1、第 1 页（共 25 页） 2020-2021 学年上海市长宁区九年级 （上） 期末数学试卷 （一模）学年上海市长宁区九年级 （上） 期末数学试卷 （一模） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分）分）每题只有一个正确选项，在答题纸相每题只有一个正确选项，在答题纸相 应题号的选项上用应题号的选项上用 2B 铅笔正确填涂铅笔正确填涂 1 （4 分）已知在ABC中，90C，50B，10AB ，那么BC的长为( ) A10cos50 B10sin50 C10tan50 D10cot50 2 （4 分）下列命题中，说法正确的是( ) A四条边对应
2、成比例的两个四边形相似 B四个内角对应相等的两个四边形相似 C两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似 D斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 3 （4 分）已知 1 e、 2 e是两个单位向量，向量 1 3ae， 2 3be ，那么下列结论正确的是( ) A 12 ee Bab C| |ab D|ab 4 （4 分）已知二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象如图所示，那么a、c满足( ) A0a ，0c B0a ，0c C0a ，0c D0a ，0c 5 （4 分）已知点P、点Q是线段AB的两个黄金分割点，且10AB ，那么PQ的长为( ) A5(35) B10( 52)
3、C5( 51) D5( 51) 6（4 分） 如图， 已知在ABC中， 点D、 点E是边BC上的两点， 联结AD、AE， 且A D A E ， 如果ABECBA，那么下列等式错误的是( ) 第 2 页（共 25 页） A 2 ABBE BC BCD ABAD AC C 2 AECD BE DAB ACBE CD 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 12 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分）分）在答题纸相应题号后的空格内直接在答题纸相应题号后的空格内直接 填写答案填写答案 7 （4 分）已知 1 2 x y ，那么 xy xy 的值为 8 （4 分）计算： 1 (2) 2 a
4、bb 9 （4 分）计算： 2 2cos45sin 60 10 （4 分）如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5:4那么这两个三角形的周长之 比为 11 （4 分）将抛物线 2 21yx向下平移 3 个单位后，所得抛物线的表达式是 12 （4 分）一辆汽车沿着坡度1:3i 的斜坡向下行驶 50 米，那么它距离地面的垂直高度 下降了 米 13 （4 分）已知抛物线 2 2yxxc经过点 1 ( 1,)Ay和 2 (2,)By，比较 1 y与 2 y的大小： 1 y 2 y（选择“”或“”或“”填入空格） 14（4 分） 如图， 已知/ / /ACEFBD 如果:2:3AE EB ，6CF 那么
5、CD的长等于 15 （4 分）已知，二次函数 2 ( )f xaxbxc的部分对应值如下表，则( 3)f x 2 1 0 1 2 3 4 5 y 5 0 3 4 3 0 5 12 第 3 页（共 25 页） 16 （4 分）如图，点G为ABC的重心如果AGCG，2BG ，4AC ，那么AB的长 等于 17 （4 分）如图，矩形ABCD沿对角线BD翻折后，点C落在点E处联结CE交边AD于 点F如果1DF ，4BC ，那么AE的长等于 18 （4 分）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫 做这个凸四边形的相似对角线， 在凸四边形ABCD中，3ABAC， 3 2 AD
6、CD， 点E、 点F分别是边AD， 边BC上的中点 如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线， 那么EF的 长等于 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分）将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置 上上 19 （10 分）已知二次函数 2 17 22 yxx （1）用配方法把该二次函数的解析式化为 2 ()ya xmk的形式； （2）写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴，并说明函数值y随自变量x的 变化而变化的情况 20（10 分） 如图， 四边形ABCD是平行四边形， 点E是边AD的中点AC、BE相交于
