2021年福建省泉州市高考数学质量监测试卷（三）（一模）.docx

1、第 1 页（共 26 页） 2021 年福建省泉州市高考数学质量监测试卷（三） （一模）年福建省泉州市高考数学质量监测试卷（三） （一模） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知i是虚数单位，则“ai”是“ 2 1a ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2 （5 分）已知集合( , )|8Ax yxy，x，*yN，( , )|1Bx yyx，则AB中 元素的个数

2、为( ) A2 B3 C4 D5 3 （5 分）函数cos2sin() 2 yxx 的最小值为( ) A2 B 9 8 C 5 8 D0 4 （5 分） “立定跳远”是国家学生体质健康标准测试项目中的一项，已知某地区高中 男生的立定跳远测试数据（单位：)cm服从正态分布 2 (200,)N，且(220)0.1P现 从该地区高中男生中随机抽取 3 人，记不在(180,220)的人数为X，则( ) A(180220)0.9P B()2.4E X C()0.16D X D(1)0.488P X 5 （5 分）已知单位向量a，b满足 1 4 a b，且2cab，则sina，(c ) A 55 8 B

3、3 6 8 C 10 8 D 3 8 6 （5 分）在长方体 1111 ABCDABC D中，1ABBC， 1 2AA ，则异面直线 1 AC与 1 B C 所成角的余弦值为( ) A 3 6 B 1 12 C 3 6 D 1 12 7 （5 分）已知 3 2 a ， 3 2 b ， 3 2 ln c ln ，则( ) Aabc Bcba Ccab Dacb 8 （5 分）已知曲线 22 :(4 )(8 )0Eyx yx，直线1xmy与E有且只有 4 个公共点、这 些公共点从左到右依次为A，B，C，D，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则下列结论中错误 第 2 页（共

4、26 页） 的是( ) A 2 2 m 或 2 2 m B 12 1xx C| 6CD D|2 |ABCD 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分。分。 9 （5 分）记等差数列 n a的前n项和为 n S，若 2 10a ， 52 SS，则( ) A 34 SS B 6 10a C n S的最大值为 30 D n a的最大值为 15 10 （5

5、 分）已知函数( )sin()(0f xx ， 3 |) 2 的部分图象如图所示，则( ) A2 B 26 7 C 7 6 D 6 11 （5 分）已知函数 ,1 ( )1 ,1 x x f xx lnx x ，( )g xkxk，则( ) A( )f x在R上为增函数 B当 1 4 k 时，方程( )( )f xg x有且只有 3 个不同实根 C( )f x的值域为( 1,) D若(1)( ( )( ) 0 xf xg x，则1k，) 12 （5 分）如图，已知正四棱柱 1111 ABCDABC D的底面边长为 1，侧棱长为 2，点P，Q分 别在半圆弧 1 C C， 1 A A（均不含端点）

6、上，且 1 C，P，Q，C在球)O上，则( ) 第 3 页（共 26 页） A当点P在 1 C C的中点处，三棱锥 1 CPQC的体积为定值 B当点P在 1 C C的中点处，过 1 C，P，Q三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都 是四边形 C球O的表面积的取值范围为(4 ,8 ) D当点Q在 1 A A的三等分点处，球O的表面积为(114 3) 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分） 6 (2)x展开式中，二项式系数最大的项的系数为 （用数字填写答案） 14 （5 分）甲问乙： “您有几个孩子” ，乙说： “四个

7、” 此时，一男孩过来、乙对甲说： “这 是我小孩” ，接着乙对该男孩说： “去把哥哥姐姐都叫来，你们四人一起跟甲去趟学校” 根 据上述信息，结合正确的推理，最多需要猜测 次，才可以推断乙的四个小孩从长到幼的 正确性别情况；第 3 次才猜对的概率为 15 （5 分）圆锥曲线光学性质（如图 1 所示）在建筑、通讯、精密仪器制造等领域有着广 泛的应用如图 2，一个光学装置由有公共焦点 1 F， 2 F的椭圆C与双曲线C构成，一光线 从左焦点 1 F发出，依次经过 C 与C的反射，又回到点 1 F历时m秒；若将装置中的C去掉， 则该光线从点 1 F发出， 经过C两次反射后又回到点 1 F历时n秒， 若

