1、第十三讲函数模型及其应用 回归课本 1.三种常见的函数模型 (1)在区间(0,+)上,函数y=ax(a1),y=log x(a1)和 a y=xn(n0)都是增函数,但它们的增长速度不同.随着x的增 大,y=ax(a1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于 y=xn(n0)的增长速度,表现为指数爆炸.随着x的增大 ,y=log x(a1)的增长速度会越来越慢. a (2)随着x的增大,y=ax(a1)的图象逐渐表现为与y轴趋近平行 .而y=log x(a1)的图象逐渐表现为与x轴趋近平行. a (3)当a1,n0时,对于函数y=xn,y=ax,y=log x在x(0,+)时, a 函数y=ax
2、的增长速度远远大于函数y=xn的增长速度.而函 数y=xn的增长速度远远大于函数y=log x的增长速度.因此 a 总会存在一个x ;当xx 时,总有axxnlog x. 00a a x 2.形如f(x)=x+(a0,x0)的函数模型有广泛应用 ,利用基本不等式可求其最小值为 2 a. 3.用已知函数模型解决实际问题的基本步骤是:第一步,审题, 设出变量;第二步,根据所给模型,列出函数关系式;第三步, 解函数模型;第四步,再将所得结论转译成具体问题的解答. 考点陪练 1.下列函数中随x的增大而增大速度最快的是() 1 A.y e x B.y 100lnx 100 C.y x100D.y 100
3、 x 答案:A 2.今有一组实验数据,如下表: t1.99 3.04.05.1 12 6.12 v1.5 4.04 7.518.01 则最佳的体现这些数据关系的函数模型是() A.v=log tB.v=2t-2 2 2 t 1 C.v=D.v=2t-2 2 答案:C 3.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后 初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函 数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( ) A.一次函数 C.指数型函数 答案:D B.二次函数 D.对数型函数 4.国家规定个人稿费纳税办法为:不超过800元的不纳税;超过 800元不超过4000元的按
4、超过800元的14%纳税,超过4000 元的按全稿费的11%纳税.某人出了一本书,共纳税420元, 这个人的稿费为() A.3600 元 C.4000 元 答案:B B.3800元 D.4200元 5.某人若以每股17.25元购进股票一万股,一年后以每股18.96 元抛售,该年银行月利率0.8%,按月计算,为获取最大利润, 某人应将钱(1+0.8%)121.10034)() A.全部购买股票 B.全存入银行 C.部分购买股票 部分存入银行 D.购买股票或存入银行均一样 答案:B 类型一一次函数与分段函数 解题准备:分段函数模型: 分段函数在不同的区间中具有不同的解析式. 分段函数是一个函数,其
5、定义域为各段自变量取值集合的 并集,其值域为各段值的集合的并集. 分段函数模型的表示形式通常写成如下形式: f x ,x D , 11 f x ,x D , y 22 f x ,x D . nn 其中D ,D ,D 表示区间. 12n 【典例1】电信局为了配合客户不同需要,设有A B两种优惠 方案,这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关 系如图所示(实线部分).(注:图中MNCD)试问: (1)若通话时间为2小时,按方案A B各付话费多少元? (2)方案B从500分钟以后,每分钟收费多少元? (3)通话时间在什么范围内,方案B才会比方案A优惠? 分析由图可知,两种方案都因时间段的不
6、同导致收费不同, 因此,需分段列式. 解由图可知,两种方案都是由线性函数组成的分段函数,不 妨用待定系数法,结合图形,先求出函数解析式,再根据题意 解题. (1)由图知点M(60,98),N(500,230),C(500,168), MNCD. 设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为f (x)、 A f (x), B 98, 0 x 60, 则f x 3 A x 80, x 60. 10 168, 0 x 00, fB(x) 3 x 18, x 500. 10 通话2小时两种方案的话费分别为116元 168元. 2 当 00元时, 333 f x 1 f x (x 1) 18 x 1
7、8 0.3 元 BB 101010 方案B从500分钟以后,每分钟收费0.3元. B 3 由图知,当0 x 6 0时,f x f x ; A 3 B 当60 x 500时,f x x 80, f x 168, A 10 联立得x 293 ,因此当60 x 293 时, 11 33 1 A f x f x ;当293 x500时,f x f x ; ABB 3 当x 500时,显然f x f x . BA 1 综上所述,当x 293 分钟, 3 1 、即通话时间为293 分钟以上时,方案B才会比方案A优惠 3 反思感悟(1)现实生活中很多问题都是用分段函数表示的,如 出租车费用 个人所得税 话费
