1、1.2.3直线与平面的夹角 学 习 任 务核 心 素 养 1理解斜线与平面所成的角的定义，体 会夹角定义的唯一性、合理性 2会求直线与平面的夹角(重点、难 点) 通过学习空间线面角，提升数学运 算、逻辑推理素养 赛艇比赛，是 2022 年第 19 届杭州亚运会主要赛事之一划杆与水平面所成 角的大小，直接关系到赛艇的速度如何确定划杆与水平面所成角，正是我们这 一节学习的内容 知识点 1直线与平面所成的角 直线与平面所成的角 直线与平面垂直 直线与平面的夹角为 90 直线与平面平行或 直线在平面内 直线与平面的夹角为 0 斜线和平面所成的角 平面的斜线和它在平面内的 射影所成的锐角，称为斜线 与平
2、面所成的角 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)直线与平面的夹角不是锐角就是直角() (2)斜线与它在平面内的射影所成的角是锐角 () (3)斜线与平面的夹角为0，90 () (4)直线与平面的夹角为0，90 () 答案(1)(2)(3)(4) 提示(1)错误，角的度数还可以是零度 (2)根据斜线与平面所成的角的定义知正确 (3)斜线与平面的夹角为(0，90) (4)正确 知识点 2最小角定理 1一平面的斜线在平面内的射影是一条线段还是直线？它是唯一的 吗？ 提示是一条直线，斜线在平面内的射影是唯一的 2已知APB 在平面内，大小为 60，射线 PC 与 PA，PB 所成的角 均为
3、 135，则 PC 与平面所成角的余弦值是() A 6 3 B 6 3 C 3 3 D 3 3 B设 PC 与平面所成的角为，则 cos 45cos cos 30，所以 cos 6 3 知识点 3用空间向量求直线与平面的夹角 如果 v 是直线 l 的一个方向向量，n 是平面的法向量，设直线 l 与平面所成 角的大小为，则 2v，n或v，n 2，特别地 cos sinv，n 或 sin |cosv，n| 2直线 l 的方向向量 s 与平面的法向量 n 的夹角一定是直线和平面的 夹角吗？ 提示不是直线和平面的夹角为| 2s，n| 3若直线 l 的方向向量与平面的法向量的夹角等于 120，则直线 l
4、 与 平面所成的角等于() A120B60 C30D以上均错 C设直线 l 与平面所成的角为，则 sin |cos 120|1 2，又090， 30 类型 1公式 cos cos 1cos 2的应用 【例 1】BOC 在平面内，OA 是平面的一条斜线，若AOBAOC 60，OAOBOCa，BC 2a，求 OA 与平面所成的角 解法一：OAOBOCa，AOBAOC60， ABACa 又BC 2a， AB2AC2BC2 ABC 为等腰直角三角形 同理BOC 也为等腰直角三角形 取 BC 中点为 H，连接 AH，OH， AH 2 2 a，OH 2 2 a，AOa， AH2OH2AO2 AHO 为等腰
5、直角三角形AHOH 又AHBC，OHBCH， AH平面 OH 为 AO 在平面内的射影，AOH 为 OA 与平面所成的角 在 RtAOH 中，sinAOHAH AO 2 2 AOH45 OA 与平面所成的角为 45 法二：AOBAOC60， OA 在内的射影为BOC 的平分线， 作BOC 的角平分线 OH 交 BC 于 H 又 OBOCa，BC 2a， BOC90 故BOH45， 由公式 cos cos 1cos 2， 得 cosAOHcosAOB cosBOH 2 2 ， OA 与平面所成的角为 45 求线面角的关键是确定斜线在平面上射影的位置，只有确定了射影，才能将 空间角转化为平面角在本
6、例中，也可以直接作 AHBC 于 H，进而证明 AH平 面， 从而证明H是点A在平面内的射影 解法二则灵活应用公式cos cos 1cos 2求线面角，也是常用的方法 跟进训练 1如图所示，在四棱锥 PABCD 中，ABCD 是正方形，PD平面 ABCD若 PBC60，求直线 PB 与平面 ABCD 所成的角 解由题意得CBD45， PBD 即为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角 cosPBCcos cosCBD，PBC60 即 cos 60cos cos 45，cos 2 2 ，45 类型 2用定义法解决直线与平面的夹角问题 【例 2】如图所示，在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，
