1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 第四讲第四讲 直线、平面平行的判定与性质直线、平面平行的判定与性质 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a a，b， _ab_ _a_ a，a， _b_ 结论 a b a _ab_ 知识点二 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 _ _a，b，_ _abP，_ _a，b_ _，_ _a，_ _b_ ，a 结论 ab a 归 纳 拓 展 1垂直于同一条直线的两个平面平行，即“若 a，a，则 ” 2垂直于同一个平面的两条直线平行，即“若 a
2、，b，则 ab” 3平行于同一个平面的两个平面平行，即“若 ，则 ” 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面( ) (2)平行于同一条直线的两个平面平行( ) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行( ) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面( ) (5)若直线 a 与平面 内无数条直线平行，则 a( ) (6)若 ，直线 a，则 a( ) 题组二 走进教材
3、2(必修 2P58练习 T3)设 a，b 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则 的一 个充分条件是( D ) A存在一条直线 a，a，a B存在一条直线 a，a，a C存在两条平行直线 a，b，a，b，a，b D存在两条异面直线 a，b，a，b，a，b 解析 对于选项 A，若存在一条直线 a，a，a，则 或 与 相交，若 ， 则存在一条直线 a，使得 a，a，所以选项 A 的内容是 的一个必要条件；同理，选 项 B，C 的内容也是 的一个必要条件而不是充分条件；对于选项 D，可以通过平移把两 条异面直线平移到个平面中，成为相交直线，则有 ，所以选项 D 的内容是 的一 个充分条件故选 D
4、题组三 走向高考 3(2019 课标全国)设 ， 为两个平面，则 的充要条件是( B ) A 内有无数条直线与 平行 B 内有两条相交直线与 平行 C， 平行于同一条直线 D， 垂直于同一平面 4(2017 课标全国)如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N， Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( A ) 解析 B 选项中，ABMQ，且 AB平面 MNQ，MQ平面 MNQ，则 AB平面 MNQ； C 选项中，ABMQ，且 AB平面 MNQ，MQ平面 MNQ，则 AB平面 MNQ；D 选项中， ABNQ，且 AB平面 MNQ，NQ平
5、面 MNQ，则 AB平面 MNQ故选 A 5(2017 天津，节选)如图，在三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，BAC90 点 D， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - E，N 分别为棱 PA，PC，BC 的中点，M 是线段 AD 的中点，PAAC4，AB2 求证：MN平面 BDE 证明 解法一：连 PN 交 BE 于 H，连 HD E、N 分别为 PC、BC 的中点， H 为PBC 的重心，PH HN2， 又 D、M 分别为 PA、AD 的中点， PD DM2， PH HN PD DM， DHMN， 又 DH平面 BDE，MN平面 BDE， MN平面 BDE
6、 解法二：取 EC 的中点 H，连 MH、NH， N 为 BC 的中点，NHBE， 又 NH平面 BDE，BE平面 BDE， NH平面 BDE， 又 E、D、M 分别为 PC、PA、DA 的中点， PE EH PD DM2，DEMH， 又 MH平面 BDE， MH平面 BDE，DE平面 BDE，又 DEBEE， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 平面 MNH平面 BDE， MN平面 BDE 解法三：(理)如图，以 A 为原点，分别以AB ，AC，AP方向为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立 空间直角坐标系依题意可得 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4
7、,0)，P(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)，M(0， 0,1)，N(1,2,0) DE (0,2,0)，DB (2,0，2) 设 n(x，y，z)为平面 BDE 的法向量， 则 n DE 0， n DB 0， 即 2y0， 2x2z0. 不妨设 z1，可得 n(1,0,1) 又MN (1,2，1)，可得MN n0 因为 MN平面 BDE，所以 MN平面 BDE 考点突破 互动探究 考点一 空间平行关系的基本问题自主练透 例 1 (1)(2021 河南名校联盟质检改编)设有不同的直线 a，b 和不同的平面 ，给 出下列四个命题中，其中正确的是( B ) 若 a，b，则 ab 若
