1、第七讲第七讲 抛物线抛物线 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 抛物线的定义 抛物线需要满足以下三个条件： (1)在平面内； (2)动点到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离_相等_； (3)定点 F 与定直线 l 的关系为_点 Fl_ 知识点二 抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y22px(p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y0 x0 焦点 F_ p 2，0 _ F_ p 2，0 _ F_ 0，p 2 _ F_ 0，p 2 _ 离心率 e_1_ 准线方程 _xp
2、 2_ _xp 2_ _yp 2_ _yp 2_ 范围 x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中 P(x0，y0) |PF| _x0p 2_ |PF| _x0p 2_ |PF| _y0p 2_ |PF| _y0p 2_ 归 纳 拓 展 抛物线焦点弦的处理规律 直线 AB 过抛物线 y22px(p0)的焦点 F，交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图 (1)y1y2p2，x1x2p 2 4 (2)|AB|x1x2p，x1x22 x1x2p，即当 x1x2时，弦长最短为 2p (3) 1 |AF| 1 |BF| 2 p (4
3、)弦长 AB 2p sin2( 为 AB 的倾斜角) (5)以 AB 为直径的圆与准线相切 (6)焦点 F 对 A，B 在准线上射影的张角为 90 (7)A、O、D 三点共线；B、O、C 三点共线 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线( ) (2)方程 yax2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是 a 4，0 ，准线 方程是 xa 4( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形( ) (4)AB 为抛物线 y22px(p0)的过焦点 F
4、p 2，0 的弦， 若 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 x1x2 p2 4 ， y1y2p2，弦长|AB|x1x2p( ) (5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径， 那么抛物线 x22ay(a0)的通径长为 2a( ) 题组二 走进教材 2(必修 2P69例 4)(2021 甘肃张掖诊断)过抛物线 y24x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1， y1)，Q(x2，y2)两点，如果 x1x26，则|PQ|等于( B ) A9 B8 C7 D6 解析 抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x1根据题意可得，|PQ|PF|
5、|QF|x11x21x1x228 3(2021 河南郑州名校调研)抛物线 y4x2上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的 纵坐标是( B ) A17 16 B15 16 C 7 16 D15 16 解析 由抛物线的方程 y4x2， 可得标准方程为 x21 4y， 则焦点坐标为 F 0， 1 16 ， 准线方程为 y 1 16，设 M(x0，y0)，则由抛物线的定义可得y0 1 161，解得 y0 15 16故选 B 题组三 走向高考 4(2019 课标全国)若抛物线 y22px(p0)的焦点是椭圆x 2 3p y2 p1 的一个焦点，则 p ( D ) A2 B3 C4 D8 解析 抛
6、物线 y22px(p0)的焦点坐标为 p 2，0 ， 椭圆x 2 3p y2 p1 的一个焦点为 p 2，0 ， 3ppp 2 4 ，p8故选 D 5(2020 新课标)已知 A 为抛物线 C：y22px(p0)上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p( C ) A2 B3 C6 D9 解析 A 为抛物线 C：y22px(p0)上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴的距 离为 9，因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，故有：9p 212p6；故选 C 考点突破 互动探究 考点一 抛物线的定义及应用多维探究 角度 1 轨迹问题 例
