1、专题专题 06 直线的方程直线的方程 一、单选题一、单选题 1 （2019 四川省成都七中高二期中（理） ）直线22xy在 x 轴上的截距为（ ） A1 B2 C-2 D-1 2 （2019 浙江省杭州第二中学高二期中）经过点1,0，且斜率为 2 的直线方程为（ ） A2 20 xy B220 xy C 220 xy D220 xy 3 （2019 江苏省扬州中学高一期中）若直线过点3, 3和点0, 4，则该直线的方程为( ) A 3 4 3 yx B 3 4 3 yx C36yx D 3 2 3 yx 4 （2019 泉州市泉港区第一中学高二月考）经过点( 1,4)A 且在x轴上的截距为 3
2、 的直线方程是（ ）. A 30 xy B30 xy C30 xy D30 xy 5 （2020 黑龙江省黑龙江实验中学高三期末（理） ）已知直线l过点1,2，且在纵坐标轴上的截距为横坐 标轴上的截距的两倍，则直线l的方程为（ ） A2 0 xy B240 xy C2 0 xy 或220 xy D20 xy或240 xy 6 （2019 浙江省杭州高级中学高二期末）已知直线: 20l axy 在x轴和y轴上的截距相等，则a的值 是（ ） A1 B-1 C-2 D2 7 （2019 瓦房店市实验高级中学高二月考） 直线0axbyc+ =同时要经过第一、 第二、 第四象限， 则 , ,a b c
3、应满足（ ） A 0,0abbc B0,0abbc C0,0abbc D0,0abbc 8 （2020 江苏省丹徒高中高一开学考试）下列直线中，斜率为 4 3 ，且经过第一象限的是（ ） A3 470 xy B4370 xy C43420 xy D44420 xy 9 （2020 六盘山高级中学高三期末（文） ）过点(12)A ，的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方 程为（ ） A 10 xy B30 xy C2 0 xy或+30 x y D20 xy或10 xy 10 （2020 重庆市第十一中学校高三月考（文） ）下列说法正确的是( ) A截距相等的直线都可以用方程1 xy aa
4、表示 B方程 20 xmy （mR）能表示平行于x轴的直线 C经过点 (1,1)P ，倾斜角为的直线方程为 1tan(1)yx D经过两点 111 ( ,)P x y， 222 (,)P xy的直线方程 211211 ()()()()0yyxxxxyy 二、多选题二、多选题 11 （2020 江苏省丹徒高中高一开学考试）下列说法不正确的是（ ） A 1 1 yy k xx 不能表示过点 11 ( ,)M x y且斜率为k的直线方程； B在x轴、y轴上的截距分别为 , a b的直线方程为1 xy ab ； C直线y kxb 与y轴的交点到原点的距离为b； D平面内的所有直线的方程都可以用斜截式来
5、表示. 12 （2020 广东省高一期末）下列说法中，正确的有（ ） A直线 yax3a+2 （aR）必过定点（3，2） B直线 y3x2 在 y 轴上的截距为 2 C直线 x 3 y+10 的倾斜角为 30 D点（5，3）到直线 x+20 的距离为 7 13 （2019 山东省高二期中）若直线过点1,2A，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程可能 为（ ） A 10 xy B30 xy C2 0 xy D10 xy 三、填空题三、填空题 14 （2018 浙江省巴彦淖尔中学高二期中）直线的倾斜角为_；在 轴上的截距为_. 15 （2020 江苏省扬州中学高一月考）经过点(3, 4)且
6、在坐标轴上截距互为相反数的直线方程为_. 16 （2018 山西省山西实验中学高二期中）经过点 P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（写出一 般式）_ 17 （2019 江苏省扬州中学高一期中）已知直线 l 过点 P(2，1)，在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 a，b，且 满足 a3b，则直线 l 的方程为_. 四、解答题四、解答题 18 （2018 河北省高一期末（文） ）已知直线 l 经过点2, 3A，并且其倾斜角等于直线310 xy 的 倾斜角的 2 倍.求直线 l 的方程. 19 （2018 金华市云富高级中学高一月考）已知直线 l 经过点(0, 2)，其倾斜角为60.
