1、第三章 三角函数、解三角形 第一讲第一讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数任意角和弧度制及任意角的三角函数 知识梳理 双基自测 知 识 梳 理 知识点一 角的有关概念 (1)从运动的角度看，角可分为正角、_负角_和_零角_. (2)从终边位置来看，角可分为_象限角_与_轴线角_. (3)若 与 是终边相同的角，则 用 表示为_2k，kZ_. 知识点二 弧度制及弧长、扇形面积公式 (1)1 弧度的角 长度等于_半径长_的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 (2)角 的弧度数 如果半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l，那么角 的弧度数的绝对值是|_l r_. (3)角度与弧度的换算 1 _ 1
2、80rad_；1rad_( 180 ) _. (4)弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为 l，圆心角大小为 (rad)，半径为 r，则 l_|r_，扇形的面积为 S1 2lr _1 2| r 2_. 知识点三 任意角的三角函数 (1)定义：设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 sin _y_，cos _x_，tan _y x(x0)_. (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在 x 轴上， 余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是点(1,0)如图中有向线段 MP，OM，AT 分别叫做 角 的_正弦线_，_余弦线_和_正切线_. 归 纳 拓 展
3、 1终边相同的角与对称性拓展 (1)， 终边相同2k，kZ. (2)， 终边关于 x 轴对称2k，kZ. (3)， 终边关于 y 轴对称2k，kZ. (4)， 终边关于原点对称2k，kZ. 2终边相同的角不一定相等，相等角的终边一定相同，在书写与角 终边相同的角时， 单位必须一致 双 基 自 测 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)小于 90 的角是锐角( ) (2)锐角是第一象限角，反之亦然( ) (3)将表的分针拨快 5 分钟，则分针转过的角度是 30 .( ) (4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等( ) (5)角 ak 3(kZ)是第一
4、象限角( ) (6)若 sin sin 7，则 7.( ) 解析 根据任意角的概念知(1)(2)(3)(4)(5)(6)均是错误的 题组二 走进教材 2(必修 4P10AT8 改编)下列与9 4 的终边相同的角的表达式中正确的是( C ) A2k45 (kZ) Bk 360 9 4(kZ) Ck 360 315 (kZ) Dk5 4 (kZ) 解析 由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为 42k 或 k 360 45 (kZ) 3(必修 4P15T6 改编)若角 满足 tan 0，sin 0 知， 是一、三象限角，由 sin 0 Bcos 20 Dsin 20 解析 是第四
5、象限角， 22k2k，kZ，4k24k，kZ， 角 2 的终边在第三、四象限或 y 轴非正半轴上，sin 20，cos 2 可正、可负、可零故选 D 6(2019 浙江，14 分)已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的 终边过点 P 3 5， 4 5 .则 sin()的值为_4 5_. 解析 由角 的终边过点 P 3 5， 4 5 得 sin 4 5，所以 sin()sin 4 5. 考点突破 互动探究 考点一 角的基本概念自主练透 例 1 (1)若角 的终边与6 7 角的终边相同，则在区间0,2)内终边与 3角的终边相同 的角为_2 7 ，20 21 ，34 21
6、 _. (2)若角 的顶点为坐标原点，始边在 x 轴的非负半轴上，终边在直线 y 3x 上，则角 的取值集合是( D ) A 2k 3，kZ B 2k2 3 ，kZ C k2 3 ，kZ D k 3，kZ (3)已知角 的终边在第二象限，则 2的终边必在第几象限( C ) A一 B三 C一或三 D二或四 解析 (1)6 7 2k(kZ)， 3 2 7 2k 3 (kZ) 依题意，02 7 2k 3 2，kZ， 解得3 7k 18 7 ，kZ. k0,1,2，即在区间0,2)内终边与 3相同的角为 2 7 ，20 21 ，34 21 . (2)因为直线 y 3x 的倾斜角是2 3 ，所以终边落在
7、直线 y 3x 上的角的取值集合为 k 3，kZ ，故选 D (3)由角 的终边在第二象限， 所以 2k2k2，kZ， 所以 4 k 22 2 2 k 22，kZ， 当 k2m，mZ 时， 4m2 2 2m2，mZ， 所以 2终边在第一象限； 当 k2m1，mZ 时，5 4 m2 2 3 2 m2，mZ， 所以 2终边在第三象限，综上， 2的终边在第一或三象限故选 C 引申(1)本例题(3)中，若把第二象限改为第三象限，则结果如何？ 答案 2的终边在第二或第四象限 (2)在本例题(3)中，条件不变， 3的终边所在的位置是 _在第一、二或四象限_. (3)在本例(3)中，条件不变，则 是第_一_
8、象限角，2 终边的位置是_第三或第四 象限或 y 轴负半轴上_. 名师点拨 1迅速进行角度和弧度的互化，准确判断角所在的象限是学习三角函数知识必备的基本 功，若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化成 2k(02)(kZ)的 形式，然后再根据 所在的象限予以判断，这里要特别注意是 的偶数倍，而不是 的整数 倍 2终边相同角的表达式的应用 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同 的所有角的集合，然后通过对集合中的参数 k(kZ)赋值来求得所需角 3确定 k(kN *)的终边位置的方法 (1)讨论法： 用终边相同角的形式表示出角 的范围 写出 k的
9、范围 根据 k 的可能取值讨论确定 k的终边所在位置 (2)等分象限角的方法：已知角 是第 m(m1,2,3,4)象限角，求 k是第几象限角 等分：将每个象限分成 k 等份 标注： 从 x 轴正半轴开始， 按照逆时针方向顺次循环标上 1,2,3,4， 直至回到 x 轴正半轴 选答：出现数字 m 的区域，即为 k所在的象限 如 2判断象限问题可采用等分象限法 考点二 扇形的弧长、面积公式的应用师生共研 例 2 已知扇形的圆心角是 ，半径为 R，弧长为 l. (1)若 60 ，R10 cm，求扇形的弧长 l. (2)若扇形的周长是 20 cm，当扇形的圆心角 为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ (
10、3)若 3，R2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积 解析 (1)60 3，l10 3 10 3 (cm) (2)由已知得，l2R20， 所以 S1 2lR 1 2(202R)R10RR 2(R5)225. 所以当 R5 时，S 取得最大值 25 cm2， 此时 l10，2. (3)设弓形面积为 S弓由题知 l2 3 cm. S弓S扇形S三角形1 2 2 3 21 22 2sin 3 2 3 3 cm2. 答案 (1)10 3 cm (2)2 时，S 最大为 25 cm2 (3) 2 3 3 cm2 名师点拨 弧长和扇形面积的计算方法 (1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简
11、捷但要注意圆心角的 单位是弧度 (2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于 的不等式或利用二次函数求最值的 方法确定相应最值 (3)记住下列公式： lR； S1 2lR； S 1 2R 2.其中R是扇形的半径， l是弧长， (02) 为圆心角，S 是扇形面积 变式训练 1 (1)(2021 广东珠海模拟)已知扇形的周长是 4 cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧 度数是( A ) A2 B1 C1 2 D3 (2)(2020 山东潍坊期中)九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中方田 章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积1 2(弦矢矢 2)，弧田(如图)由圆弧和其 所对弦
12、围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现 有圆心角为2 3 ，半径为 6 m 的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( 31.73) ( C ) A16 m2 B18 m2 C20 m2 D25 m2 解析 (1)设扇形的半径为 R，则弧长 l42R，扇形面积 S1 2lRR(2R)R 2 2R(R1)21，当 R1 时，S 最大，此时 l2，扇形圆心角为 2 弧度 (2)如图，由题意，得AOB2 3 ，OA6.在 RtAOD 中，可得AOD 3，DAO 6， OD1 2AO 1 263，可得矢633.由 ADAO sin 36 3 2 3 3，可得弦 A
13、B2AD 23 36 3， 所以弧田面积1 2(弦矢矢 2)1 2(6 333 2)9 34.520(m2)， 故选 C 考点三 三角函数的定义多维探究 角度 1 定义的直接应用 例 3 (1)(2020 北京海淀期中)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的纵坐标为 2，点 C 在 x 轴的正半轴上在AOC 中，若 cos AOC 5 3 ，则点 A 的横坐标为( A ) A 5 B 5 C3 D3 (2)若角 的终边经过点 P( 3，m)(m0)且 sin 2 4 m，则 cos 的值为_ 6 4 _. 分析 利用三角函数的定义求解 解析 (1)设点 A 的横坐标为 x， 则由题意知 x
14、x24 5 3 ， 解得 x 5或 5， 又 x0 Bcos(305 )0 Dsin 100 (2)若 sin tan 0，且cos tan 0，则角 是( C ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 解析 (1)300 360 60 ， 则 300 是第四象限角， 故 sin 300 0， 305 360 55 ， 则305 是第一象限角，故 cos(305 )0，而22 3 82 3 ，所以22 3 是第二象限角， 故 tan 22 3 0，因为 3107 2 ，所以 10 是第三象限角，故 sin 100.故选 D (2)由 sin tan 0 可知 sin ， ta
15、n 异号， 则 为第二或第三象限角 由cos tan 0 可知 cos ， tan 异号，则 为第三或第四象限角综上可知， 为第三象限角故选 C 名师点拨 定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角 终边上一点 P 的坐标，可先求出点 P 到原点的距离|OP|r，然后利用三角函 数的定义求解 (2)已知角 的终边所在的直线方程，可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距 离 r，再利用三角函数的定义求解，应注意分情况讨论 变式训练 2 (1)(角度 1)若 sin cos 0，则角 是( D ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 (2)(角度 2)已知角 的终边与单位圆
16、的交点为 P 1 2，y ，则 sin tan 等于( C ) A 3 3 B 3 3 C3 2 D 3 2 解析 (1)由tan sin 0，得 1 cos 0，cos 0，又 sin cos 0，所以 sin 0，所以 为第四 象限角，选 D (2)因为点 P 1 2，y 在单位圆上， 所以 1 2 2y21，解得 y 3 2 . 当 y 3 2 时，sin 3 2 ，tan 3， 所以 sin tan 3 2. 当 y 3 2 时，sin 3 2 ，tan 3，所以 sin tan 3 2. 综上知，sin tan 3 2. 名师讲坛 素养提升 利用三角函数线解三角不等式 例 5 (1)
17、不等式 sin x 3 2 的解集为_ x 2k 3 x 2k2 3 ，kZ _. (2)不等式 cos x1 2的解集为_ x 2k2 3 x2k 2 3 ，kZ _. (3)函数 f(x) 2sin x1lg(2cos x 2)的定义域为_ x 2k 6x0， 得 sin x1 2， cos x 2 2 . 在单位圆中分别画出不等式的解集对应的区域，其公共区域为不等式组的解集， 函数 f(x)的定义域为 x 2k 6xcos 的解集 2k 42k 5 4 ，kZ，sin cos 的解集 2k3 4 |cos |的解集 k 4k 3 4 ，kZ， |sin |cos |的解集 x k 4k 4，kZ . 变式训练 3 (1)函数 ylg(34sin2x)的定义域为_ k 3，k 3 (kZ)_. (2)若3 4 2，从单位圆中的三角函数线观察 sin ，cos ，tan 的大小是( C ) Asin tan cos Bcos sin tan Csin cos tan Dtan sin 0， sin2x3 4. 3 2 sin xOMMP， 故有 sin cos tan .故选 C
