1、专题专题 10 直线和圆的方程单元测试卷直线和圆的方程单元测试卷 一、单选题一、单选题 1 （2019 全国高二月考（文） ）直线：x y 2 0的倾斜角为（ ） A30 B45 C60 D135 2 （2019 浙江省高二期中）圆心为2,2，且过原点的圆的方程是（ ） A 22 228xy B 22 222xy C 22 228xy D 22 222xy 3 （2020 南京市江宁高级中学高一月考）如果直线(2a+5)x+(a2)y+4=0 与直线(2a)x+(a+3)y1=0 互相垂 直，则 a 的值等于（ ） A2 B2 C2,2 D2,0,2 4 （2019 山东省高一期中）圆 22
2、(1)5xy与直线 120mxym 的位置关系( ) A相切 B相离 C相交 D不能确定 5 （2019 山东省高一期中）从点( ,3)P m向圆 22 (2)(2)1xy引切线，则切线长的最小值( ) A2 6 B5 C 26 D4 2 6 （2020 南京市江宁高级中学高一月考）已知直线 20axya 在两坐标轴上的截距相等，则实数 (a ) A1 B1 C2或 1 D2 或 1 7 （2019 山东省高一期中）若点 (1,1)P 为圆 22 40 xyx的弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程为 ( ) A 20 xy B0 xy C 20 xy D 22 (1)5xy 8 （2020 武
3、威第六中学高三二模（文） ）过点1,0且倾斜角为30的直线被圆 2 2 21xy所截得的弦 长为（ ） A 3 2 B1 C 3 D2 3 9 （2020 南京市江宁高级中学高一月考）已知直线20kxy和以3, 2M，2,5N为端点的线段 相交，则实数 k 的取值范围为（ ） A 3 2 k B 3 2 k C 43 32 k D 4 3 k 或 3 2 k 10 （2020 四川省宜宾市第四中学校高二月考（理） ）已知圆 22 1: 231Cxy，圆 22 2: 349Cxy，M、N分别是圆 1 C、 2 C上动点，P是x轴上动点，则PNPM的最大值 是( ) A5 2 4 B 2 C5 2
4、 D 24 二、多选题二、多选题 11 （2019 辽宁省高二月考）在同一直角坐标系中，直线 2 yaxa与圆 222 ()xaya的位置不可能 是（ ） A B C D 12 （2020 山东省高三期末）已知点A是直线:20l xy上一定点，点P、Q是圆 22 1xy上的 动点，若PAQ的最大值为90，则点A的坐标可以是（ ） A0, 2 B 1, 21 C 2,0 D 21,1 13 （2020 广东省高二期末）瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765 年在其所著的三角形的几何学一 书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC的顶点
5、4,0A，0,4B，其欧拉线方程为 20 xy ，则顶点C的坐标可以是（ ） A2,0 B0,2 C2,0 D0, 2 三、三、填空填空题题 14 （2019 浙江省高二期中）直线 1: 20lmxymmR过定点_；若 1 l与直线 2:3 10lxmy 平行，则m_. 15 （2018 江苏省高二月考）已知以4, 3C为圆心的圆与圆 22 :1O xy相内切，则圆 C 的方程是 _ 16 （2020 河南省高三二模（文） ）圆 22 230 xyy关于直线10 xy 的对称圆的标准方程为 _ 17 （2020 四川省高三二模（文） ）已知a、b为正实数，直线 10 xy 截圆 22 4xay
6、b所 得的弦长为2 2，则ab的最大值为_ 四、解答题四、解答题 18 （2020 吴江汾湖高级中学高一月考） 求圆 22 4xy上与直线4 3120 xy 的距离最小的点的坐标. 19 （2019 全国高二月考（文） ）已知直线l过点 (2, 1)P . （1）若原点O到直线l的距离为2，求直线l的方程； （2）当原点O到直线l的距离最大时，求直线l的方程. 20 （2020 吴江汾湖高级中学高一月考）在ABC中， ( 1,2)A ，边AC上的高BE所在的直线方程为 74460 xy ，边AB上中线CM所在的直线方程为211540 xy. （1）求点C坐标； （2）求直线BC的方程. 21
7、（2019 浙江省高二期中）如图，圆 22 :(2)1Cxy，点P为直线:4l x 上一动点，过点P引圆C 的两条切线，切点分别为,A B （1）求证：直线AB恒过定点，并求出该定点Q的坐标； （2）若两条切线,PA PB于y轴分别交于,M N两点，求QMN面积的最小值 22 （2020 江西省新余一中高一月考）已知点(4,4)A， (0,3)B ，直线l：1yx，设圆C的半径为1，圆 心C在直线l上 （1）若圆心C也在直线37yx上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； （2）若圆C上存在点M，使2MBMO，O为坐标原点，求圆心C的横坐标a的取值范围 23.（2019 山东省高一期中）已知点(
