1、【 ;百万教育资源文库 】 2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理工农医类）答案解析 一、选择题 1.【答案】 B 【解析】 由题意可知 iizz? ，所以 i()1zz? ， 令 z a bi? ，经化简可知1abab? ?，所以 12a? ， 12b? ，即 11i22z? ，故选 B. 【提示】 根据复数的基本运算即可得到结论 . 【考点】 复数的四则运算 2.【答案】 D 【解析】 根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，系统抽样和分层抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即 1 2 3p p p?.故选 D. 【提示】 根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可
2、得到结论 . 【考点】 随机抽样的概率 3.【答案】 C 【解析】 因为 ()fx为偶函数， ()gx为奇函数，所以 ( ) ( )f x f x? ， ( ) ( )g x g x? ，即 ( ) ( )( ) ( )f x f xg x g x? ? ?，联立 3232( ) ( ) 1( ) ( ) 1f x g x x xf x g x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，得出 2( ) 1f x x?， 3()g x x? ，所以 (1) (1) 2 1 1fg? ? ? ?，故选 C. 【提示】 因为 ()fx为偶函数， ()gx为奇函数，所以 ( ) ( )f
3、x f x? ， ( ) ( )g x g x? ，联立方程 得出 ()fx和()gx的 解析式， 再 令 1x? 即可 . 【考点】 对数奇偶性 4.【答案】 A 【解析】 根据 ? ? ? ?5 55 1 22r rrrrC x y? ? ?，所以 23xy的系数为 2335 1 ( 2) 202C ? ? ? ?，故选 A. 【提示】 利用二项式定理的展开式的通项公式，求解所求项的系数即可 . 【考点】 二项式定理 5.【答案】 C 【解析】 根据不等式的性质可知，若 xy? ，则 xy? 成立，即 p 为真命题，当 1x? ， 1y? 时，满足 xy? ，【 ;百万教育资源文库 】 但
4、 22xy? 不成立，即命题 q 为假命题，则 pq? 为假命题； pq? 为真命题； ()pq? 为真命题； ()pq?为假命题，故选： C. 【提示】 根据不等式的性质分别判定命题 p ， q 的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论 . 【考点】 非、或、且，真假命题 6.【答案】 D 【解析】 当 2,0)t? 时，运行程序如下， 22 1 (1,9tt? ? ? ， ( 2 63 ,St ? ? ，当 0,2t? 时， , 13 3St ? ? ? ，则 ( 2 , 6 3 , 1 3 , 6 S ? ? ? ? ? ?，故选 D. 【提示】 根据程序框图，结合条件，利用函数的性质
5、即可得到结论 . 【考点】 循环结构流程图 7.【答案】 B 【解析】 由图可知该几何体的为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径 r ，则22866 28 r rr ? ? ? ，故选 B. 【提示】 由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径 r . 【考点】 几何体的体积 8.【答案】 D 【解析】 由题意可知：设平均增长率为 x ，由 2( 1)( 1) (1 )p q x? ? ? ?， 1 ( 1)( 1)x p q? ? ? ? 所以 ( 1)( 1) 1x p q? ? ? ?，故选 D. 【提示】 根据增长率之间的关系，建立方程关
6、系即可得到结论 . 【考点】 增长率 9.【答案】 A 【解析】 由 230? ( ) 0f x dx?，可以得出 2c o s c o s( )3 ? ? ?，即 3? ， 所以 ( ) sin 3f x x ?，因此一条对称轴为 32xk? ? ? （ k?Z ）所以 56x? ，故选 A. 【提示】 由 230? ( ) 0f x dx?， 可以得到 ?的 值， 可以 知道对称轴 x 从而求得 x 的值 . 【考点】 积分，对称轴，三角函数 10.【答案】 B 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】 由题可得函数 ()fx的图象上存在020 0 01, e ( 0 )2xP x x x?
