1、第十章复数 *10.3 复数的三角形式及其运算 课后篇巩固提升 基础达标练 1. (cos 30+isin 30)2(cos 60+isin 60)3(cos 45+isin 45)=( ) A. i B. i C.- i D.- i 答案 C 解析 (cos 30+isin 30)2(cos 60+isin 60)3(cos 45+isin 45)= 23cos(30+60+45)+isin(30+60+45)=3(cos 135+isin 135)=3(- )=- i.故选 C. 2.( )3( )=( ) A. i B. i C.- i D.- i 答案 C 解析( )3( ) =3*
2、( ) ( )+ =3( ) =- i. 故选 C. 3.4(cos +isin )* ( )+=( ) A.1+ i B.1- i C.-1+ i D.-1- i 答案 C 解析 4(cos +isin )* ( )+ =2* ( - ) ( - )+ =2( ) =-1+ i. 故选 C. 4.22(cos 60+isin 60)=( ) A. i B. i C. i D. i 答案 B 解析 22(cos 60+isin 60) =2(cos 0+isin 0)2(cos 60+isin 60) =cos(0-60)+isin(0-60) =cos(-60)+isin(-60) = i.
3、 故选 B. 5.9(cos 3+isin 3)3(cos 2+isin 2)=( ) A.3 B.-3 C. i D.- i 答案 B 解析 9(cos 3+isin 3)3(cos 2+isin 2) =3cos(3-2)+isin(3-2) =3(cos +isin ) =-3. 故选 B. 6.复数 z=(sin 25+icos 25)3的三角形式是( ) A.cos 195+isin 195 B.sin 75+icos 75 C.cos 15+isin 15 D.cos 75+isin 75 答案 A 解析 z=(sin 25+icos 25)3 =(cos 65+isin 65)3
4、 =cos 195+isin 195. 故选 A. 7.复数 z=(cos 40+isin 40)6的结果是( ) A. i B. i C.- i D.- i 答案 D 解析 z=(cos 40+isin 40)6 =cos 240+isin 240 =- i. 故选 D. 8.2(cos 15+isin 15)5( )= . 答案 5 +5 i 解析 2(cos 15+isin 15)5( ) =2(cos 15+isin 15)5(cos 30+isin 30) =10cos(15+30)+isin(15+30) =10(cos 45+isin 45) =10( ) =5 +5 i. 9.
5、已知复数 z=cos +isin 是关于 x的方程 x 5-=0的一个根,那么 的值等于 . 答案 i 解析因为复数 z=cos +isin 是方程 x 5-=0的一个根, 所以 =z5= cos +isin 5=cos +isin = i. 10.2(cos 210+isin 210)5(-sin 30+isin 60)= . 答案 5 -5i 解析 2(cos 210+isin 210)5(-sin 30+isin 60) =10(cos 210+isin 210)(cos 120+isin 120) =10cos(210+120)+isin(210+120) =10(cos 330+is
6、in 330) =10( - ) =5 -5i. 11.在复平面内,把与复数-2+2i对应的向量绕原点 O按逆时针方向旋转 75,求与所得向量对应的复 数. 解所得向量对应的复数为 (-2+2i)(cos 75+isin 75) =2 (cos 135+isin 135)(cos 75+isin 75) =2 cos(135+75)+isin(135+75) =2 (cos 210+isin 210) =2 (- - ) =- i. 能力提升练 1.复数 2+i和-3-i的辐角主值分别是 ,则 tan(+)等于( ) A. B.- C.-1 D.1 答案 D 解析复数 2+i和-3-i的辐角主
