1、第 1 页（共 15 页） 2020-2021 学年河南省平顶山市高二 （上） 期末数学试卷 （理科）学年河南省平顶山市高二 （上） 期末数学试卷 （理科） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）若集合 |03Mxx ， 3 |2 1 x Nx x ，则(MN ) A(0，1 B(1,2) C(0，2 D(0,1) 2 （5 分）已知an是公差为 2 的等差数列，a35，则 a1（ ） A10 B7 C6 D1 3
2、 （5 分）抛物线 2 2yx的焦点到准线的距离为( ) A 1 8 B 1 2 C 1 4 D4 4 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线的倾斜角为30，且焦距为 4， 则双曲线的方程为( ) A 22 1xy B 2 2 1 2 y x C 2 2 1 3 x y D 2 2 1 3 y x 5 （5 分）在正方体 1111 ABCDABC D中，点E是线段 1 CC的中点，则 1 (AE ) A 1 1 2 ABADAA B 1 1 2 ABADAA C 1 1 2 ABADAA D 1 1 2 ABADAA 6 （5 分）设直线l的方向向量是a
3、，平面的法向量是n，则“/ /l”是“an”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7 （5 分）已知0a ，0b ，2ab，则 2 ( a ab ) A有最小值 2 B有最大值 2 C有最小值 3 D有最大值 3 8 （5 分） 在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若3a ，5b ，2 coscaA， 则cos(A ) A 1 3 B 2 4 C 3 3 D 6 3 9 （5 分）数列 n a满足 1 1a ， 2 3a ，且 11 20(2) nnn aaan ，则 n a的前 2020 项 和为( ) A8080 B4040 C4
4、040 D0 第 2 页（共 15 页） 10 （5 分）已知双曲线 22 :1 43 xy C的两个焦点分别为 1 F， 2 F，双曲线C上一点P在x轴 上的射影为Q，且 1212 | | | |PQFFPFPF，则 12 | (PFPF ) A2 7 B2 10 C10 D20 11（5 分） 在直三棱柱 111 ABCABC中， 底面是等腰直角三角形，90ACB， 侧棱 1 3AA ， 点D，E分别是 1 CC， 1 A B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G，则点 1 A 到平面ABD的距离为( ) A6 B3 C 2 3 3 D2 12 （5 分）已知抛物线 2 2(0)
5、ypx p的焦点为F，过点F的直线分别交抛物线于A，B 两点，若| 4AF ，| 1BF ，则(p ) A 16 5 B2 C 8 5 D1 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知变量x，y满足约束条件 3 3 5 0 y x xy ，则23zxy的最大值为 14 （5 分）已知等比数列 n a的前n项和 1 3n n S ，则 1 a 15 （5 分）点P为椭圆C上一动点，过点P作以椭圆短轴为直径的圆的两条切线，切点分 别为M，N，若60MPN，则椭圆C的离心率的取值范围是 16（5 分） 已知平面四边形ABC
6、D为凸四边形 （四个内角均小于180 ) ， 且1AB ，4BC ， 5CD ，2DA，则平面四边形ABCD面积的最大值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 设命题 p： 方程表示双曲线； 命题 q： 不等式对 0 x1 恒成立 （）若命题 pq 为真，求实数 a 的取值范围； （）若命题 pq 为真，命题 pq 为假，求实数 a 的取值范围 18已知等比数列 n a的公比不为 1，且 1 1a ， 3 2a是 2 3a与 4 a的等差中项 （）求 n a的通项公式； 第 3 页（共 15 页） （）