8、C与C的离心率之比为 1 3 ， 则 m n 第 4 页（共 26 页） 16 （5 分）若正数x，y满足(2 )16xy xy，则xy的最小值为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17 （10 分）已知数列 n a， n b满足 1 9a ， 1 109 nn aa ，1 nn ba （1）证明： n b是等比数列； （2）求数列( 1) n n lgb的前n项和 n S 18 （12 分）脱贫攻坚取得的全面胜利是中国共产党领导全国人民创造的又一个彪炳史册的 人间奇迹某地

9、区有一贫困村坐落于半山平台，村民通过悬崖峭壁间的藤条结成的“藤梯” 往返村子，因而被称为“悬崖村” 当地政府把“滕梯”改成钢梯，使之成为村民的“脱贫 天梯” ，实现了“村民搬下来，旅游搬上去” ，做到了长效脱贫 如图，为得到峭壁上的A，B两点的距离，钢梯的设计团队在崖底的P，Q两点处分别测 得 1 APQ， 1 BPQ，APB， 2 AQP， 2 BQP，且PQs （1）用 1 ， 2 ，s表示AP； （2）已知 1 17， 2 150，90.0s 米，51.3，又经计算得250.0AP 米求AB 参考数据：sin130.225 ，cos130.974 ，sin51.30.780 ，cos51

10、.30.625 19 （12 分）永村老醋以其色泽鲜艳、浓香醇厚的独特风味，与山西陈醋、镇江香醋、保宁 药醋并称中国四大名醋为提高效率、改进品质，某永村老醋生产公司于 2018 年组织技术 团队进行发酵工艺改良的项目研究2020 年底，技术团队进行阶段试验成果检验，为下阶 第 5 页（共 26 页） 段的试验提供数据参考现从改良前、后两种发酵工艺生产的成品醋中，各随机抽取 100 件进行指标值M的检测，检测分两个步骤，先检测是否合格若合格再进一步检测是否 为一等品因检测设备问题，改良后的成品醋有 20 件只进行第一步检测且均为合格，已完 成检测的 180 件成品醋的最终结果如表所示 指 标 区

11、 间 2，1) 1，0) 0，1) 1，2) 2，3) 3，4) 来 源 改良 前 改良 后 改良 前 改良 后 改良 前 改良 后 改良 前 改良 后 改良 前 改良 后 改良 前 改良 后 个 数 3 1 5 2 30 26 31 34 24 15 7 2 附：成品醋的品质采用指标值M进行评价评价标准如表所示 0M ，1) 1M ，3) 0M ，3) 一等品 二等品 三等品 合格 不合格 （1）现从样本的不合格品中随机抽取 2 件，记来自改良后的不合格品件数为X，求X的分 布列： （2）根据以往的数据，每销售一件成品醋的利润y（单位：元）与指标值M的关系为 5,0,1) 3,1,3) 2,

12、0,3) M yM M ，若欲实现“改良后成品醋利润比改良前至少增长20%” ，则 20 件还未进 一步检测的样本中，至少需要几件一等品？ 20 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，二面角PADC是直二面角，AD为等腰直 角三角形PAD的斜边，2ADCD，1ABBC，5BD ，M为线段PC上的动点 （1）当PMMC时，证明：/ /PA平面MBD； （2）若平面MBD 平面ABCD，求二面角BMDC的余弦值 第 6 页（共 26 页） 21 （12 分）已知椭圆 22 :1 43 xy C的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，折线 |1|(0)xmy m与C交于M，N两点 （1）当2m 时，

13、求|MFNF的值； （2）直线AM与BN交于点P，证明：点P在定直线上 22 （12 分）已知函数( )sin x f xaexx （1）若( )f x在(0,2 )单调递减，求实数a的取值范围； （2）证明：对任意整数a，( )f x至多 1 个零点 第 7 页（共 26 页） 2021 年福建省泉州市高考数学质量监测试卷（三） （一模）年福建省泉州市高考数学质量监测试卷（三） （一模） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项

