2022年旧高考(人教版)数学一轮教学案:第二章第三讲 函数的单调性与最值 (含解析).doc

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资源描述

1、第三讲第三讲 函数的单调性与最值函数的单调性与最值 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 函数的单调性 1单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个 自变量的值 x1,x2 当 x1x2时, 都有_f(x1)f(x2)_, 那么 就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数 当 x1f(x2)_,那么就说 函数 f(x)在区间 D 上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是_上升的_ 自左向右看图象是_下降的_ 2.单调区间的定义 如果函数 yf(x)在区间 D 上是_增函数或减函数_,那么就说函数 yf(x

2、)在这一区间具 有(严格的)单调性,_区间 D_叫做函数 yf(x)的单调区间 知识点二 函数的最值 前提 设函数 yf(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 条件 (1)对于任意 xI,都有_f(x)M_; (2)存在 x0I,使得_f(x0)M_ (1)对于任意 xI,都有_f(x)M_; (2)存在 x0I,使得_f(x0)M_ 结论 M 为最大值 M 为最小值 归 纳 拓 展 1复合函数的单调性 函数 yf(u), u(x), 在函数 yf(x)的定义域上, 如果 yf(u), u(x)的单调性相同, 则 yf(x)单调递增;如果 yf(u),u(x)的单调性相反,则 yf(x)

3、单调递减 2单调性定义的等价形式 设任意 x1,x2a,b,x1x2. (1)若有(x1x2)f(x1)f(x2)0 或fx1fx2 x1x2 0,则 f(x)在闭区间a,b上是增函数 (2)若有(x1x2)f(x1)f(x2)0 或fx1fx2 x1x2 0,则 kf(x)与 f(x)单调性相同,若 k0)在公共定义域内与 yf(x),y 1 fx的单调性相反 (4)函数 yf(x)(f(x)0)在公共定义域内与 y fx的单调性相同 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若定义在 R 上的函数 f(x),有 f(1)f(x2)时都有 x1

4、x2, 则 yf(x)为增函数 ( ) (5)已知函数 yf(x)是增函数,则函数 yf(x)与 y 1 fx都是减函数( ) 解析 (1)函数的单调性体现了任意性,即对于单调区间上的任意两个自变量值 x1,x2, 均有 f(x1)f(x2),而不是区间上的两个特殊值 (2)单调区间是定义域的子区间,如 yx 在1,)上是增函数,但它的单调递增区间是 R,而不是1,) (3)多个单调区间不能用“”符号连接,而应用“,”或“和”连接 (4)设 f(x) x x0,1, 1 x1,2 ,如图 当 f(x1)f(x2)时都有 x1x2,但 yf(x)不是增函数 (5)当 f(x)x 时,y 1 fx

5、 1 x,有两个减区间,但 y 1 x并不是减函数,而 yf(x)是由 y f(t)与 tx 复合而成是减函数 题组二 走进教材 2(必修 1P32T3 改编)设定义在1,7上的函数 yf(x)的图象如图所示,则函数 yf(x)的 增区间为_1,1和5,7_. 3(必修 1P44AT9 改编)函数 y(2m1)xb 在 R 上是减函数,则 m 的取值范围是_m1 2 _. 解析 使 y(2m1)xb 在 R 上是减函数,则 2m10,即 m0)在(,1)上的单调性 解析 (1)对于 A、B 若 f(x)x,则 A、B 都错,对于 C,当 f(x)0 时无意义, 对于 D, y2 f(x) 1

6、2 f(x),y 1 2 t,tf(x),复合函数 y 1 2 f(x)是减函数,故选 D (2)解法一:x1,x2(,1),且 x1x2, f(x)a x11 x1 a 1 1 x1 , f(x1)f(x2)a 1 1 x11 a 1 1 x21 ax2x1 x11x21,由于 x1x20,x110,x210 时,f(x1)f(x2)0,即 f(x1)f(x2), 函数 f(x)在(,1)上单调递减 解法二:f(x)ax1ax x12 a x12, (x1)20,a0,f(x)0 时,f(x)在(,1)上是减函数 解法三:f(x)ax1a x1 a a x1, 又 a0,f(x)在(,1)上

