1、专题专题 25 一元函数的导数及其应用单元测试卷一元函数的导数及其应用单元测试卷 一、单选题一、单选题 1 （2020 夏津第一中学高二期中）设函数 f xx，则 11 lim x fxf x （ ） A0 B1 C2 D1 2 （2019 辰溪县第一中学高二月考）已知函数 32 ( )23f xxxx，求 (2) f ( ) A1 B5 C4 D3 3（2020 黑山县黑山中学高二月考） 已知函数 2 x f xxa e， 且 13fe， 则曲线 yf x在 0 x 处的切线方程为（ ） A 10 xy B10 xy C 310 xy D310 xy 4 （2020 湖北省高二期中）若函数
2、32 lnf xxax不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A 1 , 2 B2, C0, D,2 5 （2020 湖南省高三一模（文） ）函数 y=xlnx 的图象大致是( ) A B C D 6 （2020 四川省南充市白塔中学高二月考（理） ）已知函数( ) 2( )lnf xxfex ，则 f e ( ) Ae Be C1 D1 7 （2020 夏津第一中学高二期中）函数 3 34yxx有（ ） A极大值 6，极小值 2 B极大值 2，极小值 6 C极小值1，极大值 2 D极小值 2，极大值 8 8 （2020 福建省高三其他（文） ）若函数 ln(1)2,0, ( ) 1 ,0.
3、 xaxx f x xa x x 的最大值为( 1)f ，则实数a的 取值范围为（ ） A( , e B 1 0, e C 1 , e D), e 二、多选题二、多选题 9（2019 福建省莆田一中高二期末） （多选题） 下列函数中， 既是奇函数又在区间0,1上单调递增的是 （ ） A 3 24yxx Bsinyxx C 2 logyx D22 xx y 10 （2020 江苏省高二期中）直线 1 2 yxb能作为下列（ ）函数的图像的切线. A 1 ( )f x x B 4 ( )f xx C ( )sinf xx D( ) x f xe 11（2020 山东省潍坊一中高二月考） 已知函数f
4、 （x） 的定义域为R且导函数为 fx ， 如图是函数 yxfx 的图像，则下列说法正确的有（ ） A函数 f（x）的减区间是（-，-2） B函数 f（x）的增区间是（-2，+） Cx=-2 是函数的极小值点 Dx=2 是函数的极小值点 12 （2020 南京市江宁高级中学高二期中）已知函数 yf x的导函数 fx 的图象如图所示，则下列判 断正确的是（ ） A函数 yf x在区间 1 3, 2 内单调递增 B当2x时，函数 yf x取得极小值 C函数 yf x在区间 2,2内单调递增 D当3x 时，函数 yf x有极小值 三、填空题三、填空题 13 （2020 夏津第一中学高二期中）曲线 y
5、x2+lnx 在点（1，1）处的切线方程为_ 14 （2020 四川省北大附中成都为明学校高二月考（理） ）函数( )lnf xxx的单调递增区间为_. 15.（2020 四川省北大附中成都为明学校高二月考（理） ）若函数 2 f xx xa在2x处取得极小值， 则a_ 16 （2020 浙江省宁波诺丁汉附中高二期中）已知函数 1 ( )sin ,0, , 2 f xxx x则( )f x的最小值为 _，最大值为_. 四、解答题四、解答题 17 （2018 营口市第二高级中学高二月考（文） ）设( )ln 4f xaxx ， （aR） ，曲线 yf x在点 1,1f处的切线垂直于y轴. （1）
6、求a的值； （2）求函数 yf x的单调区间. 18 （2020 福建省高二月考）已知函数 2 lnf xaxbx在1x 处有极值 1 2 . （1）求, a b的值； （2）求函数 f x在 1 ,2 2 上的最大值与最小值. 19 （2020 江西省新余一中高二月考（理） ）某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市 场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本 2 万元，每生产x万件，需另投入流动成本( )C x万元，当年 产量小于7万件时， 2 1 ( )2 3 C xxx（万元） ；当年产量不小于 7 万件时， 3 ( )6ln17 e C xxx x （万 元）.已知每件产