7、? ?关于 y 轴对称的点 0200 1,e 2xQ x x? ? ?在函数 2( ) ln( )g x x x a? ? ?的图象上，从而0220 0 01e ( ) l n ( )2xx x x a? ? ? ? ? ? ?， 即0 0 1e ln ( ) 02x xa? ? ? ? ?，问题等价于函数0 0 1( ) e ln ( ) 2xh x x a? ? ? ? ?在 ( ,0)x? 存在零点 . 即 ( , e)a? 【提示】 由题意可得0 01e ln ( ) 02x xa? ? ? ? ?有负根，采用数形结合的方法可判断出 a 的取值范围 . 【考点】 对称性 二、填空题 1
8、1.【答案】 (cos sin ) 1p ? 【解析】 设直线方程 y x b?，联立 22( 2 ) ( 1) 1xyy x b? ? ? ? ? ?得出 222 2 ( 3 ) 4 2 0x x b b b? ? ? ? ? ?，由韦达定理 212 422bbxx ?， 123x x b? ? ? ，又有 221 2 1 2| | 2 1 ( ) 4A B k x x x x? ? ? ? ? ?，所以最后得出 1b? ，故直线方程 1xy?，所以极坐标方程为 (cos sin ) 1p ? 【提示】 由题意可得直线 l 的方程为 y x b?，曲线方程化为直角坐标，表示一个圆，由于弦长正
9、好等于直径，可得圆心 (2,1) 在直线 l 上，由此求得 b 的值，可得直线的方程 . 【考点】 直线与参数方程的位置关系，极坐标 12.【答案】 32 【解析】 设线段 AO 与 BC 于点 D 延长 AO 交圆与另外一点 E ，则 2BD DC?，由 ABD 的勾股定理可得 1AD? ，由双隔线定理可得 2B D D C A D D E D E? ? ?，则直线 33 2AE r? ? ? ，故填 32 . 【提示】 设垂足为 D ， O 的半径等于 R ，先计算 AD ，再计算 R 即可 . 【考点】 勾股定理，双割线定理 13.【答案】 3? 【解析】 由题可得5 232 31 23
10、3aaa? ? ? ? ? ? ? ?，故填： ? 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】由题可得5 2321 233aa? ? ? ?，可得 a的值 . 【考点】 绝对值不等式 14.【答案】 2? 【解析】 作出不等式组 4yxxyyk?表示的区域，可以得出三条直线的交点 (),kk ， (4 ),kk? ， (2)2, ，且 yx? ，4xy?的可行域，所以 2k? ，则当 (),kk 为最优解时， 3 6 2kk? ? ?，当 (4 ),kk? 为最优解时，2 ( 4 ) 6 1 4k k k? ? ? ? ? ?，因为 2? ，所以 2k? ，故填 2? . 【提示】 做 出不等式对应
11、的平面区域，利用线性规划的知识，确定 k的值即可 . 【考点】 线性规划 15.【答案】 21? 【解析】 由 ,2aCa?， ,2aF b b?，则22 212 2a p a ba ab p b? ? ? ? ?，故填 21? . 【提示】 可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出 C ， F 两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数 p 后，得到 a ， b 的关系式，再寻求 ba 的值 . 【考点】 抛物线 16.【答案】 7 1, 7 1? 【解析】 动点 D 的轨迹为以 C 为圆心的单位圆，设为 (3 cos ,sin )? ( 0,2)? ，则 |OA OB OD? ? ?22
12、( 3 c o s 1 ) ( s i n 3 ) 8 2 ( 2 c o s 3 s i n )? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，因为 2cos 3 sin? 的取值范围为 2 2 2 2 2 ( 3 ) , 2 ( 3 ) 7 , 7 ? ? ? ? ?， 28 2 7 (1 7 ) 1 7? ? ? ?， 28 2 7 (1 7 ) 7 1? ? ? ? ?，所以 |OA OB OD?的取值范围为 7 1, 7 1?. 【提示】 由题意设点 D 的坐标为 (3 cos ,sin )? ，求得 | | 8 2 ( 2 c o s 3 s i n )O A O B O D ? ? ?
