1、第十一讲 质数与合数 1.1.质数与合数质数与合数 一个数除了 l 和它本身， 不再有别的约数， 那么这个数叫做质数 比如 2， 3， 7， 37， 一 个数除了 1 和它本身，还有别的约数，那么这个数是合数比如 4，8，14，48，特别 的：1 既不是质数也不是合数 以内的质数有个：、 、 、 注意：两个质数中差为 1 的只有 3-2 ；除 2 外，任何两个质数的差都是偶数。 2.2.质因数与分解质因数质因数与分解质因数（算术基本定理）（算术基本定理） 如果一个质数是某个数的约数， 那么就说这个质数是这个数的质因数 把一个合数用质 因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数比如：把 42 分解质
2、因数应该是 42=237， 其中 2，3，7 是 42 的质因数又如： 3 542 3 ，其中 2 和 3 都是 54 的质因数 3.3.利用分解质因数求约数的个数利用分解质因数求约数的个数 一般地， 如果分解质因数有下列形式： 其中都是质因数， 而是指数，即对应 A 包含各个质因数的个数 那么 A 的所有约数的个数为比如：， 那么 300 的所有约数共有(2+1)(1+1)(2+1)=18 个 那么 A 的所有约数的和为,aba b a b N 的约数的和为： ).1 (. ).1 ().1 ( 2 2 3 2 2 221 3 1 2 11 21 k a kkk aa ppp ppppppp
3、p 4.4.质数，合数有下面常用的性质：质数，合数有下面常用的性质： 1 不是质数，也不是合数；2 是惟一的偶质数 若质数pab，则必有pa 或pb 若正整 a、b 的积是质数p，则必有 a=p或 b=p 算术基本定理： 任意一个大于 l 的整数 N 能分解成 K 个质因数的乘积， 若不考虑质因数之 间的顺序，则这种分解是惟一的，从而 N 可以写成标准分解形式： k k pppN 21 21 其中 k ppp 21 ， i p为质数， i a为非负整数，(i1，2，k) 1.在有些问题的解决中适当地考虑到自然数的奇偶性和是否为质数或合数的特点， 恰当地应 用这些特点可简便、快捷地解决问题。 2
4、.能应用质数与合数的性质解题。 例例 1：在三位愉快的教士面前有一个画有在三位愉快的教士面前有一个画有 16 个方格的台面，上面放有个方格的台面，上面放有 10 个硬币，每个硬币个硬币，每个硬币 占一个方格。教士们绞尽脑汁想用这占一个方格。教士们绞尽脑汁想用这 10 个硬币摆成尽可能多的硬币个数都是偶数的行。行个硬币摆成尽可能多的硬币个数都是偶数的行。行 可以是横的，也可以是竖的，也可以是对角线。即图可以是横的，也可以是竖的，也可以是对角线。即图 1 中的硬币如何重新布局才能排出尽中的硬币如何重新布局才能排出尽 可能多的硬币个数是偶数的行。可能多的硬币个数是偶数的行。 分析：分析： 要把 10