8、 2, 2), ( 2,6),(4, 2)ABC，点P在圆 22 :4E xy上运动. （1）求过点C且被圆E截得的弦长为2 2的直线方程； （2）求 222 |PAPBPC的最值. 专题专题 10 直线和圆的方程单元测试卷直线和圆的方程单元测试卷 一、单选题一、单选题 1 （2019 全国高二月考（文） ）直线：x y 2 0的倾斜角为（ ） A30 B45 C60 D135 【答案】D 【解析】 直线20 xy的斜率1k ，设直线2 0 xy的倾斜角为 1(080 )aa， 则tan1，所以135. 故选：D. 2 （2019 浙江省高二期中）圆心为2,2，且过原点的圆的方程是（ ） A
9、22 228xy B 22 222xy C 22 228xy D 22 222xy 【答案】A 【解析】 根据题意 22 222 2r ，故圆方程为 22 228xy. 故选：A. 3 （2020 南京市江宁高级中学高一月考）如果直线(2a+5)x+(a2)y+4=0 与直线(2a)x+(a+3)y1=0 互相垂 直，则 a 的值等于（ ） A2 B2 C2,2 D2,0,2 【答案】C 【解析】 (2a5)(2a)(a2)(a3)0，所以 a2 或 a2. 4 （2019 山东省高一期中）圆 22 (1)5xy与直线 120mxym 的位置关系( ) A相切 B相离 C相交 D不能确定 【答
10、案】C 【解析】 直线120mxym 即12ym x 即直线过21 ，点,把21 ，点代入圆的方程有4 05 ,所以点 21 ，在圆的内部,过21 ，点的直线一定和圆相交. 故选:C. 5 （2019 山东省高一期中）从点( ,3)P m向圆 22 (2)(2)1xy引切线，则切线长的最小值( ) A2 6 B5 C 26 D4 2 【答案】A 【解析】 设切线长为d,则 2222 (2)51(2)24dmm , min 2 6d. 故选:A. 6 （2020 南京市江宁高级中学高一月考）已知直线2 0axya 在两坐标轴上的截距相等，则实数 (a ) A1 B1 C2或 1 D2 或 1 【
11、答案】D 【解析】 由题意，当2 a0 ，即a2时，直线axy2a0化为2xy0， 此时直线在两坐标轴上的截距都为 0，满足题意； 当2 a0 ，即a2时，直线axy2a0化为 1 2 2 xy a a a ， 由直线在两坐标轴上的截距相等，可得 2a 2a a ，解得a1； 综上所述，实数a2或a1 故选：D 7 （2019 山东省高一期中）若点 (1,1)P 为圆 22 40 xyx的弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程为 ( ) A 20 xy B0 xy C 20 xy D 22 (1)5xy 【答案】B 【解析】 22 40 xyx化为标准方程为 2 2 -24xy. 1,1P为圆
12、2 2 -24xy的弦AB的中点, 圆心与点P确定的直线斜率为 0 1 1 2 1 k , 弦AB所在直线的斜率为 1， 弦AB所在直线的方程为 11yx ,即0 xy . 故选:B. 8 （2020 武威第六中学高三二模（文） ）过点1,0且倾斜角为30的直线被圆 2 2 21xy所截得的弦 长为（ ） A 3 2 B1 C 3 D2 3 【答案】C 【解析】 根据题意，设过点1,0且倾斜角为30的直线为l , 其方程为tan301yx,即 3 1 3 yx ,变形可得310 xy ， 圆 2 2 21xy 的圆心为2,0，半径1r , 设直线l与圆交于点AB, 圆心到直线的距离 2 11
13、21 3 d , 则 1 213 4 AB ，故选 C. 9 （2020 南京市江宁高级中学高一月考）已知直线2 0kxy 和以3, 2M，2,5N为端点的线段 相交，则实数 k 的取值范围为（ ） A 3 2 k B 3 2 k C 43 32 k D 4 3 k 或 3 2 k 【答案】C 【解析】 因为直线20kxy恒过定点0,2A， 又因为 4 3 AM k ， 3 2 AN k， 所以直线的斜率 k 的范围为 43 32 k 故选：C 10 （2020 四川省宜宾市第四中学校高二月考（理） ）已知圆 22 1: 231Cxy，圆 22 2: 349Cxy，M、N分别是圆 1 C、 2
14、 C上动点，P是x轴上动点，则PNPM的最大值 是( ) A5 2 4 B 2 C5 2 D 24 【答案】D 【解析】 如下图所示： 圆 1 C的圆心 1 2,3C，半径为 1 1r ，圆 2 C的圆心 2 3,4C，半径为 2 3r ， 22 12 2 33 42CC ， 由圆的几何性质可得 222 3PNPCrPC， 111 1PMPCrPC， 2112 4424PNPMPCPCCC， 当且仅当 1 C、P、 2 C三点共线时，PNPM取到最大值 24 . 故选：D. 二、多选题二、多选题 11 （2019 辽宁省高二月考）在同一直角坐标系中，直线 2 yaxa与圆 222 ()xaya
