1、1 江苏省苏州市 20192020 学年下学期学业质量阳光指标调研卷 高一数学 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1已知圆锥的底面半径为 4，母线长为 5，则该圆锥的侧面积为 A16B20C36D40 2苏州市 6 月 1 日起正式实施的生活垃圾分类管理条例将城市生活垃圾分为“可回收 物”、“有害垃圾”、“厨余垃吸”和“其他垃圾”四人类某社区为了分析不同年龄 段的人群对垃圾分类知识的了解情况，对辖区内的居民进行分层抽样调查已知该社区 的青年人、中年人和老年人分别有 800 人
2、、900 人、700 人，若在老年人中的抽样人数是 35，则在青年人中的抽样人数是 A20B40C60D80 3从 1，2，3，4，5 这五个数中任取两个数，则这两个数之和等于 5 的概率为 A 1 20 B 1 10 C 1 5 D 2 5 4在同一平面直角坐标系中，两直线1 xy mn 与1 xy nm 的图象可能是 5围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出 2 粒，2 粒都是黑子的概率为 1 3 ，都是 白子的概率为 2 15 ，则取出的 2 粒颜色不同的概率为 A 1 5 B 1 3 C 7 15 D 8 15 6如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，点 E 是棱 BB1
3、上 靠近 B 的三等分点，点 F 是棱 CC1的中点，且三棱锥 A1A EF 的体积为 2，则平行六面体 ABCDA1B1C1D1的体积为 A8B12 C18D20 7已知在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， B60，且ABC 的面积为3，则 b 的取值范围是 A2，6)B2，6)C2，6)D4，6) 2 8在平面立角坐标系 xOy 中，两圆 O1，O2均过点(3，0)，它们的圆心分别为( 1 x，0)，( 2 x， 0)，满足 12 112 3xx ，若两圆与 y 轴正半轴分别交于(0， 1 y)，(0， 2 y)，则 1 2 yy的值为 A2B6 C9D与 1 x
4、， 2 x的取值有关 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9党的十九大为新时代农业农村改节发展明确了重点、指明了方向，报告中提出了“实施 乡村振兴战略” 某地区农村经过三年的乡村振兴建设， 农村的经济收入增加了一倍 为 更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区实施乡村振兴建设前后农村 的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中正确的有 A乡村振兴建设后，种植收入减少 B乡村振兴建设后，其他收入增加了倍以上 C乡村振兴建设后，养殖收入增加了一倍 D乡村振兴建设
5、后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 10已知函数( )sin(2) 6 f xx 在区间a，0上单调递增，则实数 a 的可能值为 A 8 B 4 C 3 8 D 2 11在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知 b2 3，B 3 ，若添 加下列条件来解三角形，则其中三角形只有一解的是 A3c B 7 2 c C4c D 9 2 c 12如图，点 E 是正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 DD1的中点， 点 M 在线段 BD1上运动，则下列结论正确的是 A直线 AD 与直线 C1M 始终是异而直线 B仔在点 M，使得 B1MAE C四面体 EMAC 的体积
6、为定值 D当 D1M2MB 时，平面 EAC平面 MAC 3 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分其中第 16 题共有 2 空，第一个 空 2 分，第二个空 3 分；其余题均为一空， 每空 5 分请把答案填写在答题卡相应位置上） 13为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了 “疫情防护”网络知识竞赛活动，现从参加该活动 的学生中随机抽取了 100 名学生，将他们的比赛成 绩（满分为 100 分）分为 5 组：50，60)，60，70)， 70，80)，80，90)，90，100，得到如图所示的频 率分布直方图，则该 100 名学生中成绩在 80 分（含 80 分
