1、人教版人教版 数学数学 八年级八年级 下册下册 工工厂生产的产品都有一定的规格要求，如图所厂生产的产品都有一定的规格要求，如图所 示：该模板中的示：该模板中的AB、BC 相交成直角才符合相交成直角才符合规定规定. .你你 能测出这个零件是否合格呢？能测出这个零件是否合格呢？( (身边只有刻度尺身边只有刻度尺) ) A BC 导入新知导入新知 在在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需要使用军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需要使用 一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到，一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到， 这节课让我们一起来学习这节课让我们一起来学习
2、吧！吧！ 导入新知导入新知 2. 进一步加深对勾股定理与其进一步加深对勾股定理与其逆定理逆定理之间关系的之间关系的 认识认识. 1. 应用勾股定理的逆定理应用勾股定理的逆定理解决实际问题解决实际问题. 素养目标素养目标 3. 将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数数 学问题学问题. 1 2 如如图，某港口图，某港口P位于东西方向的海岸线上位于东西方向的海岸线上. “. “远航远航”号、号、“海海 天天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“,“远航远航”号号 每小时航行每小时航行16海里海里, ,“海天海
3、天”号每小时航行号每小时航行12海里海里. .它们离开港口它们离开港口 一个半小时后分别位于点一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距处，且相距30海里海里. .如果知道如果知道“远航远航” 号沿东北方向航行号沿东北方向航行, ,能知道能知道“海天海天”号沿哪个方向航行吗？号沿哪个方向航行吗？ N EP Q R 探究新知探究新知 知识点 1 利用勾股定理的逆定理解答角度问题利用勾股定理的逆定理解答角度问题 【思考思考】1. .认认真读题，找已知是什么？真读题，找已知是什么？ “远航远航”号的航向、两艘船的一个半号的航向、两艘船的一个半 小时后的航程及距离已知，如下图小时后的航程及距离已知，如下图
4、. . 1 2 N EP Q R 161.5=24 121.5=18 30 3.由由于我们现在所能得到的都于我们现在所能得到的都 是线段长，要求角，由此我们是线段长，要求角，由此我们 想到利用什么思想？想到利用什么思想？ 要解决的问题是求出两艘要解决的问题是求出两艘 船航向所成角船航向所成角. . 勾股定理勾股定理逆定理逆定理. . 探究新知探究新知 【思考思考】2.需需要解决的问题是什么？要解决的问题是什么？ 转化的转化的思想思想. . 4.知知道线段长度，通过线段长度来道线段长度，通过线段长度来求角的求角的度数，我们可以度数，我们可以 利用什么转化呢？利用什么转化呢？ 解：解：根据题意得根
5、据题意得 PQ=161.5=24( (海里海里) ), PR=121.5=18( (海里海里),), QR=30海里海里. 242+182=302，即即PQ2+PR2=QR2,QPR=90. 由由“远航远航”号沿东北方向航行可知号沿东北方向航行可知1=45. 2=45，即，即“海天海天”号沿西北方向航行号沿西北方向航行. N EP Q R 1 2 探究新知探究新知 方法点拨方法点拨：解决实际问题的步骤解决实际问题的步骤：标标注有用信息注有用信息, ,明确已知和明确已知和 所求所求；构构建几何模型建几何模型( (从整体到局部从整体到局部) )；应应用数学知识求解用数学知识求解. . 在寻找马航在
6、寻找马航MH370航班过程中，两艘搜救舰艇接到消息，在海航班过程中，两艘搜救舰艇接到消息，在海 面上有疑似漂浮目标面上有疑似漂浮目标A、B. 接到消息后，一艘舰艇以接到消息后，一艘舰艇以16海里海里/时时 的速度离开港口的速度离开港口O(如图所示如图所示)向北偏东向北偏东40方向航行，另一艘舰方向航行，另一艘舰 艇在同时以艇在同时以12海里海里/时的速度向北偏西一定角度的航向行驶，时的速度向北偏西一定角度的航向行驶， 已知它们离港口一个半小时后相距已知它们离港口一个半小时后相距30海里，问另一艘舰艇的航海里，问另一艘舰艇的航 行方向是北偏西多少度？行方向是北偏西多少度？ 巩固练习巩固练习 解：