5、 个硬币排到 44 的方格中， 而且保证横行硬币个数为偶数个， 则横行排列时每 行最多排 4 个，最少排 2 个。则横行排列的个数为 4，2，2，2。若要保证竖行硬币个数也 为偶数个，同理，按竖行排列的个数也应为 4，2，2，2。先把最多的横行和竖行硬币排列 出来。使一横行和一竖行排满 4 个，则用去 7 个硬币。然后将剩下的 3 个硬币排入，因为此 时恰好有三个奇数的横行（或竖行） 。 答案：答案： 先排出最满的横行与竖行， 再调整剩下的三个硬币的位置使之满足题意。 可得结果如图 2 所示。 例例 2：用五个奇数数码能否组成自然数用五个奇数数码能否组成自然数 14。 分析：分析： 我们知道奇
6、数个奇数的和应是奇数， 此题似乎无解。 但仔细读题可以知道并非是五个奇 数，而是奇数数码。也就是说应该用偶数个奇数组成 14。若用两个奇数组成 14，则不能出 现五个奇数数码。则一定是由四个奇数组成自然数 14。那么其中一定有一个是两位数，小 于 14 的两位数的奇数有 11 和 13，由于 13+l=14，不合题意。那么这 4 个奇数中一定有一个 为 11，那么结果可知。 答案：答案： 由 5 个奇数数码组成自然数 14，方法如下： 11+l+l+l=14 例例 3：有一个商人买进一些狗和兔子，其中兔子的对数正好是狗的只数的一半。商人买一只有一个商人买进一些狗和兔子，其中兔子的对数正好是狗的
7、只数的一半。商人买一只 狗花狗花 2 元钱，和他买一对兔子的价钱一样。他出售时各加价元钱，和他买一对兔子的价钱一样。他出售时各加价 10。这个商人卖出了大部分。这个商人卖出了大部分 狗和兔子，最后剩下狗和兔子，最后剩下 7 只。他发现卖得的钱正好和买进狗和兔子用掉的钱一样多。他赚的只。他发现卖得的钱正好和买进狗和兔子用掉的钱一样多。他赚的 钱也就是这剩下的钱也就是这剩下的 7 只狗和兔子的售价。试问商人赚了多少钱？只狗和兔子的售价。试问商人赚了多少钱？ 分析：分析： 由“兔子的对数正好是狗的只数的一半”可知，兔子的只数与狗的只数相等。设买进的 狗和兔子都是 x 只，卖剩的 7 只狗和兔子中有狗
8、 y 只，兔子（7-y）只。那么卖出的狗数为 （x-y）只，卖出兔子x-（7-y）只。1 只狗的售价为：2+210=2.2（元） ，1 只兔子的售 价：（元） 。由条件“他发现卖得的钱正好和买进狗和兔子用掉的钱一样 多” ， 可列出方程： 2y+x=2.2（x-y） +1.1 （x-7+y） ， 那么 3x=3.3x-1.1y-7.7， 整理得： 3x=11y+77。 观察此方程解的特点： x， y 都为整数， 且 y 值不大于 7。 由于 x 是兔子的只数， 则 x 是偶数， 因为兔子按对买入。由 77 是奇数可知 3x 与 11y 中必有一个为奇数，因为 x 是偶数，那么 3x 是偶数，1
9、1y 必为奇数，那么 y 为奇数，y 可能为 l、3 或 5。则可求出 x、y 的值，则题可 解。 答案：答案： 设商人买进的狗的只数与兔子的只数各为x只。 卖剩下的7只动物中有y只狗， 则有 （7-y） 只兔子。那么可知卖出的狗为（x-y）只，卖出的兔子为x-（7-y）只。买一只狗 2 元，卖出 2.2 元，买一只兔子 1 元，卖出 l.l 元。 2x+x=2.2（x-y）+l.1（x-7+y） 3x=11y+77 当y=1时，（不合题意） ； 当y=3时，（不合题意） ； 当y=5时，。 那么剩下的 7 只动物中有 5 只狗和 2 只兔子， 由条件知他赚的钱也就是这 7 只狗和兔子 1 .