7、PAAB，ABC 60，BCA90 (1)求证：BC平面 PAC； (2)若 D 为 PB 的中点，试求 AD 与平面 PAC 夹角的正弦值 1用定义法求直线与平面夹角的关键是什么？ 提示寻找直线与平面的夹角，即准确确定直线在平面内的射影 2定义法求直线与平面夹角的基本思路是什么？ 提示若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面的夹角为 0； 若直线与平面垂直，则直线与平面的夹角为 2； 若直线与平面相交但不垂直，设直线与平面的交点为 O，在直线上任取异 于 O 点的另一点 P，过 P 作平面的垂线 PA，A 为垂足，则 OA 即为直线在平面内 的射影，AOP 即为直线与平面的夹角，然后通过
8、解三角形求出直线与平面夹角 的大小 解(1)证明：因为 PA平面 ABC，BC平面 ABC， 所以 PABC 又BCA90，所以 ACBC，又 AC平面 PAC， PA平面 PAC，PAACA，所以 BC平面 PAC (2)取 PC 的中点 E，连接 DE 因为 D 为 PB 的中点，所以 DEBC，所以 DE平面 PAC 连接 AE，则 AE 是 AD 在平面 PAC 内的射影，所以DAE 是直线 AD 与平面 PAC 的夹角设 PAABa，在直角三角形 ABC 中 因为ABC60，BCA90， 所以 BCa 2，DE a 4， 在直角三角形 ABP 中，AD 2 2 a， 所以 sinDA
9、EDE AD a 4 2 2 a 2 4 即 AD 与平面 PAC 夹角的正弦值为 2 4 1(变问法)若本例条件不变，问题(2)改为：D 为 PB 上的一点，且 BD1 3PB， 试求 AD 与平面 PAC 夹角的正弦值 解由已知 BCAC，BCPA，ACPAA， 所以 BC平面 PAC，BCPC，过 PB 的三等分点 D 作 DEBC，则 DE平 面 PAC，连接 AE，AD， 则DAE 为 AD 与平面 PAC 的夹角，不妨设 PAAB1，因为ABC60， 所以 BC1 2，DE 2 3 1 2 1 3，PB 2，BD 2 3 在ABD 中，AD2AB2BD22ABBDcos 455 9
10、，所以 AD 5 3 ，所以 sinDAEDE AD 1 3 5 3 5 5 即 AD 与平面 PAC 夹角的正弦值为 5 5 2(变问法)若本例的题(2)条件不变，求 AD 与平面 PBC 的夹角的正弦值 解由例题(1)知 BC平面 PAC， 所以平面 PAC平面 PBC 过 A 作 AEPC 所以 AE平面 PBC 连接 ED，则ADE 为 AD 与平面 PBC 的夹角设 PA2a，AB2a，所以 PB 2 2a 故 AD 2a 在APC 中，AP2a， ACABsin 602a 3 2 3a， 所以 PC 3a24a2 7a，设ACP， 则 AEACsin ACAP PC 3a 2a 7
11、a 2 3 7 a 2 21 7 a， 所以 sinADEAE AD 2 21a 7 2a 42 7 即 AD 与平面 PBC 夹角的正弦值为 42 7 用定义法求直线与平面所成角的关注点 (1)关键：寻找直线与平面的夹角，即准确确定直线在平面内的射影 (2)三种情况： 若直线与平面平行或直线在平面内， 则直线与平面的夹角为 0； 若直线与平面垂直，则直线与平面的夹角为 2； 若是斜线与平面，作出斜线与平面所成的角，通过解三角形求出直线与平 面夹角的大小 跟进训练 2 在正方体ABCDA1B1C1D1中， CB1与平面AA1C1C所成角的大小为_ 30如图，连接 B1D1交 A1C1于 O，连
12、接 OC，因为几何体是正方体，所以 OB1平面 AA1C1C， 所以B1CO 是 CB1与平面 AA1C1C 所成的角， 设正方体的棱长为 1，则 OB1 2 2 ，CB1 2， sinB1CO 2 2 2 1 2，可得B 1CO30 即 CB1与平面 AA1C1C 所成角的大小为 30 类型 3用向量求直线与平面所成的角 【例 3】(对接教材人教 B 版 P45例 2)如图，已知正方体 ABCDABCD中， 点 H 为 DB上一点，且 DH 2 2 DB，DH 与 BD交于点 P，求 DP 与平面 AADD 所成角的大小 解如图所示， 以点 D 为坐标原点， DA 为单位长建立空间直角坐标系
13、 Dxyz， 则 C(0，1，0)，D(0，0，1)，B(1，1，1)， DB (1，1，0)，DD (0，0，1)，DC (0，1，0) DH 2 2 DB， DH 2 2 DB 2 2 ， 2 2 ，0 ， DH DD DH (0，0，1) 2 2 ， 2 2 ，0 2 2 ， 2 2 ，1 平面 AADD 的一个法向量是DC (0，1，0)， cos DH ， DC DH DC |DH |DC | 2 2 0 2 2 110 21 1 2 设 DP 与平面 AADD 所成角为，则 sin |cosDH ， DC |1 2，30，即 DP 与平面 AADD 所成 的角为 30 用向量法求线
