1、第 1 页（共 20 页） 2020-2021 学年浙江省宁波市九校联考高二（上）期末数学试卷学年浙江省宁波市九校联考高二（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （4 分）双曲线 2 2 1 3 y x 的渐近线方程是( ) A 3 3 yx B3yx C 1 3 yx D3yx 2 （4 分）若复数z满足(56 )3zi，则z的虚部是( ) A2i B6i C1 D6 3 （4 分）已知向量(4,4,5)
2、a ，( 7, , )bx y 分别是直线 1 l、 2 l的方向向量，若 12 ll，则 下列几组解中可能正确的是( ) A2x ，4y B4x ，3y C1x ，3y D6x ，2y 4 （4 分）在直线与双曲线位置关系中， “公共点只有一个”是“直线与双曲线相切”的( ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 5 （4 分）设m，n是两条不同的直线，是两个不重合的平面，下列命题中正确的是 ( ) mn m n ； m m ；/ / m mn n ；/ / / / m nmn A B C D 6 （ 4 分 ） 已 知OABC为 空 间 四 面 体 ，P为
3、 底 面ABC上 一 点 ， 且 满 足 2APxOAyOBzOC，则以下等式一定成立的是( ) A1xyz B0 xyz C1xyz D 1 2 xyz 7 （4 分）设双曲线 2 2 1 4 y x 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，若点P在双曲线上，且 12 FPF 为锐角三角形，则 12 |PFPF的取值范围是( ) A(4 2,6) B(6,8) C(4 2,8) D(6,10) 8 （4 分）已知 1 F， 2 F是椭圆 1 C和双曲线 2 C的公共焦点，P是它们的一个公共交点，且 第 2 页（共 20 页） 12 2 3 FPF ，若椭圆 1 C离心率记为 1 e，双曲线 2
4、 C离心率记为 2 e，则 22 12 27ee的最小值为( ) A25 B100 C9 D36 9 （4 分）如图，在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，点M是底面正方形ABCD的中 心，点P是底面ABCD所在平面内的一个动点，且满足 1 30MC P，则动点P的轨迹为( ) A圆 B抛物线 C双曲线 D椭圆 10 （4 分）已知椭圆C的方程为 22 22 1(0,0) xy ab ab ，过右焦点F且倾斜角为 4 的直线 与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线 2 a x c 和AB于点P和M， 若3| 4|ABPM，则椭圆C的离心率为( ) A 3 2
5、5 B 2 2 3 C 6 3 D 2 2 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 题，多空每题题，多空每题 6 分，单空每题分，单空每题 4 分，共分，共 36 分分 11 （6 分）复数 1 1zi ， 2 32zi，则 1 |z ， 1 2 z z 12 （6 分） （1）方程 22 1 14 xy aa 表示的曲线是双曲线，则实数a的取值范围为 ； （2）若双曲线 22 :1 14 xy C aa 的焦点坐标为(0, 5)，则实数a的值为 13 （6 分） 已知某几何体的三视图如图所示 （单位：)cm， 则该几何体的表面积为 2 cm， 体积为 3 cm 第 3 页（共 20 页
6、） 14 （6 分）已知过点( 3,0)A ，且斜率为k的动直线l与抛物线 2 :2C xy相交于B，C两 点，则k的取值范围为 ；若N为抛物线C上一动点，M为线段AN中点，则点M的轨 迹方程为 15 （4 分）在平行六面体 1111 ABCDABC D中， 1 2ABADAA，90BAD， 11 60BAADAA ，则异面直线 1 AB与 1 BC所成角的余弦值是 16（4 分） 若平面向量 ， 为单位向量， 空间向量 满足， 则对任意的实数 t1，t2，的最小值是 17 （4 分）已知椭圆： 22 :1 42 xy C，不过点( 2,1)Q的动直线l交椭圆于A，B两点，且 AQBQ，则直线