15、的位置不可能 是（ ） A B C D 【答案】ABD 【解析】 直线 2 yaxa经过圆 222 ()xaya的圆心,0a，且斜率为a. 故选项,A B D满足题意. 故选：ABD. 12 （2020 山东省高三期末）已知点A是直线:20l xy上一定点，点P、Q是圆 22 1xy上的 动点，若PAQ的最大值为90，则点A的坐标可以是（ ） A0, 2 B 1, 21 C 2,0 D 21,1 【答案】AC 【解析】 如下图所示： 原点到直线l的距离为 22 2 1 11 d ，则直线l与圆 22 1xy相切， 由图可知，当AP、AQ均为圆 22 1xy的切线时， PAQ 取得最大值， 连接
16、OP、OQ，由于PAQ的最大值为90，且90APOAQO，1OPOQ， 则四边形APOQ为正方形，所以22OAOP， 由两点间的距离公式得 2 2 22OAtt ， 整理得 2 22 20tt ，解得0t 或 2，因此，点A的坐标为 0,2或 2,0. 故选：AC. 13 （2020 广东省高二期末）瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765 年在其所著的三角形的几何学一 书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC的顶点 4,0A，0,4B，其欧拉线方程为 20 xy ，则顶点C的坐标可以是（ ） A2,0 B0,2 C2,0 D0, 2
17、 【答案】AD 【解析】 设 ( , ),C x yAB的垂直平分线为y x ， ABC的外心为欧拉线方程为 20 xy 与直线y x 的交点为( 1,1)M ， 22 | |10,(1)(1)10MCMAxy， 由4,0A ， 0,4B，ABC重心为 44 (,) 33 xy ， 代入欧拉线方程20 xy，得20 xy， 由 可得2,0 xy或 0,2xy . 故选:AD 三、填空题三、填空题 14 （2019 浙江省高二期中）直线 1: 20lmxymmR过定点_；若 1 l与直线 2:3 10lxmy 平行，则m_. 【答案】1,2 3 【解析】 (1) 1: 20(1)20lmxymm
18、 xxy,故 101 202 xx xyy . 即定点为1,2 (2) 若 1 l与直线 2:3 10lxmy 平行, 则2310130mmmm,故1m或3m.当1m时 1 l与直线 2 l重合不满足. 故3m. 故答案为：(1) 1,2; (2)3 15 （2018 江苏省高二月考）已知以4, 3C为圆心的圆与圆 22 :1O xy相内切，则圆 C 的方程是 _ 【答案】(x4)2(y3)236. 【解析】 两圆的圆心距为： 22 403 05 ， 设所求圆的半径为0r r ，由两圆内切的充分必要条件可得：15r， 据此可得：6r ，圆 C 的方程是(x4)2(y3)236. 16 （202
19、0 河南省高三二模（文） ）圆 22 230 xyy关于直线 10 xy 的对称圆的标准方程为 _ 【答案】 22 (2)(1)4xy 【解析】 2222 230(41)xyyxy ，圆心为(0, 1) ，半径为2， 设圆心关于直线10 xy 的对称点为( , ) x y， 1 ( 1)1, 2, 1.1 10, 22 y x x yxy 对称圆的标准方程为 22 (2)(1)4xy. 故答案为： 22 (2)(1)4xy. 17 （2020 四川省高三二模（文） ）已知a、b为正实数，直线 10 xy 截圆 22 4xayb所 得的弦长为2 2，则ab的最大值为_ 【答案】 1 4 【解析】
20、 因为直线10 xy 截圆 22 4xayb所得的弦长为2 2,且圆的半径为 2. 故圆心, a b到直线的距离 2 2 2 2 22 2 d . 故 1 2 2 ab ,因为a、b为正实数,故1ab,所以 2 1 24 ab ab . 当且仅当 1 2 ab时取等号. 故答案为： 1 4 四、解答题四、解答题 18 （2020 吴江汾湖高级中学高一月考） 求圆 22 4xy上与直线4 3120 xy 的距离最小的点的坐标. 【答案】 8 6 , 5 5 P 【解析】 过圆心且与直线43120 xy垂直的直线方程为340 xy， 联立圆方程 22 4 340 xy xy 得交点坐标为 8 6
21、, 5 5 ， 86 , 55 ， 又因为与直线43120 xy的距离最小，所以 8 6 , 5 5 P . 19 （2019 全国高二月考（文） ）已知直线l过点 (2, 1)P . （1）若原点O到直线l的距离为2，求直线l的方程； （2）当原点O到直线l的距离最大时，求直线l的方程. 【答案】 （1）20 x或3 4100 xy ； （2）250.xy 【解析】 （1）当直线l的斜率不存在时，方程2x符合题意； 当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则方程为12yk x ，即210.kxyk 根据题意，得 2 21 2 1 k k ，解得 3 4 k ，则直线l的方程为34100.xy 故直
