1、专题专题 32 离散型随机变量的数字特征离散型随机变量的数字特征 一、单选题一、单选题 1 （2020 尤溪县第五中学高一期末）若一组数据 1 x， 2 x， 3 x， n x的平均数为 2，方差为 3，则 1 25x ， 2 25x ， 3 25x ，25 n x 的平均数和方差分别是（ ） A9，11 B4，11 C9，12 D4，17 2 （2020 海林市朝鲜族中学高二期末（理） ）若随机变量X的分布列如下表，则 ()E X （ ） X 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x A 1 18 B 1 9 C 9 20 D 20 9 3 （2020 浙江宁波高二期末）
2、已知随机变量的取值为0,1,2i i .若 1 0 5 P， 1E，则 23D（ ） A 2 5 B 4 5 C 8 5 D16 5 4 （2020 广东东莞高二期末）随机变量X的分布列如下表所示，则21EX （ ） X 2 1 1 P 1 6 a 1 3 A0 B 1 2 C1 D2 5 （2020 渝中重庆巴蜀中学高二期末）随机变量 X的取值范围为 0，1，2，若 1 (0),()1 4 P XE X， 则 D（X）（ ） A 1 4 B 2 2 C 1 2 D 3 4 6 （2020 浙江西湖学军中学高三其他）设 1 0 2 p，随机变量的分布如下表所示，则当p在 1 0, 2 内 增大
3、时， （ ） 0 1 2 p 12p p p A E先减少后增大 B E先增大后减少 C D先减小后增大 D D先增大后减小 7 （2020 西夏宁夏大学附属中学高二月考（理） ）设01a，则随机变量X的分布列是： 则当a在0,1内增大时（ ） AD X 增大 BD X 减小 CD X先增大后减小 DD X先减小后增大 8 （2020 浙江海曙效实中学高三其他）盒中有 5个小球，其中 3个白球，2个黑球，从中任取i1,2i 个 球，在取出的球中，黑球放回，白球涂黑后放回，此时盒中黑球的个数记为 i X1,2i ，则（ ） A 12 22P XP X， 12 E XE X B 12 22P XP
4、 X， 12 E XE X C 12 22P XP X， 12 E XE X D 12 22P XP X， 12 E XE X 二、多二、多选题选题 9 （2020 江苏海陵泰州中学高二月考）若随机变量 X 服从两点分布，其中 1 0 3 P X ，E（X） 、D（X） 分别为随机变量 X 均值与方差，则下列结论正确的是（ ） AP（X1）E（X） BE（3X+2）4 CD（3X+2）4 D 4 9 D X 10 （2020 海南海口高三其他）小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）随交通堵塞状况有 所变化，其概率分布如下表所示： 所需时间（分钟） 30 40 50 60 线路一 0
5、.5 0.2 0.2 0.1 线路二 0.3 0.5 0.1 0.1 则下列说法正确的是（ ） A任选一条线路，“所需时间小于 50分钟”与“所需时间为 60 分钟”是对立事件 B从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间 C如果要求在 45 分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一 D若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于 100分钟的概率为 0.04 11 （2020 山东潍坊高二期中）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 4 5 P q 0.3 0.2 0.2 0.1 若离散型随机变量Y满足21YX，则下列结果正确的有（ ） A 2E X B2.4D X C2.8D X D
6、 14D Y 12 （2020 福建城厢莆田一中高二期中） （多选）设0 1p ，随机变量的分布列如下，则下列结论正确 的有（ ） 0 1 2 P 2 pp 2 p 1p A E随着 p的增大而增大 B E随着 p的增大而减小 C 02PP D2P的值最大 三、填空题三、填空题 13 （2020 黑龙江南岗哈师大附中高三其他（理） ）已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 1 3 a b 若1E X ，则E aXb_ 14 （2020 江西高一期末）数据 1 x， 2 x， 8 x的均值为 5 2 ，方差为 2，现增加一个数据 9 x后方差不变， 则 9 x的可能取值为_ 15 （202
7、0 重庆高三其他（理） ）甲、乙两人同时参加当地一个劳动实践活动，该活动有任务需要完成，甲、 乙完成任务的概率分别为 0.7，0.8，且甲、乙是否完成任务相互独立互不影响.设这两人中完成任务的总人 数为X，则EX _. 16 （2020 浙江嵊州高三三模）已知 1 0 2 a ， 1 0 2 b，随机变量X的分布列是： X 0 1 2 P 1 2 a b 若 2 3 E X ，则a_，D X _. 四、解答题四、解答题 17 （2019 全国高二课时练习）甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量 与 ,且 , 的分布列为 (1)求 a,b 的值. (2)计算 , 的均值与方差,并