14、是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1 （5 分）已知i是虚数单位，则“ai”是“ 2 1a ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：由 2 1a ，则ai或ai ， 则“ai”是“ 2 1a ”的充分不必要条件， 故选：A 2 （5 分）已知集合( , )|8Ax yxy，x，*yN，( , )|1Bx yyx，则AB中 元素的个数为( ) A2 B3 C4 D5 【解答】解：AB中的元素满足 1 8 yx xy 且x，*yN， 由821xyx，可得 7 2 x 且*xN， 故AB中的元素为(1,7)，(2,6)，(3,5)，共有

15、3 个 故选：B 3 （5 分）函数cos2sin() 2 yxx 的最小值为( ) A2 B 9 8 C 5 8 D0 【解答】解：( )cos2sin() 2 f xxx 2 2cos1cosxx 2 19 2(cos) 48 x cos 1x ，1 19 , 48 cosxf x 当时 函数取得最小值为 故选：B 第 8 页（共 26 页） 4 （5 分） “立定跳远”是国家学生体质健康标准测试项目中的一项，已知某地区高中 男生的立定跳远测试数据（单位：)cm服从正态分布 2 (200,)N，且(220)0.1P现 从该地区高中男生中随机抽取 3 人，记不在(180,220)的人数为X，

16、则( ) A(180220)0.9P B()2.4E X C()0.16D X D(1)0.488P X 【解答】解：由题意可得，正态分布曲线的对称轴方程为200， 又(220)0.1P，(180220)12 (220)12 0.10.8PP ，故A错误； 不在(180,220)的人数X的可能取值为 0，1，2，3， 由A可知，不在(180,220)的概率为 0.2， 则 030 3 (0)(0.8)(0.2)0.512P XC， 121 3 (1)(0.8)(0.2)0.384P XC， 212 3 (2)(0.8) (0.2)0.096P XC， 303 3 (3)(0.8)(0.2)0.

17、008P XC ()3 0.0082 0.096 1 0.3840 0.5120.6E X ，故B错误； 2 ()9 0.0084 0.096 1 0.3840 0.5120.84E X ， 则 222 ()()( ()0.84(0.6)0.48D XE XE X，故C错误； (1)0.0080.0960.3840.488P X，故D正确 故选：D 5 （5 分）已知单位向量a，b满足 1 4 a b，且2cab，则sina，(c ) A 55 8 B 3 6 8 C 10 8 D 3 8 【解答】解：单位向量a，b满足 1 4 a b，且2cab， 所以 22 |446caa bb 19 (

18、2)2 44 a caab， 所以cosa， 9 3 6 4 |86 a c c a c ， 所以sina， 2 3 610 1() 88 c 故选：C 第 9 页（共 26 页） 6 （5 分）在长方体 1111 ABCDABC D中，1ABBC， 1 2AA ，则异面直线 1 AC与 1 B C 所成角的余弦值为( ) A 3 6 B 1 12 C 3 6 D 1 12 【解答】解：以D为原点，DA，DC， 1 DD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐 标系， 则(1A，0，0)， 1(0 C，1，2)， 1(1 B，1，2)，(0C，1，0)， 1 ( 1AC ，1，2)， 1 (

19、1BC ，0，2)， 1 cosAC， 11 1 11 123 6| |23 ACBC BC ACBC ， 异面直线夹角的取值范围为(0，90 ， 异面直线 1 AC与 1 B C所成角的余弦值为 3 6 故选：A 7 （5 分）已知 3 2 a ， 3 2 b ， 3 2 ln c ln ，则( ) Aabc Bcba Ccab Dacb 【解答】解： 3 2 a ， 36 22 b ，则ab， 因为 333 22 389 0 222 22 2 lnlnlnlnln ac lnlnln ， 故ac， 所以bac 故选：C 第 10 页（共 26 页） 8 （5 分）已知曲线 22 :(4 )