7、l过定点 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18 （14 分）已知命题p：若复数z满足|34 |34 | 2zizia ，则复数z在复平面上 对应点的轨迹为椭圆命题q：函数 2 ( )f xxxa在 2，2上存在零点 （1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围； （2）若命题p，q中有且只有一个真命题，求实数a的取值范围 19 （15 分）在三棱锥PABC中，PA平面ABC，90ABC，PAABBC，点M 在线段PB上，且2PMMB （1）试在线段PC上找一点N，使/ /B
8、C平面AMN，并说明理由； （2）试求直线AM与平面PBC所成角的正弦值 第 4 页（共 20 页） 20 （15 分）设抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离为 |1AF AB为抛物线的焦点弦，点M在抛物线的准线上，O为坐标原点 （1）求p的值； （2）连接MA，MF，MB，分别将其斜率记为 1 k，k， 2 k，试问 12 kk k 是否为定值若 是，请求出该定值；若不是，请说明理由 21 （15 分） 在Rt ABC中，60A， 以BC为边在平面ABC内作如图所示的等边BCD， E为BC边上一点，且2ECBE，F为线段AC上的点，现沿BF将ABF折起，使A点
9、到 达位置 A ，且 A 点在平面BCD内的射影恰为E点 （1）求证：DFA B； （2）求二面角BA DC的平面角的余弦值 22 （15 分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆 22 :4O xy，椭圆 22 :1 124 xy C，A为 椭圆的上顶点过原点的直线与圆O交于点M，N两点，且点M在第一象限，直线AM与 椭圆C的另一交点为P，直线AN与椭圆C的另一交点为Q （1）若| 2|APAM，求直线AM的斜率； （2）设AMN与APQ的面积分别为 1 S， 2 S，求 1 2 S S 的最大值 第 5 页（共 20 页） 第 6 页（共 20 页） 2020-2021 学年浙江省宁波市九校联
10、考高二（上）期末数学试卷学年浙江省宁波市九校联考高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （4 分）双曲线 2 2 1 3 y x 的渐近线方程是( ) A 3 3 yx B3yx C 1 3 yx D3yx 【解答】解：由双曲线 2 2 1 3 y x 方程可得渐近线方程为：3yx ， 故选：B 2 （4 分）若复数z满足(56 )3zi，则z的虚部是( ) A2i
11、 B6i C1 D6 【解答】解：因为(56 )3zi， 所以3(56 )26zii ， 所以z的虚部是 6 故选：D 3 （4 分）已知向量(4,4,5)a ，( 7, , )bx y 分别是直线 1 l、 2 l的方向向量，若 12 ll，则 下列几组解中可能正确的是( ) A2x ，4y B4x ，3y C1x ，3y D6x ，2y 【解答】解：因为向量(4,4,5)a ，( 7, , )bx y 分别是直线 1 l、 2 l的方向向量，且 12 ll， 所以ab，所以4 ( 7)450 xy ，解得4528xy， 当2x ，2y 时，等式成立，故选项A正确； 当4x ，3y ；1x
12、，3y ；6x ，2y 时，等式不成立，故选项B，C，D不正确 故选：A 4 （4 分）在直线与双曲线位置关系中， “公共点只有一个”是“直线与双曲线相切”的( ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：在直线与双曲线位置关系中， 第 7 页（共 20 页） “公共点只有一个”包含两种情况：一种是直线与双曲线相切；一种是直线与双曲线的渐近 线平行， 故“公共点只有一个”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件 故选：C 5 （4 分）设m，n是两条不同的直线，是两个不重合的平面，下列命题中正确的是 ( ) mn m n ； m m ；/ / m mn
13、 n ；/ / / / m nmn A B C D 【解答】解：由m，n是两条不同的直线，是两个不重合的平面，知： 对于， mn m n 与相交、平行或m，故错误； 对于，由面面垂直的判定定理得 m m ，故正确； 对于，由线面垂直的性质定理得：/ / m mn n ，故正确； 对于， / / m nm 与n平行或异面，故错误 故选：C 6 （ 4 分 ） 已 知OABC为 空 间 四 面 体 ，P为 底 面ABC上 一 点 ， 且 满 足 2APxOAyOBzOC，则以下等式一定成立的是( ) A1xyz B0 xyz C1xyz D 1 2 xyz 【解答】解：因为2APxOAyOBzOC
