1、第十章测评第十章测评 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、单项选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.(1+2i)(2+i)=( ) A.4+5i B.5i C.-5i D.2+3i 答案 B 解析(1+2i)(2+i)=2+i+4i+2i2=5i. 2.(2020 山东) - =( ) A.1 B.-1 C.i D.-i 答案 D 解析 - - - - - - - - =-i,故选 D. 3.(2020 全国)若 z=1+2i+i3,则|z|=( ) A.0 B.1 C. D.2 答案 C 解析因为 z=1+2
2、i+i3=1+2i+i2 i=1+2i-i=1+i, 所以|z|= . 4.(2020 全国)若 (1+i)=1-i,则 z=( ) A.1-i B.1+i C.-i D.i 答案 D 解析由 (1+i)=1-i,知 - - - - =-i,则 z=i.故选 D. 5.复数 4* (- ) (- )+化成代数形式,正确的是( ) A.4 B.-4 C.4i D.-4i 答案 D 解析 4* (- ) (- )+=40+i(-1)=-4i.故选 D. 6.4(cos 60+isin 60)3(cos 150+isin 150)=( ) A.6 +6i B.6 -6i C.-6 +6i D.-6
3、-6i 答案 D 解析 4(cos 60+isin 60)3(cos 150+isin 150) =12cos(60+150)+isin(60+150) =12(cos 210+isin 210) =12(- - ) =-6 -6i. 故选 D. 7.设复数 z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则( ) A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1 C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1 答案 C 解析由题意可得 z=x+yi, z-i=x+(y-1)i, 则|z-i|= - =1, 则 x2+(y-1)2=1.故选 C. 8.若复数 z满足|z+
4、3-4i|=2,则 z 的最大值为( ) A.9 B.81 C.7 D.49 答案 D 解析由|z+3-4i|=2,得复数 z在复平面内对应点的集合图形如图, |z|max=7,则 z =|z|2的最大值为 49. 故选 D. 二、多项选择题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符 合题目要求.全部选对的得 5分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0分. 9.在复数范围内,方程 2x2-3x+2=0的解是( ) A. B. - C.- D. 答案 AB 解析根据求根公式,方程 2x2-3x+2=0 的解是 x= - .故选 AB. 10.(2020 全国高一
5、课时练习)已知 i为虚数单位,下列命题正确的是( ) A.若 a-bi=3+2i,则 a=3,b=2 B.(a2+1)i(aR)是纯虚数 C.若 =0,则 z1=z2=0 D.当 m=4时,复数 lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是纯虚数 答案 BD 解析对于 A,a-bi=3+2i,则 - 即 - 故 A 错误; 对于 B,aR,a2+10恒成立,所以(a2+1)i是纯虚数,故 B 正确; 对于 C,取 z1=i,z2=1,则 =0,但 z1z2,故 C 错误; 对于 D,当 m=4时,复数 lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i=42i是纯虚数,故 D 正确. 11.(20
6、20 徐州铜山大许中学高二期中)已知 z= i,则以下关系成立的有( ) A.z3=-1 B.z2=- C. D.z2-z+1=0 答案 ABD 解析因为 z= i, 所以 z2= i 2= +2 i+ i 2=- i, 所以 z3= - i i = i 2- =-1,A 正确; 因为 i, 所以 z2=- ,B 正确; - - i,C 不正确; z2-z+1=- i- i +1=0,D 正确. 12.复数 z的共轭复数记为 ,复数 z, 在复平面内分别对应点 Z, .设 A是一些复数在复平面内对应的 点组成的集合,若对任意的 ZA,都有 A,就称 A 为“共轭点集”.下列点集中是“共轭点集”
7、的有( ) A.(x,y)|y=log2x B.(x,y)|y2=x C. | - D.(x,y)|y=2x 答案 BC 解析复数 z的共轭复数记为 ,复数 z, 分别对应点 Z, .设 A 是一些复数对应的点组成的集合,若对任 意的 ZA,都有 A,就称 A为“共轭点集”.即 z, 表示的点(x,y),(x,-y)都满足集合,即为“共轭点集”.B,C 中的集合都满足,A,D 中的集合不满足. 三、填空题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分. 13.(2020 天津南开中学高三月考)已知 i为虚数单位,若复数 - 为纯虚数,则实数 m= . 答案 2 解析 - - - i是纯虚数, -
8、解得 m=2. 14.(2020 全国)设复数 z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2= +i,则|z1-z2|= . 答案 2 解析设 z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,dR. |z1|=|z2|=2,a2+b2=4,c2+d2=4. 又 z1+z2=(a+c)+(b+d)i= +i, a+c= ,b+d=1. (a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=8+2ac+2bd=4. 2ac+2bd=-4. (a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=8-(-4)=12. |z1-z2|= - - =2 . 15.(2020 河