7、品售价为 6 元，假若该同学生产的商品当年能全部售完. （1）写出年利润( )P x（万年）关于年产量x（万件）的函数解析式； （注：年利润=年销售收入-固定成本- 流动成本） （2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？ （取 3 20e ）. 20 （2020 横峰中学高二开学考试（理） ）已知曲线C的方程是 32 32yxxx （1）求曲线在1x 处的切线方程 1 l； （2）若 2: lykx，且直线 2 l与曲线C相切于点 000 ,0 x yx ，求直线 2 l的方程及切点坐标 21 （2020 天津大钟庄高中高二月考）已知函数 2 1 ( )l
8、n 2 f xxmx (mR) （1）当2m时， 求函数 f x在 x=1 处的切线方程； 求函数 f x在1, e上的最大，最小值 （2）若函数 f x在 1 , 2 上单调递增，求实数m的取值范围； 22 （2020 黄冈中学第五师分校高二期中（理） ）已知函数 n()lf xxxm mR （1）若函数 f x有两个零点，求m的取值范围； （2）证明：当3m时，关于x的不等式 20 x f xxe在 1 ,1 2 上恒成立 专题专题 25 一元函数的导数及其应用单元测试卷一元函数的导数及其应用单元测试卷 一、单选题一、单选题 1 （2020 夏津第一中学高二期中）设函数 f xx，则 11
9、 lim x fxf x （ ） A0 B1 C2 D1 【答案】B 【解析】 因为 f xx， 所以 1111 limlimlim1 xxx fxfxx xxx . 故选：B. 2 （2019 辰溪县第一中学高二月考）已知函数 32 ( )23f xxxx，求 (2) f ( ) A1 B5 C4 D3 【答案】B 【解析】 由题意，函数 32 ( )23f xxxx，则 2 ( )341fxxx， 所以 2 (2)3 24 2 15 f . 故答案为：B. 3（2020 黑山县黑山中学高二月考） 已知函数 2 x f xxa e， 且 13fe， 则曲线 yf x在0 x 处的切线方程为（
10、 ） A 10 xy B10 xy C 310 xy D310 xy 【答案】B 【解析】 2222 xxx fxexa exa e ， 143fa ee，解得1a ，即 21 x f xxe， 01f，则 21 x fxxe， 01f，曲线 yf x在点 0 x处 的切线方程为1 10yx ，即10 xy . 4 （2020 湖北省高二期中）若函数 32 lnf xxax不是单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A 1 , 2 B2, C0, D,2 【答案】D 【解析】 f x的定义域为0,， 232 3 axa fx xx ， 令( ) 0fx =解得 2 3 a x . 由于函数 32
11、 lnf xxax在0,上不是单调函数， 所以 2 0 3 a ，解得2a. 故选：D 5 （2020 湖南省高三一模（文） ）函数 y=xlnx 的图象大致是( ) A B C D 【答案】D 【解析】 因为 y=xlnx，故可得1ylnx 令0y ，可得 1 x e ；令0y，可得 1 x e ， 故函数在区间 1 0,? e 上单调递减，在区间 1 , e 单调递增， 又因为当 1 0, e x 时，0,0lnxy，故排除 ,A B； 又1x 时，0y ，故函数在区间 1 , e 上有一个零点，故排除 C. 故选：D. 6 （2020 四川省南充市白塔中学高二月考（理） ）已知函数( )
12、 2( )lnf xxfex ，则 f e ( ) Ae Be C1 D1 【答案】C 【解析】 由题得 111 ( )2( ),( )2( ),( )fxf ef ef ef e xee ， 所以 1 ( )2( )ln2() 11f eefeee e . 故选：C. 7 （2020 夏津第一中学高二期中）函数 3 34yxx有（ ） A极大值 6，极小值 2 B极大值 2，极小值 6 C极小值1，极大值 2 D极小值 2，极大值 8 【答案】A 【解析】 令 2 330yx ，解得1x，则 , y y 随x的变化如下表 x , 1 1 1,1 1 1, y 0 0 y 6 2 所以，当1x
13、时，函数有极大值为6；当1x 时，函数有极小值为2. 故选:A. 8 （2020 福建省高三其他（文） ）若函数 ln(1)2,0, ( ) 1 ,0. xaxx f x xa x x 的最大值为( 1)f ，则实数a的 取值范围为（ ） A( , e B 1 0, e C 1 , e D), e 【答案】C 【解析】 当0 x时，( )ln(1)2f xxax， 1 ( ) 1 fxa x ， 若0a ，则 ( ) 0fx 在0 x恒成立， ( )f x在(0,)， 且x 时，( )f x ，函数的最大值不可能为( 1)f ， 0a， 当 ( ) 0fx 时，得 1 01x a ，当 ( )
