1、第十七章第十七章 一元二次方程一元二次方程 17.3 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式 学习目标学习目标 1.理解并掌握一元二次方程根的判别式，能运用判别式，在不解方理解并掌握一元二次方程根的判别式，能运用判别式，在不解方 程的前提下判断一元二次方程根的情况程的前提下判断一元二次方程根的情况. . 2.通过一元二次方程根的情况的探究过程，体会从特殊到一般、猜通过一元二次方程根的情况的探究过程，体会从特殊到一般、猜 想及分类讨论的数学思想，提高观察、分析、归纳的能力想及分类讨论的数学思想，提高观察、分析、归纳的能力 情境导入情境导入 1.先用公式法解下列方程：先用公式法解下列方程：
2、(1)x2+44x (2)x2+2x3 (3)x2x20 你在求解过程中遇到什么问题？你是怎样处理所遇到的问题的？你在求解过程中遇到什么问题？你是怎样处理所遇到的问题的？ 情境导入情境导入 观察上面三个方程的根的情况，你有什么发现？观察上面三个方程的根的情况，你有什么发现？ 一般的，对于一元二次方程一般的，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，何时有两个相等的实，何时有两个相等的实 数根？何时有两个不相等的实数根？它何时没有实数根？数根？何时有两个不相等的实数根？它何时没有实数根？ 探究新知探究新知 思考：思考：一般的，对于一元二次方程一般的，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0
3、)， 它何时有两个相等的实数根？它何时有两个相等的实数根？ 何时有两个不相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？ 何时没有实数根？何时没有实数根？ 为什么说方程根的情况是由为什么说方程根的情况是由b2-4ac决定的？决定的？ 请小组内进行讨论、探究请小组内进行讨论、探究 1.一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式 探究新知探究新知 从我们刚刚的讨论可得：一元二次方程从我们刚刚的讨论可得：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的情的根的情 况由况由b2-4ac来决定来决定.因此，我们把因此，我们把b2-4ac叫做一元二次方程叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根的判别
4、式的根的判别式.通常用符号“通常用符号“”(希腊字母希腊字母)来表来表 示，读做“得尔塔”，即示，读做“得尔塔”，即=b2-4ac. 探究新知探究新知 能说出一元二次方程能说出一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的情况具体有哪几种，的根的情况具体有哪几种， 又是如何判别的吗？又是如何判别的吗？ 2.一元二次方程的根的判别方法一元二次方程的根的判别方法 一般的，一元二次方程一般的，一元二次方程ax2+bx+c=0(a0) 当当0时，有两个不相等的实数根；时，有两个不相等的实数根； 当当0时，有两个相等的实数根；时，有两个相等的实数根； 当当0时，没有实数根时，没有实数根. 探究新知探究新
5、知 不解方程，判别下列方程的根的情况不解方程，判别下列方程的根的情况 (1)3x2x1=3x (2)5(x21)=7x (3)x24x=4 2.一元二次方程的根的判别方法一元二次方程的根的判别方法 判别一元二次方程的根的情况的一般步骤为判别一元二次方程的根的情况的一般步骤为： 一化一化(将一元二次方程化为一般形式将一元二次方程化为一般形式)； 二算二算(确定确定a、b、c的值，算出的值，算出的值的值)； 三判断三判断(根据结论根据结论1判别方程根的情况判别方程根的情况). 例例1 已知一元二次方程已知一元二次方程x2x1，下列判断正确的是，下列判断正确的是( ) A该方程有两个相等的实数根该方
6、程有两个相等的实数根 B该方程有两个不相等的实数根该方程有两个不相等的实数根 C该方程无实数根该方程无实数根 D该方程根的情况不确定该方程根的情况不确定 新知运用新知运用 解：原方程变形为解：原方程变形为x2x10. b24ac141(1)50， 该方程有两个不相等的实数根故选该方程有两个不相等的实数根故选B. 例例2 若关于若关于x的一元二次方程的一元二次方程kx22x10有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 ，则，则k的取值范围是的取值范围是( ) Ak1 Bk1且且k0 Ck1 Dk0， 同时要求二次项系数不为同时要求二次项系数不为0，即，即(-2)2-4k(-1)0,k0, 解得解
7、得k1且且k0.故选故选B. 例例3 已知已知a，b，c分别是分别是ABC的三边长，求证：关于的三边长，求证：关于x的方程的方程b2x2 (b2c2a2)xc20没有实数根没有实数根 新知运用新知运用 分分析析：欲证一元二次方程没有实数根，只需证明它的判别式欲证一元二次方程没有实数根，只需证明它的判别式c，acb，bca. 证明：证明：b为三角形一边的长为三角形一边的长，b0，b20， b2x2(b2c2a2)xc20是关于是关于x的一元二次方程的一元二次方程 (b2c2a2)24b2c2(b2c2a22bc)(b2c2a22bc) (bc)2a2(bc)2a2(bca)(bca)(bca)(
8、bc a)(abc)(bc)a(ab)cb(ac) a，b，c是三角形三条边的长是三角形三条边的长， a0，b0，c0，且，且abc0，abc，bca，acb. (bc)a0，(ab)c0，b(ac)0， (abc)(bc)a(ab)cb(ac)0，即，即0，解得，解得m 1 4. m为非负整数，为非负整数，m0. 而当而当m0时，原方程时，原方程m2x2(2m1)x10是一元一次方程，只有是一元一次方程，只有 一个实数根，与假设矛盾一个实数根，与假设矛盾 不存在这样的非负整数，使原方程有两个不相等的实数根不存在这样的非负整数，使原方程有两个不相等的实数根 随堂检测随堂检测 1一元二次方程一元
9、二次方程x2x20的根的情况是的根的情况是( ) A有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根有两个相等的实数根 C只有一个实数根只有一个实数根 D没有实数根没有实数根 A 随堂检测随堂检测 2对于任意实数对于任意实数k，关于，关于x的方程的方程x22(k1)xk22k1 0的根的情况是的根的情况是( ) A有两个相等的实数根有两个相等的实数根 B没有实数根没有实数根 C有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 D无法确定无法确定 C 随堂检测随堂检测 3若关于若关于x的方程的方程x2(1m)x 0有两个不相等的实数根，则有两个不相等的实数根，则 m的最大整数值为的最大整数值为_ 4若一元二次方程若一元二次方程x22xm0总有实数根，则总有实数根，则m应满足应满足_ 2 4 m 0 m1 (1)一元二次方程根的判别式的意义；一元二次方程根的判别式的意义； 课堂小结课堂小结 (2)由根的判别式的符号判断一元二次方程根的情况：由根的判别式的符号判断一元二次方程根的情况： 当当0时，有两个不相等的实数根；时，有两个不相等的实数根； 当当0时，有两个相等的实数根；时，有两个相等的实数根； 当当0时，没有实数根时，没有实数根. 再见再见
