1、17.2 一元二次方程的解法 第17章 一元二次方程 八年级数学下（HK） 教学课件 17.2.2 配方法 学习目标 1.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题. (重点) 2.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系. (难点) 配方的方法 二 问题问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式. (1) a2+2ab+b2=( )2； (2) a2-2ab+b2=( )2. a+b a-b 探究交流 问题问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立. （1）x2+4x+ = ( x + )2 （2）x2-6x+ = ( x- )2 （3）x2+8x+ = ( x+ )2 （4） 4 3 x2-
2、 x+ = ( x- )2 你发现了什么规律？ 22 2 32 3 42 4 2 2 ( ) 3 2 3 二次项系数为1的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方. 归纳总结 想一想： x2+px+( )2=(x+ )2 2 p 2 p 配方的方法 用配方法解方程 三 探究交流 怎样解方程: x2+6x+4=0 (1) 问题1 方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？ 解： x2+6x+4=0 x2+6x=-4 移项 x2+6x+9=-4+9 两边都加上9 二次项系数为1的完全 平方式： 常数项等于一次项系数 一半的平方. 方法归纳 在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是 在二次
3、项系数为1的前提下进行的. 问题2 为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他 数行吗？ 不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方， 方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式. 方程配方的方法： 要点归纳 像这种先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式后，再 直接开平方求解的方法叫做配方法. 配方法的定义 配方法解方程的基本思路 把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为 一元一次方程求解 45,x 例1 解下列方程： 2 1810 xx ； 12 415,415.xx 解：（1）移项，得 x28x=1, 配方，得 x28x+42=1+42 , ( x4)
4、2=15 由此可得 即 配方，得 22 2 3313 , 2424 xx 2 31 , 416 x 31 , 44 x 由此可得 2 1 1 1,. 2 xx 二次项系数化为1，得 2 31 , 22 xx 2 2213 xx ； 解：移项，得 2x23x=1, 即 移项和二次项系数 化为1这两个步骤 能不能交换一下呢? 配方，得 222 4 211 , 3 xx 21 1. 3 x 实数的平方不会是负数实数的平方不会是负数， x x取任何实数时，上式都不成立取任何实数时，上式都不成立， 原方程无实数根原方程无实数根 解：移项，得 2 364,xx 二次项系数化为1，得 2 4 2, 3 xx
5、 2 33640.xx 为什么方程 两边都加12？ 即即 配方法解方程的基本步骤 一、 先把 x2 的系数变为1 ； 二、 移常数项 ； 三、 配方 配上 ； 四、 写成（x+n)2=p ( p 0 ) ; 五、 直接开平方法解方程 . 2 2 一次项系数 （） 解下列方程： （1）x2+4x-9=2x-11；（；（2）x(x+4)=8x+12； （3）4x2-6x-3=0； （4） 3x2+6x-9=0. 解：x2+2x+2=0， (x+1)2=-1. 此方程无解. 解：x2-4x-12=0， (x-2)2=16. x1=6,x2=-2. 2 33 0 24 xx解：， 2 321 ().
6、416 x 12 321321 , 44 xx . 解：x2+2x-3=0， (x+1)2=4. x1=-3,x2=1. 练一练 例2. 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k24k5的值必定大于零. 解：k24k5=k24k41 =(k-2)21 (k-2)20，(k-2)211. k24k5的值必定大于零. 1. 方程2x2 - - 3m - - x +m2 +2=0有一根为x = 0，则 m的值为（ ） A. 1 B.1 C.1或2 D.1或- -2 2.应用配方法求最值. (1) 2x2 - - 4x+5的最小值； (2) -3x2 + 5x +1的最大值. 练一练 C 解：（解：
7、（1 1）2x2x2- -4x+5=2(x4x+5=2(x- -1)1)2+3 +3 当当x =1x =1时有最小值时有最小值3.3. （2 2）- -3x3x2+12x+12x- -16=16=- -3(x3(x- -2)2)2- -4 4 当当x =2x =2时有最大值时有最大值- -4.4. 3.若 ，求(xy)z 的值. 013264 22 zyyxx 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 22 2320.xyz 22 20,30,20,xyz 2,3,2xyz ， 2 2 23636. z xy 已知a,b,c为ABC的三边长，且 试判断ABC的形状. , 0 222 bcacab
8、cba 解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 ABC为等边三角形. 2221 0, 2 a bacb c 222 0,0,0,a bacb c ,abc 能力提升 归纳总结 配方法的应用 类别类别 解题策略解题策略 1.求最值或求最值或 证明代数式证明代数式 的值为恒正的值为恒正 （或负）（或负） 对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2 n的形式后，(x+m)20，n为常数，为常数，当当a0时， 可知其最小值；当a0时，可知其最大值. 2.完全平方完全平方 式中的配方式中的配方 如：已知x22mx16是一个完全平方式，所以一 次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=4. 3
9、.利用配方利用配方 构成非负数构成非负数 和的形式和的形式 对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数 的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式 得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0， 从而求解.如：a2b24b4=0,则a2(b2)2=0, 即a=0，b=2. 配 方 法 定义 通过配成完全平方形式解 一元二次方程的方法. 步骤 一、 先把 x2 的系数变为1 ； 二、 移常数项 ； 三、 配方 配上 ； 四、 写成（x+n)2=p ( p 0 ) ; 五、 直接开平方法解方程 . 2 2 二次项系数 （） 应用 求代数式的最值或证明 课堂小结 课堂作业 课本25页练习 第1、2题
