1、第三讲第三讲 函数的单调性与最值函数的单调性与最值 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 函数的单调性 1单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个 自变量的值 x1，x2 当 x1x2时， 都有_f(x1)f(x2)_， 那么 就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数 当 x1f(x2)_，那么就说 函数 f(x)在区间 D 上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是_上升的_ 自左向右看图象是_下降的_ 2.单调区间的定义 如果函数 yf(x)在区间 D 上是_增函数或减函数_，那么就说函数 yf(x
2、)在这一区间具 有(严格的)单调性，_区间 D_叫做函数 yf(x)的单调区间 知识点二 函数的最值 前提 设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足 条件 (1)对于任意 xI，都有_f(x)M_； (2)存在 x0I，使得_f(x0)M_ (1)对于任意 xI，都有_f(x)M_； (2)存在 x0I，使得_f(x0)M_ 结论 M 为最大值 M 为最小值 归 纳 拓 展 1复合函数的单调性 函数 yf(u)， u(x)， 在函数 yf(x)的定义域上， 如果 yf(u)， u(x)的单调性相同， 则 yf(x)单调递增；如果 yf(u)，u(x)的单调性相反，则 yf(x)
3、单调递减 2单调性定义的等价形式 设任意 x1，x2a，b，x1x2. (1)若有(x1x2)f(x1)f(x2)0 或fx1fx2 x1x2 0，则 f(x)在闭区间a，b上是增函数 (2)若有(x1x2)f(x1)f(x2)0 或fx1fx2 x1x2 0，则 kf(x)与 f(x)单调性相同，若 k0)在公共定义域内与 yf(x)，y 1 fx的单调性相反 (4)函数 yf(x)(f(x)0)在公共定义域内与 y fx的单调性相同 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若定义在 R 上的函数 f(x)，有 f(1)f(x2)时都有 x1
4、x2， 则 yf(x)为增函数 ( ) (5)已知函数 yf(x)是增函数，则函数 yf(x)与 y 1 fx都是减函数( ) 解析 (1)函数的单调性体现了任意性，即对于单调区间上的任意两个自变量值 x1，x2， 均有 f(x1)f(x2)，而不是区间上的两个特殊值 (2)单调区间是定义域的子区间，如 yx 在1，)上是增函数，但它的单调递增区间是 R，而不是1，) (3)多个单调区间不能用“”符号连接，而应用“，”或“和”连接 (4)设 f(x) x x0，1， 1 x1，2 ，如图 当 f(x1)f(x2)时都有 x1x2，但 yf(x)不是增函数 (5)当 f(x)x 时，y 1 fx
5、 1 x，有两个减区间，但 y 1 x并不是减函数，而 yf(x)是由 y f(t)与 tx 复合而成是减函数 题组二 走进教材 2(必修 1P32T3 改编)设定义在1,7上的函数 yf(x)的图象如图所示，则函数 yf(x)的 增区间为_1,1和5,7_. 3(必修 1P44AT9 改编)函数 y(2m1)xb 在 R 上是减函数，则 m 的取值范围是_m1 2 _. 解析 使 y(2m1)xb 在 R 上是减函数，则 2m10，即 m0)在(，1)上的单调性 解析 (1)对于 A、B 若 f(x)x，则 A、B 都错，对于 C，当 f(x)0 时无意义， 对于 D， y2 f(x) 1
6、2 f(x)，y 1 2 t，tf(x)，复合函数 y 1 2 f(x)是减函数，故选 D (2)解法一：x1，x2(，1)，且 x1x2， f(x)a x11 x1 a 1 1 x1 ， f(x1)f(x2)a 1 1 x11 a 1 1 x21 ax2x1 x11x21，由于 x1x20，x110，x210 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)， 函数 f(x)在(，1)上单调递减 解法二：f(x)ax1ax x12 a x12， (x1)20，a0，f(x)0 时，f(x)在(，1)上是减函数 解法三：f(x)ax1a x1 a a x1， 又 a0，f(x)在(，1)上