9、北石家庄二中高三开学考试)对于任意复数 z1,z2,任意向量 a,b,给出下列说法: |z1+z2|z1|+|z2|;|a+b|a|+|b|;若 ,则 z1=z2;若 a2=b2,则 a=b.其中正确的是 (填序号). 答案 解析对于,复数在复平面内的运算与平面向量的运算相似,均满足平行四边形法则,根据向量的三 角不等式有|a+b|a|+|b|,故|z1+z2|z1|+|z2|也成立.故正确.对于, ,则(z1+z2)(z1-z2)=0, 由复数的运算可知,z1=z2.故正确.对于,若 a2=b2,则|a|=|b|,不一定有 a=b.故正确. 16.(2020 浙江高二期中)欧拉是一位杰出的数
10、学家,他发明的公式 eix=cos x+isin x(i为虚数单位),将指 数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,这个公式也被誉为“数学中的天桥”. 根据此公式, 在复平面内对应的点位于第 象限,|eix-2|的最大值为 . 答案三 3 解析 =cos +isin =- i, 故其对应点的坐标为 - ,- ,在第三象限; |eix-2|=|cos x+isin x-2| = - = - 3, 当且仅当 cos x=-1时,等号成立. 四、解答题:本题共 6小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知复数 z1=a+bi(a,bR),z2
11、=c+di(c,dR). (1)当 a=1,b=2,c=3,d=4时,求|z1|,|z2|,|z1z2|; (2)根据(1)的计算结果猜想|z1| |z2|与|z1z2|的关系,并证明该关系的一般性. 解(1)当 a=1,b=2,c=3,d=4时, |z1|=|1+2i|= ,|z2|=|3+4i|=5, |z1z2|=|(1+2i)(3+4i)|=|-5+10i|=5 . (2)由(1)猜测,|z1| |z2|=|z1z2|. 证明如下: z1=a+bi(a,bR),z2=c+di(c,dR). |z1|= ,|z2|= , |z1| |z2|= = ; z1z2=(a+bi)(c+di)
12、=(ac-bd)+(ad+bc)i, |z1z2|= - = . |z1| |z2|=|z1z2|. 18.(12分)已知 i为虚数单位,m 为实数,复数 z=(m+i)(1-2i). (1)当 m 为何值时,z是纯虚数? (2)若|z|5,求|z-1|的取值范围. 解(1)z=(m+i)(1-2i)=(m+2)+(1-2m)i. 当 - 即 m=-2时,z是纯虚数. (2)由|z|5,可知 z 的轨迹为以原点为圆心,以 5为半径的圆及其内部,如图, 则|z-1|表示圆及其内部的点到(1,0)的距离,由图像可知,|z-1|的取值范围是0,6. 19.(12分)已知 i为虚数单位,复数 z满足|
13、z|i+z=3+9i. (1)求 z; (2)在复平面内,O 为坐标原点,向量 对应的复数分别是 z,c+(2-c)i,若AOB是直角,求实数 c的 值. 解(1)设 z=a+bi(a,bR), 由|z|i+z=3+9i,得 a+(b+ )i=3+9i, 解得, z=3+4i; (2)由题意,A,B,O的坐标分别为(3,4),(c,2-c),(0,0), =(3,4), =(c,2-c), AOB是直角,3c+4(2-c)=0,即 c=8. 20.(12分)(2020江西赣州第一中学高二月考)若 zC,4z+2 =3 +i,=sin -icos (为实数),i为虚数 单位. (1)求复数 z;
14、 (2)求|z-|的取值范围. 解(1)设 z=a+bi(a,bR),则 =a-bi, 4(a+bi)+2(a-bi)=3 +i, 即 6a+2bi=3 +i, 解得 z= i. (2)|z-|= i-(sin -icos ) = -sin + +cos i = - = - - - , -1sin - 1, 02-2sin - 4. 0|z-|2,故|z-|的取值范围是0,2. 21.(12分)(2020江苏徐州一中高二月考)在|z|= ,且 z2的虚部是 2;z= - - ; .在以 上三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并作出解答.注:选择不同的条件,结果可能不同. 已知 i为虚数单位,
15、复数 z满足 ,设 z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为 A,B,C,求ABC的 面积. 解选:设 z=a+bi(a,bR),则 z2=a2-b2+2abi, 由题意得 a2+b2=2,且 2ab=2,解得 a=b=1,或 a=b=-1, 所以 z=1+i,或 z=-1-i. 当 z=1+i时,z2=2i,z-z2=1-i, 所以 A(1,1),B(0,2),C(1,-1), 所以 S ABC =1. 当 z=-1-i时,z2=2i,z-z2=-1-3i, 所以 A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3), 所以 S ABC =1. 综上,ABC 的面积为 1. 选:z=- - -
16、 =1+i,z2=2i,z-z2=1-i, 所以 A(1,1),B(0,2),C(1,-1), 所以 S ABC =1. 选: - - =1-i, 故 z=1+i,z2=2i,z-z2=1-i, 所以 A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以 S ABC =1. 22.(12分)已知复数 z=( - ) 是关于 x的实系数一元二次方程 mx2+nx+1=0(m,nR)的一个根. (1)求 m 和 n的值; (2)若 z1=(a-2i)z,aR,z1为纯虚数,求|a+2i|的值. 解(1)z=( - ) i=- i是一元二次方程 mx2+nx+1=0的一个根, - i是一元二次方程 mx2+nx+1=0的另一个根, (- )(- - )=1,则 m=1. (- ) (- - )=- ,得 n=1; (2)z1=(a-2i)z=(a-2i)(- - ) (- - ) ( - )i为纯虚数, 则 - - - 即 a=-2 . |a+2i|=|-2 +2i|= =4.