20、(8 )0Eyx yx，直线1xmy与E有且只有 4 个公共点、这 些公共点从左到右依次为A，B，C，D，设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，则下列结论中错误 的是( ) A 2 2 m 或 2 2 m B 12 1xx C| 6CD D|2 |ABCD 【解答】解：对于A：因为 22 (4 )(8 )0yx yx， 所以 2 40yx或 2 80yx， 由 2 4 1 yx xmy ，得 2 440ymy， 所以 2 16160m， 设 3 (C x， 3) y， 4 (D x， 4) y， 所以 34 4yym， 34 4y y ， 因为 2 8 1 yx xmy ，

21、可得 2 880ymy ， 所以 2 64320m，解得 2 2 m 或 2 2 m ，故A正确； 对于 12 :8B yym ， 12 8y y ， 所以 12 1x x ， 因为 12 0 x ， 所以 12 1xx ，故B正确； 对于C： 因为 2222 343434 3 |1 |1()44(1)46 2 CDmyymyyy ym ， 故 C正确； 对于D：因为 2 12 |1 |ABmyy 22 1212 1()4myyy y 22 16432mm 22 4 2 (1)(21)mm， 第 11 页（共 26 页） 所以 2 22 |213 2222 |11 ABm CDmm ，故D错误

22、 故选：D 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分。分。 9 （5 分）记等差数列 n a的前n项和为 n S，若 2 10a ， 52 SS，则( ) A 34 SS B 6 10a C n S的最大值为 30 D n a的最大值为 15 【解答】解：因为等差数列 n a中， 2 10a ， 52 SS， 所以 1 11 10 5102 ad

23、adad ，解得5d ， 1 15a 205 n an， 2 355 2 n nn S ， 故 4 0a ， 34 SS，A正确； 6 10a ，B错误； 当3n 或 4 时， n S取得最大值 30，C正确； 由于0d ，故当1n 时， n a取最大值 15，D正确 故选：ACD 10 （5 分）已知函数( )sin()(0f xx ， 3 |) 2 的部分图象如图所示，则( ) A2 B 26 7 C 7 6 D 6 【解答】解： 【解法一】由函数( )sin()f xx的部分图象知， 73 2124 TT ，解得 77 96 T ， 即 727 96 ，解得12 18 77 ， 所以2满

24、足题意，选项A正确，选项B错误； 第 12 页（共 26 页） 又 1 (0)sin 2 f ，且 3 | 2 ， 结合正弦函数的图象特点知 6 ， 选项D正确，选项C错误 【解法二】由 1 (0)sin 2 f ，且 3 | 2 ， 结合正弦函数的图象特点知 6 ， 所以选项D正确，选项C错误 由( )sin() 6 f xx ，且 77 ()sin()0 12126 f ， 根据正弦型函数图象特点知， 7 126 ， 解得2，所以选项A正确，B错误 故选：AD 11 （5 分）已知函数 ,1 ( )1 ,1 x x f xx lnx x ，( )g xkxk，则( ) A( )f x在R上

25、为增函数 B当 1 4 k 时，方程( )( )f xg x有且只有 3 个不同实根 C( )f x的值域为( 1,) D若(1)( ( )( ) 0 xf xg x，则1k，) 【解答】解：对于A：当1x时，( )f xlnx单调递增， 当1x 时， (1)11 ( )1 111 xx f x xxx 单调递增， 当1x 时，( )f x ， 作出函数( )f x图像可得： 第 13 页（共 26 页） 所以( )f x在(,1)，(1,)时，单调递增，故A不正确； 对于B：当 1 4 k 时， 11 ( ) 44 g xx过点(1,0)， 所以当1x时，( )f x与( )g x有两个交点

26、， 当1x 时，令( )( )f xg x，即 11 144 x x x ，解得1x ， 此时( )f x与( )g x的交点为 1 ( 1,) 2 ， 综上，( )f x与( )g x有三个交点， 即( )( )f xg x有三个实数根，故B正确； 对于C：当x时，( )1f x ， 结合图像可得( )f x的值域为( 1,) ，故C正确； 对于D：若(1)( ( )( ) 0 xf xg x， 则 1 0 ( )( ) 0 x f xg x 或 1 0 ( )( ) 0 x f xg x ， 当1x时，( )( ) 0f xg x，即为lnx kxk， ( )g x恒过(1,0)点， 设过