7、）以上的人数为 14在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a3，b2，cosC 1 3 ，则 ABC 的面积为 15已知 A，B 两点分别在两条互相垂直的直线 2xy0 和 xay5 上，且线段 AB 的中 点为 P(0，5)，则|AB| 16已知在球 O 的内接长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD3，则球 O 的表 面积为，若 P 为线段 AD 的中点，则过点 P 的平面截球 O 所得截面面积的最小 值为 （本小题第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或
8、演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 如图，在斜三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 ABAC，M，N 分别为 BC，AC 的中点， 侧面 A1ACC1是菱形，A1AC60 （1）求证：AB平面 A1MN； （2）求证：平面 A1ACC1平面 A1MN 18 （本小题满分 12 分） 已知圆 C 经过两点 P(1，1)，Q(1，1)，且圆心 C 在直线 xy20 上 （1）求圆 C 的方程； （2）过点 M(0，3)的直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，且AB2 3，求直线 l 的方 程 4 19 （本小题满分 12 分） 随着我国中医学的发展， 药用昆虫的需求愈米愈多 每年春暖花开
9、后， 昆虫大量繁殖 研 究发现某类药用昆虫的个体产则数 y（单位：个）与温度 x（单位：）有关，科研人员随 机挑选了 3 月份中的 5 天进行研究，收集了 5 组观测数据如下表： 科研人员确定的研究方案是：先用前三组数据建立 y 关于 x 的线性回归方程，再用后两 组数据进行检验 （1）求 y 关于 x 的线性回归方程； （2）若由线性回归方程行到后两组的估计数据与实际观测数据的误差均不超过 2 个， 则认为线性同归方程足可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？ （附：回归直线的斜率和截距的公式分别为 1 2 1 ()() () n ii i n i i xxyy b xx ， a y
10、 bx ） 20 （本小题满分 12 分） 在cosA0bc，cosBcosAab，cosC0ab这三个条件中选择符合 题意的一个条件，补充在下面的问题中，并求解 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 ab，c已知2b ，4c ，满足 （1）请写出你的选择，并求出角 A 的值； （2）在（1）的结论下，已知点 D 在线段 BC 上，且ADB 3 4 ，求 CD 长 21 （本小题满分 12 分） 如图所示，等边三角形 ABC 的边长为 3，点 D，E 分别是边 AB，AC 上的点，满足 AD 1，DEAB将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使二面角 A1DEB 为二面角， 连接
11、A1B，A1C 5 （1）求二面角 CA1BD 的余弦值； （2）线段 A1E 上是否存在点 P，使得直线 CP 与平面 A1BC 所成的角为 60？若存在， 求出 A1P 的长；若不存在，请说明理由 22 （本小题满分 12 分） 如图，点 P( 0 x， 0 y)是圆 O： 22 9xy上一动点，过点 P 作圆 O 的切线 l 与圆 O1： 22 ()(4)100 xay(0)a 交于 A，B 两点，已知当直线 l 过圆心 O1时， 1 O P4 （1）求 a 的值； （2）当线段 AB 最短时，求直线 l 的方程； （3）问：满足条件 AP1 BP3 的点 P 有几个？请说明理由 江苏省
12、苏州市 20192020 学年下学期学业质量阳光指标调研卷 高一数学 6 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1已知圆锥的底面半径为 4，母线长为 5，则该圆锥的侧面积为 A16B20C36D40 答案：B 考点：圆锥的侧面积 解析：S侧4 520，故选 B 2苏州市 6 月 1 日起正式实施的生活垃圾分类管理条例将城市生活垃圾分为“可回收 物”、“有害垃圾”、“厨余垃吸”和“其他垃圾”四人类某社区为了分析不同年龄 段的人群对垃圾分类知识的了解情况，对辖区内的居民进行分层抽样调
13、查已知该社区 的青年人、中年人和老年人分别有 800 人、900 人、700 人，若在老年人中的抽样人数是 35，则在青年人中的抽样人数是 A20B40C60D80 答案：B 考点：抽样调查 解析： 35 80040 700 ，故选 B 3从 1，2，3，4，5 这五个数中任取两个数，则这两个数之和等于 5 的概率为 A 1 20 B 1 10 C 1 5 D 2 5 答案：C 考点：古典概型 解析：P 21 = 105 ，故选 C 4在同一平面直角坐标系中，两直线1 xy mn 与1 xy nm 的图象可能是 答案：D 考点：直线方程截距式 解析：两直线在两坐标轴上的截距之积是同号的，故只有
