1、目录 2021 年高考数学全国乙卷理科真题 1 2021 年高考数学全国乙卷理科真题解析 5 2021 年高考数学全国乙卷文科真题 13 2021 年高考数学全国乙卷文科真题解析 17 2021 年高考数学全国甲卷理科真题 24 2021 年高考数学全国甲卷理科真题解析 29 2021 年高考数学全国甲卷文科真题 38 2021 年高考数学全国甲卷文科真题解析 43 2021 年新高考数学 I 卷真题 52 2021 年新高考数学 I 卷真题解析 56 2021 年高考数学北京卷真题 67 2021 年高考数学北京卷真题解析 71 2021 年高考数学上海卷真题 80 2021 年高考数学上海
2、卷真题解析 83 2021 年高考数学浙江卷真题 91 2021 年高考数学浙江卷真题解析 96 2021 年八省联考数学真题 107 2021 年八省联考数学真题解析 111 2021 年 1 月中学生标准学术能力诊断性测试理科真题 115 2021 年 1 月中学生标准学术能力诊断性测试理科真题解析 119 2021 年 1 月中学生标准学术能力诊断性测试文科真题 125 2021 年 1 月中学生标准学术能力诊断性测试文科真题解析 129 2021 年 3 月中学生标准学术能力诊断性测试理科真题 135 2021 年 3 月中学生标准学术能力诊断性测试理科真题解析 139 2021 年
3、3 月中学生标准学术能力诊断性测试文科真题 145 2021年全国高考数学试卷及解析汇编 目录ii 2021 年 3 月中学生标准学术能力诊断性测试文科真题解析 150 2021 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学乙卷 注意事项: 1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净 后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题: 本题共 12 小题, 每小题 5 分,
4、 共 60 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求. 1. 设 2(z + z) + 3(z z) = 4 + 6i, 则 z =( ). A： 1 2iB： 1 + 2iC： 1 + iD： 1 i 2. 已知集合 S = s | s = 2n + 1,n Z,T = t | t = 4n + 1,n Z, 则 S T =( ). A： B： SC： TD： Z 3. 已知命题 p : x R,sinx 1 命题 q : x R,e|x| 1, 则下列命题中为真命题的是 ( ). A： p qB： p qC： p qD： (p q) 4. 设函数 f(x) = 1 x 1 +
5、 x, 则下列函数中为奇函数的是 ( ). A： f(x 1) 1B： f(x 1) + 1C： f(x + 1) 1D： f(x + 1) + 1 5. 在正方体 ABCD A1B1C1D1中, P 为 B1D1的中点, 则直线 PB 与 AD1所成的角为 ( ). A： 2 B： 3 C： 4 D： 6 6. 将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目进行培训, 每名志愿者只分配 到 1 个项目, 每个项目至少分配 1 名志愿者. 则不同的分配方案共有 ( ). A： 60 种B： 120 种C： 240 种D： 480 种 7. 把函数 y = f(x)
6、图像上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍, 纵坐标不变, 再把所得曲线向右平移 3 个单 位长度, 得到函数 y = sin(x 4 ) 的图像, 则 f(x) =( ). A： sin(x 2 7 12 )B： sin(x 2 + 12) C： sin(2x 7 12 )D： sin(2x + 12) 8. 在区间 (0,1) 与 (1,2) 中各随机取 1 个数, 则两数之和大于 7 4 的概率为 ( ). A： 7 9 B： 23 32 C： 9 32 D： 2 9 9. 魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作, 其中第一题是测量海岛的高. 如图, 点 E,H,G 在水平线
7、AC 上, DE 和 FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度, 称为“表高”, EG 称为“表距”, GC 和 EH 都称为“表目距”, GC 与 EH 的差称为“表目距的差”. 则海岛的高 AB =( ). A： 表高 表距 表目距的差 + 表高B： 表高 表距 表目距的差 表高 2021 年高考数学全国乙卷理科真题2 C： 表高 表距 表目距的差 + 表距D： 表高 表距 表目距的差 表距 B A D EHG F C (第 9 题图) 10. 设 a = 0, 若 x = a 为函数 f(x) = a(x a)2(x b) 的极大值点, 则 ( ). A： a bC： ab a2
8、11. 设 B 是椭圆 C : x2 a2 + y2 b2 = 1 (a b 0) 的上顶点, 若 C 上的任意一点 P 都满足 |PB| 2b, 则 C 的离 心率的取值范围是 ( ). A： 2 2 ,1)B： 1 2,1) C： (0, 2 2 D： (0, 1 2 12. 设 a = 2ln1.01,b = ln1.02,c = 1.04 1, 则 ( ). A： a b cB： b c aC： b a cD： c a 0) 的一条渐近线为 3x + my = 0, 则 C 的焦距为 . 14. 已知向量 a = (1,3),b = (3,4), 若 (a b) b, 则 =. 15.