14、，且APOPOA， 所以2()OPOAxOAyOBzOC， 故 111 (2) 222 OPxOAyOBzOC， 因为P，A，B，C四点共面， 第 8 页（共 20 页） 所以 111 (2)1 222 xyz， 故0 xyz 故选：B 7 （4 分）设双曲线 2 2 1 4 y x 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，若点P在双曲线上，且 12 FPF 为锐角三角形，则 12 |PFPF的取值范围是( ) A(4 2,6) B(6,8) C(4 2,8) D(6,10) 【解答】解：如图，由双曲线 2 2 1 4 y x ，得 2 1a ， 2 4b ， 22 1 45cab 不妨以P在双
15、曲线右支为例，当 2 PFx轴时， 把5x 代入 2 2 1 4 y x ，得4y ，即 2 | 4PF ， 此时 12 | | 2426PFPF ，则 12 | 10PFPF； 由 12 PFPF，得 2222 1212 |420PFPFFFc， 又 12 | 2PFPF， 两边平方得： 22 1212 |2| 4PFPFPFPF， 12 | 8PFPF， 联立解得： 1 | 4PF ， 2 | 2PF ， 此时 12 | 6PFPF 使 12 FPF为锐角三角形的 12 |PFPF的取值范围是(6,10) 故选：D 第 9 页（共 20 页） 8 （4 分）已知 1 F， 2 F是椭圆 1
16、 C和双曲线 2 C的公共焦点，P是它们的一个公共交点，且 12 2 3 FPF ，若椭圆 1 C离心率记为 1 e，双曲线 2 C离心率记为 2 e，则 22 12 27ee的最小值为( ) A25 B100 C9 D36 【解答】解：设椭圆的方程为： 22 22 11 1 xy ab ，双曲线的方程为： 22 22 22 1 xy ab ， 由定义可得： 121 | 2PFPFa， 122 | 2PFPFa， 所以 112 |PFaa， 212 |PFaa， 在三角形 12 PFF中，由余弦定理可得： 222 12121212 22 4()()2()()coscos 33 caaaaaaa
17、a ， 即 222 12 43caa， 所以 222222 221212 12 2222 1212 27(3)3271 27 4 aaaacc ee aaaa 2222 2121 2222 1212 27327311 (82)(822) 44 aaaa aaaa 1 (8229)25 4 ，当且仅当 22 21 22 12 273aa aa 时取等号， 此时 22 12 27ee的最小值为 25， 故选：A 9 （4 分）如图，在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，点M是底面正方形ABCD的中 心，点P是底面ABCD所在平面内的一个动点，且满足 1 30MC P，则动点P的轨
18、迹为( ) 第 10 页（共 20 页） A圆 B抛物线 C双曲线 D椭圆 【解答】解：以点D为坐标原点，DA、DC、 1 DD所在直线分别为x、y、z轴，建立如 图所示的空间直角坐标系， 则 1 1 ( ,0) 2 2 M， 1(0 C，1，1)，设(P x，y，0)，则 1 11 ( , 1) 22 C M ， 1 ( ,1, 1)C Px y， 而 1 30MC P，所以 11 11 22 11 11 |(1)1| |3 22 |cos,| 2|3 (1)1 2 xy C M C P C M C P C MC P xy ， 化简整理得 22 7726120 xyxyxy， 因为 2 44
19、4 490BAC ，所以上式表示椭圆，即点P的轨迹为椭圆 故选：D 10 （4 分）已知椭圆C的方程为 22 22 1(0,0) xy ab ab ，过右焦点F且倾斜角为 4 的直线 与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线 2 a x c 和AB于点P和M， 若3| 4|ABPM，则椭圆C的离心率为( ) A 3 2 5 B 2 2 3 C 6 3 D 2 2 【解答】解：由题意可得直线的方程为：yxc，代入椭圆方程可得： 22222222 ()20ab xa cxa ca b，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 则 2222 1212 2222 2()