7、 (1)求直线 l 的方程； (2)求直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积. 20 （浙江省高二）求经过点( 2,2)A 并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程. 21 （2019 吉林省长春外国语学校高二期中（文） ）求适合下列条件的直线方程： （1）过点3()1A，斜率是直线3yx的斜率的 1 4 倍； （2）经过点2(3 )P ，且在两坐标轴上的截距相等 22 （2019 嘉兴市第三中学高二月考）已知 P（3，2） ，一直线l过点 P， 若直线l在两坐标轴上截距之和为 12，求直线l的方程； 若直线l与 x、y 轴正半轴交于 A、B 两点，当OAB面积为 12 时求直线l的方
8、程 23 （2019 浙江省宁波市鄞州中学高一期中）过点 (2,1)P 作直线 l 分别交 x 轴的正半轴，y 轴的正半轴于 A， B 两点. （1）当| |OAOB取最小值时，求出最小值及直线 l 的方程； （2）当| |PAPB取最小值时，求出最小值及直线 l 的方程. 专题专题 06 直线的方程直线的方程 一、单选题一、单选题 1 （2019 四川省成都七中高二期中（理） ）直线22xy在 x 轴上的截距为（ ） A1 B2 C-2 D-1 【答案】A 【解析】 由直线22xy，令0y 可得1x . 所以直线22xy在 x 轴上的截距为1. 故选：A 2 （2019 浙江省杭州第二中学高
9、二期中）经过点1,0，且斜率为 2 的直线方程为（ ） A2 20 xy B220 xy C 220 xy D220 xy 【答案】B 【解析】 由直线的点斜式方程得：002 (1)22yxxy. 故选：B. 3 （2019 江苏省扬州中学高一期中）若直线过点3, 3和点0, 4，则该直线的方程为( ) A 3 4 3 yx B 3 4 3 yx C36yx D 3 2 3 yx 【答案】A 【解析】 （法一）因为直线过点3, 3和点0, 4， 所以直线的方程为 3430 40yx ，整理得 3 4 3 yx； （法二）因为直线过点3, 3和点0, 4，所以直线的斜率为 3 3 k ， 所以直
10、线的方程为 3 4 3 yx，整理得 3 4 3 yx； 故选：A 4 （2019 泉州市泉港区第一中学高二月考）经过点( 1,4)A 且在x轴上的截距为 3 的直线方程是（ ）. A 30 xy B30 xy C30 xy D30 xy 【答案】C 【解析】 由题意知,所求直线经过点( 1,4)A ,点3,0， 代入直线的斜率公式可得, 40 1 1 3 k , 所以所求的直线方程为411yx, 化简可得,30 xy. 故选:C 5 （2020 黑龙江省黑龙江实验中学高三期末（理） ）已知直线l过点1,2，且在纵坐标轴上的截距为横坐 标轴上的截距的两倍，则直线l的方程为（ ） A2 0 xy
11、 B240 xy C2 0 xy 或220 xy D20 xy或240 xy 【答案】D 【解析】 根据题意，直线l分 2 种情况讨论： 当直线过原点时，又由直线经过点1,2，所求直线方程为2yx，整理为20 xy， 当直线不过原点时，设直线l的方程为1 2 xy aa ，代入点1,2的坐标得 12 1 2aa ，解得2a，此 时直线l的方程为1 24 xy ，整理为240 xy 故直线l的方程为20 xy或240 xy. 故选：D 6 （2019 浙江省杭州高级中学高二期末）已知直线:2 0l axy 在x轴和y轴上的截距相等，则a的值 是（ ） A1 B-1 C-2 D2 【答案】A 【解
12、析】 由题意得，直线的截距式方程为 1 2 2 xy a ，所以 2 21a a ，故选 A 7 （2019 瓦房店市实验高级中学高二月考） 直线0axbyc+ =同时要经过第一、 第二、 第四象限， 则 , ,a b c 应满足（ ） A 0,0abbc B0,0abbc C0,0abbc D0,0abbc 【答案】A 【解析】 因为直线过第一、第二、第四象限，故0 a b 且0 c b ，故0ab且0bc，故选 A. 点睛： 直线方程的一般式为 22 00axbycab ， 我们可从中得到直线的斜率为0 a kb b （当 0b时，直线的斜率不存在） ，横截距为 c a （0a时） ，纵截
13、距为 c b （0b时）. 8 （2020 江苏省丹徒高中高一开学考试）下列直线中，斜率为 4 3 ，且经过第一象限的是（ ） A3 470 xy B4370 xy C43420 xy D44420 xy 【答案】C 【解析】 由直线的斜率为 4 3 ，故可排除 A，D 又 B 中直线4370 xy在 x,y 轴的截距分别为 77 , 43 ，故不经过第一象限，排除 B 故选：C 9 （2020 六盘山高级中学高三期末（文） ）过点(12)A ，的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方 程为（ ） A 10 xy B30 xy C2 0 xy或+30 x y D20 xy或10 xy 【答