7、点O 设 B A a ，CBb （1）试用a、b表示BO； （2）在图中作出CO在CB、CD上的分向量，并直接用a、b表示CO 第 4 页（共 25 页） （不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 21 （10 分）如图，在ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且/ /DEBC， AFAE FEEC （1）求证：/ /DFBE； （2）如果2AF ，4EF ，6 3AB ，求 DE BE 的值 22 （10 分）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截 面示意图 身高 1.6 米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时 在
8、额头B处测得A的仰角为30；当他在地面N处时， “测温门”停止显示额头温度，此时 在额头C处测得A的仰角为53如果测得小聪的有效测温区间MN的长度是 0.98 米，求 测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？ （注： 额头到地面的距离以身高计，sin530.8 ， cos530.6 ，cot530.75 ，31.73) 23 （12 分）已知：如图，在Rt ABC中，90ACB，CHAB，垂足为点H点D在 边BC上，联结AD，交CH于点E，且CECD （1）求证：ACEABD； （2）求证：ACD的面积是ACE的面积与ABD的面积的比例中项 第 5 页（共 25 页） 24（12分） 已知在平面
9、直角坐标系xOy中， 抛物线 2 2yaxbx经过点( 3, 6)A 、(6,0)B， 与y轴交于点C （1）求抛物线的表达式； （2）点D是抛物线上的点，且位于线段BC上方，联结CD 如果点D的横坐标为 2求cotDCB的值； 如果2DCBCBO ，求点D的坐标 25 （14 分）已知，在矩形 ABCD 中，点 M 是边 AB 上的一个点（与点 A、B 不重合） ，联 结 CM，作CMF90，且 MF 分别交边 AD 于点 E、交边 CD 的延长线于点 F点 G 为线段 MF 的中点，联结 DG （1）如图 1，如果 ADAM4，当点 E 与点 G 重合时，求MFC 的面积； （2）如图 2
10、，如果 AM2，BM4当点 G 在矩形 ABCD 内部时，设 ADx，DG2y， 求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果 AM6，CD8，FEDG，求线段 AD 的长 （直接写出计算结果） 第 6 页（共 25 页） 第 7 页（共 25 页） 2020-2021 学年上海市长宁区九年级 （上） 期末数学试卷 （一模）学年上海市长宁区九年级 （上） 期末数学试卷 （一模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 24 分）分）每题只有一个正确选项，在答题纸相每题只有一个正确选项，在答题纸相
11、应题号的选项上用应题号的选项上用 2B 铅笔正确填涂铅笔正确填涂 1 （4 分）已知在ABC中，90C，50B，10AB ，那么BC的长为( ) A10cos50 B10sin50 C10tan50 D10cot50 【解答】解：在Rt ABC中， cos BC B AB ，50B，10AB ， cos10 cos50BCABB， 故选：A 2 （4 分）下列命题中，说法正确的是( ) A四条边对应成比例的两个四边形相似 B四个内角对应相等的两个四边形相似 C两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似 D斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 【解答】解：A、四个角对应相等，四条边对
12、应成比例的两个四边形相似，原命题是假命 题； B、四个内角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题； C、两边对应成比例且其夹角相等的两个三角形相似，原命题是假命题； D、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，是真命题； 故选：D 3 （4 分）已知 1 e、 2 e是两个单位向量，向量 1 3ae， 2 3be ，那么下列结论正确的是( ) A 12 ee Bab C| |ab D|ab 【解答】解：根据题意知，a与 1 e方向相同，b与 2 e方向相同 A、当向量a与b方向相反时， 12 ee，故本选项不符合题意 B、当 1 e、 2 e是两个单位向量方向相同时
13、，ab ，故本选项不符合题意 第 8 页（共 25 页） C、由向量 1 3ae， 2 3be 知，| |ab，故本选项符合题意 D、由向量 1 3ae， 2 3be 知，| |ab，故本选项不符合题意 故选：C 4 （4 分）已知二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象如图所示，那么a、c满足( ) A0a ，0c B0a ，0c C0a ，0c D0a ，0c 【解答】解：抛物线开口向下， 0a， 抛物线与y轴的交点在x轴的上方， 0c ，故选项A、B、D错误，选项C正确 故选：C 5 （4 分）已知点P、点Q是线段AB的两个黄金分割点，且10AB ，那么PQ的长为( ) A5(35)
