1、人教版人教版 数学数学 八年级八年级 下册下册 【思考思考】下下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？ 1 4 算术平方根之门算术平方根之门 平方之门平方之门 0 -4 -1 aa 2 ()a a0 1 1 2 1 4 导入新知导入新知 我们都是非我们都是非 负数负数哟！哟！ 【思考思考】若若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇 门出来呢？门出来呢？ 算术平方根之门算术平方根之门 平方之门平方之门 1 4 0 -4 -1 1 16 4 1 1 16 1 4 a 2 a 2 a a为任意数为任意数 【想想一一想想】 你
2、发现了什么？你发现了什么？ 导入新知导入新知 我们都是非负数，我们都是非负数， 可出来之前我们有可出来之前我们有 正数，零和负数正数，零和负数. . 2. 会运用二次根式的会运用二次根式的两个性质两个性质进行化简计算进行化简计算. . 素养目标素养目标 1. 经历探索性经历探索性质质 = a（a0）和和 = a （a0）的过程，并理解其意义的过程，并理解其意义，体验归纳、，体验归纳、 猜想的思想方法猜想的思想方法. 2 a（） 2 a 3. 了解了解代数式代数式的概念，进一步体会代数式在表的概念，进一步体会代数式在表 示数量关系方面的作用示数量关系方面的作用. . （2）什）什么是一个数的算术
3、平方根？如何表示？么是一个数的算术平方根？如何表示？ （1）什什么叫做一个数的平方根？如何表示？么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一一般地，若一个数的平方等于般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫，则这个数就叫 做做a的平方的平方根根. 若若一个正数的平方等于一个正数的平方等于a，则这个数就叫做，则这个数就叫做a的算术的算术 平方平方根根. a的平方根是的平方根是a 用用 (a0)表表示示. a a 知识点 1 （a0) ) 性质性质 2 a 探究新知探究新知 （1）填空：）填空： （2）通过（）通过（1）的计算，的计算，你能确定你能确定( ( ) )（a0）的）的 化简结果吗？说说你的理由
4、化简结果吗？说说你的理由. . a 22 22 2( 4)(),()() 1 ()(),( 0)() 3 4 0 1 3 探究新知探究新知 2 4 是是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于是一个平方等于4的非负数，因此有的非负数，因此有( ) =4. 4 同理，同理， 分别是分别是 的算术平方的算术平方根根. 因此因此 , , 1 20 3 , 1 20 3 , ( )=2 2( )= 1 3 1 3 ( )=00 探究新知探究新知 4 的性质：的性质： 2 ()(0 )aa 一般地，一般地， a ( (a 0) ). . 2 ()a 即一
5、个非负数的算术平方根的平方等于它本身即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. . 注意注意：不要忽：不要忽略略 a0 这这一限制条件一限制条件. .这是使二次根式这是使二次根式 有意义的前提条件有意义的前提条件. . a 探究新知探究新知 归归纳：纳： 例例1 计算：计算： 解解： 积的乘方：积的乘方： （ab）2=a2b2 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 利用利用 的性质进行计算的性质进行计算 2 ()(0)aa （1） ； （2） . 2 5 . 1 ）（ 2 52）（ （1） ; 2 .5511（） （2） 222 22 55）（） ( (2) )可以用到幂可以用到幂 的哪条基
6、本性的哪条基本性 质呢？质呢？ 4 520. 解解: : 巩固练习巩固练习 计算计算： 2 7）（ 2 63）（1） ;（2） . 2 77（） （1） ; 222 33 66）（） （2） 54. 9 6 解：解： 探究新知探究新知 素养考点素养考点 2 利用利用 的性质分解因式的性质分解因式 2 ()(0)aa 2 ()0aa a总结总结：本题逆用了本题逆用了 在实数范围内在实数范围内 分解因式分解因式. . 例例2 在实数范围内分解因式：在实数范围内分解因式： （1）4x2-5 ; ( (2) )m4-6m2+9. 2 (2)5(25)45xxx（1） ; 422222 69(3)(3)
7、 (3)mmmmm（2） . 巩固练习巩固练习 在在实数范围内分解因式：实数范围内分解因式： （1）x2-11; ( (2) )x4-14x2+49. 解：解：（1）x2-11 =(x+ )(x- ); 1111 7 ( (2) ) x4-14x2+49 =(x2-7)2 =(x- )2(x+ )2. 7 20.1 0 2 3 2 2 2 0 1 . 2 2 3 （ ） 2 0 化简下列根式，想一想化简下列根式，想一想 知识点 2 的性质的性质 2 (0)aa 探究新知探究新知 化简后，你能确定化简后，你能确定 的化简结果吗？的化简结果吗？ 2 (0)aa . 平方平方 运算运算 算术平算术平