7、值分别是 , 所以 tan = ,tan = , 所以 tan(+)= - =1. 故选 D. 2.复数-i的一个立方根是 i,它的另外两个立方根是 ( ) A. i B.- i C. i D. i 答案 D 解析-i=cos +isin -i的立方根为 cos +isin (其中,k=0,1,2). 当 k=0时,得 cos +isin =i. 当 k=1时,得 cos +isin =- i. 当 k=2时,得 cos +isin i. 故选 D. 3.把复数 z1与 z2对应的向量 分别按逆时针方向旋转 和 后,重合于向量 且模相等,已知 z2=-1- i,则复数 z1的代数式和它的辐角主
8、值分别是( ) A.- i, B.- i, C.- i, D.- i, 答案 A 解析由复数乘法的几何意义得, z1( )=z2( ). 又 z2=-1- i=2( ), z1= ( )( ) =2* ( - ) ( - )+ =- i, z1的辐角主值为 . 故选 A. 4.在复平面内,复数 z=a+bi(aR,bR)对应向量 (O 为坐标原点),设| |=r,以射线 Ox 为始边,OZ 为终边旋转的角为 ,则 z=r(cos +isin ),法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理:z1=r1(cos 1+isin 1),z2=r2(cos 2+isin 2),则 z1z2=r1r2cos(1+2)
9、+isin(1+2),由棣莫弗定理导出了复数乘方公 式:zn=r(cos +isin )n=rn(cos n+isin n),则(-1+ i)10=( ) A.1 024-1 024 i B.-1 024+1 024 i C.512-512 i D.-512+512 i 答案 D 解析根据复数乘方公式: zn=r(cos +isin )n=rn(cos n+isin n),得 (-1+ i)10=210* ( ) ( )+ =1 024( ) =1 024(- ) =-512+512 i. 故选 D. 5.设复数 z=cos +isin ,则 - - = ( ) A.0 B.1 C. D. 答
10、案 B 6.设( ) =f(x)+ig(x),其中 f(x),g(x)均为实系数多项式,则 f(x)的系数之和是( ) A.- B.1 C.- D. 答案 C 解析因为( ) =f(x)+ig(x),取 x=1, 所以( ) =f(1)+ig(1), 所以 cos +isin =f(1)+ig(1)=- i. 则 f(1)=- ,故选 C. 7.63(cos 135+isin 135)= . 答案-2 -2 i 解析 63(cos 135+isin 135) =6(cos 0+isin 0)3(cos 135+isin 135) =2cos(0-135)+isin(0-135) =4cos(-
11、135)+isin(-135) =-2 -2 i. 8.已知复数 z=cos +isin ,则 z3+ = . 答案 i 解析根据题意,有 z3+ =1+z 2=-z= i. 9.复数 z=16(cos 40+isin 40)的四次方根分别是 . 答案 2(cos 10+isin 10),2(cos 100+isin 100), 2(cos 190+isin 190),2(cos 280+isin 280) 解析 z=16(cos 40+isin 40)的四次方根分别是 ( ) (k=0,1,2,3), 当 k=0时,结果为 2(cos 10+isin 10); 当 k=1时,结果为 2(co
12、s 100+isin 100); 当 k=2时,结果为 2(cos 190+isin 190); 当 k=3时,结果为 2(cos 280+isin 280). 10.设复数 z1= +i,复数 z2满足|z2|=2,已知 z1 的对应点在虚轴的负半轴上,且 arg z2(0,),求 z2的 代数形式. 解因为 z1=2( ), 设 z2=2(cos +isin ),(0,), 所以 z1 =8* ( ) ( )+. 由题设知 2+ =2k+ (kZ), 所以 =k+ (kZ). 又 (0,),所以 = . 所以 z2=2( )=-1+ i. 素养培优练 已知复数 z= i,= i,复数 ,z23在复平面上所对应的点分别为 P,Q.求证:OPQ是等 腰直角三角形(其中 O为原点). 证明 z= i=cos(- )+isin(- ) = i=cos +isin , z=cos(- )+isin(- ) =cos +isin , =cos(- )+isin(- ). 又 z23= cos - +isin - cos +isin =cos +isin , 因此 OP,OQ的夹角为 (- ) . OPOQ, 又|OP|=| |=1,|OQ|=|z2w3|=1, |OP|=|OQ|,OPQ 为等腰直角三角形.