7、1 (1)动圆与定圆 A：(x2)2y21 外切，且和直线 x1 相切，则动圆圆心的轨 迹是( D ) A直线 B椭圆 C双曲线 D抛物线 解析 设动圆的圆心为 C，则 C 到定圆 A：(x2)2y21 的圆心的距离等于 r1，而 动圆的圆心到直线 x1 的距离等于 r，所以动圆到直线 x2 距离为 r1，即动圆圆心到定点 (2,0)和定直线 x2 的距离相等，根据抛物线的定义知，动圆的圆心轨迹为抛物线，所以答 案为 D 角度 2 到焦点与到定点距离之和最小问题 (2)(2021 河北保定七校联考)已知 M 是抛物线 x2 4y 上一点，F 为其焦点，C 为圆(x 1)2(y2)2 1 的圆心
8、，则|MF|MC|的最小值为( B ) A2 B3 C4 D5 (2021 山西运城联考)已知抛物线 C：x28y 的焦点为 F，O 为原点，点 P 是抛物线 C 的准线上的一动点，点 A 在抛物线 C 上，且|AF|4，则|PA|PO|的最小值为( B ) A4 2 B2 13 C3 13 D4 6 解析 设抛物线 x24y 的准线方程为 l：y1，C 为圆(x1)2(y2)21 的圆心， 所以 C 的坐标为(1,2)，过 M 作 l 的垂线，垂足为 E，根据抛物线的定义可知|MF|ME|，所 以问题求|MF|MC|的最小值，就转化为求|ME|MC|的最小值，由平面几何的知识可知，当 C，M
9、，E 在一条直线上时，此时 CEl，|ME|MC|有最小值，最小值为|CE|2(1)3， 故选 B 由抛物线的定义知|AF|yAp 2yA24，yA2，代入 x 28y，得 x A 4，不妨取 A(4,2)，又 O 关于准线 y2 的对称点为 O(0，4)，|PA|PO|PA|PO|AO| 4220422 13，当且仅当 A、P、O共线时取等号，故选 B 引申本例(2)中，()|MC|MF|的最大值为_ 2_；最小值为_ 2_；()若 N 为C 上任一点，则|MF|MN|的最小值为_2_ 角度 3 到准线与到定点距离之和最小问题 (3)已知圆 C：x2y26x8y210，抛物线 y28x 的准
10、线为 l，设抛物线上任意一点 P 到直线 l 的距离为 d，则 d|PC|的最小值为( A ) A 41 B7 C6 D9 解析 由题意得圆的方程为(x3)2(y4)24，圆心 C 的坐标为(3，4)由抛物线 定义知，当 d|PC|最小时为圆心与抛物线焦点间的距离，即 d|PC| 32242 41 角度 4 到两定直线的距离之和最小问题 (4)(2021 北京人大附中测试)点 P 在曲线 y24x 上，过 P 分别作直线 x1 及 yx3 的垂线，垂足分别为 G，H，则|PG|PH|的最小值为( B ) A3 2 2 B2 2 C3 2 2 1 D 22 解析 由题可知 x1 是抛物线的准线，
11、焦点 F(1,0)，由抛物线的性质可知|PG|PF|， |PG|PH|PF|PH|FH|103| 2 2 2，当且仅当 H、P、F 三点共线时取等号， |PG|PH|的最小值为 2 2故选 B 名师点拨 利用抛物线的定义可解决的常见问题 (1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物 线 (2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利 用两者之间的关系进行相互转化 (3)看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径 变式训练 1 (1)(角度 1)到定点 A(0,2)的距离比到定直线 l：y1 大 1
12、 的动点 P 的轨迹方程为_x2 8y_ (2)(角度 1)(2021 吉林省吉林市调研)已知抛物线 y24x 的焦点 F，点 A(4,3)，P 为抛物线 上一点，且 P 不在直线 AF 上，则PAF 周长取最小值时，线段 PF 的长为( B ) A1 B13 4 C5 D21 4 (3)(角度 2)(2021 山西大学附中模拟)已知点 Q(2 2，0)及抛物线 yx 2 4上一动点 P(x，y)， 则 y|PQ|的最小值是_2_ (4)(角度 3)(2021 上海虹口区二模)已知直线 l1：4x3y60 和直线 l2：x1，抛物线 y24x 上一动点 P 到直线 l1和 l2的距离之和的最小
13、值为( C ) A37 16 B11 5 C2 D7 4 解析 (1)由题意知 P 到 A 的距离等于其到直线 y2 的距离， 故 P 的轨迹是以 A 为焦 点，直线 y2 为准线的抛物线，所以其方程为 x28y (2)求PAF 周长的最小值，即求|PA|PF|的最小值，设点 P 在准线上的射影为 D，根据 抛物线的定义，可知|PF|PD|，因此，|PA|PF|的最小值，即|PA|PD|的最小值根据平面 几何知识，可得当 D，P，A 三点共线时|PA|PD|最小，此时 P 9 4，3 ，且|PF| 9 41 13 4 ， 故选 B (3)抛物线 yx 2 4即 x 24y，其焦点坐标为 F(0
