1、1 初中数学初中数学因式分解因式分解方法方法汇总汇总 1 1 提公因法提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两 个因式乘积的形式. 例 1、 分解因式 x -2x -x x -2x -x=x(x -2x-1) 2 2 应用公式法应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多 项式分解因式. 例 2、分解因式 a +4ab+4b a +4ab+4b =（a+2b） 3 3 分组分解法分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项 分成一组
2、,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例 3、分解因式 m +5n-mn-5m m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4 4 十字相乘法十字相乘法 对于 mx +px+q 形式的多项式,如果 ab=m,cd=q 且 ac+bd=p,则多项式可因式分解为 (ax+d)(bx+c) 例 4、分解因式 7x -19x-6 分析：1 -3 7 2 2-21=-19 7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5 5 配方法配方
3、法 对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方 差公式,就能将其因式分解. 例 5、分解因式 x +3x-40 解 x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6 6 拆、添项法拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解. 例 6、分解因式 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b
4、) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7 7 换元法换元法 有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解, 最后再转换回来. 例 7、分解因式 2x -x -6x -x+2 2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x 2 =x 2(x + )-(x+ )-6 令 y=x+ ,x 2(x + )-(x+ )-6 = x 2(y -2)-y-6 = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =
5、(x+1) (2x-1)(x-2) 8 8 求根法求根法 令 多 项 式f(x)=0, 求 出 其 根 为x ,x ,x ,x , 则 多 项 式 可 因 式 分 解 为 f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )(x-x ) 例 8、分解因式 2x +7x -2x -13x+6 令 f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通过综合除法可知,f(x)=0 根为 ,-3,-2,1 则 2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9 9 图象法图象法 令 y=f(x),做出函数 y=f(x)的图象,找到函数图象与 X 轴的交点 x ,x ,x ,x
6、 ,则多项式 可因式分解为 f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )(x-x ) 例 9、因式分解 x +2x -5x-6 令 y= x +2x -5x-6 作出其图象,见右图,与 x 轴交点为-3,-1,2 则 x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10 10 主元法主元法 先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解. 例 10、分解因式 a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此题可选定 a 为主元,将其按次数从高到低排列 a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b
7、 c-c b) =(b-c) a -a(b+c)+bc =(b-c)(a-b)(a-c) 1111 利用特殊值法利用特殊值法 将 2 或 10 代入 x,求出数 P,将数 P 分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因 数写成 2 或 10 的和与差的形式,将 2 或 10 还原成 x,即得因式分解式. 例 11、分解因式 x +9x +23x+15 令 x=2,则 x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 将 105 分解成 3 个质因数的积,即 105=357 注意到多项式中最高项的系数为 1,而 3、5、7 分别为 x+1,x+3,x+5,在 x=2 时的值 则 x +9x +23x+15=（x+1） （x+3） （x+5） 1212 待定系数法待定系数法 首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因 式分解. 例 12、分解因式 x -x -5x -6x-4 分析：易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式. 设 x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 则 x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)
