1、第三十四讲 基本不等式及其应用 回归课本 1.算术平均数 a b 如果a,bR ,那么 + 叫做这两个正数的算术平均数. 2 2.几何平均数 如果a,bR ,那么 ab 叫做这两个正数的几何平均数. + 3.重要不等式 如果a,bR,则a2+b22ab(当且仅当a=b时,取“=”); a b 均值定理:如果a,bR ,那么 + a b(当且仅当a=b时 2 ,取“=”). 均值定理可以叙述为:两个正实数的算术平均数大于或等于 它们的几何平均数. 4.变式形式 2 2 2 a ba bb a ; (3) 2(ab 0); (1)ab ; (2)a b 2 2 a b 2 2 2 a b a b
2、; (5)a b 2(a b ). 上述不等式 2 2 (4) 2 2 中等号成立的充要条件均为a b. 5.已知x、y都是正数,则 1 4 2 S . (1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取最大值 (2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值 2 P. 即两个正数的和为定值,则可求其积的最大值;积为定值,则 可求其和的最小值.应用此结论要注意三个条件;“一正二 定三相等”,即: 各项或各因式为正;和或积为定值;各项或各因式都能 取得相等的值. 考点陪练 1.函数y=log x+log 2的值域是( ) x 2 A.(-,-2 C.-2,2 答案:D B.2,
3、+) D.(-,-22,+) 2.已知x+3y=2,则3x+27y的最小值为( ) A.6B.3 D.4 3 9 C.2 2 答案:A 1a b 2 3.给出下列各式:a 1 2a; x 2;2; xab 1 x21.其中正确的个数是( ) 2 x 1 A.0 B.1 C.2 D.3 答案:C 4.设0 a 1,0 b 1,且a b,下列各式中值最大的是( ) 2 2 A.a bB.a b C.2abD.2 ab 答案:B 5.设a 0, b 0,下列不等式中不成立的是( ) a b 2B.a b 2ab 2 2 A. b a 22 b a1 12 a b C. a bD. 2 a ba b
4、bab ab a a b 解析:由 0,且 0,得 2所以A成立,B aba b a b a b 3 32 2 22 显然成立,C可变形为a b a b ab 2 0 a b a b 0,所以C成立.D中令a b 1时不成 立. 答案:D 类型一证明不等式 解题准备:证明不等式是均值不等式的一个基本应用,注意分 析不等式的左右两边的结构特征,通过拆(添)项创设一个 应用均值不等式的条件.在解决本类问题时注意以下几点 :(1)均值不等式成立的前提条件;(2)通过加减项的方法配 凑成算术平均数、几何平均数的形式;(3)注意“1”的代 换;(4)灵活变换基本不等式的形式并注意其变形式的运用 . 【典
5、例1】证明:a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2abc(a+b+c). 分析利用a2+b22ab(a,bR)求证即可. 证明a4+b42a2b2,b4+c42b2c2, c4+a42c2a2, 2(a4+b4+c4)2(a2b2+b2c2+c2a2), 即a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2, 又a2b2+b2c22ab2c,b2c2+c2a22abc2, c2a2+a2b22a2bc, 2(a2b2+b2c2+c2a2)2(ab2c+abc2+a2bc), 即a2b2+b2c2+c2a2ab2c+abc2+a2bc=abc(a+b+c). 即原命题可得证. 反思感悟证明不等式
6、时,可依据求证式两端的式子结构, 合理选择基本不等式及其变形不等式来证. 2 2 a b a b 2 2 如a b 2ab(a, b R),可变形为ab; ab 22 2 a b 2 (a,b正实数)可变形为a b等.同时要从整体上 4 42 22 2 2 2 把握基本不等式,如:a b 2a b ,a b b c 2 ab bc , 2 2 都是对“a b 2ab, a, b R”的灵活运用.本题先局部运 用重要不等式,然后用不等式的性质,通过不等式相加(有时 相乘)综合推出要求证的不等式,这种证明方法在证明这类 轮换对称不等式时具有一定的普遍性. 类型二 求最值 解题准备:1.利用基本不等
7、式可以求一些函数或代数式的最 值. 2.应用重要不等式和基本不等式可以得到一些常用的不等式 ,主要有: 2 2 a b a b2 1 如果a,b 0, ,则 ab. 1 1 22 a b 11 2 若x(0,),则x 2;若x(, 0),则x 2 (当 xx 且仅当x y时取等号); 2 a b 2 (3)ab (当且仅当a b时取等号); 2 2 2 4 a b c ab ac bc(当且仅当a b c时取等号). 【典例2】解下列问题: 1 已知a 0,b 0,且4a b 1,求ab的最大值; 4 x 2 2 已知x 2,求x 的最小值; 4 9 3 已知x 0, y 0,且x y 1,求
