1、第十九讲 三角恒等变换 回归课本 1.三角恒等变换主要包括 角的变换 函数名称的变换 常数的变换 幂的变换和式子结 构的变换. 2.半角公式 1 cos 2 2 用 表示sin , cos , tan sin 22 ;1 cos 222 22 1 cos 1 cos 2 1 cos cos2 ; tan2 . 22 2 用cos表示sin ,cos ,tan sin 2 2 2 2 1 cos 1 cos 1 cos ;cos ;tan 2 1 cos . 222 sin 1 cos 3 用sin, cos表示tan tan . 2 2 1 cos sin 3.万能公式 2tan 1 tan
2、2 1 tan 2 2tan 1 tan 2 sin2 ;cos2 ;tan2 . 21 tan 4.积化和差公式 (1)sincos= (2)cossin= (3)coscos= (4)sinsin=- 1 sin(+)+sin(-); sin(+)-sin(-); cos(+)+cos(-); cos(+)-cos(-). 2 1 2 1 2 1 2 5.和差化积公式 cos cos (1)sin+sin=2sin; 22 (2)sin-sin=2cos ; 22 (3)cos+cos=2cos cos; 22 (4)cos-cos=-2sin cos ; 22 考点陪练 2sin2 co
3、s2 1 cos2 cos2 A.tan B.tan2 1. 等于 C.1 D.1 2 2 2sin2 1 cos2 2sin2 cos 解析: . 1 cos2 cos2 1 cos2 2cos2 答案:B 12 3 2.若sin ,则cos 2 等于 6 3 7 9 1 3 A.B. C. 1 D. 7 39 2 3 解析:cos 2 cos 2 6 7 cos2 2sin 2 1. 6 6 9 答案:A cos22 3. 若 A. ,则cos sin的值为 2 sin 4 71 B. 22 C. 1 2 7 D.2 cos2 cos sin 2 2 2 , 2 解析: 2 sin (si
4、n cos ) 4 2 1 得cos sin ,故选C. 2 答案:C 4.若f(sinx)=3-cos2x,则f(cosx)等于() A.3-cos2x C.3+cos2x B.3-sin2x D.3+sin2x 解析:f(sinx)=2+2sin2x, f(x)=2+2x2. f(cosx)=2+2cos2x=3+cos2x. 答案:C 5.cot 20cos10 3sin10tan702cos40 _ . 解析:原式 tan703sin10tan70 2cos40 tan70(cos10 3sin10) 2cos40 2tan702cos40 os40 sin70 cos70 2 sin
5、70 n40 cos40 cos70 2 2 cos70 cos110 22. cos70cos70 答案:2 类型一三角函数式的化简 解题准备:化简三角函数式常有两种思路:一是角的变换(即将 多种形式的角尽量统一 减少角的个数);二是三角函数名 称的变换(即尽量减少 统一函数名称,如“切化弦”).具体 问题中可双管齐下,整体变换. 3 【典例1】已知 ,化简: 2 1 sin1 sin . 1 cos 1 cos 1 cos 1cos 3 3 解因为 ,所以 . 22 2 4 1 cos 2cos2 2 | cos | 2cos , 222 1 cos 2sin2 2sin . 22 1 s
6、in1 sin 所以原式 2 cos sin2 sin cos 22 22 22 2 cos sinsin cos 22 2 2 cos sin2 sin cos 22 22 2 2 2 2 sin cos sin cos 2cos . 222 反思感悟三角函数式的化简原则:尽量使函数种类最少,次 数相对较低,项数最少,尽量使分母不含三角函数,尽量去掉 根号或减少根号的层次,能求出具体值的应求出其值. 类型二三角函数式的求值 解题准备:三角函数式的求值 三角函数的求值主要有三种类型,即给角求值 给值求值 给 值求角. 给角求值的关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三 角函数相约或相消,从而化
