1、专题专题 14 圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题 一、单选题一、单选题 1 （2020 全国高三月考（文） ）若抛物线 2 20ypx p的焦点是双曲线 22 1 3 xy pp 的一个焦点，则 p ( ) A2 B4 C8 D16 2 （2020 宁夏回族自治区银川一中高三二模（理） ）抛物线的准线与双曲线的 两条渐近线所围成的三角形面积为，则 的值为 ( ) A B C D 3 （2019 甘肃省会宁县第四中学高二期末）椭圆与双曲线有公共点 P，则 P 与双曲 线两焦点连线构成三角形的面积为( ) A48 B24 C2 D 4 （2019 湖北省高二期中）若0mn，则方程 0mxyn
2、与 22 nxmymn所表示的曲线可能是图中 的（ ） A B C D 5 （2019 黑龙江省哈尔滨三中高二期中（文） ）以抛物线 2 8xy的焦点为圆心，5为半径的圆，与直线 20 xym 相切，则m（ ） A1或9 B1或9 C3或 7 D-3 或7 6 （2019 河南省包屯高中高二期末）已知方程 22 1 41 xy tt 的曲线为 C，下面四个命题中正确的个数是 当14t 时，曲线 C 不一定是椭圆； 当41tt或时，曲线 C 一定是双曲线； 若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，则 5 1 2 t ； 若曲线 C 是焦点在 y 轴上的双曲线，则4t . A1 B2 C3 D4 7
3、 （2020 北京人大附中高二期中）已知抛物线 2 2(0)xpy p的准线被双曲线 22 1 32 xy 截得的弦长为 6， 则该抛物线的焦点坐标是( ) A 1 0, 32 B(0,32) C 1 0, 2 D(0,2) 8 （2020 湖北省高三其他（文） ）已知抛物线 2 4 3yx的准线与双曲线 22 22 1 xy ab 的两条渐近线分别交 于,A B两点若双曲线的离心率是 2 3 3 ，那么AB （ ） A2 B 4 3 C 2 D 2 3 3 9 （2019 平遥县第二中学校高二月考）设椭圆 22 1 62 xy 和双曲线 2 2 1 3 x y的公共焦点为 12 ,F F P
4、是 两曲线的一个公共点,则 12 cos FPF的值等于 A 1 3 B 1 4 C 1 9 D 3 5 10 （2019 福建省高三一模（理） ）如图，点 是抛物线的焦点，点 , 分别在抛物线 和圆 的实线部分上运动，且总是平行于 轴，则周长的取值范围是( ) A B C D 二、多选题二、多选题 11 （2019 常州市第一中学高二期中）若方程 22 1 31 xy tt 所表示的曲线为C，则下面四个选项中错误 的 是（ ） A若C为椭圆，则13t B若C是双曲线，则其离心率有1 2e C若C为双曲线，则3t 或1t D若C为椭圆，且长轴在y轴上，则12t 12（2019 福建省南安第一中
5、学高二月考） 已知椭圆 22 22 1(0) xy Mab ab ：， 双曲线 22 22 1 xy N mn ： 若 双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点， 下列结论正确 的是（ ） A椭圆的离心率31e B双曲线的离心率2e C椭圆上不存在点A使得 12 0AF AF D双曲线上存在点B使得 12 0BF BF 13 （2020 海南省高三二模）已知抛物线C： 2 20ypx p的焦点F到准线的距离为 2，过点F的直 线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） AC的准线方程为 1y B线段PQ
6、的长度最小为 4 CM的坐标可能为 3,2 D3OP OQ uu u r uuu r 恒成立 三、填空题三、填空题 14 （2019 湖北省高二期中）设双曲线 22 1 xy mn 的离心率为 2，且一个焦点与抛物线 2 16xy的焦点相 同，则此双曲线的方程是_ 15 （2019 涟水县第一中学高二月考）若直线2ykx 与抛物线 2 yx 只有一个交点，则实数k的值为 _ 16 （2020 四川省成都外国语学校高二开学考试 （理） ） 过椭圆 22 1 32 xy 内一点1,1P引一条恰好被P点 平分的弦，则这条弦所在直线的方程是_ 17 （2020 浙江省高三月考）已知直线 :10l yk