9、 记 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 面积为 3,B = 60,a2 + c2= 3ac, 则 b =. 16. 以图 为正视图, 在图 中选两个分别作为侧视图和俯视图, 组成某个三棱锥的三视图, 则所 选侧视图和俯视图的编号依次为(写出符合要求的一组答案即可). 2 1 22 11 2 22 2 图 1 图 2图 3 图 4 图 5 (第 16 题图) 3微信公众号：数学竞赛的那些事儿 三、解答题: 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 1721 题为必考题, 每个试题考生都 必须作答 第 22、23 题为选考题, 考生根据要求作答. (一)
10、必考题: 共 5 小题, 每小题 12 分, 共 60 分. 17. (12 分) 某厂研制了一种生产高精产品的设备, 为检验新设备生产产品的某项指标有无提高, 用一台旧设备和一台新 设备各生产了 10 件产品, 得到各件产品该项指标数据如下: 旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7 新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 x 和 y, 样本方差分别记为 s2 1和 s22. (1) 求 x,y,s2 1,s22 (2) 判断新设备生产产品的该项指标的均
11、值较旧设备是否有显著提高 (如果 y x 2 r s2 1+ s22 2 , 则认为新设 备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高, 否则不认为有显著提高). 18. (12 分) 如图,四棱锥PABCD的底面是矩形,PD 底面ABCD,PD = DC = 1,M 为BC 的中点,且PB AM. (1) 求 BC (2) 求二面角 A PM B 的正弦值. P AB M C D (第 18 题图) 19. (12 分) 记 Sn为数列 an 的前 n 项和, bn为数列 Sn 的前 n 项积, 已知 2 Sn + 1 bn = 2. (1) 证明: 数列 bn 是等差数列 (2) 求 an
12、 的通项公式. 2021 年高考数学全国乙卷理科真题4 20. (12 分) 设函数 f(x) = ln(a x), 已知 x = 0 是函数 y = xf(x) 的极值点. (1) 求 a (2) 设函数 g(x) = x + f(x) xf(x) , 证明: g(x) 0) 的焦点为 F, 且 F 与圆 M : x2+ (y + 4)2= 1 上点的距离的最小值为 4. (1) 求 p (2) 若点 P 在 M 上, PA,PB 是 C 的两条切线, A,B 是切点, 求 PAB 面积的最大值. (二) 选考题: 共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答, 如果多做, 则按
13、所做的第一题计分. 22. 【选修 4 4: 坐标系与参数方程】(10 分) 在直角坐标系 xOy 中, C 的圆心为 C(2,1), 半径为 1. (1) 写出 C 的一个参数方程 (2) 过点 F(4,1) 作 C 的两条切线. 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求这两条切线的极 坐标方程. 23. 【选修 4 5: 不等式选讲】(10 分) 已知函数 f(x) = |x a| + |x + 3|. (1) 当 a = 1 时, 求不等式 f(x) 6 的解集 (2) 若 f(x) a, 求 a 的取值范围. 2021 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学乙卷 (参
14、考答案) 注意事项: 1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净 后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题: 本题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求. 1. 设 2(z + z) + 3(z z) = 4 + 6i, 则 z =( ). A： 1 2iB： 1 + 2iC： 1 + iD： 1 i
15、 答案：C. 解析：设 z = a + bi, 则 z = a bi, 2(z + z) + 3(z z) = 4a + 6bi = 4 + 6i, 所以 a = 1,b = 1, 所以 z = 1 + i. 2. 已知集合 S = s | s = 2n + 1,n Z,T = t | t = 4n + 1,n Z, 则 S T =( ). A： B： SC： TD： Z 答案：C. 解析：s = 2n + 1,n Z: 当 n = 2k,k Z 时, S = s | s = 4k + 1,k Z 当 n = 2k + 1,k Z 时, S = s | s = 4k + 3,k Z. 所以 T
