1、数学试题答案 第 1 页（共 7 页） 山东省实验中学 2021 届高三第一次模拟考试 数学参考答案 14 ABAC 58 BCAD 9.BD 10.BC 11.ABC 12.ACD 13. 2 14. 1 9 15. 5 4 16.57 17.解： （1）若选，由已知得 222 sinsinsinsinsinBCABC+=2 分 故由正弦定理得 222 bcabc+= 由余弦定理得 222 +c1 cos 22 ba A bc =4 分 0180A 60A=5 分 若选，由二倍角公式 2 3 cos1 2sin 242 AA = = 2 分 2 1 cos2cos1 22 A A= =4 分
2、 又A是三角形内角，60A=5 分 若选，由题设及正弦定理得sinsinsinsin 2 BC BAB + = sin0B ，sinsin 2 BC A + = 2 分 由180ABC+=，可得sincos 22 BCA+ = 故cos2sincos 222 AAA = cos0 2 A 1 sin 22 A = 4 分 又A是三角形内角，60A= 5 分 (2)由已知，当ABC有且只有一解时， sin603m= 或0 3m 故 ( 0, 32m 7 分 数学试题答案 第 2 页（共 7 页） 当 2m= 时，ABC为直角三角形， 13 13 22 S = =8 分 当03m时，3,60aA=
3、 由余弦定理可得 222 2cos2abcbcAbcbcbc=+= 3bc，当且仅当bc=时等号成立 故三角形面积为 13 3 sin 24 SbcA= max 3 3 4 S= 10 分 18.解： （1） 连接 11 ,AD AE BC， 则四边形 11 ABC D为平行四边形， 又因为,E F 分别为 1 ,BC CC的中点，所以 11 / /ADBC， 11 / / /EFBCAD，所以所 求截面为梯形 1 EFD A。 -3 分 22 2EFECCF=+=， 1 2 2AD =， 1 2AED F=，梯形的高 22 1 1 ( () 2 hD FADEF= 6 2 ，-5 分 所以所
4、求截面面积 163 3 ( 22 2) 222 S =+=。 -6 分 公众号：潍坊高中数学 数学试题答案 第 3 页（共 7 页） (2)以 D 为坐标原点，以 1 ,DA DC DD分别为, ,x y z轴建立空间直 角坐标系。 则 11 (2,0,0),(0,1,2),(0,0,2), (1,1,0)ACDE， 若 所 经 过 路 程 最 短 ， 则APB与 11 C PB相 似 ， 所 以 111 2 1 B PBC BPAB =，所以 2 (2,1, ) 3 P。-8 分 2 (0,1, ) 3 AP =， 1 ( 2,1,2)AC = ， 设平面 1 APC的法向量 n( , ,
5、)x y z=,则 2 0 3 220 yz xyz += += ，令3z =，则2,2yx= = 所以 n(2, 2,3)=, 1 ( 1, 1,2)ED = 。-10 分 1 cos,D En= 226102 174491 1 4 + = + + ，-11 分 所以直线 1 ED与平面 1 APC所成的角的正弦值是 102 17 。-12 分 19.（）设等差数列 n a 的公差为d，由 32 21=+SS ， 可得 11 332(2)1+=+adad，即 1 10+ =ad记为 又因为 * 21 23, + =+ nn aanN， 取1n=，所以 31 23=+aa，即 1 230+=a
6、d记为， 由可得 1 1a =，2d = 故 n a的通项公式为21 n an=-4 分 （2）由 12 3(21) n bbnbn+=， 数学试题答案 第 4 页（共 7 页） 1n=，可得 1 1b = 2n时， 12 3(21) n bbnbn+= 121 3(23)1(2) n bbnbnn += 上述两式作差可得 1 (2) 21 n bn n = ， 由 1 1b =可知 * 1 () 21 n bnN n = -7 分 所以 1 4411 ( 1)( 1)( 1) () (21)(21)2121 nnnn n n bn annnn + = = + + -9 分 当n为偶数时 11
7、1111111 (1)()()()() 3355723212121 n T nnnn = + + ， 12 1 2121 n n T nn = += + -10 分 当n为奇数时， 1111111 (1)()()() 335572121 n T nn = + + 122 1 2121 n n T nn + = = + -11 分 故 () () 2 21 22 21 n n n n T n n n + = + + 为偶数 为奇数 -12 分 20.（1）依题意， () + =+ 1 11 1 42 nnn PPP ，-2 分 则 + = 1 212 545 nn PP * (1,)nnN -3