8、以此分析甲、乙的技术状况. 18 （2020 大连市普兰店区第一中学高二月考）某人投弹击中目标的概率为 0.? 8P . （1）求投弹一次，击中次数X的均值和方差； （2）求重复投弹10次，击中次数Y的均值和方差. 19 （2018 江西九江高二期末（理） ）某运动员射击一次所得环数X的分布列如下： X 8 9 10 P 04 04 02 现进行两次射击，且两次射击互不影响，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为 （1）求该运动员两次命中的环数相同的概率； （2）求的分布列和数学期望E 20甲、乙两个同学同时报名参加某重点高校 2010 年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化
9、 测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格已知甲，乙两人 审核过关的概率分别为 3 1 , 5 2 ，审核过关后，甲、乙两人文化测试合格的概率分别为 3 4 ,. 4 5 （1）求甲，乙两人至少有一人通过审核的概率； （2）设表示甲，乙两人中获得自主招生入选资格的人数，求的数学期望. 21.（2020 全国高三（理） ）在某次投篮测试中，有两种投篮方案：方案甲：先在 A点投篮一次，以后都在 B点投篮；方案乙：始终在 B 点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在 A点命中的概率为 3 4 ，命中一次记 3 分，没有命中得 0分；在 B点命中的概率为 4 5 ，命
10、中一次记 2分，没有命中得 0 分，用随机变量表示该 选手一次投篮测试的累计得分，如果的值不低于 3分，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，但 一次测试最多投篮 3 次. （1）若该选手选择方案甲，求测试结束后所得分的分布列和数学期望. （2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由. 22袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸1个，当两种颜 色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求：. (1)随机变量的概率分布列； (2)随机变量的数学期望与方差. 专题专题 32 离散型随机变量的数字特征离散型随机变量的数字特征
11、 一、单选题一、单选题 1 （2020 尤溪县第五中学高一期末）若一组数据 1 x， 2 x， 3 x， n x的平均数为 2，方差为 3，则 1 25x ， 2 25x ， 3 25x ，25 n x 的平均数和方差分别是（ ） A9，11 B4，11 C9，12 D4，17 【答案】C 【解析】 由题( )2,( )3E xD x，则(25)2 ( )59ExE x， 2 (252( )12DxD x. 故选：C 2 （2020 海林市朝鲜族中学高二期末（理） ）若随机变量X的分布列如下表，则 ()E X （ ） X 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x A 1 1
12、8 B 1 9 C 9 20 D 20 9 【答案】D 【解析】 120 237231,()314612540 189 xxxxxxxE Xxxxxxx 3 （2020 浙江宁波高二期末）已知随机变量的取值为0,1,2i i .若 1 0 5 P， 1E，则 23D（ ） A 2 5 B 4 5 C 8 5 D16 5 【答案】C 【解析】 由题意，设 1Pp ，则 14 21 55 Ppp ， 又 14 21 55 Epp ，解得 3 5 p ， 所以 3 1 5 P， 1 2 5 P， 则 2221312 1 01 11 2 5555 D， 所以 8 234 5 DD. 故选：C. 4 （
13、2020 广东东莞高二期末）随机变量X的分布列如下表所示，则21EX （ ） X 2 1 1 P 1 6 a 1 3 A0 B 1 2 C1 D2 【答案】D 【解析】 由随机变量的分布列的性质，可得 11 1 63 a，解得 1 2 a ， 则 1111 2( 1)1 6232 E X ， 所以 1 21212 () 12 2 EXE X . 故选：D. 5 （2020 渝中重庆巴蜀中学高二期末）随机变量 X的取值范围为 0，1，2，若 1 (0),()1 4 P XE X， 则 D（X）（ ） A 1 4 B 2 2 C 1 2 D 3 4 【答案】C 【解析】设(1)P Xp，(2)P