16、 S, S T = T. 故选 C. 3. 已知命题 p : x R,sinx 7 4 的概率. 绘图如下所示. O y x1 1 2 N M A DC 故 P = S阴 S正 ABCD = 1 1 1 2AM AN 1 1 = 1 1 2 3 4 3 4 1 = 23 32. 9. 魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作, 其中第一题是测量海岛的高. 如图, 点 E,H,G 在水平线 AC 上, DE 和 FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度, 称为“表高”, EG 称为“表距”, GC 和 EH 都称为“表目距”, GC 与 EH 的差称为“表目距的差”. 则海岛的高 A
17、B =( ). A： 表高 表距 表目距的差 + 表高B： 表高 表距 表目距的差 表高 C： 表高 表距 表目距的差 + 表距D： 表高 表距 表目距的差 表距 B A D EHG F C (第 9 题图) 7微信公众号：数学竞赛的那些事儿 答案：A. 解析：连接 DF 交 AB 于 M, 则 AB = AM + BM. B A D EHG F C M 记 BDM = ,BFM = , 则 MB tan MB tan = MF MD = DF. 而 tan = FG GC , tan = ED EH . 所以 MB tan MB tan = MB( 1 tan 1 tan) = MB ( G
18、C FG EH ED ) = MB GC EH ED . 故 MB = ED DF GC EH = 表高 表距 表目距的差 , 所以高 AB = 表高 表距 表目距的差 + 表高. 10. 设 a = 0, 若 x = a 为函数 f(x) = a(x a)2(x b) 的极大值点, 则 ( ). A： a bC： ab a2 答案：D. 解析：若 a 0, 其图像如图 (1), 此时, 0 a b 若 a 0, 其图像如图 (2), 此时, b a 0. O y x ab O y x a b (1)(2) 综上, a2 b 0) 的上顶点, 若 C 上的任意一点 P 都满足 |PB| 2b,
19、 则 C 的离 心率的取值范围是 ( ). A： 2 2 ,1)B： 1 2,1) C： (0, 2 2 D： (0, 1 2 答案：C. 解析：由题意, 点 B(0,b). 设 P(x0,y0), 则 x2 0 a2 + y2 0 b2 = 1 x2 0= a2(1 y2 0 b2 ). 故 |PB|2= x2 0+ (y0 b) 2 = a2(1 y2 0 b2 ) + y2 0 2by0+ b 2 = c 2 b2 y2 0 2by0+ a 2 + b2,y0 b,b. 由题意, 当 y0= b 时, |PB|2最大. 则 b 3 c2 b, b2 c2, a2 c2 c2, e = c
20、 a 2 2 , 即 e (0, 2 2 . 12. 设 a = 2ln1.01,b = ln1.02,c = 1.04 1, 则 ( ). A： a b cB： b c aC： b a cD： c a b 2021 年高考数学全国乙卷理科真题解析8 答案：B. 解析：设 f(x) = ln(1 + x) 1 + 2x + 1, 则 b c = f(0.02). 易得 f(x) = 1 1 + x 2 21 + 2x = 1 + 2x (1 + x) (1 + x)1 + 2x . 当 x 0 时, 1 + x = p(1 + x)2 1 + 2x, 故 f(x) 0. 所以 f(x) 在 0
21、,+) 上单调递减. 所以 f(0.02) f(0) = 0. 故 b c. 再设 g(x) = 2ln(1 + x) 1 + 4x + 1, 则 a c = g(0.01). 易得 g(x) = 2 1 + x 4 21 + 4x = 2 1 + 4x (1 + x) (1 + x)1 + 4x . 当 0 x g(0) = 0. 故 a c. 综上, a c b. 二、填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 13. 已知双曲线 C : x2 m y2= 1 (m 0) 的一条渐近线为 3x + my = 0, 则 C 的焦距为 . 答案：4. 解析：易知双曲线渐近线
22、方程为 y = b ax, 由题意得 a 2 = m,b2= 1, 且一条渐近线方程为 y = 3 m x, 则有 m = 0 (舍去), m = 3. 故焦距为 2c = 4. 14. 已知向量 a = (1,3),b = (3,4), 若 (a b) b, 则 =. 答案：3 5. 解析：由题意得 (a b) b = 0, 即 15 25 = 0, 解得 = 3 5. 15. 记 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 面积为 3,B = 60,a2 + c2= 3ac, 则 b =. 答案：22. 解析：SABC= 1 2acsinB = 3 4 ac = 3, 所以 a