8、 a，a，则 若 a，b，则 ab 若 a，a，则 A1 B2 C3 D4 (2)(2021 辽宁省沈阳市质监)下列三个命题在“( )”处都缺少同一个条件， 补上这个条 件使其构成真命题(其中 l，m 为直线， 为平面)，则此条件是_l_ lm m l； m lm l； lm m l 解析 (1)对于，若 a，b， 则直线 a 和直线 b 可以相交也可以异面，故错误； 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 对于，若 a，a，则平面 a 和平面 可以相交，故错误；对于，若 a，b， 则根据线面垂直性质定理，ab，故正确；对于，若 a，a，则 成立；故选 B (2)lm
9、，ml 或 l，由 ll；l，m，lml；lm，m l 或 l，由 ll故答案为 l 变式训练 1 (2021 吉林省吉林市调研改编)如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H 分别为所 在棱的中点，则下列各直线、平面中，与平面 ACD1不平行的是( C ) A直线 EF B直线 GH C平面 EHF D平面 A1BC1 解析 首先直线 EF、 GH、 A1B 都不在平面 ACD1内， 由中点及正方体的性质知 EFAC， GHA1C1AC，A1BD1C，直线 EF，GH，A1B 都与平面 ACD1平行，又 A1C1AC，由面 面平行判定易知平面 A1BC1平面 ACD1，由 EH
10、AB1，AB1平面 ACD1A，EH 与平面 ACD1相交，从而平面 EHF 与平面 ACD1相交，故选 C 考点二 直线与平面平行的判定与性质多维探究 角度 1 线面平行的判定 例 2 (2021 辽宁抚顺模拟)如图，在四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，底面 ABCD 为梯形，ABCD，BAD60 ，PDADAB2，CD4，E 为 PC 的中点 (1)证明：BE平面 PAD； (2)求三棱锥 EPBD 的体积 解析 (1)证法一：如图，取 PD 的中点 F，连接 EF，FA 由题意知 EF 为PDC 的中位线， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - EF
11、CD，且 EF1 2CD2 又ABCD，AB2，CD4，AB 綊 EF， 四边形 ABEF 为平行四边形，BEAF 又 AF平面 PAD，BE平面 PAD，BE平面 PAD 证法二：延长 DA、CB 相交于 H，连 PH， ABCD，AB2，CD4， HB HC AB DC 1 2， 即 B 为 HC 的中点， 又 E 为 PC 的中点，BEPH， 又 BE平面 PAD，PH平面 PAD，BE平面 PAD， 证法三：取 CD 的中点 H，连 BH，HE， E 为 PC 中点，EHPD， 又 EH平面 PAD，PD平面 PAD， EH平面 PAD， 又由题意知 AB 綊 DH，BHAD， 又 A
12、D平面 PAD，BH平面 PAD， BH平面 PAD，又 BHEHH， 平面 BHE平面 PAD，BE平面 PAD (2)E 为 PC 的中点， V三棱锥EPBDV三棱锥EBCD1 2 V 三棱锥PBCD 又ADAB，BAD60 ， ABD 为等边三角形，BDAB2 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 又CD4，BDCBAD60 ， BDBCBC CD2BD22 3 PD平面 ABCD， V三棱锥PBCD1 3PD SBCD 1 32 1 222 3 4 3 3 ， V三棱锥EPBD2 3 3 名师点拨 判断或证明线面平行的常用方法 (1)利用线面平行的定义(无公
13、共点) (2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba) (3)利用面面平行的性质定理(，aa) (4)利用面面平行的性质(，a，aa) (5)向量法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 注：线面平行的关键是线线平行，证明中常构造三角形中位线或平行四边形 角度 2 线面平行的性质 例 3 如图， 在多面体 ABCDEF 中， DE平面 ABCD， ADBC， 平面 BCEF平面 ADEFEF， BAD60 ，AB2，DEEF1 (1)求证：BCEF； (2)求三棱锥 BDEF 的体积 解析 (1)证明：ADBC，AD平面 ADEF， BC平面 ADEF，BC平面 ADEF 又 BC平面 BCE
14、F，平面 BCEF平面 ADEFEF，BCEF (2)过点 B 作 BHAD 于点 H， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - DE平面 ABCD，BH平面 ABCD，DEBH AD平面 ADEF， DE平面 ADEF，ADDED， BH平面 ADEF BH 是三棱锥 BDEF 的高 在 RtABH 中，BAD60 ，AB2，故 BH 3 DE平面 ABCD，AD平面 ABCD，DEAD 由(1)知 BCEF，且 ADBC， ADEF，DEEF 三棱锥 BDEF 的体积 V1 3SDEFBH 1 3 1 211 3 3 6 名师点拨 空间中证明两条直线平行的常用方法
