1、大一轮复习讲义 第六章数列 6.2等差数列及其前n项和 考试要求 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决 相应的问题. 4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系. 主干梳理主干梳理 基础落实基础落实 题型突破题型突破 核心核心探究探究 课时精练课时精练 内容 索引 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 1.等差数列的有关概念等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项减去它的前一项所得的差 都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这
2、个常数叫做等 差数列的公差，通常用字母 表示，定义表达式为_ 或 . (2)等差中项 知识梳理 同一个常数 二 anan1d(常数) (n2，nN*)an1and(常数)(nN*) d 2.等差数列的有关公式等差数列的有关公式 (1)通项公式：an . (2)前n项和公式：Sn 或Sn . 3.等差数列的常用性质等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：anam (n，mN*). (2)若an为等差数列， 且klmn(k， l， m， nN*)， 则 . (3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公 差为 的等差数列. a1(n1)d (nm)d akalam
3、an md (4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，也是等差数列. (5)S2n1(2n1)an. (6)等差数列an的前n项和为Sn， 为等差数列. 1.等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗？ 微思考 提示不一定.当公差d0时，Snna1，不是关于n的二次函数. 2.若数列的前n项和为SnAn2BnC(A0)，则这个数列一定是等差数 列吗？ 提示不一定.当C0时是等差数列. 题组一思考题组一思考辨析辨析 基础自测 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)等差数列an的单调性是由公差d决定的.() (2)若一个数列每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.
4、 () (3)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2. () (4)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an 一定是等差数列.() 题组二教材题组二教材改编改编 2.已知在等差数列an中，a23，a35，则a9_.17 解析da3a22， a9a36d56(2)17. 解析a4a820， a13da17d20， 即a15d10， a7a16d12， 得d2. 3.已知在等差数列an中，a4a820，a712，则d_.2 4.已知an是等差数列，其前n项和为Sn，若a32，且S630，则S9 _.126 题组三易错自纠题组三易错自纠 5.(多
5、选)设an是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S8， 则下列结论正确的是 A.dS5D.S6与S7均为Sn的最大值 解析S6S5a6S5， 则a60，S7S6a7S6， 则a70， 则da7a60，S8S7a8S7，a80， 则a9S9， 由a70，a60知S6，S7是Sn中的最大值. 从而ABD均正确. 解析|a3|a9|， |a12d|a18d|， 可得a15d， a6a15d0， 且a10，a50， 故Sn取最大值时n的值为5或6. 6.在等差数列an中，|a3|a9|，公差d0，则使数列an的前n项和Sn取 最大值的正整数n的值是_. 5或6 TIXINGTUPO HEXINTANJ
6、IU2题型突破 核心探究 题型一等差数列基本量的运算 自主演练 1.(多选)(2019全国改编)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S40， a55，则下列选项正确的是 A.a2a30 B.an2n5 C.Snn(n4) D.d2 a1a4a2a30，A正确； a5a14d5， a1a4a1a13d0， an3(n1)22n5，B正确，D错误； 2.(2020全国)记Sn为等差数列an的前n项和.若a12，a2a62，则 S10_.25 解析设等差数列an的公差为d， 则a2a62a16d2. 因为a12，所以d1. 3.(2020上海)已知an是公差不为零的等差数列，且a1a10a9， 则
7、_. 解析a1a10a9，a1a19da18d， 即a1d， a10a19d8d， 4.(2020新高考全国)将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列 得到数列an，则an的前n项和为_.3n22n 解析方法一(观察归纳法) 数列2n1的各项为1,3,5,7,9,11,13，； 数列3n2的各项为1,4,7,10,13，. 观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13，是首项为1，公差为6 的等差数列， 则an16(n1)6n5. 方法二(引入参变量法) 令bn2n1，cm3m2，bncm， 则2n13m2，即3m2n1，m必为奇数. 令m2t1，则n3t2(t1,2,3，). atb3t2c
8、2t16t5，即an6n5. 以下同方法一. 思维升华 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn， 知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”). (2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d. 题型二等差数列的判定与证明 师生共研 例1(2021烟台模拟)已知在数列an中， a11， an2an11(n2， nN*). (1)记bnlog2(an1)，判断bn是否为等差数列，并说明理由； 解bn是等差数列，理由如下： b1log2(a11)log221， 当n2时，bnbn1log2(an1)log2(an11) bn是以1为首项，1
9、为公差的等差数列. (2)求数列an的通项公式. 解由(1)知，bn1(n1)1n， an1 2n， an2n1. 2 n b 由已知得，(n2)an(n1)an12(n2)(n1)， 判断数列an是等差数列的常用方法 (1)定义法：对任意nN*，an1an是同一常数. (2)等差中项法：对任意n2，nN*，满足2anan1an1. (3)通项公式法：对任意nN*，都满足anpnq(p，q为常数). (4)前n项和公式法：对任意nN*，都满足SnAn2Bn(A，B为常数). 思维升华 当n1时，上式不成立， (2)求数列an的通项公式. 题型三等差数列性质的应用 多维探究 命题点1等差数列项的
10、性质 例2(1)(2021淄博模拟)设Sn为等差数列an的前n项和，且4a5a6 a4，则S9等于 A.72 B.36 C.18 D.9 解析a6a42a5， a54， (2)(2020临沂质检)在等差数列an中，若a2a4a6a8a1080，则a7 a8的值为 A.4 B.6 C.8 D.10 解析a2a4a6a8a105a680， a616，又a6a82a7， 命题点2等差数列和的性质 S2 0232 02324 046，故选C. (2)(2020全国)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所， 分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心 石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每
