1、第二讲第二讲 命题及其关系、充分条件与必要条件命题及其关系、充分条件与必要条件 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 命题及四种命题之间的关系 1命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的_陈述句_叫做命题，其中_判断为真_ 的语句叫做真命题，_判断为假_的语句叫做假命题 2四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 若两个命题互为逆否命题，则它们有_相同_的真假性； 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性_没有关系_. 知识点二 充分条件与必要条件 若 pq，则 p 是 q 的_充分_条件，q 是 p 的_必要_条件 p 是 q 的_充分不必要_条
2、件 pq 且 qp p 是 q 的_必要不充分_条件 pq 且 qp p 是 q 的_充要_条件 pq p 是 q 的_既不充分又不必要_条件 pq 且 qp 归 纳 拓 展 1若 Ax|p(x)，Bx|q(x)，则 (1)若 AB，则 p 是 q 的充分条件； (2)若 AB，则 p 是 q 的必要条件； (3)若 AB，则 p 是 q 的充要条件； (4)若 AB，则 p 是 q 的充分不必要条件； (5)若 AB，则 p 是 q 的必要不充分条件； (6)若 A B 且 AB，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件 2充分条件与必要条件的两个特征： (1)对称性：若 p 是 q 的充分条
3、件，则 q 是 p 的必要条件，即“pq”“qp” (2)传递性：若 p 是 q 的充分(必要)条件，q 是 r 的充分(必要)条件，则 p 是 r 的充分(必要) 条件，即“pq 且 qr”“pr”(“pq 且 qr”“pr”) 注意：不能将“若 p，则 q”与“pq”混为一谈，只有“若 p，则 q”为真命题时，才 有“pq”，即“pq”“若 p，则 q”为真命题 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)语句 x23x20 是命题( ) (2)命题“三角形的内角和是 180 ”的否命题是“三角形的内角和不是 180 ”( ) (3)已知集合
4、A，B，则 ABAB 的充要条件是 AB( ) (4)“”是“tan tan ”的充分不必要条件( ) (5)“若 p 不成立，则 q 不成立”等价于“若 q 成立，则 p 成立”( ) 解析 (4)当 2时，tan 、tan 都无意义因此不能推出 tan tan ，当 tan tan 时，k，kZ，不一定 ，因此是既不充分也不必要条件 题组二 走进教材 2(选修 21P8T3 改编)下列命题是真命题的是( A ) A矩形的对角线相等 B若 ab，cd，则 acbd C若整数 a 是素数，则 a 是奇数 D命题“若 x20，则 x1”的逆否命题 3(选修 21P10T4 改编)x23x20 是
5、 x1 的_充分不必要_条件 解析 x1 是 x23x20 的充分不必要条件 题组三 走向高考 4(2020 天津，2,5 分)设 aR，则“a1”是“a2a”的( A ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析 易知 a1a2a，而 a2aa1，所以“a1”是“a2a”的充分不必要条 件 5(2015 山东，5 分)设 mR，命题“若 m0，则方程 x2xm0 有实根”的逆否命题 是( D ) A若方程 x2xm0 有实根，则 m0 B若方程 x2xm0 有实根，则 m0 C若方程 x2xm0 没有实根，则 m0 D若方程 x2xm0 没有实根，则 m0
6、 解析 由原命题和逆否命题的关系可知 D 正确 6(2018 北京，5 分)能说明“若 f(x)f(0)对任意的 x(0,2都成立，则 f(x)在0,2上是增 函数”为假命题的一个函数是_f(x)sin x(答案不唯一)_. 解析 这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足 f(x)f(0)对任意的 x(0,2都成立， 且函数 f(x)在0,2上不是增函数即可如 f(x)sin x，答案不唯一 考点突破 互动探究 考点一 命题及其关系自主练透 例 1 (1)(2021 新高考八省联考)关于 x 的方程 x2axb0，有下列四个命题： 甲：x1 是该方程的根； 乙：x3 是该方程的根； 丙：该方程