14、B10( 52) C5( 51) D5( 51) 【解答】解：如图，点P、Q是线段AB的黄金分割点，10AB ， 51 5( 51) 2 BPAQAB ， 10( 51)1010( 52)PQAQBPAB， 故选：B 6（4 分） 如图， 已知在ABC中， 点D、 点E是边BC上的两点， 联结AD、AE， 且A D A E ， 如果ABECBA，那么下列等式错误的是( ) 第 9 页（共 25 页） A 2 ABBE BC BCD ABAD AC C 2 AECD BE DAB ACBE CD 【解答】解：ABECBA， :AB BCBE AB， 2 ABBE BC，所以A选项的结论正确； A
15、BECBA， BAEC ，AEBBAC ， ADAE， ADEAED，ACDBCA ， ADEBAC ， ADCBAC ， CADCBA， :CD ACAD AB， 即CD ABAD AC，所以B选项的结论正确； ABECBA，CADCBA， CADABE， :AD BECD AE， 即AD AECD BE， ADAE， 2 AECD BE，所以C选项的结论正确； CBAABE， :AC AECB AB， AB ACAE CB， 2 AECD BE，AECB， AB ACBE CD，所以D选项的结论不正确 故选：D 第 10 页（共 25 页） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 12
16、题，每题题，每题 4 分，满分分，满分 48 分）分）在答题纸相应题号后的空格内直接在答题纸相应题号后的空格内直接 填写答案填写答案 7 （4 分）已知 1 2 x y ，那么 xy xy 的值为 3 【解答】解： 1 2 x y ， 2yx， 原式 23 3 2 xxx xxx 故答案为3 8 （4 分）计算： 1 (2) 2 abb 1 2 ab 【解答】解：原式 11 22 abbab 故答案是： 1 2 ab 9 （4 分）计算： 2 2cos45sin 60 7 4 【解答】解：原式 2 2337 2()1 2244 故答案为： 7 4 10 （4 分）如果两个相似三角形对应边上的中
17、线之比为5:4那么这两个三角形的周长之 比为 5:4 【解答】解：两个相似三角形的对应中线的比为5:4， 其相似比为5:4， 这两个相似三角形的周长的比为5:4， 故答案为：5:4 11（4分） 将抛物线 2 21yx向下平移3个单位后， 所得抛物线的表达式是 2 24yx 【解答】解：抛物线 2 21yx的顶点坐标为(0, 1)，点(0, 1)向下平移 3 个单位后所得对 应点的坐标为(0, 4)，所以平移后的抛物线的表达式是 2 24yx 故答案为 2 24yx 12 （4 分）一辆汽车沿着坡度1:3i 的斜坡向下行驶 50 米，那么它距离地面的垂直高度 下降了 25 米 第 11 页（共
18、 25 页） 【解答】解：坡度1:3i ， 设垂直高度下降了x米，则水平前进了3x米 根据勾股定理可得： 222 ( 3 )50 xx 解得25x （负值舍去） ， 即它距离地面的垂直高度下降了 25 米 故答案为：25 13 （4 分）已知抛物线 2 2yxxc经过点 1 ( 1,)Ay和 2 (2,)By，比较 1 y与 2 y的大小： 1 y 2 y（选择“”或“”或“”填入空格） 【解答】解：抛物线 2 2yxxc经过点 1 ( 1,)Ay和 2 (2,)By， 2 1 ( 1)2 ( 1)3ycc ， 2 2 22 2ycc ， 12 30yy， 12 yy， 故答案是： 14（4
19、分） 如图， 已知/ / /ACEFBD 如果:2:3AE EB ，6CF 那么CD的长等于 15 【解答】解：/ / /ACEFBD， 2 3 AECF EBFD ， 33 69 22 FDCF， 6915CDCFFD 故答案为 15 15 （4 分）已知，二次函数 2 ( )f xaxbxc的部分对应值如下表，则( 3)f 12 第 12 页（共 25 页） x 2 1 0 1 2 3 4 5 y 5 0 3 4 3 0 5 12 【解答】解：由图可知，( 3)ff（5）12 故答案为：12 16 （4 分）如图，点G为ABC的重心如果AGCG，2BG ，4AC ，那么AB的长 等于 13
20、 【解答】解：如图所示：延长BG交AC于点H， G是ABC的重心，4AC ， 2AHCH， AGCG， BHAH， 90AHB， 2BG ， 1GH， 由勾股定理得： 2222 2313ABAHBH 故答案为：13 17 （4 分）如图，矩形ABCD沿对角线BD翻折后，点C落在点E处联结CE交边AD于 第 13 页（共 25 页） 点F如果1DF ，4BC ，那么AE的长等于 6 5 5 【解答】解：由折叠得：CEBD，CGEG， 90DGF， 90DFGFDG， 四边形ABCD是矩形， 90ADCBCD ， 90ADGCDG， CDGDFG ， 90CDFBCD ， CDFBCD， CDDF