7、若数列 n b满足 1 2 (1)(1) n n nn a b aa ，求数列 n b的前n项和 n T 19如图所示，在多面体BCADE中，ADE为正三角形，平面ABCD 平面ADE，且 / /BCAD，60BAD，30CDA，2ABBC （）求证：ADCE； （）求直线CD与平面BCE所成角的正弦值 20在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cossin 2 A baB （）求A； （）若D在边BC上，AD是BAC的角平分线， 2 3 3 AD ，求ABC面积的最小值 21某厂家拟进行某产品的促销活动，根据市场情况，该产品的月销量（即月产量）m万 件与月促销费用x万元(0)x满
8、足10( 2 m x k k为常数） ，如果不搞促销活动，则该产品 的月销量是 2 万件 已知生产该产品每月固定投入为 8 万元， 每生产一万件该产品需要再投 入 5 万元，厂家将每件产品的销售价格定为 9.66m m 元，设该产品的月利润为y万元 注：利润销售收入生产投入促销费用 （）将y表示为x的函数； （）月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？ 22已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右两个焦点分别是 1 F， 2 F，焦距为 2，点M在 椭圆上且满足 212 MFFF， 12 | 3|MFMF （）求椭圆C的标准方程； （）点O为坐标原点， 直线l与椭圆C
9、交于A，B两点，且OAOB，证明 22 11 |OAOB 为定值，并求出该定值 第 4 页（共 15 页） 2020-2021 学年河南省平顶山市高二 （上） 期末数学试卷 （理科）学年河南省平顶山市高二 （上） 期末数学试卷 （理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）若集合 |03Mxx ， 3 |2 1 x Nx x ，则(MN ) A(0，1 B(1,2) C(0，
10、2 D(0,1) 【解答】解：由 32 20 11 xx xx ，得 | 21Nxx， 集合 |03Mxx ， |01(0,1)MNxx 故选：D 2 （5 分）已知an是公差为 2 的等差数列，a35，则 a1（ ） A10 B7 C6 D1 【解答】解：an是公差为 2 的等差数列，a35， a1a32d1 故选：D 3 （5 分）抛物线 2 2yx的焦点到准线的距离为( ) A 1 8 B 1 2 C 1 4 D4 【解答】解：根据题意，抛物线的方程为 2 2yx，其标准方程为 2 1 2 xy， 其中 1 4 p ， 则抛物线的焦点到准线的距离 1 4 p ， 故选：C 4 （5 分）
11、已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线的倾斜角为30，且焦距为 4， 则双曲线的方程为( ) A 22 1xy B 2 2 1 2 y x C 2 2 1 3 x y D 2 2 1 3 y x 【解答】解：由条件知 3 3 b a ，24c ， 22 4ab，所以1b ，3a ， 第 5 页（共 15 页） 所以双曲线的方程为 2 2 1 3 x y 故选：C 5 （5 分）在正方体 1111 ABCDABC D中，点E是线段 1 CC的中点，则 1 (AE ) A 1 1 2 ABADAA B 1 1 2 ABADAA C 1 1 2 ABADAA D 1 1
12、 2 ABADAA 【解答】解： 11111 11 22 AEA AABBCCEAAABADAAABADAA 故选：B 6 （5 分）设直线l的方向向量是a，平面的法向量是n，则“/ /l”是“an”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：由/ /l，得an，则“/ /l”是“an”的充分条件， 而an不一定有/ /l，也可能l，则“/ /l”不是“an”的必要条件 故“/ /l”是“an”的充分不必要条件 故选：A 7 （5 分）已知0a ，0b ，2ab，则 2 ( a ab ) A有最小值 2 B有最大值 2 C有最小值 3 D有最大
13、值 3 【解答】解：因为2ab，所以2ab， 所以 222221221221 1()()1(22)1(44)13 222 abba ab ababababab （当且仅当1ab时等号成立） 故选：C 第 6 页（共 15 页） 8 （5 分） 在ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若3a ，5b ，2 coscaA， 则cos(A ) A 1 3 B 2 4 C 3 3 D 6 3 【解答】解：因为2 coscaA， 由余弦定理可得 222 2 2 bca ca bc ，将3a ，5b 代入整理得2 6c ， 所以 6 cos 23 c A a 故选：D 9 （5 分）数列 n