7、两根之和为 2； 丁：该方程两根异号 如果只有一个假命题，则该命题是( A ) A甲 B乙 C丙 D丁 (2)(2021 长春模拟)已知命题 ：如果 x3，那么 x5，命题 ：如果 x3，那么 x5，则 命题 是命题 的( A ) A否命题 B逆命题 C逆否命题 D否定形式 (3)下列命题为真命题的是( D ) A“若 a2b2，则 a0 的解集为 R，则 a1”的逆否命题 D“若 3x(x0)为有理数，则 x 为无理数”的逆否命题 (4)命题“若 ab0，则 a，b 中最多有一个大于零”的否定形式为_若 ab0，则 a， b 都大于零_，否命题为_若 ab0，则 a，b 都大于零_. 解析
8、(1)若乙、丙、丁正确，显然 x11，x23，两根异号，x1x22，故甲错，因 此选 A (2)命题 ：如果 x3，那么 x0 恒成立，当 a0 时，由已知 得 a0 0 4a24aa30，综上 a0，所以原命题为假命题，逆否命题也为 假命题；对于 D，原命题正确，因此该命题的逆否命题也正确，D 正确故选 D (4)否定形式：若 ab0，则 a，b 都大于零否命题：若 ab0，则 a，b 都大于零 名师点拨 (1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若 p， 则 q”的形式，应先改写成“若 p，则 q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需 保留大前提不
9、变 (2)判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出 反例 (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命 题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假 考点二 充分必要条件 考向 1 充分条件与必要条件的判断师生共研 方法 1：定义法判断 例 2 ( 2020 北京，9,4 分)已知 ，R，则“存在 kZ 使得 k(1)k”是 “sin sin ”的( C ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解析 (1)充分性：已知存在 kZ 使得 k(1)k， ()若 k 为奇数，则 k
10、2n1，nZ，此时 (2n1)，nZ，sin sin(2n )sin()sin ； ()若 k 为偶数，则 k2n，nZ，此时 2n，nZ，sin sin(2n)sin . 由()()知，充分性成立 (2)必要性： 若 sin sin 成立， 则角 与 的终边重合或角 与 的终边关于 y 轴对称， 即 2m 或 2m，mZ，即存在 kZ 使得 k(1)k，必要性也成立， 故选 C 方法 2：集合法判断 例 3 (理)(2018 天津，3)设 xR，则“x38”是“|x|2”的( A ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 (文)(2020 天津一中高三月
11、考)设 xR，则“|x1|0”的( B ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解析 (理)本题主要考查解不等式和充分、必要条件的判断 由 x38 得 x2，由|x|2 得 x2 或 x8”是“|x|2”的充分而不必要条件故选 A (文)解绝对值不等式可得4x14，即3x5， 将分式不等式变形可得x5 x20，解得 2x5， 因为(2,5)(3,5)， 所以“|x1|0”的必要而不充分条件 方法 3 等价转化法判断 例 4 (1)给定两个条件 p，q，若 p 是 q 的必要不充分条件，则 p 是 q 的( A ) A充分不必要条件 B必要不充分条件
12、C充要条件 D既不充分也不必要条件 (2)“已知命题 p：cos1 2，命题 q： 3”，则命题 p 是命题 q 的( A ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析 (1)因为 p 是 q 的必要不充分条件，则 q p，但 pq，其逆否命题为 p q， 但 qp，所以 p 是 q 的充分不必要条件 (2) p：cos 1 2， q： 3，显然 q p， p q， q 是 p 的充分不必要条件，从而 p 是 q 的充分不必要条件，故选 A 另解：若 cos 1 2，则 2k 3(kZ)，则 也必然不等于 3，故 pq；若 3，但 3时，依然有 cos 1