10、 1%10 2 2 2 2 3 88 x 3 100 x44 3 132 x 的售价，为：2.25+1.12=13.2（元） 。 答：商人赚了 13.2（元） 例例 4：解答下列各题：解答下列各题： （1）7 个相邻的奇数的和是个相邻的奇数的和是 147，求这，求这 7 个数。个数。 （2）三个相邻的偶数相乘，乘积是一个六位数）三个相邻的偶数相乘，乘积是一个六位数 48，请把中间的四个数字填出，请把中间的四个数字填出 来。来。 分析：分析： （1）相邻的奇数相差 2，若第一个奇数为 a，则另外六个数依次为：a+2，a+4，a+6， a+8，a+10，a+12。由和为 147，可求出这 7 个数
11、。 （2）因为已知的乘积是六位数，所以相邻的三个偶数都是两位数。而偶数的末位数字 只能是 0，2，4，6，8；相邻的三个偶数的末位只能是 0，2，4 或 2，4，6 或 4，6，8 或 6， 8，0 或 8，0，2 这五种情形。由本题三个相邻偶数的乘积其末位数为 8，在上面的五种情形 中，只有 246 的末位数字为 8，所以相邻的三个偶数的末位数字依次为 2，4，6。为确 定十位上的数字，可以大致估计一下，707070=343000，808080=512000。因为本 题给出的乘积是一个六位数 48，它在 343000 和 5l2000 之间，则可以判断出这三 个相邻偶数的范围。 答案：答案：
12、 （1）解法一：设第一个奇数为 a， ，则 7 个奇数的和 a+（a+2）+（a+4）+（a+6）+ （a+8）+（a+10）+（a+12）=147，7a+42=147，a=15。 a+2=17，a+4=19，a+6=21，a+8=23，a+10=25，a+12=27。 解法二：这 7 个数中排列于中间的数：1477=21，这是第四个奇数。 依次写出这 7 个相邻的奇数是 15，17，19，21，23，25，27。 （2）这三个连续偶数的末位数是 2，4，6，而且这三个偶数在 70 与 80 之间，则有： 727476=404928。 则中间的四个数为 0492。 例例 5：求自然数中前求自然
13、数中前 25 个奇数的和；并判断这个和是奇数还是偶数？个奇数的和；并判断这个和是奇数还是偶数？ 分析：分析： 先确定第 25 个奇数的数值，可利用数列求和的知识求出这 25 个数的和。25 个奇数的 和即为奇数个奇数求和，由加法运算中奇、偶数的规律可判断。 答案：答案：第 25 个奇数为 252-l=49 依题意，就是要求计算： 1+3+5+49=（1+49）252 =625 奇数个奇数的和为奇数，则 25 个奇数的和是奇数。 答：自然数中前 25 个奇数的和是 625，这个和是奇数。 例例 6：求求 270 的约数个数。的约数个数。 分析：分析： 先对 270 分解质因数，再把 270 的质
14、因数作各种乘积的组合，算出每种组合的个数，然 后再求和。 答案：答案：270=23335 （1）一个质因数构成的约数有：2，3，5，共 3 个； （2）两个质因数构成的约数有：23，25，35，33，共 4 个； （3）三个质因数构成的约数有：233，333，335，共 3 个； （4）四个质因数构成的约数有：2333，3335，共 2 个； （5）270 本身和自然数 1，共 2 个。 合计共有约数：3+4+3+2+2=14（个） 答：270 的约数共有 14 个，分别是 1、2、3、5、6、10、15、9、18、27、45、54、135、 270。 例例 7：求合数求合数 2730 的约数
15、中，其中最小的三位数约数是多少？的约数中，其中最小的三位数约数是多少？ 分析：分析： 可从最小的三位数 100 起依次分析 100，101，102，是否为 2730 的约数。 也可先求出 2730 的三位数的约数，再找出其中最小的一个。 答案：答案： 解法一：2730=235713 因为 100 的约数中有 2 个 5 和 2 个 2。而 2730 的约数中只有 1 个 2 和 1 个 5。因此，100 不 是 2730 的约数。101 是质数，且不能被 2730 整除，所以 101 不是 2730 的约数。101 是质 数， 且不能被 2730 整除， 所以 101 不是 2730 的约数。