27、(1,0)与( )f xlnx相切的切线的切点为 0 (x， 0) y， 第 14 页（共 26 页） 所以 0 0 0 00 1 1 k x y k x ylnx 切 切 ，解得 0 1x ， 0 1y ，1k 切 ， 所以当1x时，( )( ) 0f xg x的k的取值范围为1，)， 当1x 时，( )( )0f xg x，即 1 x kxk x ， 设过点(1,0)与 1 ( ) 1 f x x 相切的切线的切点为 1 (x， 1) y， 22 (1)( 1)1 ( ) (1)(1) xx fx xx ， 所以 2 1 1 1 1 1 1 1 (1) 1 1 k x y k x x y

28、x 切 切 ，解得 1 1x ， 1 4 k 切 ， 所以当1x 时，( )( )0f xg x的k的取值范围为 1 4 ，)， 综上所述，k的取值范围为 1 4 ，)，故D不正确 故选：BC 12 （5 分）如图，已知正四棱柱 1111 ABCDABC D的底面边长为 1，侧棱长为 2，点P，Q分 别在半圆弧 1 C C， 1 A A（均不含端点）上，且 1 C，P，Q，C在球)O上，则( ) A当点P在 1 C C的中点处，三棱锥 1 CPQC的体积为定值 B当点P在 1 C C的中点处，过 1 C，P，Q三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都 是四边形 C球O的表面积的取值范围为(4 ,

29、8 ) 第 15 页（共 26 页） D当点Q在 1 A A的三等分点处，球O的表面积为(114 3) 【解答】解：如图 1 所以，取 1 CC的中点E， 1 DD的中点F， 1 AA的中点G， 根据题意，球心O在线段EF上，设FGQ，0,) 2 ， 则由余弦定理可得 2 22cosFQ， 设OEx，则 22 1OCx， 所以 2222 (1)22cosOQOFFQx， 因为 222( OQOCR R为球O的半径） ， 所以1 cos0 x ，1)， 所以 222 1 1ROCx ，2)， 故球O的表面积为 2 44SR，8 )，故选项C错误； 当点Q在 1 A A的三等分点处， 6 ，则 3

30、 1cos1 2 x ， 所以 222 311 (1)13 24 ROC ， 故球O的表面积 2 11 44 (3)(114 3) 4 SR，故选项D正确； 当点Q在弧FA上时，连结AF， 在平面 11 ADD A中，过点Q作AF的平行线，与线段 1 DD，AD分别交于M，N， 延长 1 C P与BC的相交，连结交点与点N交AB于点S， 此时当点P在 1 C C的中点处，过 1 C，P，Q三点的平面截正四棱柱所得的截面为五边形 1 C MNSP，故选项B错误； 当P在 1 C C的中点处，三棱锥 1 CPQC的体积为 11 111 22 1 323 Q PCCA PCC VV ，为定 值，故选

31、项A正确 故选：AD 第 16 页（共 26 页） 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 （5 分） 6 (2)x展开式中，二项式系数最大的项的系数为 20 （用数字填写答案） 【解答】解： 6 (2)x展开式共有 7 项，且二项式系数对称分布； 故第 4 项的二项式系数最大， 最大值为： 3 6 20C ， 故答案为：20 14 （5 分）甲问乙： “您有几个孩子” ，乙说： “四个” 此时，一男孩过来、乙对甲说： “这 是我小孩” ，接着乙对该男孩说： “去把哥哥姐姐都叫来，你们四人一起跟甲去趟学校” 根 第 17 页（

32、共 26 页） 据上述信息，结合正确的推理，最多需要猜测 5 次，才可以推断乙的四个小孩从长到幼 的正确性别情况；第 3 次才猜对的概率为 【解答】解：乙有 4 个孩子，由题意可知最小的为男，且他有哥哥，姐姐， 故可能有 2 个哥哥 1 个姐姐，或 1 个哥哥 2 个姐姐， 共有336种情况，分别为：男男女男，男女男男，女男男男，女女男男，女男女男，男 女女男（从长到幼性别顺序） ， 所以最多需要猜测 5 次即可判断出结果， 第 3 次猜对，说明第一、二次猜错，概率 5411 6546 P 故答案为：5， 1 6 15 （5 分）圆锥曲线光学性质（如图 1 所示）在建筑、通讯、精密仪器制造等领