20、 , a ca cb xxx x abab ， 所以 2 12 22 2 M xxa c x ab ，易知 2 P a x c ， 所以 2 2 1212 22 4 |1 1()4 ab ABxxx x ab ， 第 11 页（共 20 页） 22 2 22 2 2 |1( 1)| () MP a b PMxx ab c ， 又3| 4|ABPM， 所以 222 2222 42 2 34 () aba b abab c ，化简可得： 2 2 3 c a ， 故选：B 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 题，多空每题题，多空每题 6 分，单空每题分，单空每题 4 分，共分，共 36 分
21、分 11 （6 分）复数 1 1zi ， 2 32zi，则 1 |z 2 ， 1 2 z z 【解答】解： 1 1zi ， 2 32zi， 1 |2z， 1 2 1(1)(32 )15 32(32 )(32 )13 ziiii ziii ， 故答案为：2； 15 13 i 12 （6 分） （1）方程 22 1 14 xy aa 表示的曲线是双曲线，则实数a的取值范围为 (， 1)(4，) ； （2）若双曲线 22 :1 14 xy C aa 的焦点坐标为(0, 5)，则实数a的值为 【解答】解： （1）方程 22 1 14 xy aa 表示的曲线是双曲线， (1)(4)0aa， 解得1a 或
22、4a 故答案是：(，1)(4，)； （2）双曲线 22 :1 14 xy C aa 的焦点坐标为(0, 5)， 2 (4)(1)5aa， 解得11a 故答案是：11 13（6 分） 已知某几何体的三视图如图所示 （单位：)cm， 则该几何体的表面积为 36 2 cm， 体积为 3 cm 第 12 页（共 20 页） 【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体 如图所示： 所以该几何体的表面积为 11 3 323423 536 22 S 1 3 3412 3 V 故答案为：36；12 14 （6 分）已知过点( 3,0)A ，且斜率为k的动直线l与抛物线 2 :2C xy相
23、交于B，C两 点， 则k的取值范围为 6 k或0k ； 若N为抛物线C上一动点，M为线段AN中点， 则点M的轨迹方程为 【解答】解：依题意，设直线l的方程为(3)yxk， 联立方程 2 2 (3) xy yx k ，消去y得： 2 260 xxkk， 因为直线与抛物线 2 :2C xy相交于B，C两点， 所以 2 4240kk，解得(6)0k k， 第 13 页（共 20 页） 即6 k或0k； 设( , )M x y，M为线段AN中点，( 3,0)A ， 则利用中点坐标公式得(23,2 )Nxy， 又N为抛物线C上，故 2 (23)2 2xy ， 即点M的轨迹方程为 2 9 3 4 yxx
24、故答案为：6 k或0k； 2 9 3 4 yxx 15 （4 分）在平行六面体 1111 ABCDABC D中， 1 2ABADAA，90BAD， 11 60BAADAA ，则异面直线 1 AB与 1 BC所成角的余弦值是 2 3 【解答】解：如图， 11 ABABAA， 111 BCBBBCAAAD， 1111 () ()ABBCABAAAAAD 2 111 AB AAAB ADAAAA AD 22cos60422cos608 ， 22 2 11111 1 | |()2422242 3 2 ABBCABAAABAB AAAA ， 11 11 11 82 cos, 3| |2 3 2 3 AB
25、BC AB BC ABBC ， 异面直线 1 AB与 1 BC所成角的余弦值是 2 3 故答案为： 2 3 16（4 分） 若平面向量 ， 为单位向量， 空间向量 满足， 则对任意的实数 t1，t2，的最小值是 6 【解答】解： 22+t122+t2222t1 2t2 +2t1t2 ， 第 14 页（共 20 页） 由题得 221，| |8， 4， 5， 将条件代入可得，上式64+t12+t222t142t25+2t1t2 64+t12+t228t110t2+t1t2（t1+）2+（t24）2+3636， 当且仅当 t12，t24 取等号， 故| t1t2|的最小值是 6， 故答案为：6 17