14、Xq， 由题意， 1 ()021 4 E Xpq，且 1 1 4 pq， 解得 1 2 p ， 1 4 q ， 222 1111 ()(01)(1 1)(21) 4242 D X ， 故选：C 6 （2020 浙江西湖学军中学高三其他）设 1 0 2 p，随机变量的分布如下表所示，则当p在 1 0, 2 内 增大时， （ ） 0 1 2 p 12p p p A E先减少后增大 B E先增大后减少 C D先减小后增大 D D先增大后减小 【答案】D 【解析】 由期望公式，得 3Ep，在 1 0, 2 内一直增大. 由方差公式，得 222 2 301 2313295Dpppppppp .为开口向下
15、，对 称轴 51 182 p 的抛物线,在 1 0, 2 内，先增大后减少, 故当p在 1 0, 2 内增大时 D先增大后减少. 故选:D. 7 （2020 西夏宁夏大学附属中学高二月考（理） ）设01a，则随机变量X的分布列是： 则当a在0,1内增大时（ ） AD X 增大 BD X 减小 CD X先增大后减小 DD X先减小后增大 【答案】D 【解析】 方法 1：由分布列得 1 () 3 a E X ，则 2222 111111211 ()01 333333926 aaa D Xaa ，则当a在(0,1)内增大时， ()D X先减小后增大. 方法 2：则 2 222 2 1(1)22221
16、3 ()()0 3399924 aaaa D XE XE Xa 故选 D. 8 （2020 浙江海曙效实中学高三其他）盒中有 5个小球，其中 3个白球，2个黑球，从中任取i1,2i 个 球，在取出的球中，黑球放回，白球涂黑后放回，此时盒中黑球的个数记为 i X1,2i ，则（ ） A 12 22P XP X， 12 E XE X B 12 22P XP X， 12 E XE X C 12 22P XP X， 12 E XE X D 12 22P XP X， 12 E XE X 【答案】C 【解析】 1 2 1 1 5 2 2 5 C P X C ， 2 2 21 2 5 1 22 10 C P
17、 XP X C ， 1 3 1 1 5 3 3 5 C P X C ， 1 13 5 E X. 2 1 2 10 P X ， 32 1 2 5 1 2 6 3 10 CC P X C ， 2 3 2 2 5 10 3 4 C P X C ， 21 16 5 E XE X， 故选：C. 二、多选题二、多选题 9 （2020 江苏海陵泰州中学高二月考）若随机变量 X 服从两点分布，其中 1 0 3 P X ，E（X） 、D（X） 分别为随机变量 X 均值与方差，则下列结论正确的是（ ） AP（X1）E（X） BE（3X+2）4 CD（3X+2）4 D 4 9 D X 【答案】AB 【解析】随机变量
18、 X服从两点分布，其中 1 0 3 P X ， P（X1） 2 3 ， E（X） 122 01 333 ， D（X）（0 2 3 ）2 1 3 （1 2 3 ）2 22 39 ， 在 A 中，P（X1）E（X） ，故 A 正确； 在 B 中，E（3X+2）3E（X）+23 2 2 3 4，故 B正确； 在 C 中，D（3X+2）9D（X）9 2 9 2，故 C 错误； 在 D 中，D（X） 2 9 ，故 D错误. 故选：AB. 10 （2020 海南海口高三其他）小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）随交通堵塞状况有 所变化，其概率分布如下表所示： 所需时间（分钟） 30 40 5
19、0 60 线路一 0.5 0.2 0.2 0.1 线路二 0.3 0.5 0.1 0.1 则下列说法正确的是（ ） A任选一条线路，“所需时间小于 50分钟”与“所需时间为 60 分钟”是对立事件 B从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间 C如果要求在 45 分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一 D若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于 100分钟的概率为 0.04 【答案】BD 【解析】 对于选项A，“所需时间小于 50 分钟”与“所需时间为 60分钟”是互斥而不对立事件，所以选项 A 错误； 对于选项B，线路一所需的平均时间为30 0.5 40 0.2 50 0.2 69 0
20、.1 39分钟， 线路二所需的平均时间为30 0.3 40 0.5 50 0.1 60 0.140分钟， 所以线路一比线路二更节省时间，所以选项 B正确； 对于选项C，线路一所需时间小于 45 分钟的概率为 0.7，线路二所需时间小于 45 分钟的概率为 0.8，小张 应该选线路二，所以选项 C错误； 对于选项D，所需时间之和大于 100分钟，则线路一、线路二的时间可以为50,60，60,50和60,60 三种情况，概率为0.2 0.1 0.1 0.1 0.1 0.10.04，所以选项 D正确 故选：BD. 11 （2020 山东潍坊高二期中）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 4