7、是减函数 考向 2 求函数的单调区间师生共研 例 2 求下列函数的单调区间 (1)f(x)x22|x|3; (2)f(x)log1 2 (x24x5); (3)f(x)xln x. 分析 (1)可用图象法或化为分段函数或用化为复合函数求解; (2)复合函数求解; (3)导数法 解析 (1)解法一:(图象法) f(x) x22x3x0, x22x3x0, 其图象如图所示,所以函数 yf(x)的单调递增区间为(,1和0,1;单调递减区间 为1,0和1,) 解法二:(化为分段函数求解)f(x) x22x3x0 x22x3x0 x124x0 x124x0 y(x1)24(x0)图象开口向下,对称轴为

8、x1,增区间为(0,1),减区间为(1, ); y(x1)24(x0 得1x0.y11 x x1 x . x (0,1) 1 (1,) y 0 y 极小值 由上表可知,函数的单调递增区间为(1,),单调递减区间为(0,1) 引申 1本例(1)f(x)|x22x3|的增区间为_(1,1)和(3,)_. 解析 作出 f(x)|x22x3|的图象,由图可知所求增区间为(1,1)和(3,) 引申 2本例(2)f(x)loga(x24x5)(a1)的增区间为_(1,2_. 名师点拨 求函数的单调区间(确定函数单调性)的方法 (1)利用已知函数的单调性,即转化为已知单调性的函数的和、差或复合函数,再求单调

9、 区间 (2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义求解 (3)图象法:如果 f(x)是以图象形式给出的,或者 f(x)的图象易作出,可由图象直接写出它 的单调区间 (4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间 (5)求复合函数的单调区间的一般步骤是:求函数的定义域;求简单函数的单调区间; 求复合函数的单调区间,依据是“同增异减” 注意: (1)求函数单调区间,定义域优先 (2)单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写, 不能用并集符号“”连接,也不能用“或”连接 变式训练 1 (1)(2019 北京)下列函数中,在区间(0,)上单调递增的是( A ) Ay

10、x 1 2 By2 x Cylog1 2 x Dy1 x (2)函数 f(x)(a1)x2 在 R 上单调递增,则函数 g(x)a|x 2|的单调递减区间是_(, 2_. (3)函数 f(x)x|1x|的单调区间为_(,1_. (4)函数 yf(x)(xR)的图象如图所示,则函数 g(x)f(logax)(0a0 时,yx在(0,)上单调递增,当 0,且 a1), 当 0a1 时,yax在(,)上单调递增, 而选项 B 中的函数 y2 x可转化为 y 1 2 x,因此函数 y2x在(0,)上单调递减,故选 项 B 不符合题意;对于对数函数 ylogax(a0,且 a1),当 0a1 时,ylo

11、gax 在(0,)上单调递增,因此选项 C 中的函数 ylog1 2 x 在 (0,)上单调递减,故选项 C 不符合题意,故选 A (2)由已知得 a10,a1,g(x)a|x 2|减区间为 q(x)|x2|减区间,(,2,故填 (,2 (3)f(x) 2x1x1, 1x1, 画图知单调递增区间为(,1. (4)设 g(x)f(t),tlogax(0ax11 时, f(x2)f(x1)(x2x1)ab Bcba Cacb Dbac 解析 由已知得 f(x)在(1, )上单调递减, 又 f 1 2 f 5 2 , e5 22, f(e)f 5 2 f(2), 即 cab.故选 D 角度 2 利用

12、单调性求参数的取值范围 例 4 (1)(理)(2021 江西赣州南康中学高三月考)若 f(x)lg(x22ax1a)在区间( ,1上单调递减,则 a 的取值范围为( A ) A1,2) B1,2 C1,) D2,) (文)(2020 贵阳市高三摸底)函数 y x5 xa2在(1, )上单调递增, 则 a 的取值范围是 ( C ) Aa3 Ba3 Ca3 Da3 (2)(2021 广东汕头湖南区第一次模拟)如果函数 g(x) 2m1x3 4,x1, mx,x0,二次函数 ux22ax1a 在(,1上 单调递减,故只需当 x1 时,x22ax1a0,代入 x1 解得 a0 ,1a2.故选 A (文