7、 xk ，椭圆 22 :1 43 xy C，点1,0F，若直线和 椭圆有两个不同交点A B，则ABF周长是_，ABF的重心纵坐标的最大值是_ 四、解答题四、解答题 18 （2020 天水市第一中学高二月考）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点( 2,1)且离心率为 2 2 . （1）求椭圆 C 的方程； （2）是否存在过点0,3P的直线l与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且满足 2PBPA 若存在，求出直线l的 方程；若不存在，请说明理由. 19 （2019 涟水县第一中学高二月考）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)过点
8、3 (1, ) 2 P，离心率为 1 2 . （1）求椭圆 C 的方程； （2）若斜率为 3 2 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，试探究 22 OAOB是否为定值？若是定值，则求出 此定值；若不是定值，请说明理由 20 （2019 重庆巴蜀中学高二期中（理） ）已知抛物线 2 :4C yx. （1）若P是抛物线C上任一点，(2,3)Q，求点P到Q和y轴距离之和的最小值； （2）若ABC的三个顶点都在抛物线C上，其重心恰好为C的焦点F，求ABC三边所在直线的斜率 的倒数之和. 21.（2019 苏州新草桥中学高三开学考试）已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 经过点 1
9、3, 2 ， 3 1, 2 ， 点A是椭圆的下项点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点A且互相垂直的两直线 1 l， 2 l与直线y x 分别相交于E，F两点，已知OEOF，求直线 1 l的 斜率. 22 （2020 河南省高二月考 （文） ） 已知抛物线C： 2 2(0)ypx p的焦点为F，过F的直线l与抛物线C 交于A，B两点，弦AB的中点的横坐标为 3 2 ，5AB . （）求抛物线C的方程； （）若直线l的倾斜角为锐角，求与直线l平行且与抛物线C相切的直线方程. 23.（2019 安徽省蚌埠二中高三其他（文） ）已知点P在抛物线 2 :2(0)C xpy p上，且点P的纵坐标为
10、 1，点P到抛物线焦点F的距离为 2 （1）求抛物线C的方程； （2） 若抛物线的准线与y轴的交点为H， 过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A，B， 且ABHB， 求|AFBF的值. 专题专题 14 圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题 一、单选题一、单选题 1 （2020 全国高三月考（文） ）若抛物线 2 20ypx p的焦点是双曲线 22 1 3 xy pp 的一个焦点，则 p ( ) A2 B4 C8 D16 【答案】D 【解析】 抛物线 2 20ypx p的焦点是0 2 p ， 双曲线 22 1 3 xy pp 的一个焦点是20p， 由条件得2 2 p p，解得16p . 故选：D
11、. 2 （2020 宁夏回族自治区银川一中高三二模（理） ）抛物线的准线与双曲线的 两条渐近线所围成的三角形面积为，则 的值为 ( ) A B C D 【答案】A 【解析】 抛物线的准线为， 双曲线的两条渐近线为， 可得两交点为 ， 即有三角形的面积为，解得，故选 A 3 （2019 甘肃省会宁县第四中学高二期末）椭圆与双曲线有公共点 P，则 P 与双曲 线两焦点连线构成三角形的面积为( ) A48 B24 C2 D 【答案】B 【解析】 结合椭圆性质,可以得到 建立方程,得到点 P 的坐标为 , 故 ,故选 B. 4 （2019 湖北省高二期中）若0mn，则方程 0mxyn 与 22 nxm
12、ymn所表示的曲线可能是图中 的（ ） A B C D 【答案】C 【解析】 0mxyn 即为直线y mxn ， 22 nxmymn即为曲线 22 1 xy mn ，0mn. 对于 A 选项，由直线方程可知，0m，0n，则曲线 22 1 xy mn ，0mn表示圆或椭圆，A 选项错误； 对于 B 选项，由直线方程可知，0m，0n，则曲线 22 1 xy mn ，0mn不存在，B 选项错误； 对于 C 选项，由直线方程可知，0m，0n，则曲线 22 1 xy mn ，0mn表示焦点在x轴上的双曲线， C 选项正确； 对于 D 选项，由直线方程可知，0m，0n，则曲线 22 1 xy mn ，0m