7、是减函数 考向 2 求函数的单调区间师生共研 例 2 求下列函数的单调区间 (1)f(x)x22|x|3； (2)f(x)log1 2 (x24x5)； (3)f(x)xln x. 分析 (1)可用图象法或化为分段函数或用化为复合函数求解； (2)复合函数求解； (3)导数法 解析 (1)解法一：(图象法) f(x) x22x3x0， x22x3x0， 其图象如图所示，所以函数 yf(x)的单调递增区间为(，1和0,1；单调递减区间 为1,0和1，) 解法二：(化为分段函数求解)f(x) x22x3x0 x22x3x0 x124x0 x124x0 y(x1)24(x0)图象开口向下，对称轴为
8、x1，增区间为(0,1)，减区间为(1， )； y(x1)24(x0 得1x0.y11 x x1 x . x (0,1) 1 (1，) y 0 y 极小值 由上表可知，函数的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1) 引申 1本例(1)f(x)|x22x3|的增区间为_(1,1)和(3，)_. 解析 作出 f(x)|x22x3|的图象，由图可知所求增区间为(1,1)和(3，) 引申 2本例(2)f(x)loga(x24x5)(a1)的增区间为_(1,2_. 名师点拨 求函数的单调区间(确定函数单调性)的方法 (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知单调性的函数的和、差或复合函数，再求单调
9、 区间 (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解 (3)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，可由图象直接写出它 的单调区间 (4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间 (5)求复合函数的单调区间的一般步骤是：求函数的定义域；求简单函数的单调区间； 求复合函数的单调区间，依据是“同增异减” 注意： (1)求函数单调区间，定义域优先 (2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写， 不能用并集符号“”连接，也不能用“或”连接 变式训练 1 (1)(2019 北京)下列函数中，在区间(0，)上单调递增的是( A ) Ay
10、x 1 2 By2 x Cylog1 2 x Dy1 x (2)函数 f(x)(a1)x2 在 R 上单调递增，则函数 g(x)a|x 2|的单调递减区间是_(， 2_. (3)函数 f(x)x|1x|的单调区间为_(，1_. (4)函数 yf(x)(xR)的图象如图所示，则函数 g(x)f(logax)(0a0 时，yx在(0，)上单调递增，当 0，且 a1)， 当 0a1 时，yax在(，)上单调递增， 而选项 B 中的函数 y2 x可转化为 y 1 2 x，因此函数 y2x在(0，)上单调递减，故选 项 B 不符合题意；对于对数函数 ylogax(a0，且 a1)，当 0a1 时，ylo
11、gax 在(0，)上单调递增，因此选项 C 中的函数 ylog1 2 x 在 (0，)上单调递减，故选项 C 不符合题意，故选 A (2)由已知得 a10，a1，g(x)a|x 2|减区间为 q(x)|x2|减区间，(，2，故填 (，2 (3)f(x) 2x1x1， 1x1， 画图知单调递增区间为(，1. (4)设 g(x)f(t)，tlogax(0ax11 时， f(x2)f(x1)(x2x1)ab Bcba Cacb Dbac 解析 由已知得 f(x)在(1， )上单调递减， 又 f 1 2 f 5 2 ， e5 22， f(e)f 5 2 f(2)， 即 cab.故选 D 角度 2 利用
12、单调性求参数的取值范围 例 4 (1)(理)(2021 江西赣州南康中学高三月考)若 f(x)lg(x22ax1a)在区间( ，1上单调递减，则 a 的取值范围为( A ) A1,2) B1,2 C1，) D2，) (文)(2020 贵阳市高三摸底)函数 y x5 xa2在(1， )上单调递增， 则 a 的取值范围是 ( C ) Aa3 Ba3 Ca3 Da3 (2)(2021 广东汕头湖南区第一次模拟)如果函数 g(x) 2m1x3 4，x1， mx，x0，二次函数 ux22ax1a 在(，1上 单调递减，故只需当 x1 时，x22ax1a0，代入 x1 解得 a0 ，1a2.故选 A (文