14、a满足 1 1a ， 2 3a ，且 11 20(2) nnn aaan ，则 n a的前 2020 项 和为( ) A8080 B4040 C4040 D0 【解答】解：由递推关系式可得 1223 ()aaaa ， 2334 ()aaaa ， 所以 3412 4aaaa， 同理可得 567820192020 4aaaaaa， 所以 2020 4 10104040S 故选：B 10 （5 分）已知双曲线 22 :1 43 xy C的两个焦点分别为 1 F， 2 F，双曲线C上一点P在x轴 上的射影为Q，且 1212 | | | |PQFFPFPF，则 12 | (PFPF ) A2 7 B2
15、10 C10 D20 【解答】解：由题意可得2a ，3b ，7c ，PQx轴， 且因为 1212 | | | |PQFFPFPF， 所以 12 PFF为直角三角形， 12 PFPF， 所以 222 12 |428PFPFc， 又因为 12 | 24PFPFa， 所以 22 1212 |2| | 16PFPFPFPF， 第 7 页（共 15 页） 所以 12 | | 6PFPF， 所以 22 121212 |2| |2 10PFPFPFPFPFPF 故选：B 11（5 分） 在直三棱柱 111 ABCABC中， 底面是等腰直角三角形，90ACB， 侧棱 1 3AA ， 点D，E分别是 1 CC，
16、 1 A B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G，则点 1 A 到平面ABD的距离为( ) A6 B3 C 2 3 3 D2 【解答】解：如图所示，以C为坐标原点，CA，CB， 1 CC所在直线分别为x，y，z轴， 建立空间直角坐标系， 设CACBa，则(A a，0，0)，(0B，a，0)， 3 (0,0, ) 2 D， 1( A a，0，3)， 可得 3 ( , ) 2 2 2 a a E， 1 (, ) 3 3 2 a a G，(,1) 6 6 a a GE ， 3 (0, ) 2 BDa， 因为点E在平面ABD上的射影是ABD的重心，所以GE 平面ABD，所以0GE BD，
17、即 3 0()10 662 aa a ，解得3a ，即 1 1 ( ,1) 2 2 GE ， 则点 1 A到平面ABD的距离为d，E是 1 A B的中点， 所以2|6dGE 第 8 页（共 15 页） 故选：A 12 （5 分）已知抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F，过点F的直线分别交抛物线于A，B 两点，若| 4AF ，| 1BF ，则(p ) A 16 5 B2 C 8 5 D1 【解答】解：由题意可知直线AB的斜率一定存在，设为k，直线方程() 2 p yxk， 联立 2 () 2 2 p yx ypx k 消去y可得 22 222 (2)0 4 p xpx k kk， 设 1 (
18、A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，所以 2 12 4 p x x 又根据抛物线的定 1 4 2 p x ， 2 1 2 p x ，所以 2 (4)(1) 224 ppp ，解得 8 5 p 故选：C 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知变量x，y满足约束条件 3 3 5 0 y x xy ，则23zxy的最大值为 0 【解答】解：如图所示，约束条件表示的可行域为ABC内部和边界， 23zxy，可得 21 33 yxz，由题意可知直线 21 33 yxz经过可行域的A点时， 目标函数的截距取得最小值
19、，此时z取得最大值， 由 3 50 x xy ，解得(3,2)A 当3x ，2y 时，23zxy有最大值 0 第 9 页（共 15 页） 故答案为：0 14 （5 分）已知等比数列 n a的前n项和 1 3n n S ，则 1 a 3 【解答】解：根据题意，等比数列 n a的前n项和 1 3n n S ， 则 2 11 39aS， 32 221 3318aSS， 43 332 3354aSS， 则有 2 (9) 5418，解得3 ， 则 1 96a， 故 1 633a， 故答案为：3 15 （5 分）点P为椭圆C上一动点，过点P作以椭圆短轴为直径的圆的两条切线，切点分 别为M，N，若60MPN