21、 BCCD ， 4AB ，1DF ， 1 4 CD CD ， 2CD， 由勾股定理得： 22 125CF ， 22 242 5BD， 同理得：CDGBDC， CDCG BDBC ， 2 42 5 CG ， 第 14 页（共 25 页） 4 5 5 CG， 8 5 2 5 CECG， 8 53 5 5 55 EFCECF， 1 2 DF ED ， 21 42 ED AD ，且EDFAED， EFDAED， EFDF AEDE ，即 3 5 1 5 2AE ， 6 5 5 AE 故答案为： 6 5 5 18 （4 分）如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫 做这个凸四
22、边形的相似对角线， 在凸四边形ABCD中，3ABAC， 3 2 ADCD， 点E、 点F分别是边AD， 边BC上的中点 如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线， 那么EF的 长等于 41 4 【解答】解：如图所示： ABAC，ADCD，ABCDAC， 2 ACBC AD， 3AC ， 3 2 AD ， 2CB， ABCDAC， ACBCAD ， / /CBAD， ABAC，F为BC中点， AFCB，1BFCF， 90AFC， / /CBAD， 90FAEAFC ， 第 15 页（共 25 页） 3AC ， 2AF， 3 2 AD ，E为AD中点， 3 4 AE， 2222 341 ( 2)(
23、) 44 EFAFAE 故答案为： 41 4 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 题，满分题，满分 78 分）分）将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置 上上 19 （10 分）已知二次函数 2 17 22 yxx （1）用配方法把该二次函数的解析式化为 2 ()ya xmk的形式； （2）写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴，并说明函数值y随自变量x的 变化而变化的情况 【解答】解： （1） 2 17 22 yxx 2 117 (21) 222 xx ， 2 1 (1)4 2 x ； （2） 1 0 2 a ， 二次函数图象的
24、开口向下， 顶点坐标为( 1,4)， 对称轴为直线1x ，图象在直线1x 左侧，y随x的增大而增大， 在直线1x 右侧，y 随x的增大而减小 20（10 分） 如图， 四边形ABCD是平行四边形， 点E是边AD的中点AC、BE相交于点O 设 第 16 页（共 25 页） BAa，CBb （1）试用a、b表示BO； （2）在图中作出CO在CB、CD上的分向量，并直接用a、b表示CO （不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 【解答】解： （1）四边形ABCD是平行四边形， / /ADBC，ADBC， AEEC， 1 2 OEAE OBBC ， 2 3 BPBE， 222121 ()() 3
25、33233 BOBEBAAEabab （2）/ /AEBC， 1 2 AOAE OCBC ， 22222 ()() 33333 COCACBBAbaab 如图，CO在CB、CD上的分向量分别为CN和CM 21 （10 分）如图，在ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且/ /DEBC， AFAE FEEC （1）求证：/ /DFBE； 第 17 页（共 25 页） （2）如果2AF ，4EF ，6 3AB ，求 DE BE 的值 【解答】 （1）证明：/ /DEBC， AEAD ECBD ， AFAE FEEC ， ADAF BDFE ， / /DFBE； （2）解：2AF ，4EF
26、 ， 6AEAFEF， 1 2 ADAF BDFE ， 1 3 AD AB ， 1 2 3 3 ADAB，24 3BDAD， 2 33 63 AE AB ， 2 33 63 AD AE ， AEAD ABAE ， 又AA ， ADEAEB， 3 3 DEAE BEAB 22 （10 分）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截 面示意图 身高 1.6 米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时 在额头B处测得A的仰角为30；当他在地面N处时， “测温门”停止显示额头温度，此时 在额头C处测得A的仰角为53如果测得小聪的有效测温区间MN的长