8、 的最小值. x y 解 1 解法一: 0, 4a b 1, 1 4a b2 4ab 4 ab, 11 1 当且仅当4a b ,即a ,b 时,等号成立. 282 111 ab ,ab .所以ab的最大值为 . 41616 解法二: 0, 4a b 1, 11 4a b 1 4 2 16 ab 4a 2 , 4 11 1 当且仅当4a b ,即a ,b 时,等号成立. 282 1 所以ab的最大值为 . 16 2x 2 0, 4 x 2 4 x 2 4 x 2 x x 2 22 (x 2) 6, 4 x 2 当且仅当x 2 ,即x 4时,等号成立. 4 x 2 所以x 的最小值为6. 3 0,
9、 x y 1, 4 94 94y 9x4y 9x (x y) 13 13 2 x yx yx yx y 2 x y 1, x , 4y 9x5 当且仅当 时等号成立,由得 4y 9x , x y x y3 y , 5 2 3 当x , y 时取等号. 5 5 4 9 所以 的最小值为25. x y 反思感悟 1 求最值时,要注意“一正,二定,三相等” ,一 定要明确什么时候等号成立. 2 学好基本不等式,关键是灵活应用,添常数、配系数、 “1”的代换是常用到的方法.在本例 1 中解法二采用了配 系数, 2 中采用了添常数, 3 中利用了“1”的代换.如果 x y 3 中若x y 2,则如何用“
10、1”的代换?显然1,故 2 4 9 x y 4 9 x y 2 x y 类型三利用均值不等式解应用题 解题准备:均值不等式作为求最值的常用工具,经常在有关最 优解的实际问题中应用.应用均值不等式解决实际问题的 基本步骤是:仔细阅读题目,透彻理解题意;分析实际 问题中的数量关系,引入未知数,并用它表示其它的变量, 把要求最值的变量设为函数;应用均值不等式求出函数 的最值;还原实际问题,作出解答. 【典例3】某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的 三级污水处理池(平面图如图所示).如果池四周围墙建造 单价为400元/m,中间两道隔墙建造单价为248元/m,池底建 造单价为80元/m2,水
11、池所有墙的厚度忽略不计. (1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低 总造价; (2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16 m,试设计 污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价. 200 解设污水处理池的长为x m,则宽为 m,再设总造价为 x y元,则有 200200 (1)y 2x400 2400 2482 80200 800 x xx 259200259200 160002 800 x16000 xx 28001816000 44800, 259200 当且仅当800 x , x 即x 18 m时, y取得最小值. 100 当污水池的长为18 m,宽为 m时总造
12、价最低,为44800元. 9 200 216, 0 16, x 12.5x16, x 1 8, 不能用基本不等式,但我们可用函数单调性定义证明 上述目标函数在区间 12.5, 16 上是减函数,从而利用单 调性求得最小值. 由 1 知, y (x) 324 x 800 x 16000(12.5x16). 对任意x 、x 12.5, 16 ,设x x , 1212 1 1 则 x x 800 (x1 x2) 324 12 x x 1 2 800(x x )(x x 324) 0. 121 2 x x 1 2 x x , 12 故y x 在 12.5, 16 上为减函数. 从而有 x 16 450
13、00, 当污水池的长度为16 m,宽 为12.5 m时有最低总造价,最 低总造价为45000元. 反思感悟不等式应用的特点是:(1)问题的背景是人们关 心的社会热点问题,如“物价 税收 销售 市场信息”等, 题目往往篇幅较长.(2)建立函数模型常见的有“正(反)比 例函数 一次函数 二次函数 指数函数 对数函数 三角函 b 数,以及 y ax (a 0,b 0) ”等形式.解函数应用题中的 x 最值问题一般利用二次函数的性质或基本不等式来解决. 错源一 忽视等号成立的条件 1 x 1 【典例1】已知两正数x, y满足x y 1,则z x y y 的最小值为_ . 1 错解错解一:因为对a 0,