13、n表示焦点在y轴上的双曲线， D 选项错误. 故选：C. 5 （2019 黑龙江省哈尔滨三中高二期中（文） ）以抛物线 2 8xy的焦点为圆心，5为半径的圆，与直线 20 xym 相切，则m（ ） A1或9 B1或9 C3或 7 D-3 或7 【答案】C 【解析】 抛物线 2 8xy的焦点为0,2, 以抛物线 2 8xy的焦点为圆心, 5为半径的圆可得:圆心为0,2,半径5r ， 由直线20 xym与圆相切,可得: 圆心到直线的距离 |02| 5 4 1 m d , 解得3m或7. 故选:C. 6 （2019 河南省包屯高中高二期末）已知方程 22 1 41 xy tt 的曲线为 C，下面四个
14、命题中正确的个数是 当14t 时，曲线 C 不一定是椭圆； 当41tt或时，曲线 C 一定是双曲线； 若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，则 5 1 2 t ； 若曲线 C 是焦点在 y 轴上的双曲线，则4t . A1 B2 C3 D4 【答案】D 【解析】 对于，当 5 2 t 时，曲线表示为圆，所以不一定是椭圆，所以正确 对于，当4t 时表示焦点在 y 轴上的双曲线，当1t 曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆，所以一定是双曲 线，所以正确 对于若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，则 40 10 41 t t tt ，解得 5 1 2 t ，所以正确 对于若曲线 C 是焦点在 y 轴上
15、的双曲线，则 40 10 t t ，解得4t ，所以正确 综上，四个选项都正确 所以选 D 7 （2020 北京人大附中高二期中）已知抛物线 2 2(0)xpy p的准线被双曲线 22 1 32 xy 截得的弦长为 6， 则该抛物线的焦点坐标是( ) A 1 0, 32 B(0,32) C 1 0, 2 D(0,2) 【答案】D 【解析】 因为抛物线 2 2(0)xpy p的准线被双曲线 22 1 32 xy 截得的弦长为 6 所以该准线与双曲线的一个交点坐标表示为3, 2 p ，代入双曲线中 2 2 32 1 32 p 得4p ，所以焦点坐标为0,2 故选：D 8 （2020 湖北省高三其他
16、（文） ）已知抛物线 2 4 3yx的准线与双曲线 22 22 1 xy ab 的两条渐近线分别交 于,A B两点若双曲线的离心率是 2 3 3 ，那么AB （ ） A2 B 4 3 C 2 D 2 3 3 【答案】A 【解析】 抛物线 2 4 3yx的准线3x . 222 2 3 , 3 c cab a ， 3 3 b a ，因此双曲线的渐近线方程为： 3 3 yx ， 双曲线的一条渐近线方程与抛物线准线方程联立得： 3, 3 3 x yx ，得1,y 根据双曲线的对称性可知： 2AB 故选：A 9 （2019 平遥县第二中学校高二月考）设椭圆 22 1 62 xy 和双曲线 2 2 1 3
17、 x y的公共焦点为 12 ,F F P是 两曲线的一个公共点,则 12 cos FPF的值等于 A 1 3 B 1 4 C 1 9 D 3 5 【答案】A 【解析】 由题意知 F1（2，0） ，F2（2，0） ， 解方程组 22 2 2 1 62 1 3 xy x y ，得 2 2 9 2 1 2 x y 取 P 点坐标为 3 22 22 ， ， 1 3 22 P2 22 F ， ， 2 3 22 P2 22 F， ， cosF1PF2= 12 3 23 21 22 222 3 213 21 22 2222 = 1 3 故选 A 10 （2019 福建省高三一模（理） ）如图，点 是抛物线的
18、焦点，点 , 分别在抛物线 和圆 的实线部分上运动，且总是平行于 轴，则周长的取值范围是( ) A B C D 【答案】B 【解析】 抛物线 x24y 的焦点为（0，1） ，准线方程为 y1， 圆（y1）2+x24 的圆心为（0，1） ， 与抛物线的焦点重合，且半径 r2， |FB|2，|AF|yA+1，|AB|yByA， 三角形 ABF 的周长2+yA+1+yByAyB+3， 1yB3， 三角形 ABF 的周长的取值范围是（4，6） 故选：B 二、多选题二、多选题 11 （2019 常州市第一中学高二期中）若方程 22 1 31 xy tt 所表示的曲线为C，则下面四个选项中错误 的 是（
19、） A若C为椭圆，则13t B若C是双曲线，则其离心率有1 2e C若C为双曲线，则3t 或1t D若C为椭圆，且长轴在y轴上，则12t 【答案】AD 【解析】 若2t ，方程 22 1 31 xy tt 即为 22 1xy，它表示圆，A 错； 对于选项 B，若1t ，则方程可变形为 22 1 31 xy tt ，它表示焦点在x轴上的双曲线； 1(3)22 = 1+122 333 tt e ttt ，1 2e 若3t ，则方程可变形为 22 1 13 yx tt ，它表示焦点在y轴上的双曲线； 3(1)22 = 1+122 111 tt e ttt ，1 2e ，故B正确； 对于选项 C，若1
