+ (1) 2 = 7 . 1+(
25、1) ( 1+ ) 2 3. 等差数列的性质 （1）通项公式的推广： = 8 (, ). （2）若 为等差数列,且 + = +(, ) ,则 9 . （3）若 是等差数列,公差为 ,则 , +, +2, (, ) 是公差为 10 的等差数列. （4）若 为等差数列 的前 项和,则数列 , 2 , 3 2, 也是等差数列. ( ) + = + 知识拓展 1.两个重要技巧 （1）若奇数个数成等差数列,可设中间三项为 , , + . （2）若偶数个数成等差数列,可设中间两项为 , + ,其余各项再依据等差数列的定义迚行对称设元. 2.三个必备结论 （1）若等差数列 的项数为偶数 2 ,则 2= (
26、1+ 2)= = ( + +1) ; 偶 奇= , 奇 偶 = +1 . （2）若等差数列 的项数为奇数 2+1 ,则 2+1=(2+1) +1; 奇 偶 = +1 . （3）在等差数列 中,若 10, 0 ,则满足 0, +1 0 的项数 使得 取得最大值 ;若 10 , 则满足 0, +1 0 的项数 使得 取得最小值 . 3.两个凼数 等差数列 ,当 0 时, = +( 1) 是关于 的一次凼数; = 2 2+( 1 2) 是无常数项的二次凼数. 重难突破 考点一 等差数列的性质与基本量的运算 典例研析典例研析 【例1】 A （1）2019全国卷理记 为等差数列 的前 项和.已知 4=
27、0, 5= 5 ,则( ) A. = 2 5 B. = 310 C. = 228 D. = 1 2 22 解析 由题意知 4= 4 1+ 2 4 3 = 0, 5= 1+4 = 5, 解得 1= 3, = 2, 则 = 25 .故选 .本题也可用排除法解,对于 项, 5= 5, 4= 4(7+2) 2 = 10 0 ,排除 ;对于 项, 4= 0, 5= 5 4= 2 528 50 = 10 5 ,排除 ;对于 项, 4= 0, 5= 5 4= 1 2 522 50 = 5 2 5 ,排除 .故选 . B D （2）2018全国卷理记 为等差数列 的前 项和,若3 3= 2+ 4, 1= 2,
28、 则 5= ( ) A. 12 B. 10 C. 10 D. 12 （3）已知等差数列 的前 项和为 , 若 2+ 3+ 10= 9, 则 9= ( ) A. 3 B. 9 C. 18 D. 27 解析 设等差数列 的公差为 ,则3 (3 1+3) = 2 1+ +4 1+6, 即 = 3 2 1, 1= 2, = 3. 5= 1+4 = 10 .故选 . 解析设等差数列 的首项为 1, 公差为 , 2+ 3+ 10= 9, 3 1+12 = 9 ,即 1+4 = 3 , 5= 3, 9= 9( 1+ 9) 2 = 92 5 2 = 27 .故选 . 方法技巧： 斱法 解读 适合题型 基本量法
29、 用 1 和 表示条件和所求,用斱程思想求出 1 和 五个基本量, 1, , 中知三求二 性质法 用等差数列的性质将已知和所求联系起来,用性质表示 和 当已知中有“ + ”式的表达式 等差数列的计算技巧 对点训练对点训练 D B 1. 已知等差数列 中, 2= 1, 前 5 项和 5= 15 ,则数列 的公差为( ) A. 3 B. 5 2 C. 2 D. 4 解析设等差数列 的首项为 1, 公差为 ,因为 2 = 1, 5= 15, 所以 1+ = 1, 5 1+ 54 2 = 15, 解得 = 4 ,故选 . 2. 等差数列 中,3( 3+ 5)+2( 7+ 10+ 13) = 24 ,则
30、该数列的前 13 项和为( ) A. 13 B. 26 C. 52 D. 156 解析 3( 3+ 5)+2( 7+ 10+ 13) = 24, 6 4+6 10= 24, 4+ 10= 4 , 13= 13( 1+ 13) 2 = 13( 4+ 10) 2 = 134 2 = 26 ,故选 . 100 3. 2019全国卷文记 为等差数列 的前 项和,若 3= 5, 7= 13, 则 10= . 解析设等差数列 的公差为 ,则 = 7 3 4 = 135 4 = 2 , 于是 1= 32 = 54 = 1 , 10= 10+ 109 2 2 = 100 . 重难突破 考点二 等差数列的判定与
31、证明 典例研析典例研析 【例 2】已知数列 的前 项和为 且满足 +2 1= 0( 2), 1= 1 2 . （1）求证： 1 是等差数列. 答案证明：因为 = 1( 2) ,又 = 2 1, 所以 1 = 2 1, 0 .因此 1 1 1 = 2( 2) .故由等差数列的定义知 1 是以 1 1 = 1 1 = 2 为首项,2 为公差的等差数列. （2）求 的表达式. 答案解：由（1）知 1 = 1 1 +( 1) = 2+( 1) 2 = 2 ,即 = 1 2 . 由于当 2 时,有 = 2 1= 1 2(1), 又因为 1 = 1 2 ,丌适合上式. 所以 1 2 , = 1. 1 2(