33、域有着广 泛的应用如图 2，一个光学装置由有公共焦点 1 F， 2 F的椭圆C与双曲线C构成，一光线 从左焦点 1 F发出，依次经过 C 与C的反射，又回到点 1 F历时m秒；若将装置中的C去掉， 则该光线从点 1 F发出， 经过C两次反射后又回到点 1 F历时n秒， 若C与C的离心率之比为 1 3 ， 则 m n 1 3 【解答】解：设椭圆的离心率为 1 e，双曲线的离心率为 2 e， 椭圆的长半轴长为 1 a，双曲线的实半轴长为 2 a， 则 121 212 | 2 | 2 BFBFa AFAFa ， 两式作差，可得 1112 | 22BFAFABaa， 光线速度相同， 1212 11 2

34、2 42 aaaam naa ， 第 18 页（共 26 页） 由 11 2 2 1 3 c ea c e a ，可得 12 3aa， 则 1222 12 31 263 aaaam naa 故答案为： 1 3 16 （5 分）若正数x，y满足(2 )16xy xy，则xy的最小值为 2 3 【解答】解：正数x，y满足(2 )16xy xy， 16 (2 )x xy y ， 22 16 (2 )x xyyy y ，即 2222 3 16888 8 ()312xyyyy yyyyy ， 当且仅当 2 8 y y ，即2y ，10 x 时取等号，此时xy取得最小值2 3 故答案为：2 3 四、解答题

35、：本题共四、解答题：本题共 6 小小题，共题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17 （10 分）已知数列 n a， n b满足 1 9a ， 1 109 nn aa ，1 nn ba （1）证明： n b是等比数列； （2）求数列( 1) n n lgb的前n项和 n S 【解答】 （1）证明：由题意，可知 1 1109110(1) nnn aaa ， 即 1 10 nn bb ， 11 19110ba ， 数列 n b是以 10 为首项，10 为公比的等比数列 （2）解：由（1）知， 1 10 1010 nn n b ， 则

36、( 1)( 1)10( 1) nnnn n lgblgn ， 1 234( 1)n n Sn ， 当n为奇数时， 1234(2)(1) n Snnn (2 1)(43)(1)(2)nnn 1 11n 第 19 页（共 26 页） 1 2 n n 1 22 n ， 当n为偶数时， 1234(1) n Snn (2 1)(43)(1)nn 1 11 2 n ， 1 , 22 , 2 n n n S n n 为奇数 为偶数 18 （12 分）脱贫攻坚取得的全面胜利是中国共产党领导全国人民创造的又一个彪炳史册的 人间奇迹某地区有一贫困村坐落于半山平台，村民通过悬崖峭壁间的藤条结成的“藤梯” 往返村子，

37、因而被称为“悬崖村” 当地政府把“滕梯”改成钢梯，使之成为村民的“脱贫 天梯” ，实现了“村民搬下来，旅游搬上去” ，做到了长效脱贫 如图，为得到峭壁上的A，B两点的距离，钢梯的设计团队在崖底的P，Q两点处分别测 得 1 APQ， 1 BPQ，APB， 2 AQP， 2 BQP，且PQs （1）用 1 ， 2 ，s表示AP； （2）已知 1 17， 2 150，90.0s 米，51.3，又经计算得250.0AP 米求AB 参考数据：sin130.225 ，cos130.974 ，sin51.30.780 ，cos51.30.625 第 20 页（共 26 页） 【解答】解： （1）如图所示，

38、APQ中， 1 APQ， 2 AQP，PQs，所以 12 ()PAQ， 由正弦定理得 212 sin() APs sin ， 解得 2 12 sin() s sin AP ； （2）BPQ中， 1 17BPQ， 2 150BQP， 所以1801715013PBQ， 又90.0s ，由正弦定理得 90.0 sin150sin13 PB ， 1 90 90sin150 2 200 sin130.225 PB ， APB中，51.3APB， 由余弦定理得 22222 2cos51.325020022502000.62571250ABAPBPAPBP， 解得25 114AB （米) 19 （12 分）