8、等,分段函数是刻画现实问 题的重要模型. (2)分段函数是同一个函数在不同阶段的变化规律不同,要注 意各段变量的范围,特别是端点值,尤其要注意. 类型二二次函数模型 解题准备:二次函数模型的理解 二次函数是我们比较熟悉的函数模型,建立二次函数模型可 以求出函数的最值与范围,解决实际中的优化问题,值得注 意的是一定要分析自变量的取值范围,利用二次函数的配 方法通过对称轴与单调性求解是这一类函数问题的特点. 【典例2】某市现有从事第二产业人员100万人,平均每人每 年创造产值a万元(a为正常数),现在决定从中分流x万人去 加强第三产业.分流后,继续从事第二产业的人员平均每人 每年创造产值可增加2x
9、%(0 x0,x0,可解得01),函数值增大的速度越来越慢. 【典例4】2008年9月25日,我国成功发射了“神舟” 七号载人飞船,这标志着中国科技又迈出了具有历 史意义的一步.若已知火箭的起飞重量M是箭体(包 括搭载的飞行器)的重量m和燃料重量x之和,在不 考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大速度y关 于x的函数关系式为: (其中k0).当燃料重量为 y kln m x ln( 2m) 4ln2( e 1)m 吨(e为自 然对数的底数,e2.72)时,该火箭的最大速度为4 km/s. (1)求火箭的最大速度y(千米/秒)与燃料重量x(吨)之间的关系 式y=f(x); (2)已知该火箭的起飞重
10、量是544吨,则应装载多少吨燃料,才 能使该火箭的最大飞行速度达到8千米/秒,顺利地把飞船发 送到预定的轨道? 分析本题的函数模型已经给出,只需根据题设确定出参数, 然后根据函数关系及题设进行求解. 解 1 依题意,把x ( e 1)m, y 4代入 函数关系式y kln m x ln( 2m) 4ln2, 解得k 8.所以所求的函数关系式为 y 8ln m x ln ( 2m) 4ln2. 8 m x m 整理得y ln. 2 设应装载x吨燃料方能满足题意, 此时m 544 x, y 8,代入函数关系式 m x 8 m 544 544 x y ln ,得ln1, 解得x 344吨. 故应装载
11、344吨燃料方能顺利地把飞船发 送到预定的轨道. 类型五幂函数模型 解题准备:幂函数模型:能用幂函数表达的函数模型叫做幂函 数模型,幂函数模型中最常见的是二次函数模型. 【典例5】某农药厂今年生产农药8000吨,计划5年后把产量 提高到14000吨,问平均每年需增长百分之几? 解设平均每年需增长的百分率为x .由题意, 14 5 5 得8000 1 x 14000,即 1 x , 8 两边取以10为底的对数, 11 得lg 1 x lg1.75 0.2430 0.0486, 55 所 以1 x 1.118,即x 0.118 11.8%. 故平均每年需增长11.8%. 错源一缺乏对一次(二次)函
12、数最高次项的系数的关注 【典例1】某科学家在一试验中发现两个变量x,y之间具有一 次函数关系,其中x的范围为-2,6,y的范围是-11,9,试求y 关于x的函数关系式. 错解设y kx b k 0 ,由题意得, 2x6,2k bkx b6k b, 即 2k by6k b,又 1 1y9. 5 2k b 11, 6k b 9, k , 所以解得 2 b 6. 5 所以函数的解析式为y x 6. 2 剖析错解对函数一次项的系数关注不够,只考虑了k0的情 况,而忽视了k0,y0). aaa 证明(1)令x=1,y=4,则f(4)= f(14)=f(1)+f(4).所以f(1)=0. (2)因为f(x
13、y)=f(x)+f(y), 所以f(xn)= 方法与技巧1.对任意的x, yR,有f x y f x f y , 则其模型为f x kx, k 0. 2.对任意的x, yR, 有f xy f x 或对任意的x, yR, x f (x) 有 y 0 f ,则其模型为f x x . a y f (y) 3.对任意的x, yR,有f x y f x f y f (x) f (y) 或对任意的x, yR,f y 0有f (x y) , x 则其模型为f x a a 0,a 1 . 4.对任意的x 0, y 0,有f xy f x f y 或 x f (x) f (y),则其模型为f x log x a
14、 0, a 1 . f a y 技法二整体思想 1 x 【典例2】已知函数f x x log ,求 2 1 x 1 1 1 f f 2008 2007 2004 1 2004 的值. 1 1 2007 2008 f f 解由 1 x 0得函数的定义域为 1, 1 , 1 x 1 x 1 x 因为f x f x x log2 x 1 x log2 log 1 0, 2 1 x 1 1 1 1 2007 2007 所以f f 0, f f 0, 2008 2008 1 1 f 0, 2004 2004 1 1 2008 2007 1 2004 所以f f 1 2004 1 1 2007 2008 f f 0.