14、,1)，准线方程为 y1因为点 Q 的坐标为 (2 2， 0)， 所以|FQ|2 22123 过点 P 作准线的垂线 PH， 交 x 轴于点 D， 如图所示 结 合抛物线的定义， 有 y|PQ|PD|PQ|PH|PQ|1|PF|PQ|1|FQ|1312， 即 y|PQ|的最小值是 2 (4)直线 l2：x1 是抛物线 y24x 的准线，抛物线 y24x 的焦点为 F(1,0)，则点 P 到直 线 l2：x1 的距离等于 PF，过点 F 作直线 l1：4x3y60 的垂线，和抛物线的交点就是 点 P，所以点 P 到直线 l1：4x3y60 的距离和到直线 l2：x1 的距离之和的最小值就 是点
15、F(1,0)到直线 l1：4x3y60 的距离，所以最小值为|406| 3242 2，故选 C 考点二 抛物线的标准方程自主练透 例 2 (1)过点 P(3,2)的抛物线的标准方程为_y24 3x 或 x 29 2y_ (2)焦点在直线 x2y40 上的抛物线的标准方程为_y216x 或 x28y_，准线方程 为_x4 或 y2_ (3)如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线依次交抛物线及准线于点 A，B，C，若 |BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程为( B ) Ay23 2x By23x Cy29 2x Dy29x 解析 (1)设所求抛物线的方程为 y22px(p0
16、)或 x22py(p0) 过点(3,2)，42p (3)或 92p 2 p2 3或 p 9 4 所求抛物线的标准方程为 y24 3x 或 x 29 2y (2)令 x0，得 y2，令 y0，得 x4 抛物线的焦点为(4,0)或(0，2) 当焦点为(4,0)时，p 24， p8，此时抛物线方程为 y216x； 当焦点为(0，2)时，p 22， p4，此时抛物线方程为 x28y 所求的抛物线的标准方程为 y216x 或 x28y， 对应的准线方程分别是 x4，y2 (3)如图，分别过点 A，B 作准线的垂线，分别交准线于点 E，D， 设|BF|a，则由已知得|BC|2a，由定义得|BD|a，故BC
17、D30 在直角三角形 ACE 中，|AE|AF|3，|AC|33a，2|AE|AC|， 33a6，从而得 a1 BDFG，|BD| |FG| |BC| |FC|，即 1 p 2 3，求得 p 3 2，因此抛物线的方程为 y 23x 名师点拨 求抛物线的标准方程的方法 (1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，若焦点位置确定，因为未知数只有 p，所以只需 一个条件确定 p 值即可 (2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量一般焦 点在 x 轴上的抛物线的方程可设为 y2ax(a0)；焦点在 y 轴上的抛物线的方程可设为 x2 ay(a0) 变式训练 2 (1)(202
18、1 重庆沙坪坝区模拟)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，过点(p,0)且垂直于 x 轴的直线与抛物线 C 在第一象限内的交点为 A，若|AF|1，则抛物线 C 的方程为( A ) Ay24 3x By22x Cy23x Dy24x (2)(2021 安徽蚌埠一中期中)已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，其上的点 P(m， 3)到焦点的距离为 5，则抛物线方程为( D ) Ax28y Bx24y Cx24y Dx28y 解析 (1)由题意知 xAp，又|AF|xAp 2 3p 2 1，p2 3，抛物线 C 的方程为 y 24 3 x，故选 A (2)由题意可知抛物线的焦点在
19、y 轴负半轴上，故设其方程为 x22py(p0)，所以 3p 2 5，即 p4，所以所求抛物线方程为 x28y，故选 D 考点三,抛物线的几何性质师生共研 例 3 (1)(2021 广西四校联考)已知抛物线 y22px(p0)上横坐标为 4 的点到此抛物 线焦点的距离为 9，则该抛物线的焦点到准线的距离为( C ) A4 B9 C10 D18 (2)(理)(2021 四川眉山模拟)点 F 为抛物线 C：y22px(p0)的焦点，过 F 的直线交抛物线 C 于 A，B 两点(点 A 在第一象限)，过 A、B 分别作抛物线 C 的准线的垂线段，垂足分别为 M、 N，若|MF|4，|NF|3，则直线
20、 AB 的斜率为( D ) A1 B 7 24 C2 D24 7 (文)(2021 四川师大附中期中)已知抛物线 y22px(p0)，F 为抛物线的焦点，O 为坐标原 点 A(x1，y1)，B(x2，y2)为抛物线上的两点，A，B 的中点到抛物线准线的距离为 5，ABO 的 重心为 F，则 p( D ) A1 B2 C3 D4 解析 (1)抛物线 y22px 的焦点为 p 2，0 ，准线方程为 x p 2由题意可得 4 p 29， 解得 p10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为 10故选 C (2)(理)由抛物线定义知|AM|AF|，|BN|BF|， AFMBFM360 MAFNBF 2 90