20、t ，则方程可变形为 22 1 31 xy tt ，它表示焦点在x轴上的双曲线； 若3t ，则方程可变形为 22 1 13 yx tt ，它表示焦点在y轴上的双曲线，故C正确； 对于选项 D，若23t ，则031tt ，故方程 22 1 31 xy tt 表示焦点在y轴上的椭圆； 若12t ，则01 3tt ，故 22 1 31 xy tt 表示焦点在x轴上的椭圆，则D错； 故选：AD 12（2019 福建省南安第一中学高二月考） 已知椭圆 22 22 1(0) xy Mab ab ：， 双曲线 22 22 1 xy N mn ： 若 双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M
21、的两个焦点恰为一个正六边形的顶点， 下列结论正确 的是（ ） A椭圆的离心率31e B双曲线的离心率2e C椭圆上不存在点A使得 12 0AF AF D双曲线上存在点B使得 12 0BF BF 【答案】ABD 【解析】 如图，设 12 2FFc，则由正六边形性质可得点 3 , 22 cc I ， 由点I在椭圆上可得 22 22 3 1 44 cc ab ，结合 222 acb可得 2 2 2 33 b a ， 椭圆离心率 2 1 2 142 33 1 b e a ， 2 2 22 22243 10aca 当点A为椭圆上顶点时， 12 cos0F AF，此时 12 0AF AF； 点 3 , 2
22、2 cc I 在双曲线 22 22 1 xy N mn ：的渐近线上可得 3 22 n c c m 即 3 n m , 双曲线的离心率为 2 2 2 11 32 n e m , 当点B为双曲线的顶点时，易知 12 0BF BF. 故选：ABD. 13 （2020 海南省高三二模）已知抛物线C： 2 20ypx p的焦点F到准线的距离为 2，过点F的直 线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） AC的准线方程为 1y B线段PQ的长度最小为 4 CM的坐标可能为 3,2 D3OP OQ uu u r uuu r 恒成立 【答案】BCD 【解析】 焦点F
23、到准线的距离即为2p ，所以抛物线C的焦点为1,0F，准线方程为1x，A 项错误. 当PQ垂直于x轴时长度最小， 此时1,2P，1, 2Q，所以4PQ ，B 项正确. 设 11 ,P x y， 22 ,Q x y，直线PQ的方程为1xmy.联立 2 4 1 yx xmy ，消去y可得 22 4210 xmx ，消去x可得 2 440ymy，所以 2 12 42xxm， 12 4yym，当 1m 时，可得 3,2M ，所以 C 正确，又 12 1x x， 12 4y y ，所以 1 212 3OP OQx xy y，所以 D 正确. 故选：BCD 三、填空题三、填空题 14 （2019 湖北省高
24、二期中）设双曲线 22 1 xy mn 的离心率为 2，且一个焦点与抛物线 2 16xy的焦点相 同，则此双曲线的方程是_ 【答案】 22 1 412 yx 【解析】 抛物线 2 16xy的焦点为0,4在y轴上,故双曲线4c ,又22 c a a , 故 222 12bca . 故双曲线的方程为 22 1 412 yx . 故答案为： 22 1 412 yx 15 （2019 涟水县第一中学高二月考）若直线2ykx 与抛物线 2 yx 只有一个交点，则实数k的值为 _ 【答案】0 或 1 8 【解析】 联立直线方程与抛物线方程可得： 22 (41)40k xkx， 若0k ，则4x，满足题意；
25、 若0k ，则 22 (41)160kk ，解得 1 8 k . 综上所述，k 0 或 1 8 . 故答案为：0 或 1 8 16 （2020 四川省成都外国语学校高二开学考试 （理） ） 过椭圆 22 1 32 xy 内一点1,1P引一条恰好被P点 平分的弦，则这条弦所在直线的方程是_ 【答案】2350 xy 【解析】 由题意知，该直线斜率存在，设直线与椭圆交于 1122 ,A x yB x y两点，斜率为k， 则 22 11 22 22 1 32 1 32 xy xy ，两式相减得 1212 1212 2 3 yyyy xxxx ，即 22 1 32 1 k ，所以 2 3 k ， 所以所