14、 D 符合 7 5围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出 2 粒，2 粒都是黑子的概率为 1 3 ，都是 白子的概率为 2 15 ，则取出的 2 粒颜色不同的概率为 A 1 5 B 1 3 C 7 15 D 8 15 答案：D 考点：互斥事件概率的求法 解析： 128 1 31515 P ，故选 D 6如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，点 E 是棱 BB1上靠近 B 的三等分点，点 F 是棱 CC1的中点， 且三棱锥 A1AEF 的体积为 2， 则平行六面体 ABCDA1B1C1D1的体 积为 A8B12C18D20 答案：B 考点：棱柱、棱锥的体积 解析： 11 22 31
15、2 AA EF AA E VShShV ，故选 B 7已知在锐角ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，B60，且ABC 的面 积为3，则 b 的取值范围是 A2，6)B2，6)C2，6)D4，6) 答案：A 考点：解三角形 解析：根据 114 sin3sin604 22 SacBacacc a ， 余弦定理得： 2222 2 16 4bacaca a ， 8 因为锐角ABC，得 22 222 22 2 222 22 22 1616 4 28 1616 4 aa bca aa a abc aa aa ， 所以 22 2 16 44, 6)2, 6)bab a ，故选 A 8在平
16、面立角坐标系 xOy 中，两圆 O1，O2均过点(3，0)，它们的圆心分别为( 1 x，0)，( 2 x， 0)，满足 12 112 3xx ，若两圆与 y 轴正半轴分别交于(0， 1 y)，(0， 2 y)，则 12 y y的值为 A2B6 C9D与 1 x， 2 x的取值有关 答案：C 考点：圆综合 解析： 2222 1111122 121212 2222 22222 (3)69 3654()81 (3)69 xyxyx y yx xxx xyxyx ； 12121212 12 3( 112 236)4( 3 5)x xxxx xxx xx ； 所以 22 12121212 3654()8
17、1819y yx xxxy y（负值已舍） ，故选 C 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9党的十九大为新时代农业农村改节发展明确了重点、指明了方向，报告中提出了“实施 乡村振兴战略” 某地区农村经过三年的乡村振兴建设， 农村的经济收入增加了一倍 为 更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区实施乡村振兴建设前后农村 的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中正确的有 A乡村振兴建设后，种植收入减少 B乡村振兴建设后，其他收入增加了一倍以上 C乡村振兴建设后
18、，养殖收入增加了一倍 D乡村振兴建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 9 答案：BCD 考点：统计 解析：种植收入表面上看由 60%变为 37%，但是总经济收入增加了一倍，所以种植收入是 增加的，故 A 错误，本题选 BCD 10已知函数( )sin(2) 6 f xx 在区间a，0上单调递增，则实数 a 的可能值为 A 8 B 4 C 3 8 D 2 答案：AB 考点：三角函数的图像与性质 解析：2()0 623 aa ，故选 AB 11在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知 b2 3，B 3 ，若添 加下列条件来解三角形，则其中三角形只有一解的是
19、A3c B 7 2 c C4c D 9 2 c 答案：AC 考点：正弦定理 解析：由题意知sinbcB或bc， 所以 3 2 3 2 c 或2 3c，从而4c 或02 3c，故选 AC 12如图，点 E 是正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 DD1的中点， 点 M 在线段 BD1上运动，则下列结论正确的是 A直线 AD 与直线 C1M 始终是异而直线 B存在点 M，使得 B1MAE C四面体 EMAC 的体积为定值 D当 D1M2MB 时，平面 EAC平面 MAC 答案：BCD 考点：立体几何 解析：当 M 是 BD1中点时，直线 AD 与直线 C1M 相交，故选项 A 错误； 当 D1M2