23、c = 4. 由余弦定理, b2= a2+ c2 ac = 3ac ac = 2ac = 8, 所以 b = 22. 16. 以图 为正视图, 在图 中选两个分别作为侧视图和俯视图, 组成某个三棱锥的三视图, 则所 选侧视图和俯视图的编号依次为(写出符合要求的一组答案即可). 答案： 或 . 解析：由高度可知, 侧视图只能为 或 . P A B C P A B C (1)(2) 9微信公众号：数学竞赛的那些事儿 侧视图为 , 如图 (1). 平面 PAC 平面 ABC, PA = PC = 2,BA = BC =5,AC = 2. 俯视图为 . 俯视图为 , 如图 (2). PA 平面 ABC
24、, PA = 1,AC = AB = 5,BC = 2. 俯视图为 . 2 1 22 11 2 22 2 图 1 图 2图 3 图 4 图 5 (第 16 题图) 三、解答题: 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 1721 题为必考题, 每个试题考生都 必须作答 第 22、23 题为选考题, 考生根据要求作答. (一) 必考题: 共 5 小题, 每小题 12 分, 共 60 分. 17. (12 分) 某厂研制了一种生产高精产品的设备, 为检验新设备生产产品的某项指标有无提高, 用一台旧设备和一台新 设备各生产了 10 件产品, 得到各件产品该项指标数据如下: 旧设备
25、9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7 新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 x 和 y, 样本方差分别记为 s2 1和 s22. (1) 求 x,y,s2 1,s22 (2) 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高 (如果 y x 2 r s2 1+ s22 2 , 则认为新设 备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高, 否则不认为有显著提高). 解：(1) 各项所求值如下所示. x = 1 10(9.8 + 10.3 + 10.0
26、+ 10.2 + 9.9 + 9.8 + 10.0 + 10.1 + 10.2 + 9.7) = 10.0, y = 1 10(10.1 + 10.4 + 10.1 + 10.0 + 10.1 + 10.3 + 10.6 + 10.5 + 10.4 + 10.5) = 10.3, s2 1= 1 10 ?(9.7 10.0)2 + 2 (9.8 10.0)2+ (9.9 10.0)2+ 2 (10.0 10.0)2+ (10.1 10.0)2+ 2 (10.2 10.0)2+ (10.3 10.0)2?= 0.036, s2 2= 1 10 ?(10.0 10.3)2 + 3 (10.1 10
27、.3)2+ (10.3 10.3)2+ 2 (10.4 10.3)2+ 2 (10.5 10.3)2+ (10.6 10.3)2?= 0.04. 2021 年高考数学全国乙卷理科真题解析10 (2) 由 (1) 中数据得 y x = 0.3,2 r s2 1+ s22 10 = 20.0076 2 r s2 1+ s22 10 . 所以认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高. 18. (12 分) 如图,四棱锥PABCD的底面是矩形,PD 底面ABCD,PD = DC = 1,M 为BC 的中点,且PB AM. (1) 求 BC (2) 求二面角 A PM B 的正弦值. P A
28、B M C D P AB M C D x y z 题 图解析图 解：(1) 因为 PD 平面 ABCD, 且矩形 ABCD 中, AD DC. 所以以 DA, DC, DP 分别为 x,y,z 轴正方 向, D 为原点建立空间直角坐标系 D xyz. 设 BC = t, A(t,0,0),B(t,1,0),M( t 2,1,0),P(0,0,1), 所以 PB = (t,1,1), AM = ( t 2,1,0). 因为 PB AM, 所以 PB AM = t 2 2 + 1 = 0, 所以 t = 2, 所以 BC =2. (2) 设平面 APM 的一个法向量为 m = (x,y,z). 由
29、于 AP = (2,0,1), 则 m AP = 2x + z = 0, m AM = 2 2 x + y = 0. 令 x = 2, 得 m = (2,1,2). 设平面 PMB 的一个法向量为 n = (x,y,z), 则 n CB = 2x = 0, n PB = 2x + y z= 0. 令 y= 1, 得 n = (0,1,1). 所以 cosm,n = m n |m|n| = 3 7 2= 314 14 . 所以二面角 A PM B 的正弦值为 70 14 . 19. (12 分) 记 Sn为数列 an 的前 n 项和, bn为数列 Sn 的前 n 项积, 已知 2 Sn + 1