21、5 P q 0.3 0.2 0.2 0.1 若离散型随机变量Y满足21YX，则下列结果正确的有（ ） A 2E X B2.4D X C2.8D X D 14D Y 【答案】AC 【解析】 由离散型随机变量X的分布列的性质得： 1 0.30.20.20.10.2q ， 则0 0.2 1 0.3 2 0.24 0.2 5 0.12E X ， 22222 020.21 20.3220.2420.2520.1D X ， 即0.8 0.3 00.8 0.92.8D X ， 因为离散型随机变量Y满足21YX， 2 244 2.811.2D YD YD Y . 故结果正确的有 AC. 12 （2020 福建
22、城厢莆田一中高二期中） （多选）设0 1p ，随机变量的分布列如下，则下列结论正确 的有（ ） 0 1 2 P 2 pp 2 p 1p A E随着 p的增大而增大 B E随着 p的增大而减小 C 02PP D2P的值最大 【答案】BC 【解析】由题意 22 2(1)(1)1Eppp，由于01p，所以 E随着p的增大而减小，A 错，B正确； 又 2 (1)1ppppp ，所以 C正确； 3 4 p 时， 1 2 4 P，而 2 391 1( ) 4164 P，D 错 故选：BC 三、填空题三、填空题 13 （2020 黑龙江南岗哈师大附中高三其他（理） ）已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2
23、 P 1 3 a b 若1E X ，则E aXb_ 【答案】 2 3 【解析】 由概率分布列知 2 3 ab 2 ()() 3 E aXbaE Xbab 公式：()()E aXbaE Xb 14 （2020 江西高一期末）数据 1 x， 2 x， 8 x的均值为 5 2 ，方差为 2，现增加一个数据 9 x后方差不变， 则 9 x的可能取值为_ 【答案】 5 2 2 或 5 2 2 【解析】 由题意 22 18 155 2 822 xx ， 故 22 18 5 1 22 5 6xx ， 由 222 189 155 2 9222 5 xxx ， 得： 2 9 5 2 2 x ，解得： 9 5 2
24、 2 x ， 故答案为： 5 2 2 或 5 2 2 15 （2020 重庆高三其他（理） ）甲、乙两人同时参加当地一个劳动实践活动，该活动有任务需要完成，甲、 乙完成任务的概率分别为 0.7，0.8，且甲、乙是否完成任务相互独立互不影响.设这两人中完成任务的总人 数为X，则EX _. 【答案】1.5（或 3 2 ） 【解析】 X的可能取值为 0，1，2，且01 0.8 1 0.70.06P X ， 11 0.80.70.81 0.70.38P X ，20.8 0.70.56P X ， 故1 0.38 2 0.56 1.5EX . 故答案为：1.5（或 3 2 ）. 16 （2020 浙江嵊州
25、高三三模）已知 1 0 2 a， 1 0 2 b，随机变量X的分布列是： X 0 1 2 P 1 2 a b 若 2 3 E X ，则a_，D X _. 【答案】 1 3 5 9 【解析】 由题意可得 1 1 2 2 2 3 1 0 2 1 0 2 ab E Xab a b ，解得 1 3 1 6 a b ， 因此， 222 2121215 012 3233369 D X . 故答案为： 1 3 ； 5 9 .、 四四、解答题、解答题 17 （2019 全国高二课时练习）甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量 与 ,且 , 的分布列为 (1)求 a,b 的值. (2)计算 ,
26、的均值与方差,并以此分析甲、乙的技术状况. 【答案】 （1）0.3,0.4ab； （2）见解析 【解析】 (1)由离散型随机变量的分布列的性质可知 a+0.1+0.6=1, 所以 a=0.3. 同理 0.3+b+0.3=1,b=0.4. (2)E=10.3+20.1+3 0.6=2.3, E=10.3+20.4+30.3=2, D=(1-2.3)2 0.3+(2-2.3)2 0.1+(3-2.3)2 0.6=0.81, D=(1-2)2 0.3+(2-2)2 0.4+(3-2)2 0.3=0.6. 由于 EE,说明在一次射击中,甲的平均得分比乙高,但 DD,说明甲得分的稳定性不如乙,因此甲、乙
27、两人 技术水平都不够全面,各有优势与劣势. 18 （2020 大连市普兰店区第一中学高二月考）某人投弹击中目标的概率为 0.? 8P . （1）求投弹一次，击中次数X的均值和方差； （2）求重复投弹10次，击中次数Y的均值和方差. 【答案】 （1）0.8E X ；0.16D X （2） 8E Y ， 1.6D Y 【解析】 （1）由题意可知X服从两点分布 因为，(0)0.2P X ，(1)0.8P X 所以，0 0.2 1 0.80.8E X . 所以， 22 00.80.21 0.80.80.16D X （2）由题意可知击中次数Y服从二项分布，即10,0.8YB 所以， 10 0.88E Y