13、)y x5 xa2 xa2a3 xa2 1 a3 xa2,所以当 a30 时,y x5 xa2的单调 递增区间是(,a2),(a2,);当 a30 时不符合题意又 y x5 xa2在(1, )上单调递增,所以(1,)(a2,),所以 a21,即 a3,综上知,a 的取值范围是(,3 (2)若 g(x)为减函数,必有 2m10, 0m1, 2m13 4m, 解得 00, 若 f(2x2)f(x),则实数 x 的取值范围是 _(2,1)_. (2)已知函数 f(x)ln x2x, 若 f(x24)x, 2x1. (2)因为函数 f(x)ln x2x在定义域(0, )上单调递增, 且 f(1)ln

14、122, 所以由 f(x2 4)2 得,f(x24)f(1),所以 0 x241,解得 5x2 或 2x 5. 名师点拨 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解 决 (2)利用单调性求参数时,通常要把参数视为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确 定函数的单调区间,与已知单调区间比较,利用区间端点间关系求参数求解时注意函数定 义域的限制,遇分段函数注意分点处左、右端点函数值的大小关系 (3)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f”符号 脱掉,使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函

15、数的定义域 变式训练 2 (1)(角度 2)已知 yf(x)在定义域(1,1)上是减函数,且 f(1a)f(a21),则 a 的取值范围 为_(0,1)_. (2)(角度 3)已知函数 yloga(2ax)在0,1上是减函数,则实数 a 的取值范围是_(1,2)_. (3)(理)(角度 1)e 4 16, e5 25, e6 36(其中 e 为自然常数)的大小关系是( A ) Ae 4 16 e5 25 e6 36 Be 6 36 e5 25 e4 16 Ce 5 25 e4 16 e6 36 De 6 36 e4 16 e5 25 (文)(角度 1)e 4 42, e5 52, e6 62(

16、其中 e 为自然常数)的大小关系是( A ) Ae 4 42 e5 52 e6 62 Be 6 62 e5 52 e4 42 Ce 5 52 e4 42 e6 62 De 6 62 e4 421aa211, 即 11a1, 1aa21, 1a211. 解得 0a0 且 a1, 函数 u 在0,1上是减函数 由题意可知函数 ylogau 在0,1上是增函数, a1.又u 在0,1上要满足 u0, 2a10, 2a00, 得 a2. 综上得 1a0,得 x2, 即函数 f(x)在(2,)内单调递增, 因此有 f(4)f(5)f(6),即e 4 16 e5 250,得 x2, 即函数 f(x)在(2

17、,)内单调递增, 因此有 f(4)f(5)f(6),即e 4 42 e5 520,y0 都有 f x y f(x)f(y),当 x1 时, 有 f(x)0. (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性并证明; (3)若 f(6)1,解不等式 f(x5)f 1 x 2. 解析 (1)f(1)f x x f(x)f(x)0. (2)f(x)在(0,)上是增函数 证明:设 0 x11,所以 f x2 x1 0. 所以 f(x2)f(x1)0,即 f(x)在(0,)上是增函数 (3)因为 f(6)f 36 6 f(36)f(6), 又 f(6)1, 所以 f(36)2, 原不等式化为: f(x25x)0, 1 x0, x25x36, 解得 0 x4. 不等式的解集为x|0 x0 时,f(x)x2,则 x1x20,于是 f(x1x2)0, 从而 f(x1)f(x2)f(x1x2)x2f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)0, 所以 f(x)在 R 上是减函数 (3)由(2)知,所求函数在3,6上的最大值为 f(3),最小值为 f(6) 因为 f(3)f(3)f(2)f(1)2f(1)f(1)3f(1)2, f(6)f(6)f(3)f(3)4. 所以 f(x)在3,6上的最大值为 2,最小值为4.

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