11、环 依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块， 向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比 中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石) A.3 699块 B.3 474块 C.3 402块 D.3 339块 解析设每一层有n环， 由题意可知，从内到外每环之间构成公差为d9，首 项为a19的等差数列. 由等差数列的性质知Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列， 且(S3nS2n)(S2nSn)n2d， 则9n2729， 解得n9， 一般地，运用等差数列的性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的 条件，等差数列的性质是解题的重要工具. 思维升华 (2)设Sn为等差数列
12、an的前n项和，若S61，S124，则S18_.9 解析在等差数列中，S6，S12S6，S18S12成等差数列， S61，S124， 1,3，S184成公差为2的等差数列， 即S1845， S189. KESHIJINGLIAN3 课时精练 12345678910 11 12 13 14 15 16 基础保分练 解析由等差数列的性质可得a2a5a8a112(a6a7)48， 则a6a724，故选D. 1.已知an是等差数列，且a2a5a8a1148，则a6a7等于 A.12 B.16 C.20 D.24 12345678910 11 12 13 14 15 16 2.数列an的前n项和Snn(
13、2n1)，若kl4(k，lN*)，则akal等于 A.4 B.8 C.16 D.32 解析Snn(2n1)， 数列an是公差为4的等差数列， kl4， akal4416. 故选C. 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.已知数列an满足a11，an1ranr(nN*，rR，r0)，则“r1” 是“数列an为等差数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析当r1时，an1ranran1an1， 数列an为公差为1的等差数列，即充分性成立； an1ranr，a11
14、，a22r，a32r2r， 若数列an为等差数列， 则4r12r2r，r1或r ， 即必要性不成立， 综上，“r1”是“数列an为等差数列”的充分不必要条件，故选A. 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.我国南北朝时的数学著作张邱建算经有一道题为：“今有十等人，每 等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后 入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则 在该问题中，等级较高的一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金 解析设十等人得金从高到低依次为a1，a2，a10， 则an为等差数列， 12345678910 11 12 1
15、3 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 5.(多选)等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3 a8a13是一个定值，则下列各数也为定值的有 A.a7 B.a8 C.S15 D.S16 解析由等差中项的性质可得a3a8a133a8为定值， 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知an为等差数列，其前n项和为Sn，且2a13a3S6，则以下 结论正确的是 A.a100 B.S10最小 C.S7S12 D.S190 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析2a13a3S6，
16、 2a13a16d6a115d， a19d0，即a100，A正确； 当d5时，an0， 则Tn|a1|a2|an| a1a2a5(a6a7an) S5(SnS5)2S5Sn 12345678910 11 12 13 14 15 16 2(9525)(9nn2)n29n40； 当n5时，an0， 则Tn|a1|a2|an| a1a2an9nn2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12.(2021沈阳模拟)已知Sn是等差数列an的前n项和，S22，S36. (1)求数列an的通项公式及前n项和Sn； 解S22，S36， an4(n1)(6)6n10， 123456789
17、10 11 12 13 14 15 16 (2)是否存在正整数n，使Sn，Sn22n，Sn3成等差数列？若存在， 求出n；若不存在，请说明理由. 解假设存在n，使Sn，Sn22n，Sn3成等差数列， 则2(Sn22n)SnSn3， 23(n2)27(n2)2n 3n27n7(n3)3(n3)2， 解得n5. 12345678910 11 12 13 14 15 16 技能提升练 13.已知数列an是等差数列，若a93a110，a10a110，且数列an的前n 项和Sn有最大值，那么Sn取得最小正值时n等于 A.20 B.17 C.19 D.21 12345678910 11 12 13 14
18、15 16 解析因为a93a110， 所以a9a112a11a9a11a10a122(a11a10)0 ， 所以a10a110. 因为a10a110，a110，而S2010(a10a11)0， 进而可得Sn取得最小正值时n19. 故选C. 12345678910 11 12 13 14 15 16 14.已知数列an满足a12，a23，且an2an1(1)n，nN*，则 该数列的前9项之和为_. 34 解析an2an1(1)n，nN*， 当n为奇数时，a2n1a2n10， 则数列a2n1是常数列，a2n1a12； 当n为偶数时，a2n2a2n2， 则数列a2n是以a23为首项，2为公差的等差数
19、列， a1a2a9 (a1a3a9)(a2a4a8) 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析因为正项等差数列an满足(a1a10)22a2a920， 所以(a2a9)22a2a920， 故B选项正确； 12345678910 11 12 13 14 15 16 结合的结论， 12345678910 11 12 13 14 15 16 解设数列an的公差为d， 由题意有2a15d4，a15d3， 16.在等差数列an中，a3a44，a5a76. (1)求an的通项公式； (2)设bnan，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整 数，如0.90，2.62. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以数列bn的前10项和为1322334224. 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