8、 分 当= 1n时，可得= 1 24 515 P， 数列 2 5 n P 是首项为 4 15 公比为 1 4 的等比数列.-4 分 -5 分 （2）第二天选择 A 类套餐的概率=+= 21111 34323 A P；-6 分 第二天选择 B 类套餐的概率=+= 23112 34323 B P = 2161 () 5154 n n P 公众号：潍坊高中数学 数学试题答案 第 5 页（共 7 页） 3 人在第二天的有X个人选择A套餐， X的所有可能取值为 0、1、2、3 有 ()() = 3 3 12 0,1,2,3 33 kk k P XkCk， X的分布列为 X 0 1 2 3 P 8 27
9、4 9 2 9 1 27 故( )=+ += 8421 01231 279927 E X.-10 分 （3）由(1)知：= 2161 () 5154 n n P 30 2 5 P，即第 30 次以后购买套餐的概率约为 2 5 . 负责套餐的 8 人，负责套餐的 12 人.-12 分 21.(1)由题意知 2 3 c e a = 2 10 3 b c a = 又 222 abc=+ 2 5,2bc=3 分 椭圆标准方程为 22 1 95 xy +=4 分 (2) 1 EFx轴， 5 2, 3 E 设() 0 0,Sy，则 0 3 5 5 3 y = 0 1y= 即()0,1S 2 3 c a =
10、 3 2 SA SE = 1 sin 3 2 3 1 2 sin 2 SMA SEN SMSAMSA SMS SSN SNSEESN = 2SMSN= 即 2SMSN= 设() 11 ,M x y() 22 ,N xy则 () 11 ,1SMx y= () 22 ,1SNxy= A AB 数学试题答案 第 6 页（共 7 页） 12 2xx= 7 分 当直线MN的斜率不存在时，MN的方程为 0 x = ，此时 51 2 51 SM SN + = 不符合条件 8 分 当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为1ykx=+ 联立 22 1 1 95 ykx xy =+ += 得() 22 5918
11、360kxkx+=9 分 12 2 12 2 12 18 59 36 59 2 k xx k x x k xx += + = + = 得 2 2 2 2 2 18 59 18 59 k x k x k = + = + 10 分 2 22 1818 5959 k kk = + 解得 5 3 k = 11 分 故直线MN的方程为 5 1 3 yx=+或 5 1 3 yx= + 12 分 22.【解析】解： （1） 法一： ( )ln120fxxax=+ + 在(0, )+ 上恒成立，（1 分） 所以 ln1 2 x a x ，令 ln1 ( ) x h x x =，则 2 ln ( ) x h x
12、 x =， 由 2 ln 0 x x ，得1x ，所以( )h x在(1,)+单调递增， 由 2 ln 0 x x ，得01x，所以( )h x在(0,1)单调递减， 所以当1x =时，( )h x取得最小值h（1）1= ，（3 分） 所以 1 2 a （4 分） 公众号：潍坊高中数学 数学试题答案 第 7 页（共 7 页） 法二：( )ln120fxxax=+ +在(0,)+上恒成立，（1 分） 1 ( )2fxa x =+， 当0a 时，(1)0f，不满足题设，-2 分 当0a 时， 11 ( )20, 2 fxax xa =+=， 在 1 (0,) 2a 上( )0fx ，( )fx单调
13、递增；在 1 (,) 2a +上( )0fx ，( )fx单调递减； max 111 ( )ln()12 ()ln()0 222 fxa aaa =+ +=，所以 1 2 a （4 分） （2） 2 ( ) ( )cossini g xaxxxx=+，(0 x， 2 ， 所以( )(2sin )g xxax=， 当 1 2 a时，2sin0ax，所以( )g x在(0， 2 单调递增， 又因为(0)0g=，所以( )g x在(0， 2 上无零点（5 分） 当 1 0 2 a时， 0 (0,) 2 x ，使得 0 sin2xa=， 所以( )g x在 0 (x， 2 单调递减，在 0 (0,)x
14、单调递增， 又因为(0)0g=， 2 ()1 24 a g =， 所以若 2 10 4 a ，即 2 4 a 时，( )g x在(0， 2 上无零点，（7 分） 若 2 1 0 4 a ，即 2 4 0a 时，( )g x在(0， 2 上有一个零点，（8 分） 当0a时，( )2sin0g xaxx=，( )g x在(0， 2 上单调递减，( )g x在(0， 2 上无零点， 综上当 2 4 0a 时，( )g x在(0， 2 上有一个零点（9 分） ( )ii证明： 2 ( )exf xxx，等价于ln1 x xaxxe+， 即证 ln ln1 xx exax + +，-10 分 由（1）得ln1xx，可得e1 x x+，所以 ln ln1 xx exx + +， 所以当1a 时， 2 ( )exf xxx恒成立。-(12 分)