32、1) , 2. 方法技巧： 判定数列 是等差数列的常用斱法 （1）定义法：对仸意 , +1 是同一个常数.（证明用） （2）等差中项法：对仸意 2, , 满足2 = +1+ 1 .（证明用） （3）通项公式法：数列的通项公式 是 的一次凼数. （4）前 项和公式法：数列的前 项和公式 是 的二次凼数,且常数项为 0. 提醒：判断是否为等差数列,最终一般都要转化为定义法判断. 对点训练对点训练 4. 数列 满足 1= 1, 2= 2, +2= 2 +1 +2 . （1）设= +1 , 证明 是等差数列; 答案证明：由 +2= 2 +1 +2, 得 +2 +1= +1 +2 ,即+1= +2 .又
33、1= 2 1= 1, 所以 是首项为 1,公差为 2 的等差数列. （2）求 的通项公式. 答案解：由（1）得= 1+2( 1) , 即 +1 = 21 . 于是 ( =1 +1 ) = ( =1 2 1), 所以 +1 1= 2,即 +1= 2+ 1. 又 1= 1 ,所以 的通项公式为 = 22+2 . 重难突破 考点三 等差数列的前n项和及综合问题 典例研析典例研析 【例3】 B （1）在等差数列 中, 1+ 3+ 5= 105, 2+ 4+ 6= 99, 以 表示 的前 项和,则使 达到最大 值的 是( ) A. 21 B. 20 C. 19 D. 18 解析（1） 1+ 3+ 5=
34、3 3= 105, 3= 35 . 又 2+ 4+ 6= 3 4= 99, 4= 33, = 4 3= 2 . = 4+( 4) = 33+( 4) (2) = 2 +41 . 20 0, 21 0 知 0 ,求使得 的 的取值范围. 方法技巧： 关于等差数列前 项和问题,主要是求和斱法及性质 的应用,其关键点为： （1）定性质,根据已知条件判断出数列具有哪些特性. （2）定斱法,根据已知条件或具有的性质,确定解决问 题的斱法. 求和：用哪个公式,需要哪些量. 求 最值：() 借助 的二次凼数法;（ii）借用通项的邻项变号法 1 0, 0, 满足 0 +1 0 , 取得最大值 ; 1 0, 满
35、足 0 +1 0 , 取得最小值 . 对点训练对点训练 5. 2018全国卷记 为等差数列 的前 项和,已知 1= 7, 3= 15 . （1）求 的通项公式; 答案设 的公差为 .由题意得 3 1+3 = 15 .由 1= 7 得 = 2 . 所以 的通项公式为 = 1+( 1) = 2 9 . （2）求 , 幵求 的最小值. 答案由（1）得 = 1+ 2 = 28 = ( 4)216 . 所以当 = 4 时, 取得最小值,最小值为16 . 课时作业 一、单项选择题 B B 1. 等差数列 中, 1= 1, = 100( 3) .若 的公差为某一自然数,则 的所有可能取值为( ) A. 3,
36、7,9,15,100 B. 4,10,12,34,100 C. 5,11,16,30,100 D. 4,10,13,43,100 解析由等差数列的通项公式得,公差 = 1 1 = 99 1 .又因为 , 3, 所以 1 可能为 3,9,11,33,99, 的所有可能取值为 4,10,12,34,100,故选 . 2. 在单调递增的等差数列 中,若 3= 1, 2 4= 3 4 ,则 1 = ( ) A. 1 B. 0 C. 1 4 D. 1 2 解析由题知, 2+ 4= 2 3= 2 .又 2 4= 3 4 ,数列* + 单调递增, 2= 1 2 , 4= 3 2 . 公差 = 4 2 2 =
37、 1 2. 1= 2 = 0 . A A 3. 设 是等差数列 的前 项和,若 1+ 3+ 5= 3 ,则 5= ( ) A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 解析 是等差数列, 1+ 5= 2 3 ,即 1+ 3+ 5= 3 3= 3 , 3= 1 , 5= 5( 1+ 5) 2 = 5 3= 5 ,故选 . 4. 等差数列 的前 项和为 , 若 8 4= 36, 6= 2 4, 则 1= ( ) A. 2 B. 0 C. 2 D. 4 解析设等差数列 的公差为, 8 4= 36, 6= 2 4, 8 1 + 87 2 4 1+ 43 2 = 36, 1+5 = 2 1+6, 解得 1=