22、线l的方程为20 x或34100.xy （2）当原点O到直线l的距离最大时，直线.lOP 因为 0 11 022 OP k ，所以直线l的斜率2,k 所以其方程为122yx ，即250.xy 20 （2020 吴江汾湖高级中学高一月考）在ABC中， ( 1,2)A ，边AC上的高BE所在的直线方程为 74460 xy ，边AB上中线CM所在的直线方程为211540 xy. （1）求点C坐标； （2）求直线BC的方程. 【答案】 （1）6 6C，（2）2180 xy 【解析】 （1）AC边上的高为74460 xy，故AC的斜率为 4 7 ， 所以AC的方程为 4 21 7 yx， 即47180
23、xy， 因为CM的方程为211540 xy 211540 47180 xy xy ， ， 解得 6 6 x y 所以6 6C，. （2）设 00 ,B x y，M为AB中点，则M的坐标为 00 12 , 22 xy ， 00 00 12 211540 22 74460 xy xy 解得 0 0 2 8 x y ， 所以2,8B， 又因为6,6C， 所以BC的方程为 86 66 26 yx 即BC的方程为2180 xy. 21 （2019 浙江省高二期中）如图，圆 22 :(2)1Cxy，点P为直线:4l x 上一动点，过点P引圆C 的两条切线，切点分别为,A B （1）求证：直线AB恒过定点，
24、并求出该定点Q的坐标； （2）若两条切线,PA PB于y轴分别交于,M N两点，求QMN面积的最小值 【答案】 （1）见解析， 5 ,0 2 Q （2）10 3 3 【解析】 （1）设(4, )Pt，则以CP 为直径的圆的方程： 2 2 22 2 42 3 22 t t xy ， 与圆 22 :(2)1Cxy， 两式相减得：:2(2)1 AB lxty， 所以直线恒过定点 5 ,0 2 Q . （2）设直线AP与BP的斜率分别为 12 ,k k， (4)ytk x 与圆C相切，所以 2 |2 | 1 1 tk k ， 即 22 3410ktkt 所以 2 1212 41 , 33 tt kkk
25、 k， 1 4 M ytk ， 2 4 N ytk 2 2 121212 4128 3 | 4444 33 t MNkkkkk k min 18 3510 3 2323 MNQ S 所以面积的最小值为10 3 3 22 （2020 江西省新余一中高一月考）已知点(4,4)A， (0,3)B ，直线l：1yx，设圆C的半径为1，圆 心C在直线l上 （1）若圆心C也在直线37yx上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； （2）若圆C上存在点M，使2MBMO，O为坐标原点，求圆心C的横坐标a的取值范围 【答案】 （1）4x或3440 xy.（2） 3 22 22 a 或 23 2 22 a . 【解析
26、】 (1)由 1 37 yx yx 得：()3,2C，所以圆 C： 22 (3)(2)1xy. 当切线的斜率存在时,设切线方程为4(4)yk x，由 2 |2| 1 1 k d k ，解得： 3 4 k 当切线的斜率不存在时，即4x也满足 所以切线方程为：4x或3440 xy. (2)由圆心C在直线 l： 1yx上，设( ,1)C a a 设点 ( , )M x y，由| 2|MBMO 得： 2222 (3)2xyxy 化简得： 22 (1)4xy，所以点 M 在以 (0, 1)D 为圆心，2 为半径的圆上. 又点 M 在圆 C 上，所以圆 C 与圆 D 有交点，则1 | 3CD 即 22 1
27、3aa ，解得： 3 22 22 a 或 23 2 22 a . 23.（2019 山东省高一期中）已知点( 2, 2), ( 2,6),(4, 2)ABC，点P在圆 22 :4E xy上运动. （1）求过点C且被圆E截得的弦长为2 2的直线方程； （2）求 222 |PAPBPC的最值. 【答案】(1)7100 xy或20 xy;(2)最大值为 88,最小值为 72. 【解析】 (1)依题意,直线的斜率存在,因为过点C且被圆E截得的弦长为2 2,所以圆心到直线的距离为2,设直线 方程为2(4)yk x,即420kxyk,所以 2 | 42| 2 1 k k ,解得 1 7 k 或1k 所以直线方程 为7100 xy或20 xy. (2)设P点坐标为 , x y则 22 4xy. 222222222 |(2)(2)(2)(6)(4)(2)PAPBPCxyxyxy 22 3468804xyyy 因为22y ,所以7280488y,即 222 |PAPBPC的最大值为 88,最小值为 72.
