1、【 ;百万教育资源文库 】 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 (湖南 卷 ) 数学 (理科 )答案解析 第 卷 一、选择题 1.【答案】 D 【解析】 由 题意得，得 2(1 i) 2 i 1i1 i 1 iz ? ? ? ? ? 【提示】 由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得 z 的值 【考点】复数代数形式的乘除运算 2.【答案】 C 【解析】 由题意得， A B A A B? ? ?I ，反之， A B A B A? ? ?I ，故为充要条件 【提示】 直接利用两个集合的交集，判断两个集合的关系，判断充要条件即可 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 3.【答案】 B
2、 【解析】 由题意得，输出的 S 为数列 1(2 1)(2 1)nn?的前三项和，而 1 1 1 1( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 2 1 2 1n n n n? ? ? ?，所以 1112 2 1 2 1n nS nn? ? ?，从而3 37S? 【提示】 列出循环过程中 S 与 i 的数值，满足判断框的条件即可结束循环 【考点】程序框图 4.【答案】 A 【解析】 如图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，从而可知当 2x? ， 1y? 时， 3z x y?的最小值是 7? 【提示】 由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案 【考点】 简单线性规划
3、 5.【答案】 A 【 ;百万教育资源文库 】 【解析】 显然， ()fx定义域为 (1,1)? ，关于原点对称， 又 ( ) ln (1 ) ln (1 ) ( )f x x x f x? ? ? ? ? ? ?， ()fx为奇函数，显然 ()fx在 (0,1) 上单调递增 【提示】 求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可 【考点】 利用导数研究函数的单调性 6.【答案】 D 【解析】 5215( 1) rr r rrT C a x ? ?，令 1r? ，可得 5 30a?，从而 6a? 【提示】 根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第 1r? 项，整理成最
4、简形式，令 x 的指数为 32求得 r，再代入系数求出结果 【考点】 二项式定理的应用 7.【答案】 C 【解析】 根据正态分布的性质， 1(0 1 ) ( 1 1 ) 0 . 3 4 1 32P x P x? ? ? ? ? ? ?， 落入阴影部分点的个数的估计值为 10000 0.3413 3413? 【提示】 求出 1(0 1 ) ( 1 1 ) 0 . 3 4 1 32P x P x? ? ? ? ? ? ?，即可得出结论 【考点】 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 8.【答案】 B 【解析】 由题意得 AC 为圆的直径，故可设 ( , )Amn ， ( , )B m n? ， (
5、 , )Cxy ， ( 6 , )P A P B P C x y? ? ? ?uur uur uuur ，而 22( 6 ) 3 7 1 2 4 9x y x? ? ? ? ?， |PA PB PC?uur uur uuur 的最大值为 7 【提示】 由题意， AC 为直径，所以 | | ( 6 , )P A P B P C x y? ? ? ?uur uur uuur ，而 22( 6 ) 3 7 1 2 4 9x y x? ? ? ? ?，即可得出结论 【考点】 圆的切线方程 9.【答案】 D 【解析】因为将函数 ( ) sin2f x x? 的周期为 ，函数的图象向右平移 0 2?个单位
6、后得到函数 ()gx 的图象若对满足 12| ( ) ) 2(|f x g x ? 的可知，两个函数的最大值与最小值的差为 2，有12 |3minxx ?，不妨令12 7,4 12xx?，即 ()gx 在2 712x ?处 取得最小值， 7sin 2 2 112 ? ? ? ? ?，此时 6? ，不合题意，123 5,4 12xx?，即 ()gx 在2 512x?，取得最大值， 5sin 2 2 112 ? ? ?，此时 6? ，满足题意 【 ;百万教育资源文库 】 【提示】 利用三角函数的最值，求出自变量 12,xx的值，然后判断选项即可 【考点】 函数 (n )siy A x?的图象变换
7、10.【答案】 A 【解析】 根据三视图可判断其为圆锥， 底面半径为 1，高为 2， 212 1233V ? ? ? ? ? 如下图所示，则有 212xh? ， 22hx? ， 长方体的体积为 22(2 2 )x h x x? (2 2 )x x x?gg 32223x x x? ? ? ?1627?，当且仅当 22xx? ， 即 23x?时，等号成立， 利用率为16 1627293? 【提示】 利用几何体的性质得出此长方体底面边长为 n 的正方形，高为 x，利用轴截面的图形可判断得出22hx? ，求解体积式子，利用导数求解即可，最后利用几何概率求解即 【考点】 简单空间图形的三视图 第 卷
8、二、填空题 11.【答案】 0 【解析】 20 ( 1)x dx? 2201 |02xx? 【提示】 求出被积函数的原函数，代入上限和下限求值 【考点】 定积分 12.【答案】 4 【解析】 根据茎叶图中的数据，得；成绩在区间 139 151， 上的运动员人数是 20 ，用系统抽样方法从 35 人中抽取 7 人，成绩在区间 139 151， 上的运动员应抽取 207435?(人 ) 【提示】 根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，即可求出正确的结论 【考点】 茎叶图 【 ;百万教育资源文库 】 13.【答案】 5e? 【解析】 根据对称性，不妨设 (,0)Fc ，短轴端点为 (0, )b