7、解：由题意得，由题意得，OB121.518海里，海里， OA161.524海里海里， 又又AB30海里，海里， 182242302，即，即OB2OA2AB2， AOB90. DOA40， BOD50. . 则另一艘舰艇的航行方向是北偏西则另一艘舰艇的航行方向是北偏西50. . 巩固练习巩固练习 如如图，四边形图，四边形ABCD中，中，ABAD，已知已知AD=3cm， AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形求四边形ABCD 的面积的面积. . 解：解：连接连接BD. . 在在RtABD中中, ,由勾股定理得由勾股定理得 BD2=AB2+AD2， BD=5cm. .又又 CD=12
8、cm，BC=13cm, BC2=CD2+BD2，BDC是直角三角形是直角三角形. . S四边形 四边形ABCD=SRtBCD SRt ABD= BDCD ABAD = (51234)=24 (cm2) C B A D 探究新知探究新知 知识点 2利用勾股定理的逆定理解答面积问题利用勾股定理的逆定理解答面积问题 1 2 1 2 1 2 如如图，在四边形图，在四边形ABCD中，中，ACDC，ADC的面积为的面积为30 cm2， DC12 cm，AB3cm，BC4cm，求，求ABC的面积的面积. . 解解: S ACD=30 cm2， ，DC12 cm. AC=5 cm. 又又 ABC是直角三角形是
9、直角三角形, , B是直角是直角. D C B A 巩固练习巩固练习 如如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方 形，他在挖完后测量了一下，发现形，他在挖完后测量了一下，发现ABDC8m，ADBC 6m，AC9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？ 解：解：ABDC8m，ADBC6m， AB2BC282626436100. 又又AC29281， AB2BC2AC2，ABC90， 该农民挖的不合格该农民挖的不合格 知识点 3 探究新知探究新知 利用勾股定理的逆定理解答检测问题利用勾股定理
10、的逆定理解答检测问题 一一个零件的形状如图个零件的形状如图所示所示, ,按规定这个零件中按规定这个零件中A和和 DBC都应为直角都应为直角, ,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如工人师傅量得这个零件各边的尺寸如 图图所示所示, ,这个零件符合要求吗这个零件符合要求吗? ? D A B C 4 3 5 13 12 D A B C 图图 图图 巩固练习巩固练习 在在BCD中，中， BCD 是直角三角形，是直角三角形，DBC是直角是直角. . 因此，这个零件符合要求因此，这个零件符合要求. . 解：解：在在ABD中，中， ABD 是直角三角形，是直角三角形，A是直角是直角. . D A B C 4 3
11、 5 13 12 图图 巩固练习巩固练习 AB2+AD2=32+42=25=52=BD2, BD2+BC2=52+122=169=132=CD2, 我国南宋著名数学家秦九韶的著作我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样数书九章里记载有这样 一道题：一道题：“问有沙田一块，有三斜，问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里其中小斜五里，中斜十二，中斜十二 里，大斜十三里，欲知为田几何？里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是这道题讲的是：有一块三：有一块三 角形沙田，三条边长分别为角形沙田，三条边长分别为5里，里，12里，里，13里，问这块沙田面积里，问这块沙田面积 有多大？题中有多大？题
12、中“里里”是我国市制长度单位，是我国市制长度单位，1里里= =500米，则该沙米，则该沙 田的面积为（）田的面积为（） A7.5平方千米平方千米 B15平方千米平方千米 C75平方千米平方千米 D750平方千米平方千米 A 连接中考连接中考 B B 课堂检测课堂检测 基 础 巩 固 题基 础 巩 固 题 1.五根小木棒，其长度分别为五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他，现将他 们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是 （）（）D A. B. C. D. 2.如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东如图是医院、公园和