15、 (1)利用线面平行的性质定理，即 a，a，bab (2)利用平行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行 (3)利用垂直于同一平面的两条直线互相平行 变式训练 2 (1)(角度 2)如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 是平面 ABCD 外一点，M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过 G 和 PA 作平面 PAHG 交平面 BMD 于 GH 求证：PAGH (2)(角度 1)(2020 广东佛山质检，节选)如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是平行四边 形，E、F 分别为 AD、PC 的中点 求证：EF平面 PAB (3)(角度 1)(2021 贵州黔东南州二
16、模)在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是矩形，平面 PAB平面 ABCD，点 E，F 分别为 BC，AP 的中点 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 求证：EF平面 PCD； 若 ADAPPB 2 2 AB1求三棱锥 PDEF 的体积 解析 (1)证明：如图所示，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 MO， 四边形 ABCD 是平行四边形， O 是 AC 的中点， 又 M 是 PC 的中点，PAMO 又 MO平面 BMD，PA平面 BMD， PA平面 BMD 平面 PAHG平面 BMDGH，PA平面 PAHG， PAGH (2)解法一：取 PB 的中点
17、H，连 FH、HA， F 为 PC 的中点，FH 綊1 2BC， 又四边形 ABCD 为平行四边形， BC 綊 AD，从而 FH 綊1 2AD， 又 E 为 AD 的中点，FH 綊 EA，EFAH， 又 EF平面 PAB，HA平面 PAB， EF平面 PAB 解法二：取 BC 的中点 H，连 FH，HE， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - F 为 PC 的中点， FHBP，又 FH平面 PAB， FH平面 PAB，又 E 为 AD 的中点，且四边形 ABCD 为平行四边形， HEBA，又 HE平面 PAB， HE平面 DAB，又 FHEHH， 平面 EFH平面
18、 PAB， EF平面 PAB 解法三：连 CE 并延长交 BA 的延长线于 H，连 PH E 为平行四边形 ABCD 的边 AD 的中点， CDEHAE， CEEH，又 F 为 PC 的中点， EFPH， 又 EF平面 PAB，PH平面 PAB， EF平面 PAB (3)证明：如图，取 PD 中点 G，连接 GF，GC 在PAD 中，G，F 分别为 PD，AP 的中点， GF 綊1 2AD 在矩形 ABCD 中，E 为 BC 的中点， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - CE 綊1 2AD，GF 綊 EC， 四边形 EFGC 是平行四边形，GCEF GC平面 P
19、CD，EF平面 PCD， EF平面 PCD 四边形 ABCD 是矩形， ADAB，ADBC 又 AD平面 PAD，BC平面 PAD， BC平面 PAD 平面 PAB平面 ABCD，平面 PAB平面 ABCDAB，AD平面 ABCD， AD平面 PAB，ADBP，平面 PAD平面 PAB ADAPPB 2 2 AB1， AB 2，AP2PB2AB2， APBPADAPA， BP平面 PADBC平面 PAD， 点 E 到平面 PAD 的距离等于点 B 到平面 PAD 的距离 SPDF1 2PF AD 1 2 1 21 1 4， V三棱锥PDEFV三棱锥EPDF1 3SPDF BP 1 3 1 41
20、 1 12， 三棱锥 PDEF 的体积为 1 12 考点三,两个平面平行的判定与性质师生共研 例 4 如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1， A1C1的中点，求证： (1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1平面 BCHG 证明 (1)因为 G，H 分别是 A1B1，A1C1的中点，所以 GHB1C1，又 B1C1BC， 所以 GHBC，所以 B，C，H，G 四点共面 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - (2)在ABC 中，E，F 分别为 AB，AC 的中点， 所以 EFBC， 因为 EF平面 BCH
21、G，BC平面 BCHG， 所以 EF平面 BCHG 又因为 G，E 分别为 A1B1，AB 的中点， 所以 A1G 綊 EB，所以四边形 A1EBG 是平行四边形，所以 A1EGB 因为 A1E平面 BCHG，GB平面 BCHG， 所以 A1E平面 BCHG 又因为 A1EEFE， 所以平面 EFA1平面 BCHG 引申 1在本例条件下，若 D 为 BC1的中点，求证：HD平面 A1B1BA 证明 如图所示，连接 HD，A1B， 因为 D 为 BC1的中点， H 为 A1C1的中点， 所以 HDA1B， 又 HD平面 A1B1BA， A1B平面 A1B1BA， 所以 HD平面 A1B1BA 引
