1、第十五讲导数的应用 回归课本 1.函数的单调性与导数 在区间(a,b)内,函数的单调性与其导数的正负关系:(1)如果 f(x)0,那么y=f(x)在这个区间内单调递增.(2)如果f(x)0, 那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.(3)如果f(x)=0,那 么f(x)在这个区间内为常数. 2.函数的极值与导数 (1)函数极值的定义 若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点 的函数值都小,且f(a)=0,而且在x=a附近的左侧f(x)0,则a点叫函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值. 若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点 的函数值都
2、大,且f(b)=0,而且在x=b附近的左侧f(x)0,右 侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x )是极大值. 00 如果在x 附近左侧f(x)0,那么f(x )是极小值. 00 如果f(x)在点x 的左 右两侧符号不变,则f(x )不是函数极 00 值. 3.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在a,b上有最值的条件 如果在区间a,b上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线, 那么它必有最大值和最小值. (2)求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤 求函数y=f(x)在(a,b)内的极值. 将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其 中最大的一个是
3、最大值,最小的一个是最小值. 4.解决优化问题的基本思路 考点陪练 1.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9,且在x=-3时取得极值,则a的值 为( ) A.2 C.4 B.3 D.5 解析:由题意得f(x)=3x2+2ax+3.又f(x)在x=-3时取得极值,所 以f(-3)=30-6a=0,解得a=5.故选D. 答案:D 2.(2010重庆统考)已知函数f(x)=x3-3x,则函数f(x)在区间- 2,2上的最大值是() A.0 C.2 B.1 D.3 解析:f(x)=3x2-3,当x-2,-1或1,2时,f(x)0,f(x)单调递增; 当x(-1,1)时,f(x)0,f(x)单调递减
4、.故极大值为f(-1)=2,极 小值为f(1)=-2,又因为f(-2)=-2,f(2)=2,f(x)在-2,2上的最 大值为2. 答案:C 3.f(x)是定义在(-,+)上的可导的奇函数,且满足 xf(x)0,f(1)=0,则不等式f(x)0的解为() A.(-,-1)(0,1) B.(-1,0)(1,+) C.(-,-1)(1,+) D.(-1,0)(0,+) 解析:由xf(x)0时,f(x)0时,由f(x)1,又因为函数为奇 函数,故当x0时,不等式f(x)x-1,故选B. 答案:B 1 安徽联考 设函数 在区间 f x x ax 5x 6 ) 3 2 4.( 2010 3 1, 3 上是
5、单调函数,则实数a的取值范围是( ) B. ,3 A. 5 ,) C.(,3 5,)D. 5, 5 解析 因为 由题意得 在区 : f x x 2ax 5, f x 2 间 1, 3 上符号不变. 1 若在该区间上为增函数,则有 2 x 5 15 2 故 x,f x x 2ax 5 0, a 2x 2 x 1 5 2 x 而x 1,3 ,令t x ,显 然, t在1, 5 上单调递增,在 5, 3上单调递减,故最大值为 15 t | 5 5, x 5 2 5 所以a 5; 2 若在该区间上为减函数 则有 ,f x x 2ax 5 0, 2 2 5 x 5 1 故a x , 2x 2 x 1 1
6、 5 7 2 3 3 而t | (1 5) 3,t | x 3 3 , x1 2 由 1 知a3.由 1 2 可知a的取值范围 为(,3 5,) .故选C. 答案:C 5.已知函数f(x)的导函数的图象如图所示,则下列说法正确的 有_. 函数f(x)在区间(-3,1)内单调递减; 函数f(x)在区间(1,7)内单调递减; 当x=-3时,函数f(x)有极大值; 当x=7时,f(x)有极小值. 解析:由图象可得,在区间(-3,1)内f(x)的导函数值大于零,所以 f(x)单调递增;在区间(1,7)内f(x)的导函数值小于零,所以 f(x)单调递减;在x=-3左右的导函数符号不变,所以x=-3不 是