20、，则椭圆C的离心率的取值范围是 3 ,1) 2 【解答】解：设椭圆的中心为O，因为60MPN，所以60POM， 所以 | 2 | OP OM ，所以| 2OPb， 椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点，所以2ab，即 1 2 b a ， 所以离心率 2 2 2 13 11( ) 22 cb e aa ， 所以 3 ,1) 2 e 故答案为： 3 ,1) 2 16（5 分） 已知平面四边形ABCD为凸四边形 （四个内角均小于180 ) ， 且1AB ，4BC ， 5CD ，2DA，则平面四边形ABCD面积的最大值为 2 10 【解答】解：在ABC中， 222 142 1 4 cos178cosA
21、CBB ， 在ADC中， 222 522 5 2 cos2920cosACDD ， 第 10 页（共 15 页） 由上两式得178cos2920cos5cos2cosBDDB 又平面四边形ABCD的面积 11 1 4sin52sin2sin5sin 22 SBDSBD 平方相加得 2 942520(sinsincoscos)SBDBD， 化简即 2 2020cos()SBD，当BD时， 2 S取得最大值 40， 即平面四边形ABCD面积的最大值为.2 10 故答案为：2 10 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
22、. 17 设命题 p： 方程表示双曲线； 命题 q： 不等式对 0 x1 恒成立 （）若命题 pq 为真，求实数 a 的取值范围； （）若命题 pq 为真，命题 pq 为假，求实数 a 的取值范围 【解答】解： （）当命题 p 为真时，由题意（a3） （a+7）0，解得7a3 当命题 q 为真时，由题意可得，由此可得 a1 若命题 pq 为真命题，则7a3 或 a1， 即 a（，3） （）命题 pq 为真，命题 pq 为假，则 p，q 一真一假 若 p 真 q 假时，1a3， 若 p 假 q 真时，a7， 综上，a（，71，3） 18已知等比数列 n a的公比不为 1，且 1 1a ， 3 2
23、a是 2 3a与 4 a的等差中项 （）求 n a的通项公式； （）若数列 n b满足 1 2 (1)(1) n n nn a b aa ，求数列 n b的前n项和 n T 【解答】解： （）设数列 n a的公比为q， 由条件知 324 43aaa，即 23 111 43aqaqaq， 第 11 页（共 15 页） 整理可得 2 430qq，解得3(1qq舍去） ， 所以 11 1 33 nn n aa （） 1 11 1 22 311 (1)(1)(31)(31)3131 n n n nnnn nn a b aa ， 所以 011210 1111111111 ()()() 313131313
24、1313131231 n nnnn T 19如图所示，在多面体BCADE中，ADE为正三角形，平面ABCD 平面ADE，且 / /BCAD，60BAD，30CDA，2ABBC （）求证：ADCE； （）求直线CD与平面BCE所成角的正弦值 【解答】 （）证明：如图，过B作BFAD于F，过C作CGAD于G，连接GE 可得/ /BFCG，又因为/ /BCAD， 在Rt ABF中，因为60BAD，2AB ，所以1AF ，3BF ， 所以3BFCG，2FGBC， 在Rt CDG中，30CDG，33GDCG 所以AGGD， 因为ADE为正三角形，所以GEAD， 因为CGEGG，DG 平面CGE，EG 平
25、面CGE，所以AD 平面CGE， CE 平面CGE，所以ADCE （）解：由（）可知GE，GD，GC两两互相垂直， 以G为坐标原点，GE，GD，GC所在直线为x，y，z轴建立空间坐标系，如图所示 第 12 页（共 15 页） 则(0,0, 3)C，(0, 2, 3)B，(0D，3，0)，(3 3,0,0)E， 所以(3 3,0,3)CE ，(0, 2,0)CB ，(0,3,3)CD ， 设平面BCE的法向量为( , , )nx y z， 所以 20 3 330 n CBy n CExz ， 取1x ，可得(1,0,3)n ， 所以 3 33 10 cos, 20|2 310 CD n CD n
