1、（新（新高考高考）20212021 届届高三第高三第三三次模拟检测卷次模拟检测卷 数数 学（学（四四） 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第第卷卷 一一、单项单项选择题选择题：本题共本题共 8 8 小题小题，每小题
2、每小题 5 5 分分，共共 4040 分分在在每小题给出每小题给出的的四个选项中四个选项中，只只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1已知集合 2 2740Ax xx， 3Bx x，则AB （） A2,3B2,3 C 1 ,2 2 D 1 ,3 2 2设复数 z 满足 2 3i1 iz，则z （） A 1 2 B 2 2 C 3 2 D1 3关于命题，下列判断正确的是（） A命题“每个正方形都是矩形”是存在量词命题 B命题“有一个素数不是奇数”是全称量词命题 C命题“ 4 ,xx RR”的否定为“ 4 00 ,xxRR” D命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数”
3、 4已知函数 ,(0) 23 ,0 x ax f x axax ，满足对任意 12 xx，都有 12 12 0 f xf x xx 成立， 则 a 的取值范围是（） A0,1aB 3 ,1 4 a C 3 0, 4 a D 3 ,2 4 a 5函数 2sin1f xx的奇偶性为（） A奇函数B既是奇函数也是偶函数 C偶函数D非奇非偶函数 6已知点P是ABC所在平面内一点，且PA PBPC 0 uuruuruuu r ，则（） A 12 33 PABABC B 21 33 PABABC C 12 33 PABABC D 21 33 PABABC 7已知实数x、y满足约束条件 0 0 1 xy m
4、xy xy ，其中1m ，若目标函数 y y xm 的最大值为2， 则m （） A2B2或 3 2 C2或 1 2 D 3 2 82021 年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了 6 名工作人员到A、B、 C三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去 1 人，不同的安排方式共有（） A630 种B600 种C540 种D480 种 二二、多项多项选择题选择题：本题本题共共 4 4 小题小题，每每小题小题 5 5 分分，共共 2020 分分在在每小题每小题给出给出的选项中的选项中，有有多项多项 符合题目要求符合题目要求全部全部选对的得选对的得 5 5 分分，部分部分选对的得选对
5、的得 2 2 分分，有有选错的得选错的得 0 0 分分 9对两个变量 y 和 x 进行回归分析，得到一组样本数据： 11 ( ,)x y， 22 (,)xy，(,) nn xy， 则下列说法中正确的是（） A由样本数据得到的回归方程ybxa $ 必过样本中心, x y B残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C用相关指数 R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好 D若变量 y 和 x 之间的相关系数为09362r ，则变量 y 和 x 之间具有线性相关关系 10截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生 的多面体如图所示，将棱长为3a的正四面
6、体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长 均为a的截角四面体，则下列说法正确的是（） A该截角四面体的表面积为 2 7 3a B该截角四面体的体积为 3 23 2 12 a C该截角四面体的外接球表面积为 2 11 2 a D该截角四面体中，二面角ABCD的余弦值为 1 3 11已知等比数列 n a的公比 2 3 q ，等差数列 n b的首项 1 12b ，若 99 ab且 1010 ab， 则以下结论正确的有（） A 910 0aaB 910 aaC 10 0bD 910 bb 12在平面直角坐标系xOy中，过抛物线 2 2xy的焦点的直线l与该抛物线的两个交点为 11 ( ,)A x
7、 y， 22 (,)B xy，则（） A 12 1 4 y y B以AB为直径的圆与直线 1 2 y = -相切 COAOB的最小值2 2 D经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点一定在定直线上 第第卷卷 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13二项式 6 2 2 x x 的展开式中，常数项为_ 14在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 222 2bca ，则cos A的最小值为 _ 15过圆 222 :0O xyrr外一点2,0引直线l与圆O相交于A，B两点，当AOB的面 积取最大值时，直线l的斜率等于 3 3 ，则