7、为特殊角的三角函数. 给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的联系及函数 的差异,一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以 备应用.同时也要注意变换欲求式,便于将已知式求得的函 数值代入,从而达到解题的目的. 给值求角关键是先求出该角的某一三角函数式的值,其次 判断该角在对应区间的单调性,从而达到解题的目的. 310 【典例2】已知 , tan cot . 43 1 求tan的值; 2 2 5sin 8sin cos 1 1cos 8 22 22 2 求的 值. 2sin 2 10 解 由 得 2 3tan 10 tan 3 0, 1 tan cot 3 1 3 即tan 3或tan ,
8、又 , 3 4 1 所以tan 为所求. 3 1 cos1 cos 5 4sin 11 2cos 8 22 2 原式 55cos 8sin 1111cos 16 2 2cos 8sin 6cos 8tan 6 5 2 . 2 2cos2 2 6 反思感悟给值求值问题是给出某个角(或两个角)的三角函 数(式)的值,要求其他角的三角函数值.解决此类问题的关 键是利用角的变换,把待求角用已知角表示出来,利用两角 和 差或倍角公式把待求角的三角函数值求出,如果条件所 给的式子比较复杂,则需先将其化简.在三角函数求值过程 中,同角三角函数关系式及两角和与差的三角函数公式是 常用工具. 类型三已知三角函数
9、值求角 解题准备:已知三角函数值求角,一般可分以下三个步骤:第一, 定角的范围,很多时候我们需要根据题中给出的三角函数 值或中间结果中的三角函数值进一步缩小角的范围;第二, 求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围 内严格单调);第三,根据角的范围写出所求的角.其中在第 二步中,具体选用哪个三角函数,一般可由条件中的函数确 定,一般已知正切函数值,选正切函数;已知正 余弦函数值, 选正 余弦函数; 0, , 若角的范围是正 余弦函数均可;若角的范围是 2 (0,),一般选余弦函数;若角的范围是则一般 , , 2 2 选正弦函数等. 【典例3】 (2010 江西五校联考)设A B C
10、0, ,且sinA sinC 2 sinB, cosA cosC cosB,则B A等于( ) B. A. 36 D. C. 或 333 解析已知sinA sinB sinC, cosA cosB cosC,两式平 1 方相加得1 2sinAsinB 2cosAcosB11, cos A B , 2 2 2 由于A B 0, ,B A , ,所以B A , 2 3 又sinA sinB sinC 0,所以B A ,故选A. 3 答案A 类型四三角函数式的证明 解题准备:三角恒等式的证明主要有两种类型:绝对恒等式与 条件恒等式. 证明绝对恒等式要根据等式两边的特征,化繁为简,左右归 一,变更论证
11、,通过三角恒等式变换,使等式的两边化异为同. 条件恒等式的证明则要认真观察,比较已知条件与求证等 式之间的联系,选择适当途径对条件等式进行变形,直到得 到所证等式,或者将欲证等式及条件进行变式,创造机会代 入条件,最终推导出所证等式. sin2x1 cosx 【典例4】求证: 证明左边 . (sinx cosx 1)(sinx cosx 1) sinx 2sinxcosx sinx (cosx 1)sinx (cosx 1) 2sinxcosx2sinxcosx 2 22 2 sin x (cosx 1) sin x cos x 2cosx 1 2sinxcosx sinxsinx(1 cos
12、x) 2cos x 2cosx 1 cosx (1 cosx)(1 cosx) 2 sinx(1 cosx) 1 cosx 右边. 2 sin xsinx 故原等式成立. 错源一合理运用公式的能力差 1 【典例1】设0 , sin cos ,则cos2的值为( ) 2 77 A.B. D. 44 71 C. 44 1 2 错解由sin+cos=得 1 , (sin+cos)2=1+sin2= 4 3 所以sin2=. 4 因为0,所以022. 由sin22+cos22=1 2 得cos2= 故选C. 3 7 1 . 4 4 剖析由于选择了sin22+cos22=1,求cos2的值时符号不 能确
13、定,造成解题错误. 1 2 正解由sin+cos= 1 4 3 4 得(sin+cos)2=1+sin2=,所以sin2= . 因为sin2=2sincos0,且0,所以 0. 7 因为(sin-cos)2=1-sin2=, 4 7 所以sin-cos= 2 7 由得:sin2-cos2= 即cos2=cos2-sin2= 答案B , 4 7故选B. . 4 错源二忽视角的范围 1 2 【典例2】若、是锐角,且sin-sin=-,cos- 1 cos= ,求tan(-). 2 11 错解sin , cos cos , 22 1 两边平方相加得: 2 2coscos 2sinsin , 2 13