14、案】D 【解析】 易知斜率不存在时不满足； 设直线方程为(1)2yk x，则截距和为： 2 210k k 解得1k 或2k 故直线方程为： 1yx 和2yx 故选：D 10 （2020 重庆市第十一中学校高三月考（文） ）下列说法正确的是( ) A截距相等的直线都可以用方程1 xy aa 表示 B方程 20 xmy （mR）能表示平行于x轴的直线 C经过点 (1,1)P ，倾斜角为的直线方程为 1tan(1)yx D经过两点 111 ( ,)P x y， 222 (,)P xy的直线方程 211211 ()()()()0yyxxxxyy 【答案】D 【解析】 A. 当截距为零时不能用方程1 x
15、y aa 表示，A错误； B. 方程 20 xmy （mR）不能表示平行于x轴的直线，B错误； C. 倾斜角为 2 时不成立，C错误； D. 经过两点 111 ( ,)P x y， 222 (,)P xy的直线方程 211211 ()()()()0yyxxxxyy， 代入验证知D正确； 故选：D. 二、多选题二、多选题 11 （2020 江苏省丹徒高中高一开学考试）下列说法不正确的是（ ） A 1 1 yy k xx 不能表示过点 11 ( ,)M x y且斜率为k的直线方程； B在x轴、y轴上的截距分别为 , a b的直线方程为1 xy ab ； C直线y kxb 与y轴的交点到原点的距离为
16、b； D平面内的所有直线的方程都可以用斜截式来表示. 【答案】BCD 【解析】 由于 1 1 yy k xx 定义域为 1 xx，故不过点 11 ( ,)M x y，故 A 选项正确； 当0ab=时，在x轴、y轴上的截距分别为 0 的直线不可用1 xy ab 表示，故 B 不正确； 直线y kxb 与y轴的交点为(0, )b，到原点的距离为| |b，故 C 不正确； 平面内斜率不存在的直线不可用斜截式表示. 故选：BCD 12 （2020 广东省高一期末）下列说法中，正确的有（ ） A直线 yax3a+2 （aR）必过定点（3，2） B直线 y3x2 在 y 轴上的截距为 2 C直线 x 3
17、y+10 的倾斜角为 30 D点（5，3）到直线 x+20 的距离为 7 【答案】ACD 【解析】 对 A,化简得直线32ya x,故定点为3,2.故 A 正确. 对 B, 32yx在y轴上的截距为 2.故 B 错误. 对 C,直线310 xy 的斜率为 3 3 ,故倾斜角满足 3 tan,0180 3 ， , 即30.故 C 正确. 对 D, 因为直线2x垂直于x轴,故5, 3到2x的距离为527 .故 D 正确. 故选：ACD. 13 （2019 山东省高二期中）若直线过点1,2A，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程可能 为（ ） A 10 xy B30 xy C2 0 xy D
18、10 xy 【答案】ABC 【解析】 当直线经过原点时，斜率为 20 2 1 0 k ，所求的直线方程为 y=2x，即20 xy； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为 x y=k，把点 A（1，2）代入可得 1-2=k，或 1+2=k， 求得 k=-1，或 k=3，故所求的直线方程为10 xy ，或30 xy； 综上知，所求的直线方程为20 xy、10 xy ，或30 xy 故选：ABC 三、填空题三、填空题 14 （2018 浙江省巴彦淖尔中学高二期中）直线的倾斜角为_；在 轴上的截距为_. 【答案】 【解析】 由斜截式方程可知，直线的斜率为 1， 设倾斜角为 ，则， 由可得； 令， 所以
19、，直线在 轴上的截距为， 故答案为 ， . 15 （2020 江苏省扬州中学高一月考）经过点(3, 4)且在坐标轴上截距互为相反数的直线方程为_. 【答案】4 30 xy 或 70 xy 【解析】 由题,若截距不为 0, 设直线方程为1 xy aa , 因为点(3, 4)在直线上,所以 34 1 aa ,所以7a, 所以直线方程为1 77 xy ,即 70 xy. 若截距为 0,设直线方程为y kx , 因为点(3, 4) 在直线上,所以43k ,所以 4 3 k , 所以直线方程为 4 3 yx ,即430 xy. 故答案为:70 xy或430 xy 16 （2018 山西省山西实验中学高二
20、期中）经过点 P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（写出一 般式）_ 【答案】x+y-5=0 或 2x-3y=0 【解析】 当直线经过原点时，设方程为 ykx， 直线经过点 P（3，2） ，23k，解之得 k 2 3 ， 此时的直线方程为 y 2 3 x，即 2x3y0； 当直线不经过原点时，设方程为 x+y+c0， 将点 P（3，2）代入，得 3+2+c0，解之得 c5，此时的直线方程为 x+y50 综上所述，满足条件的直线方程为：2x3y0 或 x+y50 故答案为：x+y-5=0 或 2x-3y=0 17 （2019 江苏省扬州中学高一期中）已知直线 l 过点 P(2，1)