8、r的值为_ 16 设函数 2 1 ( ) x f x x ，( ) x x g x e ， 则函数( )(0) x x g xx e 的最大值为_； 若对任意 1 x， 2 (0,)x ，不等式 12 1 g xf x kk 恒成立，则正数k的取值范围是_ 四、解答题：本四、解答题：本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10 分） 在ABC中， 角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 满足 3sincos3AAcb （1）求角B的大小； （2）若2ac，求b的取值范围 18 （12 分）
9、已知各项均为正数的等差数列 n a满足 1 1a ， 22 11 2() nnnn aaaa （1）求 n a的通项公式； （2）记 b= 1 1 nn aa ，求数列 n b的前 n 项和 Sn 19 （12 分）某行业主管部门为了解本行业疫情过后恢复生产的中小企业的生产情况，随机调查了 120 个企业，得到这些企业第二季度相对于前一年第二季度产值增长率y的频数分布表 y的分组 0.4, 0.2) 0.2,0)0,0.2)0.2,0.4)0.4,0.6) 企业数3024401610 （1）估计这些企业中产值负增长的企业比例（用百分数表示） ； （2）估计这 120 个企业产值增长率的平均数（
10、同一组中的数据用该组区间的中点值代表） ； （3）以表中y的分组中各组的频率为概率，某记者要从当地本行业所有企业中任意选取两个企业 做采访调查若采访的企业的增长率 0.4, 0.2)y ，则采访价值为 1；采访的企业的增长率 0.2,0)y ，则采访价值为 2；采访的企业的增长率0,0.6)y，则采访价值为 3设选取的两 个企业的采访价值之和为X，求X的分布列及数学期望 20 （12 分）如图所示，四棱锥SABCD的底面ABCD为梯形，平面SCD 平面ABCD， 90BADADCSCD ， 1 1 2 ABADCD （1）求证：平面SBD 平面SBC； （2）若二面角ASBC的余弦值为 3 2
11、0 20 ，求SC的长度 21 （12 分）已知圆 2 1 22 :1Fxyr与圆 22 2 2 141:3Fxyrr的公共点的轨 迹为曲线E （1）求E的方程； （2）设点A为圆 22 12 : 7 O xy上任意点，且圆O在点A处的切线与E交于P，Q两点试问： AP AQ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由 22 （12 分）已知函数 ln ( ) x f x x （1）若直线1ykx是曲线( )yf x的切线，求实数 k 的值； （2）若对任意(0,)x，不等式 ln ( )1 a f xax x 成立，求实数 a 的取值集合 （新高考）2021 届高三第三次模拟检测卷 数
12、数 学（学（四四）答答 案案 第第卷卷 一一、单项单项选择题选择题：本题共本题共 8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 4040 分分在在每小题给出每小题给出的的四个选项中四个选项中，只只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 【答案】D 【解析】由 2 2740 xx ，即(21)(4)0 xx，得 1 4 2 x，集合 1 ,4 2 A ， 由3x ，得 2 9x ，即33x ，集合3,3B ， 由数轴表示可得 1 ,3 2 AB ，故选 D 2 【答案】D 【解析】 2 2 3i1 i12ii2iz ， 2i3ii3i 2i13 i 2223i 3i3i z ，
13、 因此， 2 2 13 1 22 z ，故选 D 3 【答案】C 【解析】A 选项，命题“每个正方形都是矩形”含有全称量词“每个”，是全称量词命题，故 A 错； B 选项，命题“有一个素数不是奇数”含有存在量词“有一个”，是存在量词命题，故 B 错； C 选项，命题“ 4 ,xx RR”的否定为“ 4 00 ,xxRR”，故 C 正确； D 选项，命题“每个整数都是有理数”的否定为“存在一个整数不是有理数”，故 D 错， 故选 C 4 【答案】C 【解析】由题意，函数 f x对任意的 12 xx都有 12 12 0 f xf x xx 成立， 即函数 ,(0) 23 ,0 x ax f x a
14、xax 为 R 上的减函数， 可得 01 20 123 a a aa ，解得 3 0 4 a，故选 C 5 【答案】D 【解析】由2sin10 x ，即sin 1 2 x ，得函数定义域为 5 2 ,2 66 ()kkk Z， 此定义域在 x 轴上表示的区间不关于原点对称 所以该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数，故选 D 6 【答案】D 【解析】由题意，PA BAPB ，PA ACPC ，而PA PBPC 0 uuruuruuu r ， 3PA BAAC 0 ， 又AC BCBA ，即3 2PABABC 0 ， 21 33 PABABC ，故选 D 7 【答案】A 【解析】因为实数x、y满足约
