1、18.2.3 正方形 第十八章 平行四边形 第1课时 正方形的性质和判定 学习目标 1.理解正方形的概念. 2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别.(重点、难点) 3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题. （难点） 平行四边形再认识平行四边形再认识 讲授新课讲授新课 矩 形 问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢? 你有什么 发现？ 问题引入 正方形的性质 正方形 问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么 发现？ 正方形 邻边相等 矩形 正方形 菱 形 一个角是直角 正方形 正方形定义： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形 叫正方形. 归
2、纳总结 已知：如图,四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角. A B C D 证明：四边形ABCD是正方形. A=90, AB=AC （正方形的定义）. 又正方形是平行四边形. 正方形是矩形（矩形的定义）, 正方形是菱形(菱形的定义). A=B =C =D = 90, AB= BC=CD=AD. 证一证 已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于 点O.求证：AO=BO=CO=DO,ACBD. A B C D O 证明：正方形ABCD是矩形, AO=BO=CO=DO. 正方形ABCD是菱形. ACBD. 思考 请同学们观察并思考. 正方形是不是轴
3、对称图形?如果是, 那么对称轴有几条? 对称性： . 对称轴： . 轴对称图形 4条 A B C D 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊 的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有. 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系： 性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分. 归纳总结 性性 质质 边边 角角 对角线对角线 对称性对称性 图图 形形 语语 言言 文文 字字 语语 言言 符符 号号 语语 言言 A C D B A C D B A C D B O 对边平行，对边平行， 四条四条边都相边都相 等等
4、 四四 个个 角角 都是直角都是直角 对角线互相垂直对角线互相垂直 平分且相等，每平分且相等，每 条对角线平分一条对角线平分一 组对角组对角 四边形四边形ABCD是是 正方形正方形 ABCD ADBC, AB=BC=CD=AD 四边形四边形ABCD是是 正方形正方形 A=B=C= D=90 四边形四边形ABCD是正方是正方 形形 ACBD,AC=BD,OA =OB=OC=OD 轴 对 称 图 形 轴 对 称 图 形 中 心 对 称 图 形 中 心 对 称 图 形 例1、如图，正方形、如图，正方形ABCDABCD中，中， （1 1）一条对角线把它分成）一条对角线把它分成 个全等的三角形。个全等的
5、三角形。 问：这些三角形是什么三角形？问：这些三角形是什么三角形？ （2 2）两条对角线把它）两条对角线把它 分成分成 个全等的个全等的 三角形。三角形。 2 4 等腰直角等腰直角 A B D C O （3 3）对角线）对角线ACAC与与 正方形的一边所成正方形的一边所成 的角为的角为 度。度。 45 例2 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点， PEBC于E， PFDC于F.试说明：AP=EF. A B C D P E F 解: 连接PC，AC. 又PEBC ， PFDC, 四边形ABCD是正方形, FCE=90, AC垂直平分BD, 四边形PECF是矩形, PC=EF. AP=PC.
6、AP=EF. 在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平 分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明. 归纳 【变式题1】四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边 作等边ADE，求BEC的大小 解：当等边ADE在正方形ABCD外部时，如图， ABAE，BAE9060150. AEB15. 同理可得DEC15. BEC60151530； 当等边ADE在正方形ABCD内部时，如图， ABAE，BAE906030， AEB75. 同理可得DEC75. BEC360757560150. 综上所述，BEC的大小为30或150. 易错提醒：因为等边ADE与正方形A
7、BCD有一条公共边，所以边相 等本题分两种情况：等边ADE在正方形的外部或在正方形的内部 【变式题1】四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边 作等边ADE，求BEC的大小 问题3 你是如何判断一个四边形是矩形、菱形？ 平行四边形 矩形 菱形 四边形 三个角是直角 四条边相等 定义 四个判定定理 思考 怎样判定一个四边形是正方形呢？ 讲授新课讲授新课 正方形的判定 活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开， 折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证. 正方形 猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？ 矩形 正方 形 一组邻边相等 对角线互相垂直 已知：如图,在矩形ABCD中,AC ,
8、 DB是它的两条对角线, ACDB. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：四边形ABCD是矩形, AO=CO=BO=DO ，ADC=90. ACDB, AD=AB=BC=CD, 四边形ABCD是正方形. 证一证 A B C D O 对角线互相垂直的矩形是正方形. 活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观 察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形. 正方形 菱形 猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？ 正方 形 一个角是直角 对角线相等 已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：四边形ABCD是菱形, AB=BC=C
9、D=AD,ACDB. AC=DB, AO=BO=CO=DO, AOD,AOB,COD,BOC是等腰直角三角形， DAB=ABC=BCD=ADC=90, 四边形ABCD是正方形. 证一证 A B C D O 对角线相等的菱形是正方形. 正方形判定的几条途径： 正方 形 正方 形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件(二选一) 菱形条件(二选一) 一个直角， 一组邻边相等， 总结归纳 对角线相等 对角线垂直 平行四 边形 正方 形 一组邻边相等 一内角是直角 例3 在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上， 且AE=BF=CM=DN四边形EFMN是正方形吗?为什么? 证明：四边形ABC
10、D是正方形， AB=BC=CD=DA，A=B=C=D=90. AE=BF=CM=DN， AN=BE=CF=DM. 典例精析 在AEN、BFE、CMF、DNM中， AE=BF=CM=DN, A=B=C=D, AN=BE=CF=DM, AENBFECMFDNM, EN=FE=MF=NM，ANE=BEF, 四边形EFMN是菱形， NEF=180（AEN+BEF） =180（AEN+ANE） =18090=90. 四边形EFMN是正方形 . 课堂小结课堂小结 1.四个角都是直角 2.四条边都相等 3.对角线相等且互相垂直平分 正方形 的性质 性质 定义 有一组邻相等，并且有一个角是 直角的平行四边形叫做正方形.