14、面角的步骤是什么？ 提示(1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量AB ； (3)求平面的法向量 n； (4)计算：设线面角为，则 sin |nAB | |n|AB | 跟进训练 3如图，在直三棱柱 A1B1C1ABC 中，ACBC，ACBC1，CC12，点 M 是 A1B1的中点 (1)求证：B1C平面 AC1M； (2)求 AA1与平面 AC1M 所成角的正弦值 解(1)证明：在直三棱柱 A1B1C1ABC 中，ACBC，ACBC1，CC12， 点 M 是 A1B1的中点 以 C 为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则 B1(0， 1， 2)， C(0， 0， 0)， A(1，
15、0， 0)， C1(0， 0， 2)， A1(1， 0， 2)， M 1 2， 1 2，2， B1C (0，1，2)， AC1 (1，0，2)， AM 1 2， 1 2，2， 设平面 AC1M 的法向量 n(x，y，z)， 则 nAC1 x2z0， nAM 1 2x 1 2y2z0， 取 z1，得 n(2，2，1)， B1C n0，又 B1C平面 AC1M， B1C平面 AC1M (2)AA1 (0，0，2)，平面 AC1M 的法向量 n(2，2，1)， 设 AA1与平面 AC1M 所成的角为， 则 AA1与平面 AC1M 所成角的正弦值 sin |AA1 n| |AA1 |n| 2 23 1
16、 3， 所以 AA1与平面 AC1M 所成角的正弦值为1 3 1若直线 l 与平面所成角为 3，直线 a 在平面内，且与直线 l 异面，则直线 l 与直线 a 所成角的取值范围是() A 0，2 3B 2， 2 3 C 3， 2 3D 3， 2 D由最小角定理知直线 l 与直线 a 所成的最小角为 3，又 l，a 为异面直线， 则所成角的最大值为 2 2已知长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，CC12，则直线 BC1和平面 DBB1D1所成角的正弦值为() A 3 2 B 5 2 C 10 5 D 10 10 C连接 A1C1交 B1D1于 O 点，由已知得 C1OB1D1，且平面
17、 BDD1B1平面 A1B1C1D1，C1O平面 BDD1B1，连接 BO，则 BO 为 BC1在平面 BDD1B1上的射 影，C1BO 即为所求 C1O1 2 4 2422 2， BC1 42222 5， sinC1BOC1O BC1 2 2 2 5 10 5 3已知正四棱锥 OABCD 中，OAAB，则 OA 与底面 ABCD 所成角的正弦 值等于() A1 2 B 3 3 C 2 2 D1 3 C设 O 在底面 ABCD 内的射影为 O，则 O为底面 ABCD 的中心，OA 2 2 ABOAAB，OO 2 2 AB，OA 与底面 ABCD 所成角OAO的正弦值为 2 2 4若平面的一个法
18、向量为(1，1，1)，直线 l 的方向向量为(0，3，4)，则 l 与所成角的正弦值为_ 7 3 15 设 l 与平面所成的角为，则 sin |101314| 3 023242 7 3 25 7 3 15 5在正三棱锥 PABC 中，PA4，AB 3，则侧棱 PA 与底面 ABC 所成角的 正弦值为_ 15 4 如图，在正三棱锥 PABC 中，PA4，AB 3， 设 P 在底面上的射影为 O，则 O 为ABC 的中心， 由已知求得 AO1，又 PA4， PO 4212 15 sinPAOPO PA 15 4 即侧棱 PA 与底面 ABC 所成角的正弦值为 15 4 回顾本节知识，自我完成以下问
19、题： 1你是怎样理解公式 cos cos 1cos 2的？ 提示由 0cos 21，cos cos 1，从而1在公式中，令290， 则 cos cos 1cos 900 90，此即三垂线定理，反之若90，可知290，即为三垂线定理 的逆定理，即三垂线定理及逆定理可看成此公式的特例 2利用向量法求直线与平面夹角的优点是什么？需要注意什么问题？ 提示(1)利用向量法求直线与平面的夹角的优点在于不需要作出角， 只需建 立空间直角坐标系，用待定系数法求出平面的法向量，再利用公式 sin |cosv， n|求解 (2)利用法向量求直线和平面所成的角时要注意两点： 不要认为直线的方向向量与平面的法向量的夹角就是直线与平面所成的 角； 直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值可正可负，要注意直线和 平面所成角的范围是 0， 2