15、束条件 0 0 1 xy mxy xy ， 所以可根据约束条件绘出可行域，如图所示， 其中 1 , 11 m A mm ， 1 1 , 2 2 B ，,0P m， 因为目标函数 y z xm 的几何意义是可行域内的点, x y与,0P m所连直线的斜率， 所以目标函数 y z xm 的最大值为2，即 1 2 1 1 PA m m k m m ， 整理得 2 2320mm，解得2m 或 1 2 （舍去） ， 故选 A 8 【答案】C 【解析】把 6 名工作人员分成 1，1，4 三组， 再安排到三个村有 114 3 654 3 2 2 C C C6 5 1 A3 2 190 A2 1 种； 把 6
16、 名工作人员分成 2，2，2 三组，再安排到三个村有 222 3 642 3 3 3 C C C A A90种； 把 6 名工作人员分成 1，2，3 三组， 再安排到三个村有 1233 6533 6 5 4 C C C A3 2 1360 2 1 种， 所以共有9090360540种，故选 C 二二、多项多项选择题选择题：本题本题共共 4 4 小题小题，每每小题小题 5 5 分分，共共 2020 分分在在每小题每小题给出给出的选项中的选项中，有有多项多项 符合题目要求符合题目要求全部全部选对的得选对的得 5 5 分分，部分部分选对的得选对的得 2 2 分分，有有选错的得选错的得 0 0 分分
17、9 【答案】ABD 【解析】A由样本数据得到的回归方程ybxa $ 必过样本中心, x y，故正确； B残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故正确； C用相关指数 R2来刻画回归效果，R2越大，说明模型的拟合效果越好，故错误； D若变量 y 和 x 之间的相关系数为09362r ，r的绝对值接近于 1，则变量 y 和 x 之间具有线 性相关关系，故正确， 故选 ABD 10 【答案】ABC 【解析】如图所示： 由正四面体SNPQ中， 题中截角四面体由 4 个边长为a的正三角形，4 个边长为a的正六边形构成， 故 222 33 4467 3 44 Saaa ，A 正确； 棱长为a的正四面体的高
18、 6 3 ha ， 223 13613623 2 (3 )(3 )4 34334312 Vaaaaa ，B 正确； 设外接球的球心为 O，ABC的中心为 O ，NPQ的中心为 O ， 截角四面体上下底面距离为 62 6 6 33 aaa ， 2222 2 6 3 RO CRO Ha ， 2 222 2 6 33 a RRaa ， 2 222 2 6 33 a RaRa ， 2 222222 84 6 333 a RaRaaRa ， 22 11 8 Ra， 22 11 4 2 SRa，C 正确； 易知二面角SBCA为锐角，所以二面角ABCD的余弦值为负值，D 错误， 故选 ABC 11 【答案】
19、AD 【解析】数列 n a是公比 q 为 2 3 的等比数列； n b是首项为 12，公差设为 d 的等差数列， 则 8 91 2 () 3 aa， 9 101 2 () 3 aa， 217 9101 2 () 3 0aaa，故 A 正确； a1正负不确定，故 B 错误； a10正负不确定，由 1010 ab，不能求得 b10的符号，故 C 错误； 由 99 ab且 1010 ab，则 8 1 2 ()128 3 ad， 9 1 2 ()129 3 ad， 可得等差数列 n b一定是递减数列，即0d ，即有 910 bb，故 D 正确， 故选 AD 12 【答案】ABD 【解析】抛物线的焦点为
20、 1 0, 2 ，设直线AB的方程为 1 2 ykx， 联立 2 1 2 2 ykx xy ，可得 2 210 xkx ，所以 12 2xxk， 12 1x x ， 2 1212 121yyk xxk ， 2 12121212 11111 22244 y ykxkxk x xk xx ， 故 A 正确； 以AB为直径的圆的圆心为 1212 , 22 xxyy ，即 2 1 , 2 k k ， 半径为 2 12 1 1 22 AByy k ， 所以圆心到直线 1 2 y = -的距离为 22 11 1 22 kk，等于半径， 所以以AB为直径的圆与直线 1 2 y = -相切，即 B 正确； 当
21、直线AB与x轴平行时， 5 2 OAOB ，52 2OAOB ， 所以OAOB的最小值不是2 2，故 C 错误； 直线OA的方程为 11 1 2 yx yxx x ，与 2 xx的交点坐标为 12 2, 2 x x x ， 因为 12 1 22 x x ，所以经过点B与x轴垂直的直线与直线OA交点在定直线 1 2 y = -上， 故 D 正确， 故选 ABD 第第卷卷 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 13 【答案】60 【解析】二项式 6 2 2 x x 的展开式通项为 6 3 3 6 2 2 166 2 C12C 2 r r r r