26、 CD n ， 所以直线CD与平面BCE所成角的正弦值为 3 10 20 20在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cossin 2 A baB （）求A； （）若D在边BC上，AD是BAC的角平分线， 2 3 3 AD ，求ABC面积的最小值 【解答】解： （）由正弦定理及条件得sincossinsin 2 A BAB， 因为(0, )B，sin0B ， 所以cossin2sincos 222 AAA A， 又(0, )A，cos0 2 A ， 所以 1 sin 22 A ， 从而 3 A （）因为ABC的面积等于ABD和ACD的面积之和， 得 111 sinsinsin 222
27、22 BACBAC bcBACc ADb AD ， 第 13 页（共 15 页） 又因为 3 BAC ， 2 3 3 AD ， 所以32()bcbc， 所以32() 4bcbcbc，得 16 9 bc（当且仅当 4 3 bc时等号成立） 所以ABC的面积 134 3 sin 249 SbcAbc 所以ABC面积的最小值为 4 3 9 21某厂家拟进行某产品的促销活动，根据市场情况，该产品的月销量（即月产量）m万 件与月促销费用x万元(0)x满足10( 2 m x k k为常数） ，如果不搞促销活动，则该产品 的月销量是 2 万件 已知生产该产品每月固定投入为 8 万元， 每生产一万件该产品需要
28、再投 入 5 万元，厂家将每件产品的销售价格定为 9.66m m 元，设该产品的月利润为y万元 注：利润销售收入生产投入促销费用 （）将y表示为x的函数； （）月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？ 【解答】解： （）由题意知当0 x 时，2m ， 则210 2 k ，解得16k， 所以 16 10 2 m x ， 而利润 9.66 851.6 m ymmxmx m ， 又因为 16 10 2 m x ， 所以 16 1.611.6 2 ymxx x ，0 x，)； （）由（）知 16 11.6 2 yx x ， 所以 16 13.6(2) 2 yx x ， 因为0 x时，2 2x ，
29、又因为 16 (2) 2 168 2 x x ，当且仅当 16 2 2 x x ，即2x 时等号成立， 所以13.685.6y， 故月促销费用为 2 万元时，该产品的月利润最大，最大为 5.6 万元 第 14 页（共 15 页） 22已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右两个焦点分别是 1 F， 2 F，焦距为 2，点M在 椭圆上且满足 212 MFFF， 12 | 3|MFMF （）求椭圆C的标准方程； （）点O为坐标原点， 直线l与椭圆C交于A，B两点，且OAOB，证明 22 11 |OAOB 为定值，并求出该定值 【解答】解： （）依题意 12 | 22FFc，所
30、以1c 由 12 | 3|MFMF， 12 | 2MFMFa，得 1 3 | 2 MFa， 2 1 | 2 MFa， 于是 2222 1212 3 |()( )22 22 aa FFMFMFa， 所以2a ， 所以 222 1bac， 因此椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y （）证明：当直线l的斜率存在时，设直线:AB yxmk， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 由 22 22xy yxm k 消去y得 222 (12)4220 xmxmkk， 由题意，0，则 12 2 2 12 2 4 12 22 12 m xx m x x k k k ， 因为OAOB，所以 1
31、212 0 x xy y， 即 1212 ()()0 x xxmxmkk， 整理得 22 32(1)m k 而 222 222222 11| | | | OAOBAB OAOBOAOBOAOB ， 设h为原点到直线l的距离，则| |OA OBAB h， 所以 222 111 |OAOBh ， 而 2 | 1 m h k ，所以 2 222 1113 |2OAOBm k 第 15 页（共 15 页） 当直线l的斜率不存在时，设 1 (A x， 1) y，则有1 OA k，不妨设1 OA k，则 11 xy， 代入椭圆方程得 2 1 2 3 x ，所以 22 4 | 3 OAOB， 所以 22 113 |2OAOB 综上 22 113 |2OAOB
