1、第二十九讲等比数列 回归课本 1.等比数列的定义及等比中项 (1)如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同 一常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比 数列的公比,通常用字母q表示. (2)对于正整数m、n、p、q,若m+n=p+q,则等比数列中 a ,a ,a ,a 的关系为a a =a a ,如果a、G、b成等比 m n p qmnpq 数列,那么G叫做a与b的等比中项,且G= ab (ab0). 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 等比数列的通项公式为a =a qn-1(a 0,q0);其前n项和公 n11 na (q 1) 式为: 1 S . n 1 q a (
2、1 q ) a a n (q 1) 1 或 1n 1 q 3.与等比数列有关的结论 (1)在等比数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序 排列,构成的新数列仍然是等比数列. (2)若a 是等比数列,则a |a |皆为等比数列,公比分别 nnn 为q和|q|(为非零常数). (3)一个等比数列各项的k次幂,仍组成一个等比数列,新公比 是原公比的k次幂. (4)等比数列中连续n项之积构成的新数列仍然是等比数列. man (5)若数列a 与b 均为等比数列,则ma b 与 仍 b nnnn n 为等比数列,其中m是不为零的常数. (6)当q0,q1时,S =k-kqn(k0)是a 成等比数列的充
3、要 nn a 1 1 q 条件,这时 k . 4.等比数列的判定方法 a n1 an (q是不为0的常数,nN*)a 是等比数 n (1)定义法: 列. q (2)通项公式法:a =cqn(c,q均是不为0的常数,nN*)a 是 nn 等比数列. (3)中项公式法 :a2 =a a (a a a 0,nN*)a n+1nn+2 nn+1n+2n 是等比数列. a q 1 a1 q 1 a1 =kqn-k(k= 1 (4)前n项和公式法:S = qn-是常 q 1n 数,且q0,q1)a 是等比数列. n 考点陪练 1.已知数列的前n项和为S =an-2(a是不为0的实数),那么数列 n a (
4、 ) n A.是等比数列 B.当a1时是等比数列 C.从第二项起成等比数列 D.从第二项起成等比数列或成等差数列 解析:由数列中a 与S 的关系,当n=1时,a =S =a-2;当n2时 nn11 ,a =S -S =(a-1)an-1,经验证n=1时,通项公式不符合,故当 nn n-1 a1时,从第二项起成等比数列;当a=1时,a =0(n2),数列从 n 第二项起成等差数列. 答案:D 2.已知等比数列a 满足a +a =3,a +a =6,则a =() n12237 A.64 B.81 C.128 D.243 a a a q a q6 q 2, 2312 解析:a 是等比数列,又 a a
5、 a a3n 1212 a +a q=3,a =1,a =a q6=126=64. 11171 答案:A 1 3 .已知 a 是等比数列,a 2, a ,则a a a a n251 22 3 4 a a 等于( ) n n1 n B.16 1 2 n A.16 1 4 3232 n n C. 1 4 D. 1 2 33 解析:设 a 公比为q, n 11 a 2,a a 3 q . 252 42 1 b a a , b 是首项为8,公比为 的等比数列. nn n1n 4 n 1 4 81 32 3 S 1 4 . n n 1 1 4 答案:C 4.(2010辽宁)设S 为等比数列a 的前n项和
6、,已知3S =a - nn34 2,3S =a -2,则公比q=() 23 A.3 C.5 B.4 D.6 3S a 2 34 , 得: 3a a a , 4a a , 解析: 34334 3S a 2 23 a 4 a3 q 4. 答案:B 5.(2010重庆)在等比数列a 中,a =8a ,则公比q的值 n20102007 为( ) A.2 C.4 B.3 D.8 a 2010 a 2007 解析:依题意得 答案:A =q3=8,q=2,选A. 类型一等比数列的判断与证明 解题准备:证明一个数列是等比数列的主要方法有两种:一是 a 利用等比数列的定义,即证明=q(q0,nN*),二是 n
7、1 an 利用等比中项法,即证明a2 =a a 0(nN*).在解题中, n+1n n+2 要注意根据欲证明的问题,对给出的条件式进行合理地变 形整理,构造出符合等比数列定义式的形式,从而证明结论. n 2 【典例1】数列a 的前n项和记为S ,已知a =1,a = nn1n+1 n S (n=1,2,3,),求证: n S (1)数列 是等比数列; n n (2)S =4a . n+1n n 2 证明 1 S ,a S . n1n1nn1n n n n 2 S n S S .整理得nS 2 n 1 S ,所以 nn1nn1 Sn 12Sn n 1 n . S n n 故是以2为公比的等比数列
8、. SS 2 . 2 由 1 知 n 1 4 n 1 n 1 S n 于是 S 4 n 1 n 1 4a n 2 . n1 n 1 又a 3S 3,故S a a 4. 21212 因此对于任意正整数n 1,都有S 4a . n1n 反思感悟(1)等比数列从第2项起,每一项(有穷等比数列的末 项除外)是它的前一项与后一项的等比中项;反之也正确. (2)只有同号的两个数才有等比中项,且这两数的等比中项互 为相反数. 类型二等比数列的基本量运算 解题准备:在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共有 a ,a ,q,n,S 五个量,知道其中任意三个量,都可以求出其余 1 nn 两个量.解题时,将已知条