14、 0fx 时， 1 1x a ， ( )f x在 1 (0,1) a 单调递增，在 1 (1,) a 单调递减， max 111 1ln12l( )()()n3aaa aa f a xf ， 当0 x时， 11 ( )()2( 1)f xxaxaaf xx ， 1 ln32ln1aaaaa e ， 故选：C. 二、多选题二、多选题 9（2019 福建省莆田一中高二期末） （多选题） 下列函数中， 既是奇函数又在区间0,1上单调递增的是 （ ） A 3 24yxx Bsinyxx C 2 logyx D22 xx y 【答案】ABD 【解析】 由奇函数定义可知，A、B、D 均为奇函数，C 为偶函
15、数，所以排除 C； 对于选项 A， 2 640yx，所以 3 24yxx在0,1上单调递增； 对于选项 B， 1 cos0yx ，所以sinyxx在0,1上单调递增； 对于选项 D， 2 ln22ln20 xx y ，所以22 xx y 在0,1上单调递增. 故选：ABD 10 （2020 江苏省高二期中）直线 1 2 yxb能作为下列（ ）函数的图像的切线. A 1 ( )f x x B 4 ( )f xx C ( )sinf xx D ( ) x f xe 【答案】BCD 【解析】 1 ( )f x x ，故 2 11 ( ) 2 fx x ，无解，故A排除； 4 ( )f xx，故 3
16、1 ( )4 2 f xx，故 1 2 x ，即曲线在点 11 , 2 16 的切线为 13 216 yx，B正确； ( )sinf xx ，故 1 ( )cos 2 fxx，取 3 x ，故曲线在点 3 , 32 的切线为 13 262 yx ，C正确； ( ) x f xe，故( ) 1 2 x f xe，故ln2x ，曲线在点 1 ln2, 2 的切线为 111 ln2 222 yx，D正确； 故选：BCD. 11（2020 山东省潍坊一中高二月考） 已知函数f （x） 的定义域为R且导函数为 fx ， 如图是函数 yxfx 的图像，则下列说法正确的有（ ） A函数 f（x）的减区间是（
17、-，-2） B函数 f（x）的增区间是（-2，+） Cx=-2 是函数的极小值点 Dx=2 是函数的极小值点 【答案】ABC 【解析】 当0 x时， 0yxfx ，故 0fx ，函数单调递增； 当20 x 时， 0yxfx ，故 0fx ，函数单调递增； 当2x时， 0yxfx ，故20f； 当2x时， 0yxfx ，故 0fx ，函数单调递减； 对比选项知：故ABC正确. 故选：ABC. 12 （2020 南京市江宁高级中学高二期中）已知函数 yf x的导函数 fx 的图象如图所示，则下列判 断正确的是（ ） A函数 yf x在区间 1 3, 2 内单调递增 B当2x时，函数 yf x取得极
18、小值 C函数 yf x在区间 2,2内单调递增 D当3x 时，函数 yf x有极小值 【答案】BC 【解析】 对于 A，函数 yf x在区间 1 3, 2 内有增有减，故 A 不正确； 对于 B，当2x时，函数 yf x取得极小值，故 B 正确； 对于 C，当2,2x 时，恒有 0fx ，则函数 yf x在区间2,2上单调递增，故 C 正确； 对于 D，当3x 时， 0fx ，故 D 不正确. 故选：BC 三、填空题三、填空题 13 （2020 夏津第一中学高二期中）曲线 yx2+lnx 在点（1，1）处的切线方程为_ 【答案】320 xy 【解析】 1 2yx x ，在点（1，1）处的切线斜
19、率为3，所以切线方程为320 xy. 14 （2020 四川省北大附中成都为明学校高二月考（理） ）函数( )lnf xx x 的单调递增区间为_. 【答案】 【解析】 函数有意义，则：0 x ，且： 1 1fx x ，由 0fx 结合函数的定义域可得函数的单调递增区 间为0,1，故答案为0,1. 15.（2020 四川省北大附中成都为明学校高二月考（理） ）若函数 2 f xx xa在2x处取得极小值， 则a_ 【答案】2 【解析】 求导函数可得 22 ( )34fxxaxa，所以 2 (2)12 80faa，解得2a 或6a， 当2a时， 2 ( )384(2)(32)fxxxxx，函数在
20、2x处取得极小值，符合题意； 当6a时， 2 ( )324363(2)(6)fxxxxx，函数在2x处取得极大值，不符合题意，不符合 题意，所以2a. 16 （2020 浙江省宁波诺丁汉附中高二期中）已知函数 1 ( )sin ,0, , 2 f xxx x则( )f x的最小值为 _，最大值为_. 【答案】 3 62 2 【解析】 1 ( )sin ,0, , 2 f xxx x 1 ( )cos ,0, , 2 fxx x 则当0 3 x 时， ( ) 0fx ，当 3 x 时， ( ) 0fx ， 所以 ( )f x在0, 3 上单调递减，在, 3 上单调递增，则当 3 x 时， min