30、bn = 2. (1) 证明: 数列 bn 是等差数列 (2) 求 an 的通项公式. 11微信公众号：数学竞赛的那些事儿 解：(1) 由已知 2 Sn + 1 bn = 2, 则 bn bn1 = Sn(n 2). 2bn1 bn + 1 bn = 2 2bn1+ 1 = 2bn bn bn1= 1 2 (n 2),b1= 3 2. 故 bn 是以 3 2 为首项, 1 2 为公差的等差数列. (2) 由 (1) 知 bn= 3 2 + (n 1)1 2 = n + 2 2 , 则 2 Sn + 2 n + 2 = 2 Sn= n + 2 n + 1. n = 1 时, a1= S1= 3
31、2. n 2 时, an= Sn Sn1= n + 2 n + 1 n + 1 n = 1 n(n + 1). 故 an= 3 2, n = 1, 1 n(n + 1), n 2. 20. (12 分) 设函数 f(x) = ln(a x), 已知 x = 0 是函数 y = xf(x) 的极值点. (1) 求 a (2) 设函数 g(x) = x + f(x) xf(x) , 证明: g(x) 1. 解：(1) xf(x)= xf(x) + xf(x). 当 x = 0 时, xf(x)= f(0) = lna = 0, 所以 a = 1. (2) 由 f(x) = ln(1 x), 得 x
32、 1. 当 0 x 1 时, f(x) = ln(1 x) 0, xf(x) 0 当 x 0, xf(x) xf(x), x + ln(1 x) xln(1 x) 0. 令 1 x = t (t 0 且 t = 1), x = 1 t, 即证 1 t + lnt (1 t)lnt 0. 令 f(t) = 1 t + lnt (1 t)lnt, 则 f(t) = 1 + 1 t (1)lnt + 1 t t = 1 + 1 t + lnt 1 t t = lnt. 所以 f(t) 在 (0,1) 上单调递减, 在 (1,+) 上单调递增. 故 f(t) f(1) = 0, 得证. 21. (12
33、 分) 已知抛物线 C : x2= 2py (p 0) 的焦点为 F, 且 F 与圆 M : x2+ (y + 4)2= 1 上点的距离的最小值为 4. (1) 求 p (2) 若点 P 在 M 上, PA,PB 是 C 的两条切线, A,B 是切点, 求 PAB 面积的最大值. 解：(1) 焦点 F(0, p 2) 到 x 2 + (y + 4)2= 1 的最短距离为 p 2 + 3 = 4, 所以 p = 2. (2) 抛物线 y = 1 4x 2. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0), 则 lPA: y = 1 2x1(x x1) + y1 = 1 2x1x 1 4
34、x 2 1= 1 2x1x y1, lPB: y = 1 2x2x y2,且 x 2 0= y 2 0 8y0 15. 2021 年高考数学全国乙卷理科真题解析12 lPA,lPB都过点 P(x0,y0), 则 y0= 1 2x1x0 y1, y0= 1 2x2x0 y2. 故 lAB: y0= 1 2x0 x y, 即 y = 1 2x0 x y0. 联立 y = 1 2x0 x y0, x2= 4y , 得 x2 2x0 x + 4y0= 0, = 4x2 0 16y0. 所以 |AB| = r 1 + x2 0 4 p4x2 0 16y0= p4 + x2 0 px2 0 4y0, dP
35、AB = |x2 0 4y0| px2 0+ 4 . 所以 SPAB= 1 2|AB| dPAB = 1 2|x 2 0 4y0| q x2 0 4y0= 1 2(x 2 0 4y0) 3 2= 1 2(y 2 0 12y0 15) 3 2. 而 y0 5,3. 故当 y0= 5 时, SPAB达到最大, 最大值为 205. (二) 选考题: 共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分. 22. 【选修 4 4: 坐标系与参数方程】(10 分) 在直角坐标系 xOy 中, C 的圆心为 C(2,1), 半径为 1. (1) 写出 C 的一个参数
36、方程 (2) 过点 F(4,1) 作 C 的两条切线. 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求这两条切线的极 坐标方程. 解：(1) 因为 C 的圆心为 (2,1), 半径为 1. 故 C 的参数方程为 x = 2 + cos y = 1 + sin ( 为参数). (2) 设切线 y = k(x 4) + 1, 即 kx y 4k + 1 = 0. 故 |2k 1 4k + 1| 1 + k2= 1, 即 |2k| = 1 + k2, 4k2 = 1 + k2, 解得 k = 3 3 . 故直线方程为 y = 3 3 (x 4) + 1, y = 3 3 (x 4) + 1