13、)y x5 xa2 xa2a3 xa2 1 a3 xa2，所以当 a30 时，y x5 xa2的单调 递增区间是(，a2)，(a2，)；当 a30 时不符合题意又 y x5 xa2在(1， )上单调递增，所以(1，)(a2，)，所以 a21，即 a3，综上知，a 的取值范围是(，3 (2)若 g(x)为减函数，必有 2m10， 0m1， 2m13 4m， 解得 00， 若 f(2x2)f(x)，则实数 x 的取值范围是 _(2,1)_. (2)已知函数 f(x)ln x2x， 若 f(x24)x， 2x1. (2)因为函数 f(x)ln x2x在定义域(0， )上单调递增， 且 f(1)ln
14、122， 所以由 f(x2 4)2 得，f(x24)f(1)，所以 0 x241，解得 5x2 或 2x 5. 名师点拨 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解 决 (2)利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确 定函数的单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数求解时注意函数定 义域的限制，遇分段函数注意分点处左、右端点函数值的大小关系 (3)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号 脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函
15、数的定义域 变式训练 2 (1)(角度 2)已知 yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且 f(1a)f(a21)，则 a 的取值范围 为_(0,1)_. (2)(角度 3)已知函数 yloga(2ax)在0,1上是减函数，则实数 a 的取值范围是_(1,2)_. (3)(理)(角度 1)e 4 16， e5 25， e6 36(其中 e 为自然常数)的大小关系是( A ) Ae 4 16 e5 25 e6 36 Be 6 36 e5 25 e4 16 Ce 5 25 e4 16 e6 36 De 6 36 e4 16 e5 25 (文)(角度 1)e 4 42， e5 52， e6 62(
16、其中 e 为自然常数)的大小关系是( A ) Ae 4 42 e5 52 e6 62 Be 6 62 e5 52 e4 42 Ce 5 52 e4 42 e6 62 De 6 62 e4 421aa211， 即 11a1， 1aa21， 1a211. 解得 0a0 且 a1， 函数 u 在0,1上是减函数 由题意可知函数 ylogau 在0,1上是增函数， a1.又u 在0,1上要满足 u0， 2a10， 2a00， 得 a2. 综上得 1a0，得 x2， 即函数 f(x)在(2，)内单调递增， 因此有 f(4)f(5)f(6)，即e 4 16 e5 250，得 x2， 即函数 f(x)在(2
17、，)内单调递增， 因此有 f(4)f(5)f(6)，即e 4 42 e5 520，y0 都有 f x y f(x)f(y)，当 x1 时， 有 f(x)0. (1)求 f(1)的值； (2)判断 f(x)的单调性并证明； (3)若 f(6)1，解不等式 f(x5)f 1 x 2. 解析 (1)f(1)f x x f(x)f(x)0. (2)f(x)在(0，)上是增函数 证明：设 0 x11，所以 f x2 x1 0. 所以 f(x2)f(x1)0，即 f(x)在(0，)上是增函数 (3)因为 f(6)f 36 6 f(36)f(6)， 又 f(6)1， 所以 f(36)2， 原不等式化为： f(x25x)0， 1 x0， x25x36， 解得 0 x4. 不等式的解集为x|0 x0 时，f(x)x2，则 x1x20，于是 f(x1x2)0， 从而 f(x1)f(x2)f(x1x2)x2f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)0， 所以 f(x)在 R 上是减函数 (3)由(2)知，所求函数在3,6上的最大值为 f(3)，最小值为 f(6) 因为 f(3)f(3)f(2)f(1)2f(1)f(1)3f(1)2， f(6)f(6)f(3)f(3)4. 所以 f(x)在3,6上的最大值为 2，最小值为4.