21、 ， MFN90 ， 又|MF|4，|NF|3， |MN|5，p|KF|MF| |NF| |MN| 12 5 ， 又AFMAMFMFK， kABtan(180 2MFK) 2tanMFK 1tan2MFK 8 3 1 4 3 2 24 7 故选 D (文)x1x2 2 p 25， x1x20 3 p 2， 10p3p 2 ，所以 p4故选 D 名师点拨 在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形形象、直观的特点来解题， 特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此 变式训练 3 (1)(2021 广东茂名五校联考)设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F(1,0)，过焦点的直线交抛 物线
22、于 A、B 两点，若|AF|4|BF|，则|AB|_25 4 _ (2)(2021 湖北荆州模拟)从抛物线 y24x 在第一象限内的一点 P 引抛物线准线的垂线，垂 足为 M，且|PM|9，设抛物线的焦点为 F，则直线 PF 的斜率为( C ) A6 2 7 B18 2 7 C4 2 7 D2 2 7 解析 (1)p 21，p2， 不妨设直线 AB 方程为 xmy1， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 y24x xmy1 ，得 y24my40， y1y24，又|AF|4|BF|，y14y2， y21，从而 x21 4，|BF|1 1 4 5 4， |AB|5|BF|25 4 (2)设
23、P(x0，y0)，由抛物线 y24x， 可知其焦点 F 的坐标为(1,0)， 故|PM|x019，解得 x08， 故 P 点坐标为(8,4 2)， 所以 kPF04 2 18 4 2 7 故选 C 考点四,直线与抛物线的综合问题师生共研 例 4 (1)已知抛物线 y22px(p0)的焦点 F 与双曲线x 2 12 y2 41 的一个焦点重合， 直 线 yx4 与抛物线交于 A，B 两点，则|AB|等于( B ) A28 B32 C20 D40 (2)(2021 陕西师大附中期中)已知抛物线 y24x 的一条弦 AB 恰好以 P(1,1)为中点，则弦 AB 所在直线的方程是( B ) Ayx1
24、By2x1 Cyx2 Dy2x3 (3)(2021 湖南五市十校联考)已知抛物线 C：y22px(p0)，直线 yx1 与 C 相交所得 的长为 8 求 p 的值； 过原点 O 的直线 l 与抛物线 C 交于 M 点，与直线 x1 交于 H 点，过点 H 作 y 轴的 垂线交抛物线 C 于 N 点，求证：直线 MN 过定点 解析 (1)双曲线x 2 12 y2 41 的焦点坐标为( 4,0)，故抛物线的焦点 F 的坐标为(4,0)因此 p8，故抛物线方程为 y216x，易知直线 yx4 过抛物线的焦点设 A、B 两点坐标分别 为(x1，y1)，(x2，y2) 由 y216x， yx4， 可得
25、x224x160，故 x1x224 故|AB|x1x2p24832故选 B (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1y22， 由 y214x1 y224x2 ，知 kABy1y2 x1x2 4 y1y22， AB 的方程为 y12(x1)，即 2xy10，故选 B (3)由 y22px yx1 ，消 x 可得 y22py2p0， y1y22p，y1y22p， 弦长为 112 y1y224y1y2 2 4p28p8， 解得 p2 或 p4(舍去)， p2， 由可得 y2 4x，设 M 1 4y 2 0，y0， 直线 OM 的方程 y4 y0 x， 当 x1 时，yH 4 y0， 代入抛
26、物线方程 y24x，可得 xN4 y20， N 4 y20， 4 y0 ， 直线 MN 的斜率 k y0 4 y0 y20 4 4 y20 4y0 y204， 直线 MN 的方程为 yy0 4y0 y204 x1 4y 2 0， 整理可得 y 4y0 y204(x1)， 故直线 MN 过点(1,0) 名师点拨 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要将两方程联 立，消元，用到根与系数的关系 (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点若过抛物线的焦点 (设焦点在 x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦 长