28、np， 10 0.8 0.21.6D Y . 19 （2018 江西九江高二期末（理） ）某运动员射击一次所得环数X的分布列如下： X 8 9 10 P 04 04 02 现进行两次射击，且两次射击互不影响，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为 （1）求该运动员两次命中的环数相同的概率； （2）求的分布列和数学期望E 【答案】 （1）0.36； （2）见解析，9.2 【解析】 （1）两次都命中 8 环的概率为 1 0.4 0.40.16P 两次都命中 9环的概率为 2 0.4 0.40.16P 两次都命中 10 环的概率为 3 0.2 0.20.04P 设该运动员两次命中的环数相同的
29、概率为P 123 0.160.160.040.36PPPP （2）的可能取值为 8，9，10 (8)0.4 0.40.16P ， (9)2 0.4 0.40.4 0.40.48P ， (10)1(8)(9)0.36PPP ， 的分布列为 8 9 10 P 016 048 036 8 0.169 0.48 10 0.369.2E 20甲、乙两个同学同时报名参加某重点高校 2010 年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化 测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格已知甲，乙两人 审核过关的概率分别为 3 1 , 5 2 ，审核过关后，甲、乙两人文化测试合
30、格的概率分别为 3 4 ,. 4 5 （1）求甲，乙两人至少有一人通过审核的概率； （2）设表示甲，乙两人中获得自主招生入选资格的人数，求的数学期望. 【答案】(1)甲，乙两人至少有一人通过审核的概率为 4 5 ； (2)的数学期望为 17 20 . 【解析】 (1)设A “甲，乙两人至少有一人通过审核”，则 314 111 525 p A 6 分 (2)0,1,2 331433 011 5425100 p 331418 2 5425100 p 49 1102 100 ppp 0 33 100 49 100 18 100 8517 001122 10020 Eppp 12 分 答：(1)甲，乙
31、两人至少有一人通过审核的概率为 4 5 ； (2)的数学期望为 17 20 .1分 21.（2020 全国高三（理） ）在某次投篮测试中，有两种投篮方案：方案甲：先在 A点投篮一次，以后都在 B点投篮；方案乙：始终在 B 点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在 A点命中的概率为 3 4 ，命中一次记 3 分，没有命中得 0分；在 B点命中的概率为 4 5 ，命中一次记 2分，没有命中得 0 分，用随机变量表示该 选手一次投篮测试的累计得分，如果的值不低于 3分，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，但 一次测试最多投篮 3 次. （1）若该选手选择方案甲，求测试结束后所得分的分布列和数学期
32、望. （2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由. 【答案】 （1）数学期望为 3.05，分布列见解析（2）选择方案甲 【解析】 （1）在 A 点投篮命中记作A,不中记作A；在 B点投篮命中记作B,不中记作B， 其中 331441 ,1,1 444555 P AP AP BP B ， 的所有可能取值为0,2,3,4，则 1111 0 455100 PP ABBP A P B P B， 2PP ABBP ABB 1148 2 455100 ， 375 3 4100 PP A， 14416 4 455100 PP ABBP A P B P B 的分布列为： 1 0 100 P，
33、2 2 25 P， 3 3 4 P， 4 4 25 P 所以 187516305 02343.05 100100100100100 E ， 所以，的数学期望为3.05 （2）选手选择方案甲通过测试的概率为 1 751691 30.91 100100100 PP， 选手选择方案乙通过测试的概率为 2 3PP 14444 2 55555 112896 0.896 1251000 ， 因为 21 PP，所以该选手应选择方案甲通过测试的概率更大 22袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸1个，当两种颜 色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求
34、：. (1)随机变量的概率分布列； (2)随机变量的数学期望与方差. 【答案】(1)见解析； （2） 5 2 ， 9 20 . 【解析】 (1)随机变量可取的值为2,3,4 111 232 11 54 3 (2) 5 C C C P C C 2121 2332 111 543 3 (3) 10 A CA C P C C C ； 31 32 1111 5432 1 (4) 10 A C P C C C C 得随机变量的概率分布列为： x 2 3 4 Px 3 5 3 10 1 10 (2)随机变量的数学期望为： 3315 234 510102 E ； 随机变量的方差为： 222 5353519 (2)(3)(4) 2521021020 D