20、MB 时，可使得 B1MAE，故选项 B 正确； 因为 BD1平面 ACE，故四面体 EMAC 的体积大小不变，故选项 C 正确； 连接 AC、BD 交于点 O，连 EO、MO，则MOE 是二面角 EACM 的平面角， 可求得EOM90，故平面 EAC平面 MAC故选 BCD 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分其中第 16 题共有 2 空，第一个 10 空 2 分，第二个空 3 分；其余题均为一空， 每空 5 分请把答案填写在答题卡相应位置上） 13为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了 “疫情防护”网络知识竞赛活动，现从参加该活动 的学生中随机抽取了 10
21、0 名学生，将他们的比赛成 绩（满分为 100 分）分为 5 组：50，60)，60，70)， 70，80)，80，90)，90，100，得到如图所示的频 率分布直方图，则该 100 名学生中成绩在 80 分（含 80 分）以上的人数为 答案：40 考点：频率分布直方图 解析：0.10.0050.020.0350.04，1000.041040 14在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a3，b2，cosC 1 3 ，则 ABC 的面积为 答案：2 2 考点：解三角形 解析： 2 2 2 sin1 cos 3 CC， 112 2 sin3 22 2 223 SabC 15
22、已知 A，B 两点分别在两条互相垂直的直线 2xy0 和 xay5 上，且线段 AB 的中 点为 P(0，5)，则|AB| 答案：2 10 考点：两直线的位置关系 解析：由两直线垂直可求得 a2， 201 252 xyx xyy ，AB2 22 1(52)2 10 16已知在球 O 的内接长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD3，则球 O 的表 面积为，若 P 为线段 AD 的中点，则过点 P 的平面截球 O 所得截面面积的最小 值为 （本小题第一空 2 分，第二空 3 分） 答案：17， 9 4 考点：球的表面积 11 解析：设球 O 的半径为 R，则 R 222 22317
23、 22 ， 2 417SR； OP2， 22 173 2 42 rROP， 2 9 4 Sr 截面min 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 如图，在斜三棱柱 ABCA1B1C1中，已知 ABAC，M，N 分别为 BC，AC 的中点， 侧面 A1ACC1是菱形，A1AC60 （1）求证：AB平面 A1MN； （2）求证：平面 A1ACC1平面 A1MN 证明： （1）因为在ABC 中，M 为 BC 的中点，N 为 AC 的中点， 所以 MN 是ABC 中的中位线，所以 MN/AB，
24、因为 AB平面 A1MN，MN平面 A1MN， 所以 AB/平面 A1MN （2）连结 A1C，因为四边形 A1ACC1是菱形，A1AC60 ， 所以A1AC 是等边三角形，因为 N 为 AC 的中点，所以 A1NAC， 因为ABC 中，ABAC， 由（1）已证 MN/AB，所以 MNAC， 因为 A1N，MN平面 A1MN，A1NMNN ，所以 AC平面 A1MN， 因为 AC平面 A1ACC1，所以平面 A1ACC1平面 A1MN 18 （本小题满分 12 分） 已知圆 C 经过两点 P(1，1)，Q(1，1)，且圆心 C 在直线 xy20 上 （1）求圆 C 的方程； （2）过点 M(0
25、，3)的直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，且AB2 3，求直线 l 的方 程 解： （1）因为 P(1，1)，Q(1，1)，所以 PQ 中点坐标为(0，0)，PQ 的斜率为1， 所以 PQ 的中垂线方程为 yx， 联立 20 xy yx ，得 C(1，1)， 设圆 C 的半径为 r，则 rCP 22 (1 1)( 1 1) 2， 12 故所求圆 C 的方程为 22 (1)(1)4xy （2）当直线 l 斜率不存在时，l 的方程为 x0，圆心 C 到直线 l 的距离 d1， 此时 AB 22 2 2d2 3，满足题意； 当直线 l 斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykx3，则圆心 C
26、到直线 l 的距离 2 2 1 k d k ，所以 22 2 2 ( 3)()4 1 k k 解得 3 4 k ，所以直线 l 的方程为 3 3 4 yx ， 综上，直线 l 的方程为 x0 或 3 3 4 yx 19 （本小题满分 12 分） 随着我国中医学的发展， 药用昆虫的需求愈米愈多 每年春暖花开后， 昆虫大量繁殖 研 究发现某类药用昆虫的个体产则数 y（单位：个）与温度 x（单位：）有关，科研人员随 机挑选了 3 月份中的 5 天进行研究，收集了 5 组观测数据如下表： 科研人员确定的研究方案是：先用前三组数据建立 y 关于 x 的线性回归方程，再用后两 组数据进行检验 （1）求 y
