1、大一轮复习讲义 第八章解析几何 8.7抛物线 1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何 性质. 2.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想. 考试要求 内容 索引 主干梳理主干梳理 基础落实基础落实 题型突破题型突破 核心核心探究探究 课时精练课时精练 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 1.抛物线抛物线的概念的概念 (1)定义：平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离 的点 的轨迹. (2)焦点： 叫做抛物线的焦点. (3)准线： 叫做抛物线的准线. 相等 知识梳理 点F 直线l 标准方程 y22px(p0)y2
2、2px(p0)x22py(p0) x22py(p0) 图形 范围_ 焦点 _ 2.抛物线抛物线的标准方程和简单几何性质的标准方程和简单几何性质 x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR 准线方程 _ 对称轴_ 顶点_ 离心率e_ x轴 y轴 (0,0) 1 1.抛物线定义中，若l经过点F，则点的轨迹会怎样？ 提示若l经过点F，则到F与到l距离相等的点的轨迹是过点F且与l垂直 的直线. 微思考 2.怎样计算抛物线的焦半径(抛物线上的点到焦点的距离)？抛物线的焦点 弦的最小值是多少？ 提示抛物线y22px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点的距离(焦半径)为x0 ； 抛物线的焦点弦的最小值是2p(
3、通径的长度). 题组一思考辨析题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物 线.() 基础自测 (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.() (4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.() 题组二教材改编题组二教材改编 2.过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如 果x1x26，则PQ等于 A.9 B.8 C.7 D.6 解析抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.根据题意可得， PQPFQFx11x21x1x228. 3.抛物
4、线y28x上到其焦点F距离为5的点的个数为_. 解析设P(x1，y1)，则PFx125，得x13，y12 . 故满足条件的点的个数为2. 2 4.已知A(2,0)，B为抛物线y2x上一点，则AB的最小值为_. 解析设点B(x，y)，则xy20， 题组三易错自纠题组三易错自纠 5.(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点P(2,3)的抛物线的标准方 程是 解析设抛物线的标准方程是y2kx或x2my，代入点P(2，3)， 6.设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公 共点，则直线l的斜率的取值范围是_. 1,1 解析Q(2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直
5、线l的方 程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20， 由(4k28)24k24k264(1k2)0， 解得1k1. TIXINGTUPO HEXINTANJIU2题型突破 核心探究 题型一抛物线的定义和标准方程 自主演练 1.(2020全国)已知A为抛物线C：y22px(p0)上一点，点A到C的焦点 的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于 A.2 B.3 C.6 D.9 又因为点A到y轴的距离为9，即x9， 2.设抛物线y22px的焦点在直线2x3y80上，则该抛物线的准线方 程为 A.x4 B.x3 C.x2 D.x1 解析直线2x3y80与x轴的交点为
6、(4,0)，抛物线y22px的焦点为 (4,0)，准线方程为x4. 3.动圆过点(1,0)，且与直线x1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为 _. 解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x 1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x. y24x 4.(2020佛山模拟)已知抛物线x22py(p0)的焦点为F，准线为l，点P(4，y0) 在抛物线上，K为l与y轴的交点，且PK PF，则y0_，p_.24 解析作PMl，垂足为M，由抛物线定义知PMPF，又知PK PF， PKM45，PMK为等腰直角三角形，PMMK4，又知 点P在抛物线x22py(p0
7、)上， (1)应用抛物线定义的两个关键点 由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.抛 物线焦点到准线的距离为p. (2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、 开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参 数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 思维升华 题型二抛物线的几何性质及应用 多维探究 命题点1焦半径和焦点弦 例1(1)已知抛物线y22px(p0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距 离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为 A.4 B.9 C.10 D.18 所以该抛物线的焦点到准线的距离为10. (2)设F为抛物线C：