22、申 2在本例条件下， 若 D1， D 分别为 B1C1， BC 的中点， 求证： 平面 A1BD1平面 AC1D 证明 如图所示，连接 A1C，AC1交于点 M， 因为四边形 A1ACC1是平行四边形， 所以 M 是 A1C 的中点，连接 MD， 因为 D 为 BC 的中点，所以 A1BDM 因为 A1B平面 A1BD1， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - DM平面 A1BD1， 所以 DM平面 A1BD1 又由三棱柱的性质知，D1C1綊 BD， 所以四边形 BDC1D1为平行四边形， 所以 DC1BD1 又 DC1平面 A1BD1，BD1平面 A1BD1，
23、所以 DC1平面 A1BD1， 又因为 DC1DMD，DC1，DM平面 AC1D， 所以平面 A1BD1平面 AC1D 名师点拨 证明面面平行的方法有 (1)面面平行的定义 (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这 两个平面平行 (3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行” (4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行 (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化 *(6)向量法：证明两平面的法向量平行 变式训练 3 (2021 南昌模拟)如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCACD90 ，BACCAD 60 ，PA平面 ABC
24、D，PA2，AB1设 M，N 分别为 PD，AD 的中点 (1)求证：平面 CMN平面 PAB； (2)求三棱锥 PABM 的体积 解析 (1)证明：M，N 分别为 PD，AD 的中点， MNPA，又 MN平面 PAB，PA平面 PAB， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - MN平面 PAB 在 RtACD 中，CAD60 ，CNAN， ACN60 又BAC60 ，CNAB CN平面 PAB，AB平面 PAB， CN平面 PAB 又 CNMNN，CN，MN平面 CMN， 平面 CMN平面 PAB (2)由(1)知，平面 CMN平面 PAB， 点 M 到平面 PA
25、B 的距离等于点 C 到平面 PAB 的距离 AB1，ABC90 ，BAC60 ，BC 3， 三棱锥 PABM 的体积 VVMPABVCPABVPABC1 3 1 21 32 3 3 名师讲坛 素养提升 探索性问题求解策略 例 5 (2021 安徽皖北联考)如图， 在四棱锥 CABED 中， 四边形 ABED 是正方形， 点 G，F 分别是线段 EC，BD 的中点 (1)求证：GF平面 ABC (2)线段 BC 上是否存在一点 H， 使得平面 GFH平面 ACD？若存在， 请找出点 H 并证明； 若不存在，请说明理由 解析 (1)四边形 ABED 为正方形，F 为 BD 的中点， E、F、A
26、共线，连 AE，又 G 为 EC 的中点， GFAC， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 又 GF平面 ABC，AC平面 ABC， GF平面 ABC 注：本题也可取 BE 的中点 Q，连 GQ、FQ，通过证平面 GFQ平面 ABC 来证；或取 BC 的中点 M，AB 的中点 N，连 GM、MN、NF，通过证四边形 GMNF 为平行四边形得 GFMN 来证 (2)当 H 为 BC 的中点时，平面 GFH平面 ACD 证明如下：G、H 分别为 EC、BC 的中点， GHBE，又 BEAD， GHAD， 又 GH平面 ACD，AD平面 ACD， GH平面 ACD，
27、又 GFAC，GF平面 ACD，AC平面 ACD， GF平面 ACD， 平面 GFH平面 ACD 引申ED 上是否存在一点 Q，使平面 GFQ平面 ACD 解析 当 Q 为 ED 的中点时，平面 GFQ平面 ACD 名师点拨 平行中的探索性问题 (1)对命题条件的探索常采用以下三种方法： 先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明； 先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性； 把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件 (2)对命题结论的探索常采用以下方法： 首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的 结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设 变式训练 4 在三棱柱 ABCA1B1C1的棱 BC 上是否存在一点 H，使 A1B平面 AC1H？并证明 解析 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - BC 上存在点 H(即 BC 的中点)使 A1B平面 AC1H 证明如下：连 A1C 交 AC1于 O， 则 O 为 A1C 的中点 连 HO，又 H 为 BC 的中点， HOA1B， 又 OH平面 AHC1，A1B平面 AHC1， A1B平面 AC1H