21、 3 ( ) 62 f x ； 又 00, 2 ff ，所以 max ( ) 2 f x . 故答案为： 3 62 ； 2 . 四四、解答题、解答题 17 （2018 营口市第二高级中学高二月考（文） ）设( )ln 4f xaxx ， （aR） ，曲线 yf x在点 1,1f处的切线垂直于y轴. （1）求a的值； （2）求函数 yf x的单调区间. 【答案】 （1）1a ； （2） f x的单调递增区间为0,1，单调递减区间为1,. 【解析】 （1）由于 1 a fx x ，依题意 1110 1 a fa ，解得1a . （2）由（1）知 11 ln40 ,10 x f xxxxfxx xx
22、 ，所以 f x在0,1上递增，在 1,上递增. 也即 f x的单调递增区间为0,1，单调递减区间为 1,. 18 （2020 福建省高二月考）已知函数 2 lnf xaxbx在1x 处有极值 1 2 . （1）求, a b的值； （2）求函数 f x在 1 ,2 2 上的最大值与最小值. 【答案】 （1） 1 2 a ，1b； （2）最大值为2ln2，最小值为 1 2 【解析】 （1）由题可知， 2 lnf xaxbx， f x的定义域为0,， ( )2(0) b fxaxx x ， 由于 f x在1x 处有极值 1 2 ， 则 1 11 2 120 fabln fab ，即 1 2 20
23、a ab ， 解得： 1 2 a ，1b， （2）由（1）可知 2 1 ( )ln 2 f xxx，其定义域是(0,)， 1(1)(1) ( ) xx fxx xx ， 令 =0fx ，而0 x，解得1x ， 由 0fx ，得01x；由 0fx ，得1x ， 则在区间 1 ,2 2 上，x， fx ， f x的变化情况表如下： x 1 2 1 ,1 2 1 1,2 2 fx 0 f x 1 ln2 8 单调递减 1 2 单调递增 2ln2 可得 min 1 1 2 f xf， 11 ln2 28 f ，(2)2ln2f， 由于 11 22ln2ln20 28 ff ，则 1 2 2 ff ，
24、所以 max 22ln2f xf， 函数 f x在区间 1 ,2 2 上的最大值为2ln2，最小值为 1 2 . 19 （2020 江西省新余一中高二月考（理） ）某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市 场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本 2 万元，每生产x万件，需另投入流动成本( )C x万元，当年 产量小于7万件时， 2 1 ( )2 3 C xxx（万元） ；当年产量不小于 7 万件时， 3 ( )6ln17 e C xxx x （万 元）.已知每件产品售价为 6 元，假若该同学生产的商品当年能全部售完. （1）写出年利润 ( )P x（万年）关于年产量x（万件）的
25、函数解析式； （注：年利润=年销售收入-固定成本- 流动成本） （2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？ （取 3 20e ）. 【答案】 （1） 2 3 1 42,07 3 ( ) 15,7 xxx p x e lnxx x （2）当年产量约为20万件，该同学的这一产品所获年 利润最大，最大利润为11万元 【解析】 （1）产品售价为6元，则万件产品销售收入为6x万元. 依题意得，当07x时， 22 11 ( )62242 33 p xxxxxx ， 当7x时， 33 ( )6(6ln17)215ln ee p xxxxx xx ， 2 3 1 42,0
26、7 3 ( ) 15,7 xxx p x e lnxx x ； （2）当07x时， 2 1 ( )(6)10 3 p xx ， 当 6x时， ( )p x的最大值为(6)10p （万元） ， 当7x时， 333 22 1 ( )15ln( ) eeex p xxp x xxxx ， 当 3 7xe时， ( )p x单调递增，当 3, ( ) xep x单调递减， 当 3 xe时， ( )p x取最大值 33 ()15ln1 11p ee （万元） ， 11 10 当 3 20 xe时， ( )p x取得最大值11万元， 即当年产量约为20万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元