14、恒有a 2, a 1 1 x 从而z x y 4, y 所以z的最小值是4. 2 2 2 x y 2xy 错解二: z xy 22 xy 22 xyxy 2( 2 1) , 所以z的最小值是2( 2 1) . 剖析解法一和解法二的错误原因是等号同时成立的条件不 具备,因此使用基本不等式一定要验证等号成立的条件,只 有等号成立时,所求出的最值才是正确的. 1 x 1 正解z x y y 1 y x xy xy x y 2 1 (x y) 2xy xy xy xy 2 xy 2, xy 2 x y 1 2 4 令t xy,则0 t x y , 2 1 由f (t) t 在 0, 上单调递减, t
15、4 1233 故当t 时, f (t) t 有最小值 , 4t4 125 所以当x y 时z有最小值 . 24 25 4 答案 错源二 忽视均值不等式应用条件致误 1 x 1 【典例2】函数y x (x 1)的值域是_ . a b 剖析应用均值不等式 a b时,易忽视a、b同为非 2 1 x 1 负数这一条件而出错,如本题易出现:由y x x 1 x 1 1 x 1 3,得出y 3, 这一 112 (x 1) 错误结果. 1 x 1 1 x 1 1 x 1 正解当x 1时, y x x 112 (x 1) 3, 1 x 1 当且仅当x 1,即x 2时等号成立; 1 1 x 1 1 x 1 1
16、x 当x 1时,y x 1 x 12 (1 x) 1, 1 1 x 即y1,当且仅当1 x ,即x 0时等号成立. 原函数的值域为 ,1 答案(-,-13,+) a b 评析 利用均值不等式 以及变式 a b 2 ab ab ( ) 等 2 2 求函数的最值时,务必注意a,bR (或a, b非 负),积ab或a b其中之一应定值,特别要注意等号成立的条件.本题中的 b 函数是形如y ax (a,b 0 )的特殊情况,在应用均值不 x b 等式求函数最值时,一定要注意ax, 的符号,必要时要进 x 行分类讨论. 技法一 快速解题(三角换元) 【典例1】已知a、b、c、dR,x、yR ,且 + x
17、2=a2+b2,y2=c2+d2. 求证:xyac+bd. 快解联想到圆的参数方程,设 a=xcos ,b=xsin ,c=ycos ,d=ysin ,则 ac+bd=xycos cos +xysin sin =xycos( - )xy. 另解切入点有a2+b2、c2+d2的形式出现,就可以用 a2+b22ab.由于a、b、c、dR,故ac+bd可能为正,也可 能为负.当ac+bd0的 情况. 证明证法一: 当ac+bd0时,显然有xyac+bd成立. 当ac+bd0时, x2y2=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2a2c2+b2d2+2abcd=( ac+b
18、d)2,即xyac+bd. 证法二: 当ac+bd0、-1cos( - )1就 行了. 得分主要步骤本题证明步骤简单,但需考虑ac+bd或正或负 的两种情况.若ac+bd0,则(ac+bd)2与x2y2的大小不能确定 ,证题时需注意此处. 易丢分原因没有考虑到ac+bd0还是ac+bc0. 技法二 如何解决含有多个变量的条件最值问题 求解含有多个变量的条件最值问题,一般方法是利用给出的 条件,通过代换减少变量的个数,将问题转化为只含有一个 变量的函数的最值问题进行解决.如果条件等式中含有两 个变量的和与积的形式,可以直接利用均值不等式对两个 正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解,或者
19、 通过构造一元二次方程,根据已知变量的取值范围,利用根 的分布解决问题. 1 1 【典例2】已知正数a, b满足 3.(1)a b的取值范围为 a b _; 2 ab的取值范围为_ . 1 1a 解析由 3,得a b 3ab,所以b ,并且由a 0, a b3a 1 1 b 0,可得a . 3 1 a1 3 (1)a b a a 3a 13a 1 3 11 3 12 1 2 4 3 a 2 , 3 3a 1 3 3 3a 1 3 3 1 3 12 当且仅当a ,即a 时取等号,所以a b的取值 3 3a 13 4 3 4 3 范围是 , .故填 , . 1 1 1 1 a 2 a a a 3a 1 1 3 3 9 9 (2)ab a 3a 1 1 1 11 12 99 a a 3 9 3a 1 3 9 3a 1 9 1 1 1 2 4 9 2 a , 3 9 3a 1 9 9 1 1 1 3 9 3a 1 2 9 当且仅当 a ,即a 时取等号,所以ab的取 3 4 9 4 9 值范围是 , .故填 , . 4 答案 (1) , 4 (2) , 3 9 方法与技巧本题是一道条件下求代数式的最值的问题. 解题思路是利用给出的条件,用a来表示b,从而在所求问题 中消去b,利用均值不等式转化成函数的最值求解.