9、件转化为基本量间的关系,然后利 用方程组的思想求解. 【典例2】设数列a 为等比数列,且a 0,它的前n项和为80, n1 且其中数值最大的项为54,前2n项的和为6560.求此数列的 通项公式. 解设数列的公比为q ,由S 80, S 6560,得q 1, n2n 否则S 2S . 2nn n a (1 q ) 80, 1 1 q 2n a (1 q ) 1 q 6560. 1 n 得q 81. 将qn=81代入得,a =q-1. 1 又a 0,q1.数列a 是递增数列. 1n 从而,a qn-1=54, 1 a qn=54q,81a =54q. 11 联立,解得q=3,a =2. 1 a
10、=a qn-1=23n-1. n1 反思感悟因为前n项和与前2n项和已知,这为建立方程提供 了条件,由此可求得首项a 与公比q之间的关系,进而确定 1 a . n 求解本题时,有两个易错点:一是不判断q1而直接利用公式 a (1 q ) n S = 1 ;二是不借助a 0导出q1,进而判断数列 n 1 q 1 a 的单调性得出最大项为a ,而是想当然地认为a 为最大 nnn 项. 类型三等比数列性质的应用 解题准备:1.等比数列的单调性 (1)若a 0,q1或a 0,0q0,0q1或a 1,则数列a 是递减数列. 11n (3)若q=1,则数列a 是常数列. n (4)若q0,所以210q10
11、=1, n 1 1 解得q= ,因而a =a qn-1= (nN*). n1 22n 11 2 因为 a 是首项a ,公比q 的等比数列,故 n1 22 1 1 1 n 1n 2 2 S 1 , nS n . n 1 1 2 n nn 22 1 2n 则数列 nS 的前n项和T (1 2 n) nn2n 2 2 n 1 n 2 T 1 1 2 n (1 2 . 23nn1 2 2 2 22 2 前两式相减,得 T 1 1 1 2 22 1 n (1 2 n nn1 2 2 2 2 1 1 1 n(n 1)n n 2 2 ,即 1 1 2 n 1 42 n(n 1) 1 n T 2. n n 1
12、n 2 2 2 错源一对公比q的范围、取值考虑不周全 【典例1】已知三角形的三边构成公比为q的等比数列,则q的 取值范围( ) 1 55 1 A.(0,)B.( D.( , 1 2 1 5 2 2 5 1 1 5 C. 1,),) 22 错解设三角形的三边分别为a,aq,aq2,且a0,q0.由三角形 的两边之和大于第三边,得a+aqaq2,即 1 5 1+qq2,解得0q0,当q1时数列是递增的,aq2是最大边;而当0q1 时,数列是递减的,此时a是最大边. 2 q 1 , a aq aq ,正解 当 时 由 1 5 解得1q ; 2 5 1 当 时 由0 q 1 , aq aq a, 2
13、解得 q 1. 2 5 1 1 5 所以q的范围是(,) .故选D. 22 答案D 错源二题意理解不透、忽视隐含条件 【典例2】一个数列a ,当n为奇数时,a =5n+1,当n为偶数时 nn n ,a = 2,则这个数列的前2m项和为_. n 2 错解当n为奇数时,由a -a =5(n+1)+1-(5n+1)=5,知a n+1 nn 是以a =6,d=5的等差数列. 1 n1 2 2 当n为偶数时,由 2,知 a 是以a 2,q 2的等 nn1 22 比数列. 1 q m m(m 1) a (1 q ) 所以S a m d 1 2m1 2 5m 7m 2 2 (1 2 )(1 ( 2) ).
14、m 2 剖析将原数列分成奇数项和偶数项两个数列来处理的思路 是正确的,但分析是由a ,a ,a ,构成等差数列,由 1 3 5 a ,a ,a ,构成等比数列,并不是相邻的两项. 2 4 6 正解当n为奇数时,由a -a =5(n+2)+1-(5n+1)=10,知a n+2 nn 是以a =6,d=10的等差数列. 1 n2 当n为偶数时,由 列. =2,知a 是以a =2,q=2的等比数 2 n12 n 2 2 m(m 1)2(1 2m ) 所以S =6m+ 10 =5m2+m+2m+1-2. 2m 1 2 2 答案5m2+m+2m+1-2 技法一巧用公式 【典例1】设等比数列a 的公比为q
15、,前n项和为S ,若 nn S ,S ,S 成等差数列,则q的值为_. n+1 n n+2 解析由题设知,S -S =S -S , n n+1n+2 n 即-a =a +a , n+1n+1n+2 a n2 an1 q 2. 故2a +a =0,即 n+1n+2 答案-2 技法二巧用等比数列中部分项的性质 “若数列a 是公比为q的等比数列,则 n a ,a ,a ,(k,mN )组成首项为a ,公比为qm的等比 k k+m k+2m+k 数列.” 【典例2】若等比数列a 中,公比q=2,且a +a +a =30, n1299 则a +a +a +a =_. 36999 99 a (1 2 ) 解析由题意知:S 30, 1 99 1 2 30 解得a . 1 99 2 1 由等比数列的性质可知:a ,a ,a ,a 仍成等比数列, 36999 30120 a a q 且首项为 2 22,公比为q 8, 3 31 9933 2 18 1 共有33项. 120 33 (1 8 ) a (1 8 ) 33 120 33 8 1 所以a a a a . 3 36 120 7 999 1 8 1 8 7 答案