16、 102=2317， 103、 104 不能被 2730 整除，所以 102、103、104 不是 2730 的约数中最小的三位数约数。 解法二：因为 2730=235713，故 2730 的三位数约数为 357=105，35 13=195，5713=455，2357=210，23513=390。容易看出，其中 105 是最 小的，所以 105 是 2730 的最小的三位数约数。 A A 1.已知三个不同的质数 a，b，c 满足 abbc+a=2000，那么 a 十 b 十 c= 答案：答案：42 2.不超过 100 的所有质数的乘积减去不超过 60 且个位数字为 7 的所有质数的乘积所得之差
17、 的个位数字是( ) A3 B1 C7 D9 答案：答案：D 3.求这样的质数，当它加上 10 和 14 时，仍为质数 答案：答案：3 4. (1)将 l，2，2004 这 2004 个数随意排成一行，得到一个数 N求证：N 一定是合数； (2)若 n 是大于 2 的正整数，求证：2n一 1 与 2n+1 中至多有一个是质数 分析与解：分析与解： (1)将 1 到 2004 随意排成一行的数有很多，不可能一一排出，不妨能找出无论 怎样排所得数都有非 1 和本身的约数；(2)只需说明 2n一 1 与 2n+1 中必有一个是合数，不 能同为质数即可 5.用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选
18、用边长为 xcm 规格的地砖，恰用 n 块； 若选田边长为 ycm 规格的地砖， 则要比前一种刚好多用 124 块 已知 x， y、 n 都是正整数 且 (x，y)1试问这块地有多少平方米? 分析与解：分析与解： 22 52100 B B 6.由超级计算机运算得到的结果 28594331 是一个质数，则 2859433+1 是( ) A质数 B合数 C 奇合数 D偶合数 分析与解：分析与解： 28594331， 2859433， 2859433+1 是三个连续正整数， 28594331 的末位数字是 1， 2859433是偶合数 上述三个数中一定有一个能被 3 整除， 而 28594331 是
19、质数， 2859433+1 的末位数字是奇数且能被 3 整除，故 2859433+1 是奇合数，故选 C 注：同学们，你们知道什么是“哥德巴赫猜想”吗?二百多年前，德国数学家哥德巴赫发现： 任一个不小于 6 的偶数都可以写成两个奇质数之和如 6=3+3，12=5+7 等对许多偶数进行 检验， 都说明这个猜想是正确的， 但至今仍无法从理论上加以证明， 也没有找到一个反例 到 目前最好的结论是我国数学家陈景润证明的“1+2” ，即任一充分大的偶数，都可表示成一个 质数加上一个质数或两个质数的积，这一结论被命名为“陈氏定理” 7.用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为 x()规格的地砖
20、，恰用 n 块； 若选用边长为了 y(cm)规格的地砖，则要比前一种刚好多用 124 块已知 x， 、y、n 都是正整 数，且(x，y)=1试问：这块地有多少平方米? 分析与解分析与解：设这块地的面积为 S，则 S=nx2=(n+124)y2，得 n (x2y2)=124y2 xy，(x，y)=1，(x2y2，y2)=l，得(x2y2)124 124=2231，x2y2=(x 十 y)(xy)，x 十 yxy，且 x 十 y 与 xy 奇偶性相同， 1 31 yx yx 或 2 312 yx yx 解之得 x=16，y=15，此时 n=900 故这块地的面积为 S=nx2=900162=230
21、400(cm2)=2304(m2) 注：虽然同块地有不同的铺法，但是这块地的面积不变，利用面积不变建立 x、y、n 的等 式，寻找解题的突破口 8. p 是质数，p 4+3 仍是质数，求 p5+3 的值 分析与解：分析与解： p 是质数，p4+3 3 又 p 4+3 为质数，p 4+3 必为奇数，p 4必为偶数，p 必为偶数 又p 是质数，p=2， p5+3=25+3=35 9. 已知正整数 p 和 q 都是质数，且 7p+q 与 pq+11 也都是质数，试求 pq+qp的值 分析与解：分析与解： pq+1111 且 pq+11 是质数，pq+11 必为正奇质数，pq 为偶数，而数 p、q 均
