1、专题专题 22 导数的概念及其意义、导数的运算导数的概念及其意义、导数的运算 一、单选题一、单选题 1 （2020 蚌埠田家炳中学高二开学考试（理） ）已知(1)1 f ， 0 (1 3)(1) lim x fxf x 等于（ ） A1 B-1 C3 D 1 3 2 （2020 黄冈中学第五师分校高二期中（理） ）设函数 ( )f x在 1x 处存在导数为 2，则 0 (1)(1) lim 3 x fxf x （ ）. A 2 3 B6 C 1 3 D 1 2 3 （2020 江西省奉新县第一中学高二月考（理） ）函数 ln x f xex在1x 处的切线方程是( ) A 1ye x B1ye
2、x C21ye x D eyx 4 （2020 蚌埠田家炳中学高二开学考试（理） ）曲线 1x yxe 在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）. A2e Be C2 D1 5 （2020 江西省奉新县第一中学高二月考（理） ）若 f(x0)3，则 00 0 3 lim h f xhf xh h 等于( ) A3 B6 C9 D12 6 （2020 江西省奉新县第一中学高二月考（理） ）已知 yf x的导函数为 yfx ，且在1x 处的切 线方程为3yx ，则 11f f ( ) A2 B3 C4 D5 7 （2020 黄冈中学第五师分校高二期中（理） ）函数 f x的图象如图所示， fx 为函数
3、 f x的导函数， 下列数值排序正确是（ ） A 02332ffff B 03322ffff C 03232ffff D 03223ffff 8 （2020 湖北省高二期中）若函数 cosf xax与 2 3g xxbx图象在交点0,m处有公切线，则 a bm （ ） A6 B4 C3 D2 二、多选题二、多选题 9 （2020 江苏省高二期中）直线 1 2 yxb能作为下列（ ）函数的图像的切线. A 1 ( )f x x B 4 ( )f xx C ( )cosf xx D( )lnf xx 10 （2019 山东省高二期中）设点P是曲线 2 3 3 x yex上的任意一点，P点处的切线的
4、倾斜角为， 则角的取值范围包含下列哪些（ ） A 2 , 3 B 5 , 26 C0, 2 D 5 0, 26 11 （2020 南京市江宁高级中学高二期中）已知点2(1 )A ，在函数 3 f xax的图象上，则过点 A 的曲线 :C yf x的切线方程是（ ） A6 40 xy B470 xy C4 70 xy D3210 xy 12 （2020 江苏省高二期中）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线 1 (0)yxx x 上，则点P到直线 3420 xy 的距离可以为（ ） A 4 5 B1 C 6 5 D 7 5 三、填空题三、填空题 13 （2020 江西省石城中学高二月考 （文） ）
5、 曲线 32 ( )44f xxx在点(1,1)处的切线方程为_ 14 （2020 横峰中学高二开学考试（文） ）曲线1 exyax在点 0 1，处的切线的斜率为 2，则 a_ 15 （2020 甘肃省高三二模（文） ）已知曲线4 sin cosyaxx 在点(0, 1)处的切线方程为1yx，则 tan() 6 a _ 16 （2020 浙江省高三其他）德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分 概念 在研究切线时， 他将切线问题理解为“求一条切线意味着画一条直线连接曲线上距离无穷小的两个点”， 这也正是导数定义的内涵之一现已知直线yxb是函数 ( )lnf xx 的
6、切线，也是函数( ) x k g xe 的切 线，则实数b_，k _ 四、解答题四、解答题 17 （2020 江苏省邗江中学高一期中）求下列函数的导数： （1）( )2cosf xxx （2） 2 (2) ( ) 1 x f x x 18 （2020 福建省南安市侨光中学高二月考）求下列函数的导数： （1） 2(ln sin )yxxx； （2） 2 cosxx y x ； （3）lnyxx. 19 （2020 阳江市第三中学高二月考）已知函数 2 lnf xxx x （）求这个函数的导数 fx ； （）求这个函数在1x 处的切线方程. 20 （2020 定远县育才学校高二月考（理） ）已知函
7、数 32 ( )f xxbxcxd的图象过点 (0,2)P ，且在点 ( 1;( 1)Mf 处的切线方程为670 xy. （I）求( 1)f 和( 1)f-的值. （II）求函数 ( )f x的解析式. 21 （2020 江苏省高二期中）设 55f， 53 f ， 54g， 51 g ， ( )2 ( ) ( ) f x h x g x . （1）求 5h及 5 h ； （2）求曲线( )sin 6 yh x 在5x 处的切线方程. 22 （2020 攀枝花市第十五中学校高二期中（文） ）设函数( ) b f xax x ，曲线 yf x在点(2,(2)f处 的切线方程为3240 xy. （1