21、，在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 a，b，且 满足 a3b，则直线 l 的方程为_. 【答案】x2y0 或 x3y10 【解析】 若 a3b0，则直线过原点(0，0)， 此时直线斜率 1 2 k ，直线方程为 x2y0. 若 a3b0，设直线方程为1 xy ab ， 即1 3 xy bb ， 由于点 P(2，1)在直线上，所以 1 3 b ， 从而直线方程为x3y1，即 x3y10. 综上所述，所求直线方程为 x2y0 或 x3y10. 故答案为：x2y0 或 x3y10. 四、解答题四、解答题 18 （2018 河北省高一期末（文） ）已知直线 l 经过点2, 3A，并且其倾斜角等于直线
22、310 xy 的 倾斜角的 2 倍.求直线 l 的方程. 【答案】332 30 xy 【解析】 因为直线310 xy 的斜率为 1 3 ， 所以其倾斜角为 30 ， 所以，所求直线的倾斜角为 60 故所求直线的斜率为3 ， 又所求直线经过点2, 3A， 所以其方程为33(2)yx ， 即332 30 xy ， 故答案为：332 30 xy . 19 （2018 金华市云富高级中学高一月考）已知直线 l 经过点(0, 2)，其倾斜角为60. (1)求直线 l 的方程； (2)求直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积. 【答案】(1) 32yx (2) 2 3 3 【解析】 （1）因为直线的倾斜角
23、为 60 ，所以直线的斜率为tan603， 因为直线过点（0，-2） ，根据直线方程的斜截式或点斜式可知直线方程为32yx （2）在直线方程中令0,2xy ，令 2 3 0, 3 yx， 根据三角形的面积公式可知 12 32 3 2. 233 S 20 （浙江省高二）求经过点 ( 2,2)A 并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程. 【答案】220 xy或2+20 xy 【解析】 设直线方程为1 xy ab ，则 1 1 2 22 1 ab ab ， 解得 2 1 a b 或 1 2 a b ， 故所求的直线方程为：220 xy或2+20 xy. 21 （2019 吉林省长春外国语学
24、校高二期中（文） ）求适合下列条件的直线方程： （1）过点3()1A，斜率是直线3yx的斜率的 1 4 倍； （2）经过点2(3 )P ，且在两坐标轴上的截距相等 【答案】 （1）3415 0 xy（2）230 xy 或50 xy 【解析】 (1)设所求直线的斜率为k，依题意 13 3 44 k 又直线经过点( 1, 3)A ， 因此所求直线方程为 3 3(1) 4 yx ，即34150 xy (2)设直线l在 , x y轴上的截距均为a， 若0a，即l过点(0 )0，和(3 2)， l的方程为 2 3 yx，即230 xy 若0a，则设l的方程为1 xy aa ， l过点(3 2)， 32
25、1 aa ， 5a， l的方程为50 xy， 综上可知，直线l的方程为230 xy或50 xy 22 （2019 嘉兴市第三中学高二月考）已知 P（3，2） ，一直线l过点 P， 若直线l在两坐标轴上截距之和为 12，求直线l的方程； 若直线l与 x、y 轴正半轴交于 A、B 两点，当OAB面积为 12 时求直线l的方程 【答案】2x+y-8=0 或 x+3y-9=0；2x+3y-12=0 【解析】 （1）设直线l：y-2=k（x-3）,令 x=0 得 y=2-3k, 令 y=0 得 x=3- 2 k 所以， （3- 2 k ）+（2-3k）=12 得 k 1 3 或 k2 故所求直线方程为
26、2x+y-8=0 或 x+3y-9=0 （2）直线 l 与 x、y 轴交于正半轴，3k+20， 2 k 30， 1 2 （3k+2） （ 2 k 3）12，解得 k 2 3 直线l的方程为 2x+3y-12=0 23 （2019 浙江省宁波市鄞州中学高一期中）过点 (2,1)P 作直线 l 分别交 x 轴的正半轴，y 轴的正半轴于 A， B 两点. （1）当| |OAOB取最小值时，求出最小值及直线 l 的方程； （2）当| |PAPB取最小值时，求出最小值及直线 l 的方程. 【答案】(1)最小值为8,直线 l 的方程为240 xy;(2)最小值为 4,直线 l 的方程为30 xy. 【解析
27、】 (1)根据题意可设直线 l 的方程为1(0,0) xy ab ab ,则( ,0), (0, )A aBb, 直线 l 过点 (2,1)P, 21 1(0,0)ab ab , 又 212 2 abab (当且仅当 21 ab ,即4,2ab时取等号), 2 21 ab ,即8ab , | |=OAOBab 的最小值为 8,此时直线 l 的方程为240 xy; (2)由(1)可知 21 1 ab , 0 2 a b a ,则2a , 22 | |= (2)14(1)PAPBab 22 = (2)14(1) 2 a a a 2 2 4 = (2)14 (2) a a 2 2 1 =2 (2)2 (2) a a 2 224 (当且仅当 2 2 1 (2) = (2) a a ,即3a 时取等号). | |PAPB 的最小值为 4,此时直线 l 的方程为30 xy.