27、. 20 （2020 横峰中学高二开学考试（理） ）已知曲线C的方程是 32 32yxxx （1）求曲线在1x 处的切线方程 1 l； （2）若 2: lykx，且直线 2 l与曲线C相切于点 000 ,0 x yx ，求直线 2 l的方程及切点坐标 【答案】 （1）10 xy ； （2）直线 2 l的方程为 1 4 yx ，切点坐标为 33 , 28 【解析】 （1） 32 32yxxx， 2 362yxx， 1 3 1 6 1 21 x y ， 1 l的斜率为1 ，且过点1,0， 直线 1 l的方程为(1)yx ，即10 xy ； （2）直线 2 l过原点，则 0 0 0 0 y kx x
28、 ，由点 00 ,x y在曲线C上， 得 32 0000 32yxxx， 2 0 00 0 32 y xx x ， 又 2 362yxx，所以 2 00 362kxx， 又 0 0 k y x ， 22 0 0000 0 36232 y xxxx x ，整理得 2 00 230 xx， 0 0 x ， 0 3 2 x ，此时 0 3 8 y ， 1 4 k ， 直线 2 l的方程为 1 4 yx ，切点坐标为 33 , 28 21 （2020 天津大钟庄高中高二月考）已知函数 2 1 ( )ln 2 f xxmx (mR) （1）当2m时， 求函数 f x在 x=1 处的切线方程； 求函数 f
29、 x在1, e上的最大，最小值 （2）若函数 f x在 1 , 2 上单调递增，求实数m的取值范围； 【答案】（1） 2230 xy； 函数 f x在1, e上的最大值为 2 1 2 2 e ， 最小值为1ln2；（2） 1 4 m . 【解析】 （1）当2m时， 2 2 122(2)(2) ( )2ln( ) 2 xxx f xxxfxx xxx . 当 x=1 时， 2 11(12)(12) (1)12ln1,(1)1 221 ff ， 所以函数 f x在 x=1 处的切线的斜率为1，因此切线方程为： 1 1 (1)2230 2 yxxy ； 因为1,ex，所以当1,2x时， ( ) 0f
30、x ，函数 f x单调递减， 当 2, xe时， ( ) 0fx ，函数 f x单调递增， 所以当1,ex时，函数 f x有极小值 2 1 ( 2)( 2)2ln21 ln2 2 f ， 而 2222 111111 (1)12ln1,(2)2ln2(4) 222222 ffeeee， 所以函数 f x在1, e上的最大值为 2 1 2 2 e ，最小值为1ln2； （2） 2 1 ( )ln( ) 2 m f xxmxfxx x ， 因为函数 f x在 1 , 2 上单调递增， 所以 ( ) 0 m fxx x 在 1 , 2 x 时恒成立， 即 2 mx在 1 , 2 x 时恒成立，设 2
31、( )g xx， 1 , 2 x ， 因为当 1 , 2 x 时，函数 2 ( )g xx单调递增，所以 2 min 11 ( )( ) 24 g x， 因此要想 2 mx在 1 , 2 x 时恒成立，只需 1 4 m . 所以当函数 f x在 1 , 2 上单调递增时，实数m的取值范围为 1 4 m . 22 （2020 黄冈中学第五师分校高二期中（理） ）已知函数 n()lf xxxm mR （1）若函数 f x有两个零点，求m的取值范围； （2）证明：当3m时，关于x的不等式 20 x f xxe在 1 ,1 2 上恒成立 【答案】 （1）, 1 ； （2）3m 【解析】 （1）令 f
32、xlnxxm0，mlnxx； 令 g xlnxx， 11x g x1 xx ， 令 g x0 ，解得0 x1，令 g x0 ，解得x1， 则函数 g x在0,1上单点递增，在1,上单点递减， max g xg 11 要使函数 f x有两个零点，则函数 g x的图像与y m 有两个不同的交点 则m1 ，即实数m的取值范围为, 1 （2） x f xx2 e0， x mx2 elnxx； 设 x 1 h xx2 elnxx,x,1 2 ， x 1 h xx1e x ； 设 x 1 u xe x ， x 2 1 u xe0 x ，则 u x在 1 ,1 2 上单调递增. 又 1 ue20 2 ， u
33、 1e 10 . 0 1 x,1 2 ，使得 0 u x0，即 0 x 0 1 e x ， 00 lnxx . 当 0 1 x,x 2 时， u x0,h x0 ；当 0 xx ,1时， u x0,h x0； h x在 0 1 ,x 2 上单调递增，在 0 x ,1上单调递减. 0 x 0000000 max 00 12 h xh xx2 elnxxx22x12x xx . 设 2 x12x x ， 2 22 222x x2 xx . 当 1 x,1 2 时， x0 恒成立，则 x在 1 ,1 2 上单调递增， x 13，即当 1 x,1 2 时， h x3. 当m3时，关于x的不等式 x f xx2 e0在 1 ,1 2 上恒成立.