8、）求 ( )f x的解析式； （2）证明：曲线( )yf x上任一点处的切线与直线0 x和直线y x 所围成的三角形的面积为定值，并 求此定值. 专题专题 22 导数的概念及其意义、导数的运算导数的概念及其意义、导数的运算 一、单选题一、单选题 1 （2020 蚌埠田家炳中学高二开学考试（理） ）已知(1)1 f ， 0 (1 3)(1) lim x fxf x 等于（ ） A1 B-1 C3 D 1 3 【答案】C 【解析】 因为(1)1 f ， 所以 00 (1 3)(1)(1 3)(1) lim3lim3(1)3 3 xx fxffxf f xx . 故选 C 2 （2020 黄冈中学第
9、五师分校高二期中（理） ）设函数 ( )f x在 1x 处存在导数为 2，则 0 (1)(1) lim 3 x fxf x （ ）. A 2 3 B6 C 1 3 D 1 2 【答案】A 【解析】 根据导数定义， 0 0 (1)(1) lim 3 1(1)(1) lim 3 x x fxf x fxf x 12 2 33 所以选 A 3 （2020 江西省奉新县第一中学高二月考（理） ）函数 ln x f xex在1x 处的切线方程是( ) A 1ye x B1yex C21ye x D eyx 【答案】A 【解析】 求曲线 yexlnx 导函数，可得 f（x）exlnx x e x f（1）
10、e， f（1）0，切点（1，0） 函数 f（x）exlnx 在点（1，f（1） ）处的切线方程是：y0e（x1） ， 即 ye（x1） 故选：A 4 （2020 蚌埠田家炳中学高二开学考试（理） ）曲线 1x yxe 在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）. A2e Be C2 D1 【答案】C 【解析】 由 1x yxe ，得，故，故切线的斜率为，故选 C. 5 （2020 江西省奉新县第一中学高二月考（理） ）若 f(x0)3，则 00 0 3 lim h f xhf xh h 等于( ) A3 B6 C9 D12 【答案】D 【解析】 分析： 由于 f(x0 ) 00 0 lim x f
11、xxf x x 3，而 00 0 3 lim h f xhf xh h 的形态与导数的定义形态不一 样，故需要对 00 0 3 lim h f xhf xh h 转化成 0000 0 3 lim h f xhf xf xf xh h 利用 0000 0 3 lim h f xhf xf xf xh h 0000 00 3 lim3 lim 3 hh f xhf xf xhf x hh 即可求解. 详解： f(x0) 00 0 lim x f xxf x x 3， 00 0 3 lim h f xhf xh h 0000 0 3 lim h f xhf xf xf xh h 0000 0 3 l
12、im3 3 h f xhf xf xhf x hh 0000 00 3 lim3 lim 3 hh f xhf xf xhf x hh f(x0)3f(x0)4f(x0)12. 答案：D 6 （2020 江西省奉新县第一中学高二月考（理） ）已知 yf x的导函数为 yfx ，且在1x 处的切 线方程为3yx ，则 11f f ( ) A2 B3 C4 D5 【答案】B 【解析】 根据题意，切线斜率即为 1 f ，故 1 f 1 ； 又因为点 1,1f满足切线方程，即 11 32f ； 故 11ff 213 . 故选：B. 7 （2020 黄冈中学第五师分校高二期中（理） ）函数 f x的图象
13、如图所示， fx 为函数 f x的导函数， 下列数值排序正确是（ ） A 02332ffff B 03322ffff C 03232ffff D 03223ffff 【答案】B 【解析】 由 f x图象可知， f x在2x处的切线斜率大于在3x 处的切线斜率，且斜率为正， 032ff ， 32 32 32 ff ff ， 32ff可看作过 22f , ,和 3,3f的割线的斜率，由图象 可知 3322ffff ， 03322ffff . 故选：B. 8 （2020 湖北省高二期中）若函数 cosf xax与 2 3g xxbx图象在交点0,m处有公切线，则 a bm （ ） A6 B4 C3
14、D2 【答案】A 【解析】 sin ,2fxax g xxb， 0,033fa gam . 由于函数 cosf xax与 2 3g xxbx图象在交点0,m处有公切线， 所以 00fg，即0b. 所以3 0 36abm . 故选：A 二、多选题二、多选题 9 （2020 江苏省高二期中）直线 1 2 yxb能作为下列（ ）函数的图像的切线. A 1 ( )f x x B 4 ( )f xx C ( )cosf xx D( )lnf xx 【答案】BCD 【解析】 函数 1 2 yxb，可得 2 11 ( ) 2 fx x 不成立；所以A不正确； 4 ( )f xx， 3 1 ( )4 2 fx