27、公式 (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而 不求”“整体代入”等解法 提醒：涉及弦的中点、斜率问题一般用“点差法”求解 变式训练 4 (1)(2021 甘肃诊断)直线 l 过抛物线 y22px(p0)的焦点，且交抛物线于 A，B 两点，交其 准线于 C 点，已知|AF|4，CB 3BF，则 p( C ) A2 B4 3 C8 3 D4 (2)(2021 安徽皖南八校模拟)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点 F 到直线 xy10 的 距离为 2 求抛物线 C 的方程； 过点 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，交 y 轴于点 P若|AB
28、|3|BP|，求直线 l 的方程 解析 (1)过 A，B 分别作准线的垂线交准线于 E，D 两点， 设|BF|a，根据抛物线的性质可知，|BD|a， |AE|4，根据平行线段比例可知|BD| |AE| |CB| |AC|， 即a 4 3a 3aa4，解得 a2， 又|BD| |GF| |BC| |CF|，即 a p 3a 4a， 解得 p4 3a 8 3，故选 C (2)由抛物线 C：y22px(p0)，可得焦点 F p 2，0 ， 因为焦点到 xy10 的距离为 2， 即 p 21 2 2，解得 p2， 所以抛物线 C 的方程 y24x 由知焦点 F(1,0)，设直线 l：yk(x1)， A
29、(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程组 ykx1 y24x ，整理得 k2x2(2k24)xk20， 所以 x1x224 k2， x1x21， 又由|AB |3|BP|，得AB3BP， 可得 x14x2， 由，可得 x12，x21 2， 代入，可得 24 k2 5 2，解得 k 2 2， 所以直线 l 的方程为 2 2x y2 20 或 2 2xy2 20 名师讲坛 素养提升 巧解抛物线的切线问题 例 5 (1)抛物线 C1：x22py(p0)的焦点与双曲线 C2： x2 3y 21 的右焦点的连线交 C1于第一象限的点 M若 C1在点 M 处的切线平行于 C2的一条渐近线，则 p(
30、D ) A 3 16 B 3 8 C2 3 3 D4 3 3 (2)(2019 新课标，节选)已知曲线 C：yx 2 2，D 为直线 y 1 2上的动点，过 D 作 C 的两 条切线，切点分别为 A，B证明：直线 AB 过定点 解析 (1)抛物线 C1：x22py(p0)的焦点坐标为 0，p 2 ，双曲线x 2 3y 21 的右焦点坐 标为(2,0)，两点连线的方程为 yp 4(x2)，联立 yp 4x2， y 1 2px 2， 得 2x2p2x2p20 设点 M 的横坐标为 m，易知在 M 点处切线的斜率存在，则在点 M 处切线的斜率为 y xm 1 2px 2 xmm p 又双曲线x 2
31、3y 21 的渐近线方程为x 3 y0，其与切线平行，所以 m p 3 3 ，即 m 3 3 p， 代入 2x2p2x2p20，得 p4 3 3 或 p0(舍去) (2)设 D t，1 2 ，A(x1，y1)， 则 x212y1，由于 yx， 切线 DA 的斜率为 x1，故 y11 2 x1tx1， 整理得：2tx12y110 设 B(x2，y2)，同理可得 2tx22y210 故直线 AB 的方程为 2tx2y10，即 y1 2tx 直线 AB 过定点 0，1 2 名师点拨 利用导数工具解决抛物线的切线问题，使问题变得巧妙而简单，若用判别式解决抛物线 的切线问题，计算量大，易出错 注意：直线
32、与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件，过抛物线 外一点与抛物线只有一个公共点的直线有 0 条或 3 条；过抛物线上一点和抛物线只有一个公 共点的直线有 2 条 变式训练 5 (1)已知抛物线 C：y22px(p0)，过点 M p 2，0 作 C 的切线，则切线的斜率为_ 1_ (2)已知抛物线 x28y，过点 P(b,4)作该抛物线的切线 PA，PB，切点为 A，B，若直线 AB 恒过定点，则该定点为( C ) A(4,0) B(3,2) C(0，4) D(4,1) 解析 (1)设斜率为 k，则切线为 yk xp 2 代入 y22px 中得 k2x2p(k22)xk 2p2 4 0 0，即 p2(k22)24 k2 k2p2 4 0 解得 k21，k 1 (2)设 A，B 的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)， yx 2 8，y x 4， PA，PB 的方程 yy1x1 4(xx1)，yy2 x2 4(xx2)， 由 y1x 2 1 8，y2 x22 8，可得 y x1 4xy1，y x2 4xy2， 切线 PA，PB 都过点 P(b,4)， 4x1 4by1,4 x2 4by2， 故可知过 A，B 两点的直线方程为 4b 4xy， 当 x0 时，y4， 直线 AB 恒过定点(0，4)故选 C