14、 即2 2cos ( ) ,cos ( ) , 、 是锐角, 24 7 ,sin ( ) , 224 sin( ) cos( ) 7 故tan ( ) . 3 剖析本题错误在于 的范围分析得不对,由于、是 1 锐 角,所以 ,但还应注意sin sin 0, 222 sin sin, . 从而 0,故由cos 的值只能得到 2 sin 0的 值. 11 正解sin , cos cos , 22 1 两式平方相加得: 2 2coscos 2sinsin , 2 13 即2 2cos ( ) ,cos ( ) . 、 是锐角, 24 1 且sin sin 0,0 , 0. 22 7 2 1 cos
15、( sin () 2 ), 4 sin( ) cos( ) 7 tan ( ) . 3 技法 三角恒等变换的六种意识 一 降幂意识 主要针对sinx,cosx出现高次幂的情况,常常通过配方或者利 用倍角公式进行求解. 【典例1】当+=30时,求sin2+cos2+cossin的值. 1 cos21 cos2 解题切入点由sin2 , cos2 , 22 1 得原式 1 cos2 cos2 cossin 2 1 1 sin ( )sin ( ) sin sin 2 1 5 1 . 4 4 二 统一意识 三角变换的实质归结到一点就是化异为同.解三角题时,应敏 锐地观察题目中角 名称 运算等之间的差
16、异,然后设法消 除差异 实现统一. 【典例2】已知sin(2+)+2sin=0,且coscos(+)0,求 证:tan=3tan(+). 证明因为2+=+,=+-, 所以sin(+)+2sin(+-)=0, 即sin(+)cos+cos(+)sin+2sin(+)cos- 2cos(+)sin=0, 所以3sin(+)cos=cos(+)sin, 又因为coscos(+)0,可两边同时除以coscos(+)即 可得证. 三 整体意识 如果所涉及的三角问题中已知式和待求式的结构类似,则可 用整体代换,即把已知式或待求式视为一个整体进行变形 替换. 【典例3】化简: 3 cos2(+15)+cos
17、2(-15)-cos2. 2 解题切入点由于观察到此式中的角出现+15,-15与 2,要达到角的统一,需将角+15,-15向角2进行转 化,因此,可考虑二倍角的变形公式. 1 cos2( 15 ) 1 cos 2( 15 ) 解原式 22 31 cos2 1 cos(2 30) cos(2 30) 22 33 cos2 1 cos2cos30 cos2 22 33 1 cos2 cos2 1. 22 四 代换意识 代换是解三角题经常用到的技巧,如特殊值与三角函数的代 换 1的代换等,恰当地进行代换有利于迅速解题,又如在一 个函数式中同时出现sinxcosx与sinxcosx,可考虑设 t=si
18、nxcosx等. sinxcosx 1 sinx cosx 【典例4】求f x 的值域. 2 t 1 解令t sinx cosx,则sinxcosx , 2 且t 2sin x ,所以t 2, 2. 4 又由1 sinx cosx 0,知 2sin x 1. 4 所以t 2,1) (1, 2. 1 所以f x (t 1) . 2 2 11 2 故所求函数的值域为 ,1. 22 五 消元意识 消元法在解三角题中有着广泛的应用,如给角求值时,消去非 特殊角;证明条件等式时,消去结论中不含的角或函数等. 3x 【典例5】化简:tan tan 2 cosx cos2x x2sinx . 2 解题切入点
19、此题各式间的差异较大,不仅角之间有差异,而 且函数名及结构之间也存在较大的差异,为此,我们要重点抓 住某一特征差异进行分析,以求突破. 3xx sinsin 2sinx 2 3x 2 x 解原式 cosx cos2x coscos 22 3x x sin cos cos sin 2 2 2 2 3x x 2sinx 3x x cos cos 2 2 cosx cos2x sinx2sinx 3x x 3x x3x x cos cos cos cos 2 2 2 2 2 2 sinx2sinx 0. 3x x3x x cos cos 2cos cos 2 22 2 六 配凑意识 为利用公式而配因子,为利用已知角而凑角,这些都是解三角 题的常用手段. 5 4 【典例6】已知sin x 0 x , 4 13 cos2x 求的 值. cos x 4 cos 2 x 2 4 解原式 cos 2 x 2 4 sin2 x 4 2cos x , 4 sin x 4 因为0 x ,所 以0 x , 444 4 13 12 2 x .所以cos x 1 sin 4 12 24 所以原式 2cos x 2 . 4 13 13