9、 ，从而可知点 ( ,2)cb? 在双曲线上， 224 1cbab?，从而 5ce a? 【提示】 设 (,0)Fc ，短轴端点为 (0, )b ， 而可知点 ( ,2)cb? 在双曲线上，即可 求得离心率 【考点】 双曲线的简单性质 14.【答案】 13nna ? 【解析】 等比数列 na 中 2 1 1 1S a a q q? ? ? ?， 23 1S q q? ? ? ， 24(1 ) 3 1q q q? ? ? ? ?， 解得 3q? ， 13nna ? 【提示】 利用已知条件列出方程求出公比，然后求解等比数列的通项公式 【考点】 等差数列与等比数列的综合 15.【答案】 | 0 1a
10、 a a?或 【解析】 ( ) ( )g f bxx?有两个零点， ()f x b? 有两个零点，即 ()y f x y b?与 的图象有两个交点，由32xx? 可得， 01xx?或 当 1a? 时，函数 ()fx 的图象如图所示，此时存在 b，满足题意，故 1a? 满足题意 当 1a? 时，由于函数 ()fx 在定义域 R 上单调递增，故不符合题意 当 01a?时，函数 ()fx 单调递增，故不符合题意 【 ;百万教育资源文库 】 当 0a? 时， ()fx 单调递增，故不符合题意 当 1a? 时，函数 ()yfx? 的图象如图所示，此时存在 b 使得， ()yfx? 与 y b? 有两个交
11、点 综上可得， 01aa?或 【提示】 由 ( ) ( )g f bxx?有两个零点可得 ()f x b? 有两个零点，即 ()y f x y b?与 的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求 a 的范围 【考点】 函数的零点 三、简答题 16 .【答案】 （） 见解析 （ ） 见解析 【解析】 （） 因为 MN， 分别是两弦 AB CD， 的中点，所以 OM AB? ， ON CD? ，即 90O M E O N E? ? ? ?，因此 180O M E O N E? ? ? ?，又四边形的内角和等于 360 ， 所以 O M E N， ， ， 四点共圆 ， 故18
12、0M E N N O M? ? ? ? （ ） 由 （） 知， O M E N， ， ， 四点共圆， 在 FEM FON 与 中， FF? ? ， 90F M E F N O? ? ? ? ?， FEM FON ， FE FMFO FN? ， 故由割线定理即得 FE FN FM FO?gg 【提示】 （） 证明 O M E N， ， ， 四点共圆 ，即可证明 180M E N N O M? ? ? ? （ ） 证明 FEM FON ，即可证明 FE FN FM FO?gg 【考点】 相似三角形的判定 16 .【答案】 （） 2220x y x? ? ? （ ） 18 【解析】 （） 2cos?
13、 等价于 2 2 cos? ? ? ，将 2 2 2xy? ?， cos x? 代入上式即得曲线 C 的直角坐标方程是 2220x y x? ? ? 【 ;百万教育资源文库 】 （ ） 将35,2132xtyt? ? ?代入 2220x y x? ? ? 得 2 5 3 18 0tt? ? ?设这个方程的两个实根分别为 12,tt，则由参数 t 的几何意义知 | | | |MA MB 12| | 18tt? 【提示】 （） 曲线的极坐标方程即 2 2 cos? ? ? ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得 2220x y x? ? ? ，即得它的直角坐标方程； （ ） 直线 l 的方程化为普通方
14、程，利用切割线定理可得结论 【考点】 参数方程 ， 极坐标方程 16 .【答案】 （） 见解析 （ ）见解析 【解析】 由 11 abab a b ab? ? ? ? ， 0, 0ab?得 1ab? （） 由基本不等式及 1ab? ，有 22a b ab? ? ? ，即 2ab? （ ） 设 2 2aa? 与 2 2bb? 同时成立，则由 2 2aa? 及 0a? 可得 01a?，同理 01b?，从而01ab?这与 1ab? 相矛盾，故 2 2aa? 与 2 2bb? 不可能同时成立 【提示】 （） 由 0, 0ab?，结合条件可得 1ab? ，再由基本不等式，即可得证； （ ） 运用反证法证
15、明假设 2 2aa? 与 2 2bb? 同时成立结合条件 0, 0ab?，以及二次不等式的解法，可得 01a?， 且 01b?，这与 1ab? 矛盾，即可得证 【考点】 不等式的证明 17.【答案】 （ ） 2 （） 29,28? ?【解析】 （ ）由 tana b A? 及正弦定理，得 sin sincos sinA a AA b B? ， 所以 sin cosBA? ，即 sin sin2BA? 又 B 为钝角， ,22A ?， 故 2BA?，即 2BA? （） 由（ ）知 ( ) 2 02C A B A? ? ? ? ? ?， 所以 0,4A ? 【 ;百万教育资源文库 】 于是 s i
16、 n s i n s i n s i n 22A C A A? ? ? ?sin cos2AA? 2sin 1 2 sinAA? ? ? 2192 sin48A? ? ? ?因为 0 4A? ， 所以 20 sin 2A?， 因此 22 1 9 92 s in2 4 8 8A? ? ? ? ? 由此可得 sin sinAC? 的取值范围是 29,28? ? 【提示】 ( )由题意和正弦定理可得 sin cosBA? ，由角的范围和诱导公式可得 （） 由题意可得 0,4A ?，可得 20 sin2A?，化简可得 219s in s in 2 s in48A C A? ? ? ? ?， 由二次函数区间的最值可得 【考点】 正弦定理 18.【答案】 （） 7()10PC? （） X 的分布列为 ： X 0 1 2 3 P 64125 48125 12125 1125 X 的数学期望为 3()5EX? 【解析】 （） 记事件 1 A ? 从 甲 箱 中 摸 出 的 一 个 球 是 红 球， 2 A ? 从 乙 箱 中 摸 出 的 一 个 球 是 红 球，1 B 顾 客 抽 奖 一 次 获 一 等 奖， 2B 顾 客 抽 奖 一 次 获 二 等 奖， C 顾 客