22、为质数，故 p=2 或 q=2 当 p=2 时，有 14+q 与 2q+11 均为质数当 q=3k+1(k2)时，则 14+q=3 (k+5)不是质数； 当 q=3k+2(kN)时，2q+11=3(2k+5)不是质数，因此，q=3k，且 q 为质数，故 q=3 当q=2时， 有7p+2与2p+11均为质数 当p=3k+1(k2)时， 7p+2=3(7k+3)不是质数； 当p=3k+2(k N )时，2p+11=3(2k+5)不是质数，因此，p=3k，当 p 为质数，故 p=3 故 pq+qp=23+32=17 10.若 n 为自然数，n+3 与 n+7 都是质数，求 n 除以 3 所得的余数
23、分析与解：分析与解：我们知道，n 除以 3 所得的余数只可能为 0、1、2 三种 若余数为 0，即 n=3k(k 是一个非负整数，下同)，则 n+3=3k+3=3(k+1)，所以 3n+3，又 3 n+3，故 n+3 不是质数，与题设矛盾 若余数为 2，且 n=3k+2，则 n+7=3k+2+7=3(k+3)，故 3n+7，n+7 不是质数；与题设矛盾所 以 n 除以 3 所得的余数只能为 1 注：一个整数除以 m 后，余数可能为 0，1，m1，共 m 个，将整数按除以 m 所 得的余数分类，可以分成 m 类如 m=2 时，余数只能为 0 与 1，因此可以分为两类，一类 是除以 2 余数为 0
24、 的整数，即偶数；另一类是除以 2 余数为 1 的整数，即奇数同样，m=3 时，就可将整数分为三类，即除以 3 余数分别为 0、1、2 这样的三类通过余数是否相同来 分类是一种重要的思想方法，有着广泛的应用 C C 11.设 a、b、c、d 都是自然数，且 a2+b2=c2+d2，证明：a+b+c+d 定是合数 分析与解：分析与解：a2+b2与 a+b 同奇偶，c2+d2与 c+d 同奇偶，又 a2+b2=c2+d2， a2+b2与 c2+d2同奇偶，因此 a+b+c+同奇偶 a+b+c+d 是偶数，且 a+b+c+d4， a+b+c+d 一定是合数 注：偶数未必都是合数，所以 a+b+c+d
25、4 在本题中是不能缺少的 12.正整数 m 和 m 是两个不同的质数，m+n+mn 的最小值是 p，求 2 22 p nm 的值 分析与解：分析与解： 要使p的值最小， 而m和n都是质数， 则m和n分别取2和3， 于是p=m+n+mn=11， 故 121 13 2 22 p nm 注：要使 p 值最小，别 m 和 n 尽可能取较小的值，而 m、n 是两个不同的质数，故 m 和 n 分别取 2 和 3，从而 p 值可求 13.若 a、b、c 是 1998 的三个不同的质因数，且 abc，则(b+c)a的值是多少? 分析与解：分析与解：1998=23337，而 a、b、c 为质数， a、b、c 的
26、值分别为 2、3、37 abc，故 a=2，b=3，c=37，得(b+c)a =1600 14. n 是不小于 40 的偶数，试证明：n 总可以表示成两个奇合数的和 分析与解：分析与解：因为 n 是不小于 40 的偶数，所以，n 的个位数字必为 0、2、4、6、8，现在以 n 的个位数字分类： (1)若 n 的个位数字为 0，则 n=15+5k(k5 为奇数)； (2)若 n 的个位数字为 2，则 n=27+5k(k 3 为奇数)； (3)若 n 的个位数字为 4，则 n=9+5k(k7 为奇数)； (4)若 n 的个位数字为 6，则 n=21+5k(k5 为奇数)； (5)若 n 的个位数字
27、为 8，则 n=33+5k(k3 为奇数)； 综上所述，不小于 40 的任一偶数，都可以表示成两个奇合数的和 注： 本题证明一个不小于 40 的偶数可以表示成两个奇合数之和， 其难度与 “哥德巴赫猜想” 当然不可同日而语，但本题证明时使用了构造的方法，值得大家注意 15. 41 名运动员所穿运动衣号码是 1，2，40，41 这 41 个自然数，问： (1)能否使这 41 名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数? (2)能否让这 41 名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数? 若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理由 分析与解：分析与解： (1)能办到注意