39、永村老醋以其色泽鲜艳、浓香醇厚的独特风味，与山西陈醋、镇江香醋、保宁 药醋并称中国四大名醋为提高效率、改进品质，某永村老醋生产公司于 2018 年组织技术 团队进行发酵工艺改良的项目研究2020 年底，技术团队进行阶段试验成果检验，为下阶 段的试验提供数据参考现从改良前、后两种发酵工艺生产的成品醋中，各随机抽取 100 件进行指标值M的检测，检测分两个步骤，先检测是否合格若合格再进一步检测是否 为一等品因检测设备问题，改良后的成品醋有 20 件只进行第一步检测且均为合格，已完 成检测的 180 件成品醋的最终结果如表所示 指 标 区 间 2，1) 1，0) 0，1) 1，2) 2，3) 3，4

40、) 来改良 改良 改良 改良 改良 改良 改良 改良 改良 改良 改良 改良 第 21 页（共 26 页） 源 前 后 前 后 前 后 前 后 前 后 前 后 个 数 3 1 5 2 30 26 31 34 24 15 7 2 附：成品醋的品质采用指标值M进行评价评价标准如表所示 0M ，1) 1M ，3) 0M ，3) 一等品 二等品 三等品 合格 不合格 （1）现从样本的不合格品中随机抽取 2 件，记来自改良后的不合格品件数为X，求X的分 布列： （2）根据以往的数据，每销售一件成品醋的利润y（单位：元）与指标值M的关系为 5,0,1) 3,1,3) 2,0,3) M yM M ，若欲实现

41、“改良后成品醋利润比改良前至少增长20%” ，则 20 件还未进 一步检测的样本中，至少需要几件一等品？ 【解答】解： （1）由题意分析可知X可能取值为 0，1，2， 2 15 2 20 21 (0) 38 C P X C ； 2 5 2 20 1 (2) 19 C P X C ； 15 (1)1(0)(2) 38 P XP XP X ； 所以X的分布列： X 0 1 2 P 21 38 15 38 1 19 （2）改良前的利润：30 5(3124) 3(357)2285 元， 增长20%后：285 (120%)342元， 设有x件一等品，其余均为二等品，此时的一等品数量最少， 则(26) 5

42、(341520) 32 5 342xx ， 解得 15 2 x， 所以至少 8 件 20 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，二面角PADC是直二面角，AD为等腰直 角三角形PAD的斜边，2ADCD，1ABBC，5BD ，M为线段PC上的动点 第 22 页（共 26 页） （1）当PMMC时，证明：/ /PA平面MBD； （2）若平面MBD 平面ABCD，求二面角BMDC的余弦值 【解答】 （1）证明：如图，连接AC交BD于N，ADCD，ABBC， ACBD，且N为AC的中点，连接MN， PMMC，M为PC的中点，则/ /MNPA， MN 平面MBD，PA平面MBD， / /PA平面MBD

43、； （2）解：由（1）知，ACBD，若平面MBD 平面ABCD， 以N为坐标原点，以AC所在直线为x轴，以BD所在直线为y轴， 在平面MBD内，过N作垂直于底面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 在ABD中，由1AB ，2AD ，5BD ，可得 222 ABADBD，则ABAD， 由等面积法求得 2 5 5 AN ，再由ABDBCD ，可得 2 5 5 NC ， 求解三角形可得 5 5 BN ， 4 5 5 ND ， 故 2 5 ( 5 A ，0，0)， 2 5 ( 5 C，0，0)，(0B， 5 5 ，0)，(0D， 4 5 5 ，0)， 5 ( 5 P ， 2 5 5 ，1)， 3