8、 方根方根 2 0.1 0 . 4 4 9 a(a0) 2 a 2 a 2 . 2 3 观察两者有什么关系？观察两者有什么关系？ 0.01 0.1 0 2 3 0 填一填：填一填： a (a0). 2 a 探究新知探究新知 . 平方平方 运算运算 算术平算术平 方根方根 -2 -0.1 . 4 4 9 2 a 2 a 2 . 2 3 观察两者有什么关系？观察两者有什么关系？ 0.01 0.1 2 3 a(a0) 【猜猜一一猜猜】当当a0时，时， = = 2 a？-a 探究新知探究新知 a (a0) 2 aa -a (a0) 即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的即任意一个数的平方的算术平方
9、根等于它本身的 绝对值绝对值. . 探究新知探究新知 归归纳：纳： 的的性质：性质： 2 a 解：解： 2 aa 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1 利用利用 的性质进行计算的性质进行计算 2 (0)aa 警警示示： 而而3.14，要注意，要注意a的正负性的正负性. 例例1 化简：化简： （1） ;（2） ; （3） ;（4） . 16 2 5- ）（ 2- 10 2 -14. 3）（ ( (1) ;) ; 2 1644 ( (2) ;) ; 22 5-55（ ） ( (3) ;) ; -1-22-1 101010（） ( (4) . ) . 2 3.14-3.14-3.14（） 【讨讨论
10、论】（1）在）在 中，中，可否去掉可否去掉“a0”？如果去？如果去 掉掉“a0”,结论将会发生怎样的变化？结论将会发生怎样的变化？ （2）第二小题中的）第二小题中的 能能否直接使用性质否直接使用性质 进行化简？进行化简？ 探究新知探究新知 )0( 2 aaa 2 5- ）（() 2 0aa a 探究新知探究新知 方法点拨 计算计算 一般有两个一般有两个步骤步骤: : 2 a 去根号及被开方数的指数去根号及被开方数的指数, ,写成绝对值的形写成绝对值的形 式式, ,即即 ; ; 2 aa 去掉绝对值符号去掉绝对值符号, ,即即 . . (0 ) (0 ) aa a aa 请请同学们快速分辨下列各
11、题的对错同学们快速分辨下列各题的对错 （ ） 2 2 2 2 (1)22 (2)22 (3)22 (4)22 巩固练习巩固练习 （ ） （ ） （ ） 3 7 4 81 巩固练习巩固练习 化化简：简： （1） = ; （2） = ; （3） = ; （4） = ; 2 7 2 81 9 2 ( 4) （5） =_ ; （6） =_ . 2 6 . 0 23- 10 ）（ 0.610-3 【议议一一议议】如如何区别何区别 与与 ？ 2 a 2 ()a 2 ()a 2 a 从运算从运算 顺序看顺序看 从取值从取值 范围看范围看 从运算从运算 结果看结果看 先开方先开方, ,后平方后平方 先平方，后
12、开方先平方，后开方 a0a取任何实数取任何实数 a|a| 意义意义 表示一个非负表示一个非负 数数a的算的算术平术平 方根的平方方根的平方 表示一个实数表示一个实数 a的平方的算的平方的算 术平方根术平方根 探究新知探究新知 2 22 .abab 解：解：由数轴可知由数轴可知a0，b0，a-b0， 原式原式=|a|-|b|+|a-b| =-a-b-（a-b） =-2a. 例例2 实数实数a、b在数轴上的对应点如图所示，在数轴上的对应点如图所示， 请你化简请你化简: : ab 探究新知探究新知 素养考点素养考点 2几何图形与几何图形与 的性质相结合的题目的性质相结合的题目 2 a -1 012a
13、 实数实数a在数轴上的位置如图所示，化简在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是的结果是 . 2 2(1)aa 1 巩固练习巩固练习 实数实数a,b在数轴上对应点的位置如图在数轴上对应点的位置如图所示所示, 化简化简 的的结果是结果是( () ) A.-2a+b B.2a-b C.-b D.b 2 )(baaA a b0 （1）含）含有数或表有数或表示数的字母；示数的字母； （2）用基本运算符号连接数或表示数的字母）用基本运算符号连接数或表示数的字母 3 3 s abxa t ， ， ， （a0） 回回顾我们学过的式子，如顾我们学过的式子，如 ，这些式子有哪些共同这些式子有哪些共同 特征？特征？
14、 知识点 3代数式的定义代数式的定义 探究新知探究新知 52aab， ，+ + 用用基本运算符号基本运算符号（基本运算包（基本运算包括加、减、乘、除、乘方括加、减、乘、除、乘方 和开方）把和开方）把 或或 连接起来的式子，我们连接起来的式子，我们 称这样的式子为称这样的式子为代数式代数式. . 数数表示数的字母 【想想一一想想】到到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？ 代数式代数式 整式整式 分式分式 二次根式二次根式 探究新知探究新知 归归纳：纳： 探究新知探究新知 素养考点素养考点 1利用代数式的定义判断代数式利用代数式的定义判断代数式