27、 关于 x 的线性回归方程； （2）若由线性回归方程行到后两组的估计数据与实际观测数据的误差均不超过 2 个， 则认为线性同归方程足可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？ （附：回归直线的斜率和截距的公式分别为 1 2 1 ()() () n ii i n i i xxyy b xx ， a ybx） 解： （1）由前三组的数据得 所以 所以 y 关于 x 的线性回归方程 13 （2）由（1）知，y 关于 x 的线性回归方程 当 x12 时， 当 x8 时， 所以（1）中所得的线性回归方程是可靠的 20 （本小题满分 12 分） 在cosA0bc，cosBcosAab，cosC0ab
28、这三个条件中选择符合 题意的一个条件，补充在下面的问题中，并求解 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 ab，c已知2b ，4c ，满足 （1）请写出你的选择，并求出角 A 的值； （2）在（1）的结论下，已知点 D 在线段 BC 上，且ADB 3 4 ，求 CD 长 解： （1）若选择条件，得 cosA2 2 c b 1，不符合題意； 若选择条件，由余弦定理知化简得 ab， 所以 ab2 24，不符合題意； 若选择条件，由余弦定理得 所以 222 30abc，所以 222 316610acb， 所以 cosA 222 2 16 102 22224 bca bc ， 因为 A(0，)，所
29、以 A 4 ， （2）由（1）知 cosC 222 2 10 165 252210 bac ab ， 因为 C(0，)，所以 sinC 2 2 5 1 cos 5 C， 所以 sinCADsin( 3 4 C)sin 3 4 cosCcos 3 4 sinC 10 10 14 在ACD 中，因为 sinsin ACCD ADCCAD ， 所以 10 2 sin10 10 sin52 2 ACCAD CD ADC 21 （本小题满分 12 分） 如图所示，等边三角形 ABC 的边长为 3，点 D，E 分别是边 AB，AC 上的点，满足 AD 1，DEAB将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置
30、，使二面角 A1DEB 为二面角， 连接 A1B，A1C （1）求二面角 CA1BD 的余弦值； （2）线段 A1E 上是否存在点 P，使得直线 CP 与平面 A1BC 所成的角为 60？若存在， 求出 A1P 的长；若不存在，请说明理由 解： （1）DEAB，所以 DEBD，DEA1D， A1DB 是二面角 A1DEB 的平面角， 因为二面角 A1DEB 为直二面角， 所以 A1DB90，即 A1DBD 如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系 Dxyz 因为ABC 是边长为 3 的等边三角形，且 AD1，DEAB， 所以 BD2，DE3，AE2，所以 CE1， 则各点的坐标为 B(2，0，0
31、)，E(0，3，0)，A1(0，0，1)，C( 1 2 ， 3 3 2 ，0)， 所以 设平面 A1BC 的法向量为则 即 13 3 0 22 xyz，20 xz，令1z ，则 1 2 x ， 3 6 y ， 15 所以是平面 A1BC 的一个法向量， . 因为平面 A1BD 的法向量 所以，由图形可知，二面角 CA1B D 的余弦值为 1 4 ， （2）设 A1Pa(0a2)，则点 P 坐标为 所以，因为直线 CP 与平面 A1BC 所成的角为 60， 所以 解得 因为 0a2，所以 a 无解， 所以线段 A1E 上不存在 P，使直线 CP 与平面 A1BC 所成的角为 60 22 （本小题
32、满分 12 分） 如图，点 P( 0 x， 0 y)是圆 O： 22 9xy上一动点，过点 P 作圆 O 的切线 l 与圆 O1： 22 ()(4)100 xay(0)a 交于 A，B 两点，已知当直线 l 过圆心 O1时， 1 O P4 （1）求 a 的值； （2）当线段 AB 最短时，求直线 l 的方程； （3）问：满足条件 AP1 BP3 的点 P 有几个？请说明理由 解： （1）当直线 l 过圆心点 O1时， 所以 a3（负值已舍） ； （2）因为 OP 与圆 O 相切，所以直线 l 的方程为，且， 所以圆心 O1到直线 l 的距离， 16 记 00 34zxy，则直线 00 340
33、xyz与圆有公共点， 所以圆心(0，0)到直线340 xyz的距离，所以15z15， 所以当 z15 时，dmax8，此时弦长 AB 最短， 由，解得，所以直线 l 的方程为34150 xy， （3）因为，所以设，则，所以， 所以， （i）如图，当 O1，O 在直线 AB 同侧时， 由得 d6 或 d2， 当 d6 时， 直线 AB 可看做是圆与圆的公切线， 此时 两圆相交，公切线有两条，所以满足条件的点 P 有 2 个， 当 d2 时，直线 AB 可看做是圆与圆的公切线，此时 两圆相外切，外公切线有两条，所以满足条件的点 P 有 2 个， （ii）如图，当 O1，O 在直线 AB 异侧时， 由得 d6 或2（舍） ，满足条件的 P 点不存在， 综上，满足条件的点 P 共有 4 个