8、y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A， B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为 方法一联立直线方程与抛物线方程化简得 0显然成立， 命题点2与抛物线有关的最值问题 例2(1)已知抛物线y24x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过 A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则ACBD的最小值为_.2 解析由题意知F(1,0)，ACBDAFFB2AB2， 即ACBD取得最小值时当且仅当AB取得最小值. 依据抛物线定义知，当AB为通径，即AB2p4时为最小值， 所以ACBD的最小值为2. (2)设P是抛物线y24x上的一个动点，则点P到点A(1，1)的距离与点P 到直线x1的距离之
9、和的最小值为_. 解析如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x1， 由抛物线的定义知点P到直线x1的距离等于点P到F的距离. 于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点 A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小， 显然，连结AF与抛物线相交的点即为满足题意的点， (1)由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线 的距离，从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程. (2)与抛物线有关的最值问题的两个转化策略 转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离， 构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题 得以解决. 转化策略二
10、：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用 “与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决. 思维升华 跟踪训练1(1)已知抛物线x24y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点 到x轴的最短距离为 解析由题意知，抛物线的准线l：y1，过点A作AA1l交l于点A1，过 点B作BB1l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1l交l于点M1， 因为ABAFBF(F为抛物线的焦点)，即AFBF6， 所以AA1BB16，2MM16，MM13， 故点M到x轴的距离d2，故选D. (2)若抛物线y24x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距 离与P到直线3x4y70的距离之和的最
11、小值是 解析由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由 抛物线y24x及直线方程3x4y70可得直线与抛物线相离. 点P到准线l的距离与点P到直线3x4y70的距离之和的最小值为点 F(1,0)到直线3x4y70的距离， 题型三直线与抛物线 师生共研 (1)求直线AP斜率的取值范围； 解设直线AP的斜率为k， 所以直线AP斜率的取值范围是(1,1). (2)求PAPQ的最大值. 所以PAPQ(k1)(k1)3. 令f(k)(k1)(k1)3， 因为f(k)(4k2)(k1)2， (1)求解直线与抛物线问题，一般利用方程法，但涉及抛物线的弦长、中 点、距离等问题时，要注意“设而
12、不求”“整体代入”“点差法”以及 定义的灵活应用. (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过 抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式ABx1x2p， 若不过焦点，则可用弦长公式. 思维升华 跟踪训练2(1)(2020济南期末)直线yxb交抛物线y x2于A，B两点， O为抛物线顶点，OAOB，则b的值为 A.1 B.0 C.1 D.2 化简可得x22x2b0，故x1x22，x1x22b，所以y1y2x1x2b(x1 x2)b2b2. 又OAOB，所以x1x2y1y20，即2bb20，则b2或b0，经检验 b0时，不符合题意，故b2. (2)已知F为抛
13、物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2， 直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则ABDE的最小 值为 A.16 B.14 C.12 D.10 解析抛物线C：y24x的焦点为F(1,0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且 不为0. 同理得DE44k2， 故ABDE的最小值为16. KESHIJINGLIAN3 课时精练 基础保分练 12345678910 11 12 13 14 15 16 A.2 B.3 C.4 D.8 12345678910 11 12 13 14 15 16 2.(2020全国)设O为坐标原点，直线x2与抛物线C：y22px(p0)交
14、于 D，E两点，若ODOE，则C的焦点坐标为 解析方法一抛物线C关于x轴对称， D，E两点关于x轴对称. 又ODOE， 12345678910 11 12 13 14 15 16 方法二抛物线C关于x轴对称， D，E两点关于x轴对称. ODOE，D，E两点横、纵坐标的绝对值均相等. 不妨设点D(2,2)，将点D的坐标代入C：y22px， 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示 了中国劳动人民的非凡智慧.一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m时， 水面宽8 m.若水面下降1 m，则水面宽度为 解析由题意，以拱桥顶
15、点为原点，建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为x22py(p0)， 由题意知，抛物线经过点A(4，2)和点B(4，2)， 代入抛物线方程解得p4，所以抛物线方程为x28y， 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.(2020北京)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l.P是抛物线上异于 O的一点，过P作PQl于Q，则线段FQ的垂直平分线 A.经过点O B.经过点P C.平行于直线OP D.垂直于直线OP 解析如图所示，P为抛物线上异于O的一点， 则PFPQ， QF的垂直平分线经过点P. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910