13、2，故 q p.所以 p 是 q 的充分不必要条件故选 A 名师点拨 有关充要条件的判断常用的方法 (1)根据定义判断：弄清条件 p 和结论 q 分别是什么；尝试 pq，qp.若 pq，则 p 是 q 的充分条件；若 qp，则 p 是 q 的必要条件；若 pq，qp，则 p 是 q 的充分不必要条 件；若 pq，qp，则 p 是 q 的必要不充分条件；若 pq，qp，则 p 是 q 的充要条件 (2)利用集合判断 记法 Ax|p(x)，Bx|q(x) 关系 AB BA AB A B 且 B A 结论 p 是 q 的充分不必 要条件 p 是 q 的必要不充 分条件 p是q的充 要条件 p 是 q
14、 的既不充分也 不必要条件 (3)利用等价转化法：对于带有否定性词语的命题，常用此法，即要判断 p 是 q 的什么条 件，只需判断 q 是 p 的什么条件 变式训练 1 (1)指出下列各组中，p 是 q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充 要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答) 非空集合 A，B 中，p：x(AB)，q：xB； 已知 x，yR，p：(x1)2(y2)20，q：(x1)(y2)0； 在ABC 中，p：AB，q：sin Asin B； 对于实数 x，y，p：xy8，q：x2 或 y6. (2)(理)(2018 天津，4)设 xR，则“ x1 2 1 2
15、”是“x 31”的( A ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 (文)(2020 天津部分区期末)设 xR，则“x22x0”是“|x1|2”的( A ) A充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 解析 (1)显然 x(AB)不一定有 xB，但 xB 一定有 x(AB)，所以 p 是 q 的必 要不充分条件 条件 p：x1 且 y2，条件 q：x1 或 y2，所以 pq 但 qp，故 p 是 q 的充分不 必要条件 在ABC 中，ABsin Asin B；反之，若 sinAsinB，因为 A 与 B 不可能互补(三角 形三个
16、内角之和为 180 )，所以只有 AB，故 p 是 q 的充要条件 易知 p：xy8， q：x2 且 y6，显然 q p，但 p q，所以 q 是 p 的充分不 必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p 是 q 的充分不必要条件 (2)(理)本题主要考查解不等式和充分、必要条件的判断 由 x1 2 1 2得 1 2x 1 2 1 2，解得 0 x1. 由 x31 得 x1.因为(0,1)(， 1)， 所以“ x1 2 1 2”是“x 31”的充分而不必要条件 (文)解不等式 x22x0 得 0 x2，解不等式|x1|2 得1x3，所以“x22x0”是“|x 1|10 或 1mB”的充要条件
17、是( A ) Asin Asin B Bcos Acos B Ctan Atan B Dcos2Acos2B (2)(角度 2)(2021 山东省实验中学高三诊断)已知 p：xk，q：(x1)(2x)B 时，根据“大边对大角”可知，ab，由于 a sin A b sin B，所以 sin Asin B，则 A 是“AB”的充要条件；由于 0BA，余弦函数 ycos x 在区间(0，)内单调递减， 所以 cos AB”的充要条件；当 AB 时，若 A 为钝角，B 为锐角，则 tan A0B”的充要条件；当 cos2Acos2B，即 1sin2A1sin2B，所以 sin2Asin2B，即 sin
18、 AB”的充要条件；故选 A (2)由 q：(x1)(2x)0，可知 q：x2.因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 xk x2，即k，)是(，1)(2，)的真子集，故 k2.故选 B 名师讲坛 素养提升 抽象命题间充要条件的判定 例 7 已知 p 是 r 的充分不必要条件，q 是 r 的充分条件，s 是 r 的必要条件，q 是 s 的必要条件，现有下列命题：r 是 q 的充要条件；p 是 q 的充分不必要条件；r 是 q 的 必要不充分条件； p 是 s 的必要不充分条件；r 是 s 的充分不必要条件，则正确命题的 序号是( B ) A B C D 分析 本题涉及命题较多，关系复杂，因此采用“图解法” 解析 由题意得 p，显然 qr 且 rsq，即 qr，正确；prsq 且 q p，正确；rq，错误；由 ps 知 s p，但 sp， p s，正确；rs，错误故 选 B 名师点拨 命题较多、关系复杂时，画出各命题间关系图求解，简洁直观，一目了然 变式训练 3 若 p 是 r 的必要不充分条件，q 是 r 的充分条件，则 p 是 q 的_必要不充分_条件 解析 由题意可知 qrp，p 是 q 的必要不充分条件