26、求直线方程为 2 11 3 yx ，即2350 xy. 故答案为：2350 xy. 17 （2020 浙江省高三月考）已知直线 :10l yk xk ，椭圆 22 :1 43 xy C，点1,0F，若直线和 椭圆有两个不同交点A B，则ABF周长是_，ABF的重心纵坐标的最大值是_ 【答案】8 3 6 【解析】 由题意知，可知 :10l yk xk 恒过定点1,0，此点为椭圆的左焦点，记为F. 则24,24AFAFaBFBFa.所以ABF的周长为 448ABAFBFAFAFBFBF.设 1122 ,A x yB x y 设ABF的重心纵坐标为 0 y.则 1212 0 0 33 yyyy y
27、.联立直线与椭圆方程得 22 1 43 1 xy yk x ，整理得 2 2 36 490yy kk . 则 222 3631 364144 10 kkk ， 12 2 2 6 6 3 43 4 k k yy k k 所以 12 0 2 22 3 343 4 yyk y k k k .当0k 时， 3 42 434 3k k ， 当且仅当 3 4k k ，即 3 2 k 时，等号成立，此时 0 23 64 3 y ； 当k0时， 333 44244 3kkk kkk ，当且仅当 3 4k k ， 即 3 2 k 时，等号成立，此时 0 23 64 3 y . 综上所述： 0 33 ,00, 6
28、6 y .所以ABF的重心纵坐标的最大值是 3 6 . 故答案为: 8; 3 6 . 四、解答题四、解答题 18 （2020 天水市第一中学高二月考）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点( 2,1)且离心率为 2 2 . （1）求椭圆 C 的方程； （2）是否存在过点0,3P的直线l与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且满足 2PBPA 若存在，求出直线l的 方程；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1） 22 1 42 xy ； （2）存在这样的直线，直线方程为： 14 3 2 yx . 【解析】 （1）由已知点代入椭圆方程得 22 21 1 ab 由 2 2 e 得 2
29、 2 c a 可转化为 22 2ab 由以上两式解得 22 4,2ab 所以椭圆 C 的方程为： 22 1 42 xy . （2）存在这样的直线. 当 l 的斜率不存在时，显然不满足 2PBPA , 所以设所求直线方程 :3lykx代入椭圆方程化简得： 22 1212140kxkx 12 2 12 12 k xx k 12 2 14 12 x x k . 222 7 (12 )4 14120, 4 kkk , 设所求直线与椭圆相交两点 1122 ,A x yB x y 由已知条件 2PBPA 可得 21 2xx, 综合上述式子可解得 2 77 24 k 符合题意, 所以所求直线方程为： 14
30、3 2 yx . 19 （2019 涟水县第一中学高二月考）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)过点 3 (1, ) 2 P，离心率为 1 2 . （1）求椭圆 C 的方程； （2）若斜率为 3 2 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，试探究 22 OAOB是否为定值？若是定值，则求出 此定值；若不是定值，请说明理由 【答案】 （1） 22 1 43 xy （2）是定值，7 【解析】 （1）由离心率 1 2 c e a ，得 abc2 31， 则可设椭圆 C 的方程为 22 22 1 43 xy cc ， 由点 3 (1, ) 2 P在椭
31、圆 C 上，得 22 13 1 44cc ，即 c21， 所以椭圆 C 的方程为 22 1 43 xy （2）设直线 l 的方程为 y 3 2 xn，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以 OA2OB2 2 1 x3 3 4 2 1 x+ 2 2 x3 2 2 3 4 x 1 4 ( 2 1 x 2 2 x)6. 由 22 3 2 3412 yxn xy 消去 y 得 3x22 3nx2n 260. 当 0 时，x1x2 2 3 3 n，x1x2 2 26 3 n ， 从而 22 22 12 2 1212 2 4412 () 33 n xxx n xxx 4， 所以 OA2OB27，为定值