37、. 故两条切线的极坐标方程为 sin = 3 3 cos 4 3 3 + 1 或 sin = 3 3 cos + 4 3 3 + 1. 23. 【选修 4 5: 不等式选讲】(10 分) 已知函数 f(x) = |x a| + |x + 3|. (1) 当 a = 1 时, 求不等式 f(x) 6 的解集 (2) 若 f(x) a, 求 a 的取值范围. 解：(1) a = 1 时, f(x) = |x 1| + |x + 3|, 即求 |x 1| + |x + 3| 6 的解集. 当 x 1 时, 2x + 2 6, 得 x 2 当 3 x a, 而由绝对值的几何意义, 即求 x 到 a 和
38、 3 距离的最小值. 当 x 在 a 和 3 之间时最小, 此时 f(x) 最小值为 |a + 3|, 即 |a + 3| a. a 3 时, 2a + 3 0, 得 a 3 2 a a, 此时 a 不存在. 综上, a 3 2. 2021 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学乙卷 注意事项: 1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动, 用橡皮擦 干净后, 再选涂其它答案标号回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一
39、并交回 一、选择题: 本题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求. 1. 已知全集 U = 1,2,3,4,5, 集合 M = 1,2,N = 3,4, 则 U(M N) =( ). A： 5B： 1,2C： 3,4D： 1,2,3,4 2. 设 iz = 4 + 3i, 则 z =( ). A： 3 4iB： 3 + 4iC： 3 4iD： 3 + 4i 3. 已知命题 p : x R,sinx 1 命题 q : x R,e|x| 1, 则下列命题中为真命题的是 ( ). A： p qB： p qC： p qD： (p q) 4.
40、 函数 f(x) = sin x 3 + cos x 3 的最小正周期和最大值分别是 ( ). A： 3 和 2 B： 3 和 2C： 6 和 2 D： 6 和 2 5. 若 x,y 满足约束条件 x + y 4, x y 2, y 3, 则 z = 3x + y 的最小值为 ( ). A： 18B： 10C： 6D： 4 6. cos2 12 cos2 5 12 =( ). A： 1 2 B： 3 3 C： 2 2 D： 3 2 7. 在区间 (0, 1 2) 随机取 1 个数, 则取到的数小于 1 3 的概率为 ( ). A： 3 4 B： 2 3 C： 1 3 D： 1 6 8. 下列函
41、数中最小值为 4 的是 ( ). A： y = x2+ 2x + 4B： y = |sinx| + 4 |sinx| C： y = 2x+ 22xD： y = lnx + 4 lnx 9. 设函数 f(x) = 1 x 1 + x, 则下列函数中为奇函数的是 ( ). A： f(x 1) 1B： f(x 1) + 1C： f(x + 1) 1D： f(x + 1) + 1 10. 在正方体 ABCD A1B1C1D1中, P 为 B1D1的中点, 则直线 PB 与 AD1所成的角为 ( ). A： 2 B： 3 C： 4 D： 6 2021 年高考数学全国乙卷文科真题14 11. 设 B 是椭
42、圆 C : x2 5 + y2= 1 的上顶点, 点 P 在 C 上, 则 |PB| 的最大值为 ( ). A： 5 2 B： 6 C： 5 D： 2 12. 设 a = 0, 若 x = a 为函数 f(x) = a(x a)2(x b) 的极大值点, 则 ( ). A： a bC： ab a2 二、填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 13. 已知向量 a = (2,5),b = (,4), 若 a / b, 则 =. 14. 双曲线 x2 4 y2 5 = 1 的右焦点到直线 x + 2y 8 = 0 的距离为. 15. 记 ABC 的内角 A,B,C 的对边分
43、别为 a,b,c, 面积为 3,B = 60,a2 + c2= 3ac, 则 b =. 16. 以图 为正视图, 在图 中选两个分别作为侧视图和俯视图, 组成某个三棱锥的三视图, 则所 选侧视图和俯视图的编号依次为(写出符合要求的一组答案即可). 2 1 22 11 2 22 2 图 1 图 2图 3 图 4 图 5 (第 16 题图) 三、解答题: 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 1721 题为必考题, 每个试题考生都 必须作答 第 22、23 题为选考题, 考生根据要求作答. (一) 必考题: 共 5 小题, 每小题 12 分, 共 60 分. 17. (12
