1、2021 全国统一考试全国统一考试 全国卷全国卷 III 理科数学理科数学 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，每道题分，每道题 4 个选项中只有一个符合题个选项中只有一个符合题 目要求）目要求） 1.设集合 5 3 1 40 xxNxxM，则NM （） 3 1 0.xxA 4 3 1 .xxB54. xxC50. xxD 2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得 到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（） . A该地农户家庭年收入低于5 . 4万
2、元的农户比率估计为%6 .B该地农户家庭年收入不低于5 .10万元的农户比率估计为%10 .C估计该地农户家庭年收入的平均值不超过5 . 6万元 .D估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于5 . 4万元至5 . 8万元之间 3.已知izi23)1 ( 2 ，则z（） iA 2 3 1.iB 2 3 1.iC 2 3 .iD 2 3 . 4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录 视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足VLlg5，已知某同学视力的五分记录法 的数据为9 . 4，则其视力的小数记录法的数据约为（259. 110
3、10 ） （） 5 . 1 .A2 . 1 .B8 . 0 .C6 . 0 .D 2 5.已知 21 FF ，是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且60 21PF F， 21 3PFPF ，则C的离心率 为（） 2 7 . A 2 13 .B7.C13.D 6.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为GFE，该正方体截去三棱锥EFGA后，所得 多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是（） 7.等比数列 n a的公比为q，前n项和为 n S，设甲：0q，乙： n S是递增数列，则（） . A甲是乙的充分条件但不是必要条件.B甲是乙的必要条件但不是充分条件 .C甲是乙的充要条件.D
4、甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8.2020 年 12 月 8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为86.8848（单位：m） ，三角高程测量 法是珠穆高峰测量法之一，右图是三角高程测量法的一个示意图，现有CBA，三点，且CBA，在同一 水平面上的投影CBA，满足45BCA，60CBA，由C点测得B点的仰角为15，B B 与C C 的差为100，由B点测得A点的仰角为45，则CA，两点到水平面CBA的高度差CCAA约 为（732. 13 ） （） 346. A373.B446.C473.D 3 9.若) 2 0( ， sin2 cos 2tan ，则tan（） 15 15 .A
5、 5 5 .B 3 5 .C 3 15 .D 10.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（） 3 1 . A 5 2 .B 3 2 .C 5 4 .D 11.已知CBA，是半径为1的球O的球面上的三个点，且1BCACBCAC，则三棱锥ABCO 的体积为（） 12 2 . A 12 3 .B 4 2 .C 4 3 .D 12.设函数)(xf的定义域为R，) 1( xf为奇函数，)2( xf为偶函数，当21 ，x时，baxxf 2 )(， 若6)3()0( ff，则) 2 9 (f（） 4 9 .A 2 3 .B 4 7 .C 2 5 .D 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4
6、 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13.曲线 2 12 x x y在点)31( ，处的切线方程为. 14.已知向量bkacba，)01 () 13(，若ca ，则k. 15.已知 21 FF ，为椭圆1 416 : 22 yx C的两个焦点，QP，为C上关于坐标原点对称的两点，且 21F FPQ ，则四边形 21QF PF的面积为. 16.已知函数)cos(2)(xxf的部分图象如图所示， 则满足条件0) 3 4 ()()( 4 7 ()( fxffxf 的最小正整数x为. 4 三、解答题（共三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分，解
7、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答）题为选考题，考生根据要求作答） 17.（12 分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的 质量，分别用两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计如下表： 一级品二级品合计 甲机床15050200 乙机床12080200 合计270130400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ （2）能否有%99的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？ 附
8、： )()()( )( 2 2 dbcadcba bcacn K ， 5 18.（12 分）已知数列 n a的各项均为正数，记 n S为 n a的前n项和，从下面中选取两个作为条 件，证明另外一个成立. 数列 n a是等差数列；数列 n S是等差数列； 12 3aa . 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 6 19.（12 分）已知直三棱柱 111 CBAABC 中，侧面BBAA 11 为正方形，2 BCAB，FE，分别为AC 和 1 CC的中点，D为棱 11B A上的点， 11B ABF . （1）证明：DEBF ； （2）当DB1为何值时，面CCBB 11 与面DFE所成的
9、二面角的正弦值最小？ 7 20. （12 分） 抛物线C的顶点为坐标原点O， 焦点在x轴上， 直线1:xl交C于QP，两点， 且OQOP ， 已知点)02( ，M，且M与l相切. （1）求C，M的方程； （2）设 321 AAA，是C上的三个点，直线 21A A， 31A A均与M相切，判断直线 32A A与M的位置关 系，并说明理由. 8 21.（12 分）已知0a且1a，函数)0()(x a x xf x a . （1）当2a时，求)(xf的单调区间； （2）若曲线)(xfy 与直线1y有且仅有两个交点，求a的取值范围. 9 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生
10、在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所作的第题中任选一题作答，如果多做，则按所作的第 一题计分。一题计分。 22.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 cos22. （1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点A的直角坐标为)01 ( ，M为C上的动点，点P满足AMAP2，写出P的轨迹 1 C的参数 方程，并判断C与 1 C是否有公共点. 10 23.选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知函数1232)(2)(xxxgxxf，. （1）画出)(xfy 和)(xgy 的图像； （2）若)()(xgaxf，求a的取值范围.