32、 20 （2019 重庆巴蜀中学高二期中（理） ）已知抛物线 2 :4C yx. （1）若P是抛物线C上任一点，(2,3)Q，求点P到Q和y轴距离之和的最小值； （2）若ABC的三个顶点都在抛物线C上，其重心恰好为C的焦点F，求ABC三边所在直线的斜率 的倒数之和. 【答案】 （1）101（2）0 【解析】 （1）由抛物线定义可知：P到Q和y轴距离之和| 1 | 1101PQPFQF ， 当 ,Q P F三点共线时，取最小值. （2）设 2 1 1 , 4 y Ay ， 2 2 2 , 4 y By ， 2 3 3 , 4 y Cy ，(1,0)F 123 0yyy. 又 22 12 12 1
33、2 1 4 4 AB yy yy kyy ，同理： 23 1 4 BC yy k ， 13 1 4 AC yy k 111 0 ABBCAC kkk 21.（2019 苏州新草桥中学高三开学考试）已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 经过点 1 3, 2 ， 3 1, 2 ， 点A是椭圆的下项点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点A且互相垂直的两直线 1 l， 2 l与直线y x 分别相交于E，F两点，已知OEOF，求直线 1 l的 斜率. 【答案】 （1） 2 2 1 4 x y（2）1 2 【解析】 （1）由题意得 22 22 31 1 4 13 1 4 ab ab ，解
34、得 2 2 4 1 a b ， 所以椭圆C的标准方程为 2 2 1 4 x y； （2）由题意知0, 1A，直线 1 l， 2 l的斜率存在且不为零，设直线 11 :1lyk x，与直线y x 联立方程 有 1 1yk x yx ，得 11 11 , 11 E kk . 设直线2 1 1 :1lx k y ，同理 11 11 , 11 11 F kk ， 因为OEOF，所以 1 1 11 1 1 1 k k ， 1 11 1 111 ,0 1 1 1 k kk k 无实数解； 2 111 11 1 111 ,2,210 1 1 1 kkk kk k ，解得 1 12k ， 综上可得，直线 1
35、l的斜率为1 2 . 22 （2020 河南省高二月考 （文） ） 已知抛物线C： 2 2(0)ypx p的焦点为F，过F的直线l与抛物线C 交于A，B两点，弦AB的中点的横坐标为 3 2 ，5AB . （）求抛物线C的方程； （）若直线l的倾斜角为锐角，求与直线l平行且与抛物线C相切的直线方程. 【答案】 （） 2 4yx（） 1 2 2 yx 【解析】 （）设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy， 因为AB的中点的横坐标为 3 2 ，所以 12 3 22 xx . 根据抛物线定义知 12 5ABAFBFpxx. 所以35p，解得2p ， 所以抛物线C的方程为 2 4yx. （
36、）设直线l的方程为 (1)yk x ，0k . 则由 2 4 (1) yx yk x 得 2222 240k xkxk. 所以 2 12 2 24k xx k ，即 2 2 24 3 k k ，解得2k . 设与直线l平行的直线的方程为2yxb， 由 2 4 2 yx yxb 得 22 4(44)0 xbxb. 依题知 22 (44)160bb ，解得 1 2 b . 故所求的切线方程为 1 2 2 yx. 23.（2019 安徽省蚌埠二中高三其他（文） ）已知点P在抛物线 2 :2(0)C xpy p上，且点P的纵坐标为 1，点P到抛物线焦点F的距离为 2 （1）求抛物线C的方程； （2）
37、若抛物线的准线与y轴的交点为H， 过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A，B， 且ABHB， 求|AFBF的值. 【答案】 （1） 2 4xy（2）4 【解析】 （1）设 0 (,1)P x，由抛物线定义，点P到抛物线焦点F的距离为 2 故122 2 p p 故抛物线C的方程为： 2 4xy； （2）抛物线 2 4xy的焦点为 (0,1)F ，准线方程为1y ，(0, 1)H； 设 11 ,A x y 22 ,B x y， 直线AB的方程为1ykx，代入抛物线方程可得 2 440 xkx， 12 4xxk， 12 4x x ， 由ABHB，可得1 ABHB kk ， 又 1 1 1 ABAF y kk x ， 2 2 1 HB y k x ， 12 12 11 1 yy xx ， 121 2 110yyx x， 即 22 1212 11 110 44 xxx x ， 2222 121212 11 10 164 x xxxx x ， 把代入得， 22 12 16xx， 则 22 1212 11 |11164 44 AFBFyyxx .