15、x 可以成立；所以B正确； ( )cosf xx ， 1 ( )sin 2 fxx ，可以成立；所以C正确； ( )lnf xx ， 11 ( ) 2 f x x 可成立所以D正确； 故直线 1 2 yxb能作为BCD函数图象的切线， 故选：BCD 10 （2019 山东省高二期中）设点P是曲线 2 3 3 x yex上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为， 则角的取值范围包含下列哪些（ ） A 2 , 3 B 5 , 26 C0, 2 D 5 0, 26 【答案】CD 【解析】 因为 2 3 3 x yex，故可得33 x ye ； 设切线的倾斜角为，则3tan ， 故可得 2 0, 23 ，
16、 故选：CD. 11 （2020 南京市江宁高级中学高二期中）已知点2(1 )A ，在函数 3 f xax的图象上，则过点 A 的曲线 :C yf x的切线方程是（ ） A6 40 xy B470 xy C4 70 xy D3210 xy 【答案】AD 【解析】 因为点2(1 )A ，在函数 3 f xax的图象上，所以 2a 设切点 00 ,P x y，则由 3 2f xx得， 2 6fxx，即 2 0 6kx， 所以在点P处的切线方程为： 32 000 26yxxxx，即 23 00 64yx xx 而点2(1 )A ，在切线上， 23 00 264xx， 即 2 22 00000 211
17、1210 xxxxx， 解得 0 1x 或 0 1 2 x ，切线方程为：640 xy和3210 xy 故选：AD 12 （2020 江苏省高二期中）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线 1 (0)yxx x 上，则点P到直线 3420 xy 的距离可以为（ ） A 4 5 B1 C 6 5 D 7 5 【答案】CD 【解析】 设直线340 xyC与曲线 1 yx x 相切于点 000 ,P x y， 则 0 2 0 13 1 4 x x y x ，因为 0 0 x 解得 0 2x ，即 0 15 2 22 y ， 故曲线 1 yx x 与直线3420 xy的最短距离为 min 2 2 5 3
18、 242 62 5 34 d 所以可以为 6 7 , 5 5 故选：CD 三、填空题三、填空题 13 （2020 江西省石城中学高二月考 （文） ） 曲线 32 ( )44f xxx在点(1,1)处的切线方程为_ 【答案】5 60 xy 【解析】 2 38xfxx, 15 f , 切线方程为y 151x ，即560 xy 故答案为：560 xy 点睛： 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一， 用导数求切线方程的关键在于求出切点 00 (,)P xy及斜率， 其求法为： 设 00 (,)P xy是曲线( )yf x上的一点， 则以P的切点的切线方程为： 000 ()()yyfxxx 若 曲线(
19、)yf x在点 00 (,()P xf x的切线平行于y轴 （即导数不存在） 时， 由切线定义知， 切线方程为 0 xx 14 （2020 横峰中学高二开学考试（文） ）曲线1 exyax在点 0 1，处的切线的斜率为 2，则 a_ 【答案】3 【解析】 y1 xx aeaxe 则 f012a 所以3a 故答案为-3. 15 （2020 甘肃省高三二模（文） ）已知曲线4 sin cosyaxx 在点(0, 1)处的切线方程为1yx，则 tan() 6 a _ 【答案】2 3 【解析】 曲线4 sincosyaxx， 则4 cossinyaxx ， 曲线4 sincosyaxx在点(0, 1)
20、处的切线方程为1yx， 所以当0 x时，满足41ya ， 解得 1 4 a ， 代入并由正切函数的差角公式可得 tantan 46 tan 46 1tantan 46 3 1 3 23 3 1 3 ， 故答案为：23. 16 （2020 浙江省高三其他）德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分 概念 在研究切线时， 他将切线问题理解为“求一条切线意味着画一条直线连接曲线上距离无穷小的两个点”， 这也正是导数定义的内涵之一现已知直线yxb是函数 ( )lnf xx 的切线，也是函数( ) x k g xe 的切 线，则实数b_，k _ 【答案】-1 -2 【解析】 由
21、题意可知 1 (ln )1x x ，故1x ，则函数( )f x的切点为(1,0)，代入yxb，得1b；又 1 x kx k ee ，故xk，则函数( )g x的切点为( ,1)kk ，代入( ) x k g xe ，得2k 故答案为：1；2 四、解答题四、解答题 17 （2020 江苏省邗江中学高一期中）求下列函数的导数： （1）( )2cosf xxx （2） 2 (2) ( ) 1 x f x x 【答案】 （1） 1 2sinfxx ； （2） 2 9 ( )1 1 fx x 【解析】 （1） 2cosf xxx ，则 1 2sinfxx ； （2） 2 (2) ( ) 1 x f x