28、到 41 与 43 都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数， 显然，它们不能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列，不妨先将奇数排成一 排：1，3，5，7，41，在每两数间留有空档，然后将所有的偶数依次反序插在各空档中， 得 1，40，3，38，5，36，7，34，8，35，6，37，4，39，2，41，这样任何相邻两数 之和都是 41 或 43，满足题目要求 (2)不能办到若把 1，2，3，40，41 排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数 都是奇数，故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶，但现有 20 个偶数，21 个奇数，总共有 41 个号码，由此引出矛盾，故不能办到 注站成一
29、排和站成一圈虽只一字之差， 但却有着质的不同， 因为一圈形成了首尾相接的情形 16. 写出 5 个正整数，使它们的总和等于 20，而它们的积等于 420 分析与解：分析与解：设这 5 个正整数为 54321 xxxxx、，则 7532420 2 54321 xxxxx，而20 54321 xxxxx，故知这 5 个数分 别为 1、4、3、5、7 注：在 420 的分解式中，把 22看作 22(即两个数相乘)还是一个数 4，是否再增加一个因数 1，这取决于对求和式的观察 17，若自然数 n+3 与 n+7 都是质数，求 n 除以 6 的余数 分析与解：分析与解：不妨将 n 分成六类，n=6k，n
30、=6k+1，n=6k+5，然后讨论 当 n=6k 时， n+3=6k+3=3(2k+1)与 n+3 为质数矛盾； 当 n=6k+1 时， n+3=6k+4=2(3k+2)与 n+3 为质数矛盾； 当 n=6k|+2 时， n+7=6k+9=3(2k+3)与 n+7 为质数矛盾； 当 n=6k+3 时， n+3=6k+6=6(k+1)与 n+3 为质数矛盾； 当 n=6k+5 时， n+7=6k+12=6(k+2)与 n+7 为质数矛盾 所以只有 n=6k+4，即 n 除以 6 的余数为 4 本题利用分类讨论进行 1在 l，2，3，n 这 n 个自然数中，已知共有 p 个质数，q 个合数，k 个
31、奇数，m 个偶 数，则(q 一 m)十(p 一 k) 答案：答案：-1 2p 是质数，并且 p+3 也是质数，则 p11一 52 答案：答案：1996 3若 a、b、c、d 为整数，且(a2+b2)(c2+d2)=1997，则 a2+b2+c2+d2= 答案：答案：1998 4已知 a 是质数，b 是奇数，且 a2+b2001，则 a+b 答案：答案：1999 5以下结论中( )个结论不正确 (1) 1 既不是合数也不是质数；(2)大于 0 的偶数中只有一个数不是合数； (3)个位数字是 5 的自然数中，只有一个数不是合数；(4)各位数字之和是 3 的倍数的自然 数，个个都是合数 A1 B2
32、C 3 D4 答案：答案：A 6若 p 为质数，p3+5 仍为质数，p5+7 为( ) A质数 B可为质数也可为合数 C合数 D既不是质数也不是合数 答案：答案：C 7超级计算机曾找到的最大质数是 2859433一 1，这个质数的末尾数字是( ) A1 B3 C7 D9 答案：答案：A 8若正整数 a、b、c 满足 222 cba，a 为质数，那么 b、c 两数( ) A同为奇数 B同为偶数 C一奇一偶 D同为合数 答案：答案：C 1 四年级全年级共有学生三百名， 现在选派一位同学去观看文艺会演。 挑选的方法是： 先把三百名同学排成一排，由第一名开始报数，报奇数的同学落选退出队列，报偶数的同学
33、 站在原位置上不动，再报数。如此继续下去，最后剩下的一名同学便是观看会演的人选。丁 丁非常想去，那么让丁丁站在什么位置上能被选中？ 答案： 300 个位置可以顺次编上号码 1，2，300，丁丁不能站在 1，3，5，299 处。 否则第一次报数后就落选了。他也不能站在 21，23，25，2149 处，否则第二 次报数时又要被淘汰。依此类推，要想不被淘汰，丁丁必须站在 1300 中含因数 2 最多的那 个号码处。因为那么，丁丁在开始排队时站在第 256 名的 位置上就一定可以被选中。 2100 个箱子，分装到 9 只船上，要使每只船上都装奇数个箱子，问能否办到？为什 么？ 答案： 要使 9 只船上