22、rrr r x Tx x ， 令 3 30 2 r ，解得 2r = =， 则常数项为 2 22 6 12C60，故答案为 60 14 【答案】 1 2 【解析】 222222 222 21 cos 222 bcaaaa A bcbca ，当且仅当bca时等号成立， 故答案为 1 2 15 【答案】 2 【解析】 2 11 sinsin 22 AOB SOA OBAOBrAOB ， 当90AOB时，AOB的面积最大，此时圆心O到直线AB的距离 2 2 dr ， 设直线AB方程为2yk x， 2 1 3 k ，则 2 22 2 1 k dr k ， 所以 2 2 2 41 12 k r k ，再
23、将 2 1 3 k 代入，求得 2r 故答案为 2 16 【答案】 1 e ， 1 21 k e 【解析】( )0 x x g xx e ， 2 1 ( ) xx x x x ex ex g x e e ， 由( )0g x ，可得01x，此时函数( )g x为增函数； 由( )0g x ，可得1x ，此时函数( )g x为减函数， ( )g x的最大值为 1 (1)g e ； 若对任意 1 x， 2 (0,)x ，不等式 12 1 g xf x kk 恒成立， 则等价为 1 2 1 g xk f xk 恒成立， 2 111 ( )22 x f xxx xxx ，当且仅当 1 x x ，即1x
24、 时等号成立， 即( )f x的最小值为2，且( )g x的最大值为 1 (1)g e ， 则 1 2 () () g x f x 的最大值为 1 1 22 e e ， 则由 1 12 k ke ，得211ke，即 1 21 k e ， 故答案为 1 e ， 1 21 k e 四、解答题：本四、解答题：本大题共大题共 6 6 个个大题，共大题，共 7070 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【答案】 （1） 3 B ； （2）1,2b 【解析】 （1）由3sincos3AAcb，得 3sinsinsin3sincosCBABA ， 3si
25、nsinsin3sincosABBABA， 3sincos3cossinsinsin3sincosABABBABA ， 所以 3sincossinsinABAB ，tan 3B ， 0,B， 3 B （2）2ac， 3 B ， 22222 2cosacbcccaBaa 2 2 343431 2 ac acacac （当且仅ac时取等号） ， 又2bac，1,2b 18 【答案】 （1）21 n an； （2） 21 1 2 n n S 【解析】 （1）由题意，得 22 11 2 nnnn aaaa ， 即 111 2 nnnnnn aaaaaa ， 又数列 n a的各项均为正数，即 1 0 n
26、n aa ，则 1 2 nn aa ， n a的公差为2，而 1 1a ，故21 n an （2）由（1）知 1 112121 22121 n nn nn b aann ， 12 1 3 153752121 2 nn Sbbbnn 21 1 2 n 19 【答案】 （1）45%； （2）0.02； （3）分布列见解析， 23 5 【解析】 （1）估计这些企业中产值负增长的企业比例为 3024 100%45% 120 （2）这 120 个企业产值增长率的平均数 1 ( 0.3 300.1 240.1 400.3 160.5 10)0.02 120 y （3）依题意可得 0.4,0.2)y 的概率
27、为 301 1204 ， 0.2,0)y 的概率为 241 1205 ， 0,0.6)y的概率为 40 16 1011 12020 X的所有可能取值为 2，3，4，5，6， 111 (2) 4416 P X ； 111 (3)2 4510 P X ； 1111163 (4)2 42055200 P X ； 11111 (5)2 52050 P X ； 1111121 (6) 2020400 P X ， 则X的分布列为 X23456 P 1 16 1 10 63 200 11 50 121 400 故 11631112123 23456 1610200504005 E X 20 【答案】 （1）
28、证明见解析； （2）3 【解析】 （1）由题意，在底面梯形ABCD中， 因为90BADADC 且1ABAD，2CD ，可得 2BDBC ， 又由2CD ，所以 222 BDBCCD ，所以BDBC， 又因为平面SCD 平面ABCD，平面SCD平面ABCDCD， 且SCCD，SC 平面SCD，所以SC 上平面ABCD， 又由BD 平面ABCD，所以BDSC， 因为SCBCC且,SC BC 平面SBC，所以BD 平面SBC， 又因为BD 平面SBD，所以平面SBD 平面SBC （2）由（1）知SC 平面ABCD， 以C为坐标原点，CD所在直线为x轴，在平面ABCD内垂直于CD的直线为y轴，CS所在
