1、17.1 勾股定理 这就是本届大会这就是本届大会 会徽的图案会徽的图案 你见过这个图案吗？你见过这个图案吗？ 你听说过勾股定理吗？你听说过勾股定理吗？ 这个图案是我国汉代数学家这个图案是我国汉代数学家 赵爽在证明勾股定理时用到的，赵爽在证明勾股定理时用到的， 被称为“赵爽弦图”被称为“赵爽弦图” 相传相传25002500年前，毕达哥拉斯有一次年前，毕达哥拉斯有一次 在朋友家做客时，发现朋友家的用砖铺在朋友家做客时，发现朋友家的用砖铺 成的地面中反映了直角三角形三边的某成的地面中反映了直角三角形三边的某 种数量关系种数量关系 我们也来观察右图中的地面，我们也来观察右图中的地面， 看看能发现些什么
2、？看看能发现些什么？ SA+SB=SC B A C （图中每一格代表一平方厘米）（图中每一格代表一平方厘米） 观察左图：观察左图： （1 1）正方形）正方形P P的面积是的面积是 平方厘米。平方厘米。 （2 2）正方形）正方形QQ的面积是的面积是 平方厘米。平方厘米。 （3 3）正方形）正方形R R的面积是的面积是 平方厘米。平方厘米。 1 2 1 SP+SQ=SR R Q P A C B AC2+BC2=AB2 重温伟大的发现重温伟大的发现 上面三个正方形的面积之间有什么关系？上面三个正方形的面积之间有什么关系？ 上面三角形上面三角形ABC三边之间有什么关系？三边之间有什么关系？ A B C
3、 R Q P （图中每一格代表一平方厘米）（图中每一格代表一平方厘米） 观察左图：观察左图： （1 1）正方形）正方形P P的面积是的面积是 平方厘米。平方厘米。 （2 2）正方形）正方形Q Q的面积是的面积是 平方厘米。平方厘米。 （3 3）正方形）正方形R R的面积是的面积是 平方厘米。平方厘米。 9 16 25 （1）你能用直角三角形的边长表示上述正方形的面积吗？）你能用直角三角形的边长表示上述正方形的面积吗？ （2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？ SQ=AC2, SP=BC2, SR=AB2 AC2+BC2=AB2 SQ+
4、SP=SR 重温伟大的发现重温伟大的发现 勾股定理：勾股定理： 直角三角形直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。的两直角边的平方和等于斜边的平方。 A B C 在在 ABCABC中，中， C=90C=90 ACAC2 2+BC+BC2 2=AB=AB2 2 a a b b c c a2+b2=c2 勾勾 股股 弦弦 在西方又称为毕达哥拉斯定理在西方又称为毕达哥拉斯定理 勾股定理勾股定理 A B C a a b b c c 注意：注意：勾股定理的前提条件是直角三角形！勾股定理的前提条件是直角三角形！ 1876年年4月月1日，伽菲尔德在日，伽菲尔德在新英新英 格兰教育日志格兰教育日志上发表了
5、他对勾股上发表了他对勾股 定理的这一证法。定理的这一证法。 1881年，伽菲尔德就任美国第二十年，伽菲尔德就任美国第二十 任总统。后来，人们为了纪念他对任总统。后来，人们为了纪念他对 勾股定理直观、简捷、易懂、明了勾股定理直观、简捷、易懂、明了 的证明，就把这一证法称为“总统”的证明，就把这一证法称为“总统” 证法。证法。 a a b b c c 伽菲尔德证法伽菲尔德证法: : )ba)(ba( 2 1 S 梯形梯形 2 S c 2 1 ab 2 1 ab 2 1 S 梯形梯形 a2 + b2 = c2 勾股定理给出了直角三角形三边之间的勾股定理给出了直角三角形三边之间的 关系，即两直角边的平
6、方和等于斜边的平方关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方 。 c2=a2 + b2 a2=c2b2 b2 =c2-a2 acb 22 cab 22 b= c2-a2 例例: : 如图，在如图，在RtRtABCABC中中, ,BC=BC=24,24,AC=AC=7,7,求求ABAB的长的长. . B B 2424 A A C C 7 7 如果将题目变为：如果将题目变为： 在在RtRtABCABC 中中, ,AB =AB =41,41, BC=BC=40,40,求求AC AC 的的长长. . RtRtABCABC中中, C, C是直角是直角 ACAC2 2+BC+BC2 2=AB=AB2 2 25
7、625724 2222 BCACAB 9814041 2222 BCABAC 勾股定理的运用勾股定理的运用 解： 1 1. .设直角三角形的两条直角边分别为设直角三角形的两条直角边分别为a a，b b，斜边长为，斜边长为c.c. (1)(1)已知已知a=6a=6，c=10c=10，求，求b.b. (2)(2)已知已知a=5a=5，c=12c=12，求，求c.c. (3)(3)已知已知c=25,b=15,c=25,b=15,求求a.a. A C B b a c 勾股定理的运用勾股定理的运用 2 2. .如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都
8、是正方形。已知正方形是正方形。已知正方形A,B,C,DA,B,C,D的边长分别是的边长分别是1212，1616，9 9， 12.12.求最大的正方形求最大的正方形E E的面积。的面积。 勾股定理的运用勾股定理的运用 3.在RtABC中，AB=c,BC=a,AC=b, (1)已知C=90,a=3,b=4,则c=_; (2)已知B=90,a=3,b=4,则c=_; 5 7 5 7或或 A B C A C B 3 4 3 4 5 7 4.已知RtABC中，a=3,b=4,则c=_; 勾股定理的运用勾股定理的运用 例例4. 4. ABCABC中中, ,周长是周长是24,C=9024,C=90, ,且且
9、 b=6,b=6,则三角形的面则三角形的面 积是多少积是多少? ? A B C a b c 解：解： 周长是周长是24，且，且b=6 a+c=24-6=18 设设a=x,则则c=18-x C=90, a a2+b+b2=c=c2 x x2+6+62=(18=(18- -x)x)2 解得：解得：x=8 2468 2 1 2 1 abS ABC 勾股定理的运用勾股定理的运用 例例5.5.如图，如图，在在ABCABC中，中，A=45A=45， AB= +1AB= +1， 求：边求：边BCBC的长。的长。 AC= 2,3 D 练习：练习：如如图，图，在在ABCABC中，中，ACB = 90ACB =
10、900 0，CDCD是高，若是高，若 AB=13cmAB=13cm，AC = 5cmAC = 5cm，求，求CDCD的长；的长； A B C D 勾股定理的运用勾股定理的运用 D A B C 6.6.蚂蚁蚂蚁沿图中的折线从沿图中的折线从A A点爬到点爬到D D点，一共爬了多少厘点，一共爬了多少厘 米？（小方格的边长为米？（小方格的边长为1 1厘米）厘米） G F E 3 4 12 5 6 8 答案：答案：2828 通过本课时的学习，需要我们通过本课时的学习，需要我们 1.1.掌握勾股定理的内容：掌握勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方等于斜边的平方. . 2.2.理解勾股定理的证明过程理解勾股定理的证明过程. . 3.3.应用勾股定理计算线段的长度应用勾股定理计算线段的长度. .注意使用勾股定理的注意使用勾股定理的 前提条件是在直角三角形中前提条件是在直角三角形中. . 作业：作业：17.117.1习题习题第第3,43,4题题