13、? ?.根据2cos 3 sin? 的取值范围 ，可得 |OA OB OD?的最大值 . 【考点】 平面向量的基本运算 【 ;百万教育资源文库 】 三、解答题 17.【答案】 （） 1315 （） 140 【解析】 （）记 E ? 甲 组 研 发 新 产 品 成 功， F ? 乙 组 研 发 新 产 品 成 功. 由题设知 2()3PE? ， 1()3PE? ， 3()5PF? ， 2()5PF? ， 故所求的概率为 13( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 15P P F P E P E P F P E P F? ? ? ?. （）设企业可获利润为 X （万元），则 X 的可能取值
14、为 0， 100， 120， 220. 因 1 2 2( 0 ) ( ) 3 5 1 5P X P E F? ? ? ? ?， 1 3 3( 1 0 0 ) ( ) 3 5 1 5P X P E F? ? ? ? ?， 2 2 4( 1 2 0 ) ( ) 3 5 1 5P X P E F? ? ? ? ?， 2 3 6( 2 2 0 ) ( ) 3 5 1 5P X P E F? ? ? ? ?， 故所求的分布列为： X 0 100 120 220 P 215 315 415 615 数学期望为 2 3 4 6 3 0 0 4 8 0 1 3 2 0 2 1 0 0( ) 0 1 0 0 1
15、 2 0 2 2 0 1 4 01 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 【提示】 （ ）利用对立事件的概率公式，计算即可， （ ）求出企业利润的分布列，再根据数学期望公式计算即可 . 【考点】 分布列和数学期望，概率 18.【答案】 （） 277（） 3 【解析】 （）在 ADC 中，由余弦定理，得 2 2 2c o s 2A C A D C DC A D A C A D? 故由题设知， 7 1 4 2 7c o s727C A D ? ? ?（） 22 7 3 2 1s i n 1 c o s 11 4 1 4B A D B A D?
16、 ? ? ? ? ? ? ?于是 s i n s i n ( )B A C B A D C A D? ? ? ? ? 【 ;百万教育资源文库 】 s i n c o s c o s s i nB A D C A D B A D C A D? ? ? ? ? ? 3 2 1 2 7 7 2 11 4 7 1 4 7? ? ? 32? . 在 ABC 中，由正弦定理， sin sinB C A CB A C C B A?， 故37s in 2 3s in 216A C B A CBCCB A? ? ?. 【提示】 （） 利用余弦定理，利用已知条件求得 cos CAD? 的值 . （） 根据 cos
17、 CAD? ， cos BAD? 的值分别，求得 sin BAD? 和 sin CAD? ，进而利用两角和公式求得sin BAC? 的值，最后利用正弦定理求得 BC . 【考点】 解三角形，余弦定理，正弦定理 19.【答案】 （）如图，因为四边形 11ACCA 为矩形，所以 1CC AC? . 同理 1DD BD? . 因为 11CC DD ，所以 1CC BD? . 而 AC BD O? ，因此 1 CC BDC A?底 面 . 由题设知， 11OO CC . 故 1 CO BDO A?底 面 . （）如图 2，过 1O 作 11OH OB? 于 H ，连接 1HC . 由（）知， 1 CO
18、 BDO A?底 面 ， 所以 1 1 1 1 1O O A B C D?底 面 ， 于是 1 1 1OO AC? . 又因为四棱柱 1 1 1 1ABABC CD D? 的所有棱长都相等， 所以四边形 1 1 1 1ABCD 是菱形， 因此 1 1 1 1AC BD? ，从而 1 1 1 1A C BDD B?平 面 ， 【 ;百万教育资源文库 】 所以 1 1 1AC OB? ，于是 1 1 1OB O HC?平 面 ， 进而 11OB CH? . 故 11CHO? 是二面角 11C OB D?的平面角 . 不妨设 2AB? . 因为 60CBA? ? ? ，所以 3OB? ， 1OC? ， 1 7OB? . 在 11Rt OOB 中，易知 1 1 11 1 32 7O O O BOH OB?. 而 111OC? ，于是 221 1 1 1C H O C O H? ? ?12 19177?. 故 37111 191 72 2 5 7c o s 19OHC H O CH? ? ? ?. 即二面角 11C OB D?的余弦值为 25719. 【提示】 （