16、11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，斜率为 且经过点F的直 线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D， 若AF4，则以下结论正确的是 A.p2 B.F为AD的中点 C.BD2BF D.BF2 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析如图. 得12x220px3p20. 12345678910 11 12 13
17、 14 15 16 抛物线方程为y24x. BD2BF， 故选ABC. 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.(2020新高考全国)斜率为 的直线过抛物线C：y24x的焦点，且与 C交于A，B两点，则AB_. 解析如图，由题意得，抛物线焦点为F(1,0)， 得3x210 x30. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.已知直线l是抛物线y22px(p0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O 和焦点F与l相切，则抛物线的方程为_. y28x 解析半
18、径为3的圆与抛物线的准线l相切， 圆心到准线的距离等于3， 9.直线l过抛物线C：y22px (p 0)的焦点F(1,0)，且与C交于A，B两点， 则p_， _. 12345678910 11 12 13 14 15 16 21 所以抛物线方程为y24x. 当直线AB的斜率不存在时，将x1代入抛物线方程，解得AFBF2， 当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为yk(x1)， 整理，得k2x2(2k24)xk20， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.点P为抛物线y2
19、4x上的动点，点A(2,1)为平面内定点，F为抛物线焦 点，则： (1)PAPF的最小值为_； 12345678910 11 12 13 14 15 16 3 解析如图1，由抛物线定义可知，PF PH，PAPFPAPH，从而最小值为A到 准线的距离为3. (2)PAPF的最小值为_，最大值为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析如图2，当P，A，F三点共线，且P在 FA延长线上时，PAPF有最小值为AF . 当P，A，F三点共线，且P在AF延长线上时， PAPF有最大值为AF . 11.定长为3的线段AB的端点A，B在抛物线y2x上移动，求AB的中点到y 轴距离
20、的最小值，并求出此时AB中点的坐标. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解如图所示，F是抛物线y2x的焦点， 过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为C，D， 过AB的中点M作准线的垂线MN，垂足为N， 连结AF，BF，由抛物线的定义知ACAF，BDBF， 12345678910 11 12 13 14 15 16 当弦AB过点F时等号成立， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22x. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12.(2021沈阳模拟)已知抛物线C：x22py(p0
21、)，其焦点到准线的距离为 2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2， 且l1与l2交于点M. (1)求p的值； 焦点到准线的距离为2，即p2. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)若l1l2，求MAB面积的最小值. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解由(1)知抛物线的方程为x24y， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 即x1x24. 12345678910 11 12 13 14 15 16 设直线l的方程为ykxm，与抛物线方程联立， 所以x24kx4m0，16k216m0， x1x24k，x1
22、x24m4，所以m1， 即l：ykx1. 12345678910 11 12 13 14 15 16 当k0时，MAB的面积取得最小值4. 3 2 2 4(1+)k 技能提升练 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由抛物线的定义可得AFAH， AH垂直于准线，FAH60， 故AHF为等边三角形. 过F作FMAH于M，则在RtFAM中， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 4 则线段AB的垂直平分线过点D. 所以y1y22，所
23、以ABy1y224. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 15.(2021湖南名校大联考)已知P为抛物线C：yx2上一动点，直线l：y 2x4与x轴、y轴交于M，N两点，点A(2，4)且 则 的最小值为_. 解析由题意得M(2,0)，N(0，4)，设P(x，y)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 x22，y44. 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.过抛物线y22px(p0)的焦点F作一条倾斜角为 的直线与抛物线相交 于A，B两点. (1)用p表示A，B之间的距离； 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)证明：AOB的大小是与p无关的定值，并求出这个值. 解在AOB中，由余弦定理可知， 12345678910 11 12 13 14 15 16 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