34、，每只船上装奇数个箱子，则 9 只船上箱子的和为 9 个奇数的和，应仍为 奇数，而箱子总数为 100，因此这样的装法是不可能实现的。 3由 1 一直加到 2001，和是奇数还是偶数？ 答案： 由 1 到 2001 中共有 1000 个偶数和 1001 个奇数， 偶数的多少不能决定和的奇偶， 而 1001 个奇数的和为奇数，因此从 l 一直加到 2001 的和为奇数。 4199 个偶数之和与 199 个奇数之和的差是奇数还是偶数？ 答案： 由于任意多个偶数的和是偶数，则 199 个偶数的和是偶数。奇数个奇数的和是奇数，则 199 个奇数的和是奇数。偶数与奇数的差是奇数。则 199 个偶数之和与
35、199 个奇数之和的差 是奇数。 5三个相邻偶数的乘积是一个六位数 82，求这三个偶数。 答案： 由于乘积是六位数，所以相邻的三个偶数都是两位数。此六位数的末位数字是 2，则这 三个相邻的偶数的末位数字只能是 4，6，8。为确定十位上的数字，先大致进行估计如下： 909090=729000，100100100=1000000 因为本题给出的乘积是一个六位数 8 2，在 729000 与 1000000 之间，则这三个相邻的偶数在 90 至 100 之间，又有 9496 98=884352。 答：这三个偶数是 94，96，98。 6今有一队同学，每个人手里都有一个球，如果其中拿篮球的人比拿足球的
36、多 1 人， 而拿足球的又比拿排球的多 1 人， 设拿排球的人数是奇数， 那么这一队同学的总人数是奇数 还是偶数。 答案： 拿排球的人数是奇数，则拿足球的人数是奇数+l=偶数。拿篮球的人数是拿足球的人数 +l=奇数。 那么这一队同学总人数=排球人数+足球人数+篮球人数=奇数+偶数+奇数=偶数。 答：这一队同学的总人数是偶数。 )5122(300)2562( 98 72001 名同学参加智力竞赛，竞赛题共 30 题，评分标准是：基础分 15 分，答对一道 加 5 分，不答记 1 分，答错一道减 1 分，试说明所有参加竞赛的同学得分总和一定是奇数。 答案： 设参加竞赛的某同学的答题情况为： 答对a
37、题， 不答b题， 答错c题， 由题意可知a+b+c=30。 由于 30 是偶数，那么 a、b、c 三数的奇偶情况只能为两奇一偶或三个都为偶数，由于三种 情况的得分或减分都是奇数，当 a，b，c 为两奇一偶时，奇数奇数=奇数，奇数偶数= 偶数，2 个奇数+偶数=偶数，则该同学记分情况为偶数；当 a，b，c 全为偶数时， 那么该同学记分情况也一定为偶数。综上两种情况，不论同学答题情况如何，最终记下的分 数一定是偶数，再加上基础分 15 分，那么最后的得分为奇数。共有 2001 个同学参加竞赛， 即总分为 2001 个奇数求和，结果一定为奇数。 8有两个两位数的积是 3828，求这两个数。 答案：
38、把 3828 分答案质因数： 3828=2231129，把 2，2，3，11，29 五个质因数适当搭配成两个两位数。 22958，2311=66 或 293=87，221144 当 5866=3828 时，这两个数为 58 和 66， 当 8744=3828 时，这两个数为 87 和 44。 9用某个比 32 小的自然数去乘 32，使得积恰好是一个平方数，求这个数是多少？ 答案： 将 32 分答案质因数： 32=22222，有奇数个 2，若使得与 32 的积恰好是一个平方数，这个数分答案 质因数后一定有奇数个 2。那么它可能为 2，222，233，255， 由于这个数要小于 32，则只能为 2、8、18。 10有 5 个小朋友，年龄逐个增加 1 岁，5 个人的年龄乘积是 720，问他们的年龄各是 多少岁？ 答案： 将 720 分答案质因数： 720=2222335=23456 因此这 5 个小朋友的年龄分别为 2 岁、3 岁、4 岁、5 岁、6 岁。 11由 0、l、2、3、4、5、6、7、8、9 这 10 个数字任意排成一个十位数，那么这个十 位数是质数还是合数？ 答案： 这个由 09 十个数字排成的十位数的数字特征为： 0+l+2+3+4+5+6+7+8+9=45 各个数位上 的数字和为 45，45 是 3 的倍数，所以排成的十位数是 3 的倍数，是合数。