29、直线 为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则(2,1,0)A，(1,1,0)B，(2,0,0)D， 设(0)SCh h，所以(0,0, )Sh，可得(1,0,0)BA ，( 1, 1, )BSh ，(1, 1,0)BD ， 由（1）得BD 平面SBC，所以平面SBC的一个法向量为(1, 1,0)BD ， 设平面ABS的法向量为( , , )x y zn， 则 0 0 BA BS n n ，可得 0 0 x xyhz ，令1z ，可得(0, ,1)hn， 则 2 3 20 cos, 20 21 h BD h n，解得3SC ，即3SC 21 【答案】 （1） 22 1 43 xy ； （2）
30、是， 12 7 【解析】 （1）设公共点为P，则 1 PFr， 2 4PFr， 1212 4PFPFFF， 即公共点P的轨迹为椭圆，且24a ，2a ， 又1c ， 2 3b ，故曲线 22 :1 43 xy E （2）方法一： 当直线PQ斜率不存在时， 12 : 7 PQ x ， 代入E得 12 7 y ，故 12 7 AP AQ ，易知OPOQ； 当直线PQ斜率存在，设:PQ ykxm，PQ与圆O相切， 22 2 12 1 7 1 m rmk k ， 将PQ方程代入E，得 222 4384120kxkmxm， 12 2 8 43 km xx k ， 2 12 2 412 43 m x x
31、k ， 22 121212121212 1OP OQx xy yx xkxmkxmkx xkm xxm 2222 22 2 222 1 4127121 8 434343 kmmk k m m kkk ， 将 22 12 1 7 mk代入，得0OP OQ ，即OPOQ， 综上，恒有OPOQ， 2 12 7 AP AQAPAQOA 法二： 当直线PQ斜率不存在时， 12 : 7 PQ x ，代入E得 12 7 y ， 2 12 7 AP AQAPAQOA ； 当直线PQ斜率存在，设:PQ ykxm， PQ与圆O相切， 2 1 m r k ，即 22 12 1 7 mk 将PQ方程代入E，得 222
32、 4384120kxkmxm， 12 2 8 43 km xx k ， 2 12 2 412 43 m x x k ， 22 22222 1111 1212 12 77 APOPrxkxmkxkmxm 222 111 712712 2 127127 m xkmxkmxk， 同理可得 2 712 127 AQmxk， 故 2 2 1212 712 127 k AP AQm x xkm xx， 将 12 2 8 43 km xx k ， 2 12 2 412 43 m x x k ，及 22 12 1 7 mk代入， 可得 12 7 APAQ 综上 2 12 7 AP AQAPAQOA 22 【答
33、案】 （1）1k ； （2）1 【解析】 （1）因为 ln ( )(0) x f xx x ，所以 2 1 ln ( ) x fx x ， 设切点为 0 0 0 ln , x P x x ，此时切线方程为 00 0 2 00 ln1lnxx yxx xx ， 又直线1ykx过(0, 1)，所以 00 0 2 00 ln1ln 10 xx x xx ，即 00 2ln10 xx ， 令( )2ln1h xxx，则(1)0h，且( )h x在(0,)上单调递增， 所以方程 00 2ln10 xx 有唯一解 0 1x ，所以1k （2）不等式 ln ( )1 a f xax x 恒成立，即不等式 2
34、 lnln0axxxa 恒成立 方法 1：令 2 ( )lnlnF xaxxxa，则 2 21 ( ) axx F x x ， 令 2 ( )210G xaxx ，因为0a ，所以1 80a ， 所以( )0G x 有两个不等根 1 x， 2 x， 12 1 0 2 x x a ，不妨设 12 0 xx， 所以( )F x在 2 0,x上递减，在 2, x 上递增， 所以 2 min2222 ( )lnF xF xaxxax 由 2 222 210G xaxx，得 2 2 2 1 2 x ax x ，所以 22 2 2 11 ln 22 xx F x x ， 所以 22 2 11 ln0 22
35、 xx x ， 令 111 ( )lnln2ln(1) 222 xxx H xxx x ，则 (1)(2) ( ) 2 (1) xx H x x x ， 所以( )H x在(0,1)上递增，在(1,)上递减， 所以( )(1)0H xH， 又 2 0F x，所以 2 0F x，所以 2 1x ，所以1a ， 所以，实数 a 的取值集合为1 方法 2：令 2 ( )lnlnF xaxxxa，则 1 0( )FF x a ， 所以 1 x a 是函数( )F x的极值点，所以 1 0F a ，即1a ， 此时， 2 ( )lnF xxxx， 2 21(1)(21) ( ) xxxx F x xx ， 所以( )F x在(0,1)上递减，在(1,)上递增 所以 min ( )(1)0F xF，符合题意， 所以，实数 a 的取值集合为1