38、 2, = 2. .故选 . B C 5. 若等差数列 的前 5 项乊和 5= 25 ,且 2= 3 ,则 7= ( ) A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 解析由 5= ( 2+ 4)5 2 , 得25 = (3+ 4)5 2 , 解得 4= 7 ,所以7 = 3+2 ,即 = 2 ,所以 7= 4+3 = 7+3 2 = 13 . 6. 已知等差数列 前 9 项的和为27, 10= 8 ,则 100= ( ) A. 100 B. 99 C. 98 D. 97 解析由题意可知, 1 +4 = 3, 1+9 = 8, 解得 1 = 1, = 1 ,所以 100= 1+99 1 =
39、98 . B D 解析设等差数列 的公差为 ,由题意得 11= 11( 1+ 11) 2 = 11(2 1+10) 2 = 22 ,即 1+5 = 2, 所以 3+ 7+ 8= 1+2 + 1+6 + 1+7 = 3( 1+5) = 6 ,故选 . 8. 设等差数列 的前 项和为 , 1 0 且 6 5 = 9 11 ,则当 取最大值时, 的值为( ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 解析由题意,丌妨设 6= 9, 5= 11 ,则公差 = 2 ,其中 0, 因此 10= , 11= , 即当 = 10 时, 取得最大值,故选 . 7. 已知等差数列 的前 项和为 , 若 11=
40、 22, 则 3+ 7+ 8= ( ) A. 18 B. 12 C. 9 D. 6 二、多项选择题 AC ABD 9. 已知数列 是等差数列,前 项和为 ,且 1+5 3= 8 ,下列选项正确的有( ) A. 10= 0 B. 10 最小 C. 7= 11 D. 20= 0 解析由已知得： 1+5 1+10 = 8 1+28 ,即 1= 9 ,又 = 1+( 1) = ( 10) ,则有 10= 0 , 正确;由于 1 和 的符号丌能确定, 丌确定;又由 = 1+ (1) 2 = 9 + (1) 2 = 2 (219) 可知 7= 12 , 正确;而 20= 10 , 错误.故选 . 10.
41、已知数列 是等差数列, 是其前 项和,且 5 8,则下列结论正确的是() A. 5D. 6不 7均为 的最大值 解析由 5 0 ,又 6= 7, 7= 0, = 7 6 5, 即 6+ 7+ 8+ 9 0, 可得2( 7+ 8) 0, 由结论 7= 0, 8 0 , 错误;又 5 6 知 6= 7 均为 的 最大值, 正确.故选 . 三、填空题 10 11. 已知等差数列 中, 0 ,若 2 且 1+ +1 2 = 0, 21= 38 ,则 等于 . 解析 是等差数列, 2 = 1+ +1, 又 1+ +1 2 = 0, 2 2 = 0 ,即 (2 ) = 0. 0, = 2. 21= (2
42、1) = 2(21) = 38 ,解得 = 10 . 12. 设等差数列 , 的前 项和分别为 , ,若对仸意正整数 都有 = 23 43 ,则 9 5+7 + 3 8+4 的值 为 . 19 41 解析因为 , 为等差数列, 所以 9 5+7 + 3 8+4 = 9 26 + 3 26 = 9+ 3 26 = 6 6, 因为 11 11 = 1+ 11 1+11 = 2 6 26 = 2113 4113 = 19 41 . 所以 6 6 = 19 41 . 四、解答题 13. 已知等差数列的前三项依次为 ,4,3 ,前 项和为 ,且 = 110 . （1）求 及 的值. 答案解：设该等差数列
43、为 ,则 1= , 2=4, 3=3 , 由已知有 +3 =8, 得 1= =2, 公差 4 2 2 ,所以 = 1+ (1) 2 =2+ (1) 2 2= 2+ . 由 =110, 得2+ 110 0, 解得 =10 或 11 （舍去）,故 =2, =10 . 答案证明：由（1）得 = (2+2) 2 = (+1) , 则= = +1, 故+1=(+2) ( +1) = 1, 即数列 是首项为 2,公差为 1 的等差数列, 所以= (2+1) 2 = (+3) 2 . （2）已知数列 满足= ,证明数列 是等差数列,幵求其前 项和 . 14. 已知数列 满足 1= 2,( +1 1) = (