44、 分) 某厂研制了一种生产高精产品的设备, 为检验新设备生产产品的某项指标有无提高, 用一台旧设备和一台新 设备各生产了 10 件产品, 得到各件产品该项指标数据如下: 旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7 新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 x 和 y, 样本方差分别记为 s2 1和 s22. (1) 求 x,y,s2 1,s22 (2) 判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高 (如果 y x 2 r s2 1+ s22 2 ,
45、 则认为新设 备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高, 否则不认为有显著提高). 15微信公众号：数学竞赛的那些事儿 18. (12 分) 如图, 四棱锥 P ABCD 的底面是矩形, PD 底面 ABCD, M 为 BC 的中点, 且 PB AM. (1) 证明: 平面 PAM 平面 PBD (2) 若 PD = DC = 1, 求四棱锥 P ABCD 的体积. P AB M C D (第 18 题图) 19. (12 分) 设 an 是首项为 1 的等比数列, 数列 bn 满足 bn= nan 3 . 已知 a1,3a2,9a3成等差数列. (1) 求 an 和 bn 的通项公式 (
46、2) 记 Sn和 Tn分别为 an 和 bn 的前 n 项和. 证明: Tn 0) 的焦点 F 到准线的距离为 2. (1) 求 C 的方程 (2) 已知 O 为坐标原点, 点 P 在 C 上, 点 Q 满足 PQ = 9 QF, 求直线 OQ 斜率的最大值. 2021 年高考数学全国乙卷文科真题16 21. (12 分) 已知函数 f(x) = x3 x2+ ax + 1. (1) 讨论 f(x) 的单调性 (2) 求曲线 y = f(x) 过坐标原点的切线与曲线 y = f(x) 的公共点的坐标. (二) 选考题: 共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答, 如果多做, 则
47、按所做的第一题计分. 22. 【选修 4 4: 坐标系与参数方程】(10 分) 在直角坐标系 xOy 中, C 的圆心为 C(2,1), 半径为 1. (1) 写出 C 的一个参数方程 (2) 过点 F(4,1) 作 C 的两条切线. 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求这两条切线的极 坐标方程. 23. 【选修 4 5: 不等式选讲】(10 分) 已知函数 f(x) = |x a| + |x + 3|. (1) 当 a = 1 时, 求不等式 f(x) 6 的解集 (2) 若 f(x) a, 求 a 的取值范围. 2021 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学乙卷 (
48、参考答案) 注意事项: 1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动, 用橡皮擦 干净后, 再选涂其它答案标号回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题: 本题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求. 1. 已知全集 U = 1,2,3,4,5, 集合 M = 1,2,N = 3,4, 则 U(M N) =( ). A： 5B： 1,2C： 3,
49、4D： 1,2,3,4 答案：A. 解析：由 M = 1,2,N = 3,4, 所以 M N = 1,2,3,4, 所以 U(M N) = 5. 2. 设 iz = 4 + 3i, 则 z =( ). A： 3 4iB： 3 + 4iC： 3 4iD： 3 + 4i 答案：C. 解析：在等式 iz = 4 + 3i 两边同时乘 i 得 z = 4i 3, 所以 z = 3 4i. 3. 已知命题 p : x R,sinx 1 命题 q : x R,e|x| 1, 则下列命题中为真命题的是 ( ). A： p qB： p qC： p qD： (p q) 答案：A. 解析：由已知可得命题 p 为真
50、命题, 命题 q 为真命题, 所以 p q 为真命题, 故选 A. 4. 函数 f(x) = sin x 3 + cos x 3 的最小正周期和最大值分别是 ( ). A： 3 和 2 B： 3 和 2C： 6 和 2 D： 6 和 2 答案：C. 解析：由 f(x) = sin x 3 + cos x 3 可得 f(x) = 2sin(x 3 + 4 ), 故周期为 T = 2 = 2 1 3 = 6, 最大值为 2. y x B(1,3) A C O 1 2 3 4 12345 1 2 5. 若 x,y 满足约束条件 x + y 4, x y 2, y 3, 则 z = 3x + y 的最