26、 （4 分）已知椭圆： 22 :1 42 xy C，不过点( 2,1)Q的动直线l交椭圆于A，B两点，且 AQBQ，则直线l过定点 21 (,) 33 【解答】 解： 若直线l的斜率不存在， 则直线l的方程为：2x ， 代入椭圆方程可得：1y ， 显然Q与A，B中的一点重合，不符题意， 所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为：yxbk，与椭圆方程联立消去y可得： 222 (1 2)4240 xbxbkk，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 则 2 1212 22 424 , 1212 bb xxx x k kk ， 所以 1212 2 2 ()2 12 b yyxxb
27、k k ， 22 22 12121212 2 4 ()()() 12 b y yxbxbx xb xxb k kkkk k ， 由AQBQ可得0QA QB， 即 112212121212 (2,1) (2,1)2()2()1xyxyx xxxy yyy 222 2222 244 242 30 12121212 bbbb kk kkkk 化简可得： 22 324 2210bbb kk， 即(321)(21)0bbkk， 当210b k时，直线l的方程为：(2)1yxk，此时直线l过定点( 2，1)，不符 题意， 所以3210b k，即 1 ( 21) 3 b k， 第 15 页（共 20 页）
28、所以直线l的方程为： 21 () 33 yxk， 此时直线恒过定点 21 (,) 33 ， 故答案为： 21 (,) 33 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18 （14 分）已知命题p：若复数z满足|34 |34 | 2zizia ，则复数z在复平面上 对应点的轨迹为椭圆命题q：函数 2 ( )f xxxa在 2，2上存在零点 （1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围； （2）若命题p，q中有且只有一个真命题，求实数a的取值范围 【解答】 解：（1） 由题意得， 在复平
29、面上， 定点34i与34i 距离为|(34 )( 34 )| 10ii ， z在复平面对应轨迹为椭圆，所以a满足，2105(5,)aaa； （2）命题q真： 2x ，2时， 2 1 ,6 4 axx ， 由命题p，q中有且只有一个真命题，得p与q一真一假 若p真q假，则 5 (6,) 1 (6,)(,) 4 a a a ； 若p假q真，则 5 1 6 4 a a 剟 1 ,5 4 a ； 所以 1 ,5(6,) 4 a 19 （15 分）在三棱锥PABC中，PA平面ABC，90ABC，PAABBC，点M 在线段PB上，且2PMMB （1）试在线段PC上找一点N，使/ /BC平面AMN，并说明理
30、由； （2）试求直线AM与平面PBC所成角的正弦值 第 16 页（共 20 页） 【解答】 （1）证明：作PC上靠近P点的三等分点N， M是PB上三等分点， / /BCMN， 且BC 平面AMN，MN 平面AMN， / /BC平面AMN （2）解：法一：取PB中点记为 A ， BC 平面PABAABC， 又PAB为等腰三角形，AAPB， AA 平面PBC， A 为A点在平面PBC上投影， AMA即为所求线面角， 在AMA中， 2 2 AA ， 2 6 MA ， 2 5 6 AM ， 3 10 sin 10 AA MA 法二：如图所示建系，设1AB ，(0B，0，0)， ( 1A ，0，0)，(
31、0C，1，0)，( 1P ，0，1)， 22 (,0, ) 33 M ， 12 ( ,0, ) 33 AM ，( 1,0,1)BP ，(0,1,0)BC ， 设平面PBC法向量为 1 n， 1 1 0 0 nBPxz nBCy ，不妨设1x ，1z ，可得 1 (1,0,1)n ， 1 1 |3 10 sin 10| nAM nAM 20 （15 分）设抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离为 第 17 页（共 20 页） | 1AF AB为抛物线的焦点弦，点M在抛物线的准线上，O为坐标原点 （1）求p的值； （2）连接MA，MF，MB，分别将其斜率记为 1 k，