15、例例1 下下列式子列式子:( (1) )x; ( (2) )a-b; ( (3) ) ;( (4) ) ; ( (5) )m=1+n;( (6) )2x1;( (7) )-2.其中是代数式的有其中是代数式的有( () ) A.4个个 B.5个个 C.6个个D.7个个 n m 2 1x B 下列下列式子是代数式的有式子是代数式的有 ( ( ) ) a2+b2 ; ; 13; x=2; 3（4 5）; x10; 10 x+5y=15 ; ab . a c b A.3个个 B.4个个 C.5个个 D.6个个 C 巩固练习巩固练习 解：解：（1）船在这条河中顺水行驶的速度是船在这条河中顺水行驶的速度是
16、 km/h，逆水行驶的速度，逆水行驶的速度是是 km/h (2.5)v (2.5)v 例例2 （1）一条河的水流速度是一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度，船在静水中的速度 是是 v km/h，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水，用代数式表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶行驶 时的速度；时的速度； （2）如图，小语要制作一个如图，小语要制作一个长与宽之比为长与宽之比为5:3的长方形贺卡，的长方形贺卡， 若若面积为面积为S，用代数式表示出它的长，用代数式表示出它的长. （2）设贺卡的长为设贺卡的长为5x,则宽为则宽为3x.依题意得依题意得15x2=S，所以所以 所所 以它的长
17、为以它的长为 , 15 S x 5. 15 S 探究新知探究新知 素养考点素养考点 2列代数式列代数式 探究新知探究新知 列代数式的要点：列代数式的要点： 要抓住要抓住关键词语关键词语，明确它们的意义以及它们之间，明确它们的意义以及它们之间 的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、 分、倒数、相反数等；分、倒数、相反数等； 理清语句层次明确理清语句层次明确运算顺序运算顺序； 牢记一些牢记一些概念和公式概念和公式 方法点拨 如图，是一个圆如图，是一个圆形挂钟，正面面积为形挂钟，正面面积为S，用代，用代 数式表示出钟的半径为数式表示出钟的半径为_
18、. S 巩固练习巩固练习 4 2.下列等式正确的是下列等式正确的是（）（） A B C D 33 2 ）（3-3- 2 ）（ 3333-3- 2 ）（ A 1.计算计算 的结果是的结果是_13 2 ）（ 连接中考连接中考 C 2. 当当1x3时，时， 的值为（的值为（ ） A.3 B.-3 C.1 D.-1 (x x 2 3) 3 D 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 B3.在下列各式中，不是代数式的是（）在下列各式中，不是代数式的是（） A.7 B.32 C. D x 2 xy 22 2 3 1.化简化简 的结果是的结果是（）（） A2 B2 C2 D4 - 2 2（
19、） 4.计算：计算： 解解: 课堂检测课堂检测 （1） ; （2） ; （3） ; （4） . 2 76. 0）（ 2 15）（ 2 2- ）（ 2 2 . 1-）（ （1） ; 2 0.760.76（） （2） ; 2 1155（） （3） ; 22 2-22（ ）（4） . 22 1.2-1.21.2（） 5.在实数范围内分解因式：在实数范围内分解因式： 解：解： 课堂检测课堂检测 （1）x2-3;( (2) )y4-4y2+4. （1）x2-3 = ;3)(3)xx（ ( (2) )y4-4y2+4 =(y2-2)2 2 2 2 2y = = . 22 2) (2)yy（ 实数实数a、b
20、在数轴上的对应点如图所示在数轴上的对应点如图所示， 化简：化简： . . 22 44aabbab 解：解：根据数轴可知根据数轴可知ba0， a+2b0，a-b0， 则则 =|a+2b|+|a-b| =-a-2b+a-b=-3b 22 44aabbab 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 课堂检测课堂检测 ab0 已知已知a、b、c是是ABC的三边长，化简：的三边长，化简： 222 .abcbcacba 解：解：a、b、c是是ABC的三边长，的三边长， a+b+c0，b+ca，b+ac， 原式原式=|a+b+c|-|b+c-a|+|c-b-a| =a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c） =a+b+c-b-c+a+b+a-c =3a+b-c 分析：分析： 利用三角形利用三角形 三边关系三边关系 三边长均为正数三边长均为正数，a+b+c0 两边之和大于第三边，两边之和大于第三边，b+c-a 0，c-b-a0 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 二次根式二次根式 性 质性 质 2 ()(0)aaa ( (a 0) ) 2 =aa 拓展性质拓展性质 课堂小结课堂小结 （a为为全体实数）全体实数） 2 =aa 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