44、 52 5 (, 1) 55 PC ，设 3 52 5 (,) 55 MCPC， 2 53 5 ( 5 M ， 2 5 5 ，)， 2 53 52 55 (, ) 55 BM ， (0, 5,0)BD ， 设平面BDM的一个法向量为( , , )ax y z， 由 50 2 53 52 55 0 55 a BDy a BMxyz ， 第 23 页（共 26 页） 取x ，得 2 53 5 (,0,) 5 a ； 而平面ABCD的一个法向量为(0,0,1)b ， 平面MBD 平面ABCD，0a b，解得 2 3 (0M， 4 5 15 ， 2) 3 ， 8 52 (0,) 153 MD ， 2

45、5 ( 5 CD ， 4 5 5 ，0)， 设平面MDC的一个法向量为 111 (,)mx y z， 由 11 11 8 52 0 153 2 54 5 0 55 m MDyz m CDxy ，取 1 1y ，得 4 5 (2,1,) 5 m ， 取平面BDM的一个法向量为(1,0,0)n ， 22 205 cos, |4141 1 5 m n m n m n 由图可知，二面角BMDC为锐二面角，则二面角BMDC的余弦值为 2 205 41 21 （12 分）已知椭圆 22 :1 43 xy C的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，折线 |1|(0)xmy m与C交于M，N两点 （1）当2m

46、时，求|MFNF的值； （2）直线AM与BN交于点P，证明：点P在定直线上 【解答】解：折线为|1|myx， 设 1 (M x， 1) y， 2 (N x， 2) y，则 1 (Mx， 1) y， 2 (N x， 2) y， 联立 22 1 1 43 xmy xy ，得 22 (34)690mymy， 第 24 页（共 26 页） 所以 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 y y m ， 2 12 2 121 | 34 m yy m ， （1） 22 22 12 22 12112(1) | | |1|1 3434 mm MFNFMFN FMNmyym mm ， 当2m 时

47、， 2 2 12 (21)15 | 3 244 MFNF （2）由题意知( 2,0)A ， 1 (M x， 1) y， 则直线AM的方程为 1 1 22 yy xx ， 又因为 11 1myx， 所以直线AM的方程为 1 1 23 yy xmy ， 由题知(2,0)B， 2 (N x， 2) y，则直线BN的方程为 2 2 22 yy xx ， 又因为 22 1xmy， 所以直线BN的方程为 2 2 21 yy ymy ， 得， 12 21 12 23 ymyx xymy ， 所以， 121 122 2 23 my yyx xmy yy ， 所以， 2 22 2 2 96 () 2 3434

48、9 2 3 34 m my x mm x my m 所以 2 2 2 2 3(34)2 233(34) mmyx xmmy ， 所以 21 23 x x ， 解得1x ， 所以定点P在直线1x 上 第 25 页（共 26 页） 22 （12 分）已知函数( )sin x f xaexx （1）若( )f x在(0,2 )单调递减，求实数a的取值范围； （2）证明：对任意整数a，( )f x至多 1 个零点 【解答】解： （1）( )sin x f xaexx ， ( )cos1 x f xaex ， ( )f x在(0,2 )单调递减， ( ) 0fx 在(0,2 )上恒成立， cos1 (c

49、os1) x x x axe e 在(0,2 )上恒成立， 令( )(cos1) x h xxe， 则( )sin(cos1)(cossin1) 2cos()1 4 xxxx h xx exexxexe ， 令( )0h x，可得 3 2 x ，当 3 (0,) 2 x 时，( )0h x，( )h x单调递减， 当 3 ( 2 x ，2 )时，( )0h x，( )h x单调递增， 又(0)0h，(2 )0h，所以当(0,2 )x时，( )0h x ， 所以0a，即实数a的取值范围是0，) （2）证明：当0a时，( )cos1 0 x f xaex ，( )f x单调递减， 所以( )f x在R上至多 1 个零点； 当0a 时，( )cos1 x f xaex ，由cos1 0 x ，0 x ae，且 x ae为减函数， 存在 0 x使得 0 ()0fx且 0 xx时，( )0fx，( )f x单调递增， 0 xx时，( )0fx，( )f x单调递减， 第 26 页（共 26 页） 0 000 ( )()sin x max f xf xaexx ， 0 00 10 x fxaecosx 即 0 0 cos1 x xae ， 综上所述，对任意的整数a，( )f x至多有一个零点