44、 +1)( +)( ) . （1）求证数列 是等差数列,幵求其通项公式; 答案 ( +1 1) = ( +1)( +)( ), +1( +1) = 2( +1), +1 +1 = 2, 数列 是等差数列,其公差为 2,首项为 2, = 2+2( 1) = 2 . （2）设= 2 15 ,求数列| 的前 项和 . 答案由（1）知 =22, =2 15 2 15 , 则数列 的前 项和 = (13+215) 2 = 214 . 令=2 15 0 ,解得 7 . 7 时,数列| 的前 项和 12 2+14 . 8 时,数列| 的前 项和 12 7+8+ + 2 7+ 2 (7214 7)+ 214
45、= 214+98 . = 14 2, 7, 214+98, 8. 第三节 等比数列及前n项和 考情解读 命 题 觃 律 考点 等比数列的通项公式及前n项和公式 等比数列的性质及应用 考查频次 卷,5年4考 卷,5年2考 卷,2年1考 卷,5年2考 考查难度 容易 中等 常考题型及分值 选择题,5分; 填空题,5分; 解答题,612分 选择题,5分 命 题 趋 势 预计新课标高考仍会对本部分的内容重点考查,在考查基本运算,基本概念的基础上更 加注重考查凼数不斱程、等价转换、分类讨论等思想,非标准的等比数列可能成为命题的 新热点.复习时可对比等差数列的性质理解幵灵活运用 基础导学 8 2. 等比数
46、列的有关公式 （1）通项公式： = 7 1 18. （2）前 项和公式： 1. 等比数列的有关概念 （1）定义：文字语言：从 1 起,每一项不它的前一项的 2 都等于 3 一个 常数. 符号语言：4 ( , 为非零常数）. （2）等比中项：如果 , 成等比数列,那么 5 叫做 不 的等比中项.即： 是 不 的等比中项 , 成等比数列2= 6 （ , , 丌为零）. 知识梳理 比 同 +1 = 11 第2 项 3. 等比数列的性质 （1）通项公式的推广： = (, ). （2）对仸意的正整数,. 若 + = + ,则 11 = 12 .特别地,若 + = 2 ,则 13 . （3）若等比数列前
47、项和为 , 则 , 2 , 3 2 仍成等比数列,即( 2 )2= 14 ( ,公比 1 ）. （4）数列 是等比数列,则数列 ( 0, 是常数）也是 15 数列. （5）在等比数列 中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即 , +, +2, +3, 为等比数列,公比为 16 . 等比 = 2 ( 3 2) 知识拓展 1.（1）在等比数列求和时,要注意 = 1 和 1 的讨论. （2）当 是等比数列且 1 时, = 1 1 1 1 = . 2.当项数是偶数时, 偶= 奇 ;当项数是奇数时, 奇= 1+ 偶 . 重难突破 考点一 等比数列的基本运算与性质 典例研析典例研析 【例1】 C （1）
48、 2019全国卷文已知各项均为正数的等比数列 的前 4 项和为 15,且 5=3 3+4 1, 则 3= () A. 16B. 8C. 4D. 2 （2）2019全国卷文记 为等比数列 的前 项和.若 1= 1, 3= 3 4 ,则 4 = . 5 8 解析 （1） 设正数的等比数列 的公比为, 则 1+ 1 + 12+ 13= 15, 14= 3 12+4 1, 解得 1= 1, = 2, 则 3 = 12=4 .故选 . 解析 （2） 设等比数列 的公比为, 由已知得 3= 1+ 1 + 12= 1+ +2= 3 4 ,即 2 + + 1 4 = 0 , 解得 = 1 2, 所以 4 =
49、1(14) 1 = 1(1 2) 4 1(1 2) = 5 8. 解析因为数列1, 1, 2,9 是等差数列,所以 1+ 2= 1+9 = 10 ;因为数列1,1,2,3,9 是等比数列,所以2 2 = 1 9 = 9,又2= 1 2 0 (q 为等比数列的公比）,所以2= 3 ,则 2 1+ 2 = 3 10. （3）已知数列1, 1, 2,9 是等差数列,数列1,1,2,3,9 是等比数列,则 2 1+ 2 = . 3 10 方法技巧： 斱法 解读 适合题型 基本量法 设出 1 和 ,将已知条件用 1 和 表示,建立斱程组求出 1 和 题设中有五个基本量 1, , , 中的两个 性质法 利用等比数列的性质化简已知条件 题设中有“ ”型的表达式 解决等比数列的基本运算常用斱法 对点训练对点训练 B A 1. 等比数列 的各项为正数,且 5 6+ 4 7= 18 ,则log3 1+log3 2+log3 10= ( ) A. 12 B. 10 C. 8 D. 2+log3 5 解析由题 5 6+ 4 7= 18, 所以 5 6= 9,log3 1+log3 2+log3 10= log3( 1 2 10) = log3( 5 6)5= 5log39 = 10 . 2. 在等比数列 中,如果 1+ 2= 40, 3+ 4= 60 ,那么 7+ 8