32、k， 2 k，试问 12 kk k 是否为定值若 是，请求出该定值；若不是，请说明理由 【解答】解： （1）由抛物线定义得，点A到准线的距离等于|AF， 1 2 p ，则2p ； （2）设( 1, )Mt， 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 已知(1,0)F，则 1 1 1 1 yt x k， 2 t k， 2 2 2 1 yt x k， 联立直线与抛物线方程 2 1 4 xmy yx ，得 2 440ymy 12 4yym， 12 4y y ， 222 12 168yym， 2 21 12 12 12 22 1212 ()(1)()(1) 44 11 (1)(1) 44
33、 yy ytyt ytyt yyxx kk， 将式代入，可得 2 12 2 44 2 44 tmt t m kkk， 得 12 2 kk k ， 故 12 kk k 为定值 2 21 （15 分） 在Rt ABC中，60A， 以BC为边在平面ABC内作如图所示的等边BCD， E为BC边上一点，且2ECBE，F为线段AC上的点，现沿BF将ABF折起，使A点到 达位置 A ，且 A 点在平面BCD内的射影恰为E点 第 18 页（共 20 页） （1）求证：DFA B； （2）求二面角BA DC的平面角的余弦值 【解答】 （1）证明：由题意得， A 在平面BCD内射影恰为E点，则A E平面BCD，
34、设1AB ， 3 3 BEBC， 且折痕BFAE，又 1 3 BEBC， 1 30 2 BAEBAC AE为A的角平分线，ABF为等边三角形， （2 分） 1ABAFFC，F恰为AC边中点， （4 分） 连接DF，交BC于点H，H恰为BC边中， ABF为等边三角形，DFBC， 又AEDF，BC 平面A BC，A E平面A BC，DF平面A BC， A B平面A BC DFAB （6 分） （2）如图所示，建立空间直角坐标系 6 3 A E， (0H，0，0)， 3 ( ,0,0) 2 D， 3 (0,0) ,2 C， 3 (0,0) 2 B， 1 (,0,0) 2 F ， 第 19 页（共 2
35、0 页） 3 (0,0) 6 E， 36 (0,) 63 A ， （8 分） 336 ( ,) 263 A D， 36 (0,) 33 BA ， 33 (,0) 22 DC ， （10 分） 设平面BA D法向量为 1 (nx，y，) z， 1 1 336 0 263 36 0 33 nA Dxyz nBAyz ，可取 1 ( 2n ，6，3)； 平面A DC法向量为 2 (nx，y，) z， 2 2 336 0 263 33 0 22 nA Dxyz nDCxy ，可取 2 (1n ，3，6)， （12 分） 12 12 55 cos 55| nn nn ， （14 分） 二面角BA DC的
36、平面角的余弦值为 55 55 （15 分） 22 （15 分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆 22 :4O xy，椭圆 22 :1 124 xy C，A为 椭圆的上顶点过原点的直线与圆O交于点M，N两点，且点M在第一象限，直线AM与 椭圆C的另一交点为P，直线AN与椭圆C的另一交点为Q （1）若| 2|APAM，求直线AM的斜率； （2）设AMN与APQ的面积分别为 1 S， 2 S，求 1 2 S S 的最大值 【解答】解： （1）设直线AP的方程为2(0)yxkk， 联立直线与椭圆方程 22 2 1 124 yx xy k ，消去y可得， 22 (1 3)120 xxkk， 第 20 页
37、（共 20 页） 所以得到 2 12 13 p x k k ， 联立直线与圆方程 22 2 4 yx xy k ，消去y可得， 22 (1)40 xxkk， 所以 2 4 1 M x k k ， 由| 2|APAM得，2 PM xx， 故 22 124 2 131 kk kk ，解得 3 3 k， 因为0k，所以 3 3 k （2）由M与N关于原点对称，可得N点坐标， 所以 2 4 1 N x k k ， 2 2 22 1 N y k k ， 1 NA k k ， 所以 2 2 |13 |33 M P xAM APx k k ， 同理可得， 2 2 |3 |33 N Q xAN NQx k k ， 则有 2242 1 2242 2 | |1333103 | |33339189 SAMAN SAPNQ kkkk kkkk 422 4242 1 310314 (1) 3 3633363 kkk kkkk 2 2 2 2 14144 (1)(1) 3 3393 36 2 36 k k k k ， 当且仅当 2 2 3 3k k ，即1k时取得等号， 所以 1 2 S S 的最大值为 4 9