7、函数的极大值点;在x=7左右的导函数符号由负到正,所 以函数f(x)在x=7处有极小值.故填. 答案: 类型一函数的单调性 解题准备:求函数单调区间的基本步骤是:确定函数f(x)的定 义域;求导数f(x);由f(x)0(或f(x)0时,f(x)在相应的区间上是单调递增函数 ;当f(x)0时,f(x)在相应的区间上是单调递减函数. 【典例1】已知函数f(x)=x3-ax-1. (1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围; (2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出a 的取值范围;若不存在,说明理由. 分析第(1)问由f(x)在R上是增函数知f(x)0在R
8、上恒成立,进 而转化为最值问题;(2)作法同第(1)问. 解(1)由已知f(x)=3x2-a, f(x)在(-,+)上是单调增函数, f(x)=3x2-a0在(-,+)上恒成立, 即a3x2对xR恒成立. 3x20,只需a0, 又a=0时,f(x)=3x20,f(x)=x3-1在R上是增函数, a0. (2)由f(x)=3x2-a0在(-1,1)上恒成立, 得a3x2,x(-1,1)恒成立. -1x1,3x23,只需a3. 当a3时,f(x)=3x2-a在x(-1,1)上恒有f(x)0(f(x)0f(x)单调递增,f(x)0f(x)单调递 减.第(2)问转化为f(x) m0,此时f(x)为增函
9、数;当x(1,2)时 ,f(x)0,此时f(x) 为增函数,因此在x=2处函数取得极小值.结合已知,可得 x =2. 0 2 由 1 知f 2 5,即8a 4b 2c 5. 再结合f x 的图象可知,方程 f x 3ax 2bx c 0 2 的两根分别为 1, 2, 2b 1 2 , 2b 9a, c 6a. 3a 那么即 c 12 . 3a 545 联立8a 4b 2c 5,得a ,b ,c 15. 24 错源二误认为导数为零的点就是极值点 【典例2】求函数f(x)=x4-x3的极值,并说明是极小值还是极大 值. 错解 3 2 令 即 3 2 f x 4x 3x . f x 0, 4x 3x
10、 0, 3 解得x 0, x .那么f 0 0, 12 4 43 3 3 3 27 3 f .又f f (0), 4 4 4 256 4 27 故极小值为 ,极大值为0. 256 剖析错解中的错误有两点,认为导数为零的点就是极值点 ,其实,并非如此.导数为零只是该点是极值点的必要不充分 条件;极大值大于极小值,这也是不准确的.极值仅描述函 数在该点附近的情况. 正解 由 3 2 当 即 3 2 时 f x 4x 3x , f x 0, 4x 3x 0 , 3 解得x 0,x .函数及导函数在区间中的变化情况, 12 4 见下表: 由上表可知函数f x 在区间(, 0)上是减函数, 3 在区间
11、0, 上还是减函数,于是,x 0不是函数 4 3 的极值点.而函数f x 在区间 0, 4 3 上是减函数,在区间 , 上是增函数, 4 因此在x 处取得极小值,其值为 ,无极大值. 327 2564 技法一解决与不等式有关的问题 【典例1】当x0时,证明不等式ln(1+x)x-x2成立. 解题切入点欲证x0时,ln(1+x)x- x2,可以证 F(x)=ln(1+x)-(x-x2)0,易知F(0)=0,因此可以考虑F(x)在 0,+)上是增函数. 证明设f(x)=ln(1+x), g(x)=x-x2, F(x)=f(x)-g(x), F(x)=f(x)-g(x)= 1 1 x (1 x).
12、. x2 1 x 当x0时,F(x)=0. 所以F(x)在0,+)上是增函数. 故当x0时,F(x)F(0)=0, 1 2 即 ln 1 x x x 0, 2 1 所以 ln 1 x x x . 2 2 方法与技巧运用导数证明不等式是一类常见题型,主要是根 据欲证不等式的题设特点构造函数,利用导数判定函数的 单调性进而求解. 技法二解决与函数周期有关的问题 【典例2】设 f (x)=sinx,f (x)=f (x),f (x)=f (x),f (x)=f (x),nN, 01021n+1n 则f (x)等于() 2005 A.sinxB.-sinx C.cosxD.-cosx 解析f (x)=
13、sinx,f (x)=f (x)=cosx,f (x)=f (x)=- 01021 sinx,f (x)=f (x)=-cosx,f (x)=f (x)=sinx. 3243 所以f (x)的周期为4. n 所以f (x)=f=f (x)=cosx. 20054501+1 1 故选C. 答案C 方法与技巧本题是一个关于三角函数的求导问题,这里要利 用函数的周期性.刚开始求解不一定能看出周期性,这需要 借助我们平时的做题经验,由此可见,在平时的学习中要善 于总结. 技法三解决与方程有关的问题 【典例3】方程x3-3x+a=0(a为常数)在区间0,1)上() A.无实根B.有唯一实根 C.至多有一个实根D.有两个实根 解析设f(x)=x3-3x+a,则f(x)=3x2-3在0,1)上恒为负, 所以f(x)在0,1)上单调递减.故选C. 答案C