22、 x ，则 2 2 222 2(2)12289 ( )1 111 xxxxx fx xxx . 18 （2020 福建省南安市侨光中学高二月考）求下列函数的导数： （1） 2(ln sin )yxxx； （2） 2 cosxx y x ； （3）lnyxx. 【答案】 （1） 2 2 ln2 sincosxxxxxxx； （2） 3 2cossinxxxx x ； （3） 2ln 2 x x . 【解析】 （1） 2 1 2 (lnsin )cosyxxxxx x 2 2 ln2 sincosxxxxxxx； （2） 2 4 ( sin1)(cos) 2xxxxx y x 3 2cossinx
23、xxx x ； （3） 1112ln ln 22 x yxx xxx 19 （2020 阳江市第三中学高二月考）已知函数 2 lnf xxx x （）求这个函数的导数 fx ； （）求这个函数在1x 处的切线方程. 【答案】 （） 21fxxlnx ； （）320 xy. 【解析】 （）因为 2 lnf xxx x，所以 21fxxlnx； （）由题意可知，切点的横坐标为 1， 所以切线的斜率是 12 13kf ， 又 11f，所以切线方程为131yx ，整理得320 xy. 20 （2020 定远县育才学校高二月考（理） ）已知函数 32 ( )f xxbxcxd的图象过点 (0,2)P ，
24、且在点 ( 1;( 1)Mf 处的切线方程为670 xy. （I）求( 1)f 和( 1)f-的值. （II）求函数 ( )f x的解析式. 【答案】 （1）11,16f f ； （2） 32 332f xxxx 【解析】 （1）f（x）在点 M（1，f（1） ）处的切线方程为 6xy+7=0 故点（1，f（1） ）在切线 6xy+7=0 上，且切线斜率为 6 得 f（1）=1 且 f（1）=6 （2）f（x）过点 P（0，2） d=2 f（x）=x3+bx2+cx+d f（x）=3x2+2bx+c 由 f（1）=6 得 32b+c=6 又由 f（1）=1，得1+bc+d=1 联立方程得 故
25、f（x）=x33x23x+2 21 （2020 江苏省高二期中）设 55f， 53 f ， 54g， 51 g ， ( )2 ( ) ( ) f x h x g x . （1）求 5h及 5 h ； （2）求曲线( )sin 6 yh x 在5x 处的切线方程. 【答案】 （1） 7 (5)= 4 h，(5) 16 = 5 h； （2）5x-16y+11=0 【解析】 （1）当 x=5 时， (5)27 (5)= (5)4 f h g ， 函数 ( )2 ( ) ( ) f x h x g x 的导数 2 ( ) 2fx g xf xg gx h x x ， 函数( )h x在 x=5 处的切
26、线斜率： 2 5552 16 53 4 152 5 (5)= 1 = 56 f g h gfg ； （2） 1 ( )sin ( (2 2 ) = 6 )f yh x x g x ， 所以 2 2fx g xf xgx g y x ， x=5 处的切线斜率： 5 2 55525 5 = 516 x fgfg y g ， y= 711 = 9 (= 2 5) 442 h， 所以切点坐标为 9 5, 4 ， 则切线方程为： 5 1 5= 46 9 yx， 化简得 5x-16y+11=0 故切线方程为：5x-16y+11=0 22 （2020 攀枝花市第十五中学校高二期中（文） ）设函数( ) b
27、f xax x ，曲线 yf x在点(2,(2)f处 的切线方程为3240 xy. （1）求 ( )f x的解析式； （2）证明：曲线( )yf x上任一点处的切线与直线0 x和直线y x 所围成的三角形的面积为定值，并 求此定值. 【答案】 （1） 2 ( )f xx x ； （2）证明见解析，4. 【解析】 （1）将点 22f , ,的坐标代入直线3240 xy的方程得 21f， b f xax x Q，则 2 b fxa x ，直线3240 xy的斜率为 3 2 ， 于是 3 2 42 221 2 b fa b fa ，解得 1 2 a b ，故 2 f xx x ； （2）设点 00
28、,P x y为曲线 yf x上任意一点，由（1）知 2 f xx x ， 2 2 1fx x ，又 00 0 2 f xx x ， 所以，曲线 yf x在点P的切线方程为 00 2 00 22 1yxxx xx ， 即 2 00 24 1yx xx ， 令0 x，得 0 4 y x ，从而得出切线与y轴的交点坐标为 0 4 0, x ， 联立 2 00 24 1 yx yx xx ，解得 0 2yxx， 从而切线与直线y x 的交点坐标为 00 2,2xx. 所以， 曲线 yf x在点P处的切线与直线0 x、y x 所围成的三角形的面积为 0 0 14 24 2 Sx x 故曲线 yf x上任一点处的切线与直线0 x，y x 所围成的三角形的面积为定值且此定值为4.