27、度是 0.98 米，求 测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？ （注： 额头到地面的距离以身高计，sin530.8 ， 第 18 页（共 25 页） cos530.6 ，cot530.75 ，31.73) 【解答】解：延长BC交AD于点E，设AEx米 tan53,tan30 AEAE CEBE ， 0.75 tan53 x CEx ，1.73 tan30 x BEx ， 1.730.750.98BCBECExx 解得1x ， 1AE， 1 1.62.6ADAEED （米) 答：测温门顶部A处距地面的高度约为 2.6 米 23 （12 分）已知：如图，在Rt ABC中，90ACB，CHAB，垂足
28、为点H点D在 边BC上，联结AD，交CH于点E，且CECD （1）求证：ACEABD； （2）求证：ACD的面积是ACE的面积与ABD的面积的比例中项 第 19 页（共 25 页） 【解答】证明： （1）ACBC，CHAB， 90ACBAHC ， ACHCBH ， CECD， CEDCDE ， AECADB ， ACEABD； （2）过点B作/ /BGAC交AD的延长线于点G， CADG ， ACEABD， ADAB AEAC ，CADBAD ， BADG ， ABBG， / /BGAC， ADCGDB， BGBD ACCD ， ADBD AECD ， ACDABD ACEACD SS SS
29、， ACD的面积是ACE的面积与ABD的面积的比例中项 24（12分） 已知在平面直角坐标系xOy中， 抛物线 2 2yaxbx经过点( 3, 6)A 、(6,0)B， 与y轴交于点C （1）求抛物线的表达式； （2）点D是抛物线上的点，且位于线段BC上方，联结CD 第 20 页（共 25 页） 如果点D的横坐标为 2求cotDCB的值； 如果2DCBCBO ，求点D的坐标 【解答】解： （1）抛物线 2 2yaxbx经过点( 3, 6)A 、(6,0)B， 9326 36620 ab ab ， 1 3 5 3 a b ， 抛物线的表达式为 2 15 2 33 yxx ； （2）如图 1， 由
30、（1）知，抛物线的解析式为 2 15 2 33 yxx ， 当0 x 时，2y ， (0,2)C，当2x 时， 15 4224 33 y ， (2,4)D， (6,0)B， 222 (20)(42)8CD， 222 (60)(02)40BC ， 222 (62)(04)32DB ， 222 CDBCDB， 第 21 页（共 25 页） BCD是直角三角形，90BDC， 在Rt BDC中，2 2CD ，4 2BD ， 2 21 cot 24 2 CD DCB DB ； 如图 2， 过点C作/ /CEx轴，则BCECBO ， 2DCBCBO ， DCEBCE ，过点B作BECE，并延长交CD的延长
31、线于F， (0,2)C，(6,0)B， (6,4)F，设直线CF的解析式为2yxk， 624k， 1 3 k， 直线CF的解析式为 1 2 3 yx， 抛物线的解析式为 2 15 2 33 yxx ， 联立，解得 0 2 x y 或 4 10 3 x y ， 10 (4,) 3 D 第 22 页（共 25 页） 25 （14 分）已知，在矩形 ABCD 中，点 M 是边 AB 上的一个点（与点 A、B 不重合） ，联 结 CM，作CMF90，且 MF 分别交边 AD 于点 E、交边 CD 的延长线于点 F点 G 为线段 MF 的中点，联结 DG （1）如图 1，如果 ADAM4，当点 E 与点
32、 G 重合时，求MFC 的面积； （2）如图 2，如果 AM2，BM4当点 G 在矩形 ABCD 内部时，设 ADx，DG2y， 求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果 AM6，CD8，FEDG，求线段 AD 的长 （直接写出计算结果） 【解答】解： （1）点 G 为线段 MF 的中点， GFMG， 又AFDG90，AGMFGD， AGMDGF（AAS） ， AMDF4，AGGDAD2， GF2， FM2GF4， tanF， 第 23 页（共 25 页） ， MC2， SMFCFMMC4220； （2）过点 M 作 MHCD 于 H，过点 G 作 GPCD 于 P， GPM
33、H，MHADx， ， GPMHx，FPFHFH， CMF90FHMCHM， F+FCM90F+FMHFCM+CMH， FCMH，FCMCMH， FHMMHC， ， MH2FHHC， FH， PH， DP2，GPx， DG2DP2+GP2， y+4（2x4） ； （3）如图 3，当点 G 在矩形的内部时，延长 DG 交 AB 于 J，连接 AG，AF， 第 24 页（共 25 页） FMC90， AME+CMB90CMB+BCM， AMEMCB， EDGEFDAMEMCB，ADBC，DAJB90， ADJBCM（ASA） ， AJBM2， JM4， ABCD， ， MJFD4，GJDG， AGDGGJ， GADGDAGFD， 又AEGFED， AGEFDE90， 又FGGM， AFAM6， AD2， 当点 G 在矩形的外部时，延长 DG 交 BA 的延长线于 L，连接 DM， 第 25 页（共 25 页） 同理可求 AD2， 综上所述：AD2或 2