13、超市的平面示意图，超市在医院的南偏东 25的方向，且到医院的距离为的方向，且到医院的距离为300 m，公园到医院的距离为，公园到医院的距离为 400 m，若公园到超市的距离为，若公园到超市的距离为500 m，则公园在医院的，则公园在医院的 ( )( ) A.北偏东北偏东75的方向上的方向上 B.北偏东北偏东65的方向上的方向上 C.北偏东北偏东55的方向上的方向上 D.无法确定无法确定 B 课堂检测课堂检测 3.如图，某探险队的如图，某探险队的A组由驻地组由驻地O点出发，以点出发，以12km/h的速度前进，的速度前进， 同时，同时，B组也由驻地组也由驻地O出发，以出发，以9km/h的速度向另一
14、个方向前进，的速度向另一个方向前进， 2h后同时停下来，这时后同时停下来，这时A，B两组相距两组相距30km此时，此时，A，B两组两组 行进的方向成直角吗？请说明理由行进的方向成直角吗？请说明理由. 解：解：出发出发2小时，小时，A组行了组行了122=24(km)， B组行了组行了92=18(km)， 又又A，B两组相距两组相距30km， 且有且有242+182=302， A，B两组行进的方向成直角两组行进的方向成直角 课堂检测课堂检测 A OB 4.在城市街路上速度不得超过在城市街路上速度不得超过70千米千米/ /时，一辆小汽车某一时刻时，一辆小汽车某一时刻 行驶在路边车速检测仪的北偏东行驶
15、在路边车速检测仪的北偏东30距离距离30米处，过了米处，过了2秒后秒后 行驶了行驶了50米，此时小汽车与车速检测仪间的距离为米，此时小汽车与车速检测仪间的距离为40米米. . 问：问： 2秒后小汽车在车速检测仪的哪个方向秒后小汽车在车速检测仪的哪个方向? ?这辆小汽车超速了吗这辆小汽车超速了吗? ? 车速检测仪车速检测仪 小汽车小汽车 30米米 30 北北 60 解：解：小汽车在车速检测仪小汽车在车速检测仪 的南的南偏东偏东60方方向或向或北北偏偏 西西60方方向向. . 25米米/ /秒秒= =90千米千米/ /时时70千米千米/ /时时 小汽车小汽车超速超速了了. . 2秒后秒后 50米米
16、 40米米 课堂检测课堂检测 如如图，四边形图，四边形ABCD中，中，B90，AB3，BC4，CD 12，AD13,求四边形求四边形ABCD的面积的面积. . 分分析析：连接连接AC，把四边形分成两个三角形，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出先用勾股定理求出AC 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断的长度，再利用勾股定理的逆定理判断ACD是直角三角形是直角三角形. A D B C 3 4 13 12 能 力 提 升 题能 力 提 升 题 课堂检测课堂检测 解：解：连接连接AC. . 在在RtABC中，中， 在在ACD中，中， AC2+CD2=52+122=169=AD2， ACD是直角三角
17、形，是直角三角形， 且且ACD=90. . S四边形 四边形ABCD=SRtABC+SRtACD=6+30=36. 2222 345,ACABBC 课堂检测课堂检测 A D B C 3 4 13 12 如如图，在图，在ABC中，中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为且周长为36cm，点点P 从从点点A开始沿开始沿AB边向边向B点以每秒点以每秒2cm的速度移动，点的速度移动，点Q从点从点C沿沿CB 边向点边向点B以每秒以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求时，求 PQ的长的长 解：解：设设AB为为3xcm，BC为为4xcm，AC为为5xcm，周长为周
18、长为36cm， 即即AB+BC+AC=36cm， AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm. AB2+BC2=AC2，ABC是直角三角形，过是直角三角形，过3秒时秒时， BP=9-32=3(cm)，BQ=12-13=9(cm)， 在在RtPBQ中，由勾股定理得中，由勾股定理得 22 393 10(cm).PQ 课堂检测课堂检测 拓 广 探 索 题拓 广 探 索 题 3x+4x+5x=36，解得解得x=3. P C BA Q 勾股定理的逆勾股定理的逆 定理的应用定理的应用 应 用应 用 航海问题航海问题 方 法方 法 认真审题认真审题, ,画出画出符合题意符合题意的图的图 形形, ,熟练运用勾股定理及其逆熟练运用勾股定理及其逆 定理来解决问题定理来解决问题 与勾股定理结合解决与勾股定理结合解决不规不规 则图形则图形等问题等问题 课堂小结课堂小结 课后作业课后作业 作业 内容 教材作业 从课后习题中选取从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习配套练习册练习
